Historia del álgebra - History of algebra

Esencialmente, se puede considerar que el álgebra hace cálculos similares a los de la aritmética pero con objetos matemáticos no numéricos. Sin embargo, hasta el siglo XIX, el álgebra consistió esencialmente en la teoría de ecuaciones . Por ejemplo, el teorema fundamental del álgebra pertenece a la teoría de las ecuaciones y no se considera hoy en día como perteneciente al álgebra (de hecho, toda demostración debe usar la completitud de los números reales , que no es una propiedad algebraica).

Este artículo describe la historia de la teoría de ecuaciones, llamada aquí "álgebra", desde los orígenes hasta el surgimiento del álgebra como un área separada de las matemáticas .

Etimología

La palabra "álgebra" se deriva de la palabra árabe الجبر al-jabr , y esto proviene del tratado escrito en el año 830 por el matemático persa medieval, Muhammad ibn Mūsā al-Khwārizmī , cuyo título árabe, Kitāb al-muḫtaṣar fī ḥisāb al-ğabr wa-l-muqābala , se puede traducir como El libro compendioso sobre el cálculo por finalización y equilibrio . El tratado preveía la solución sistemática de ecuaciones lineales y cuadráticas . Según una historia, "[i] t no es seguro qué significan los términos al-jabr y muqabalah , pero la interpretación habitual es similar a la implícita en la traducción anterior. La palabra 'al-jabr' presumiblemente significaba algo como ' restauración 'o' finalización 'y parece referirse a la transposición de términos restados al otro lado de una ecuación; se dice que la palabra' muqabalah 'se refiere a' reducción 'o' equilibrio ', es decir, la cancelación de términos similares En lados opuestos de la ecuación. La influencia árabe en España mucho después de la época de al-Khwarizmi se encuentra en Don Quijote , donde la palabra 'algebrista' se usa para un fijador de huesos, es decir, un 'restaurador' ". Al-Khwarizmi utiliza el término para describir las operaciones que introdujo, " reducción " y "equilibrio", en referencia a la transposición de términos restados al otro lado de una ecuación, es decir, la cancelación de términos similares en lados opuestos. de la ecuación.

Etapas del álgebra

Expresión algebraica

El álgebra no siempre hizo uso del simbolismo que ahora es omnipresente en las matemáticas; en cambio, pasó por tres etapas distintas. Las etapas en el desarrollo del álgebra simbólica son aproximadamente las siguientes:

• Álgebra retórica , en la que las ecuaciones se escriben en oraciones completas. Por ejemplo, la forma retórica de es "La cosa más uno es igual a dos" o posiblemente "La cosa más 1 es igual a 2". El álgebra retórica fue desarrollada por primera vez por los antiguos babilonios y siguió siendo dominante hasta el siglo XVI.${\ Displaystyle x + 1 = 2}$

• Álgebra sincopada , en la que se utiliza algún simbolismo, pero que no contiene todas las características del álgebra simbólica. Por ejemplo, puede haber una restricción de que la resta puede usarse solo una vez dentro de un lado de una ecuación, lo que no es el caso del álgebra simbólica. Sincopado expresión algebraica apareció por primera vez en Diofanto ' Aritmética (siglo 3 dC), seguido de Brahmagupta ' s Brahma Sphuta Siddhanta (siglo 7).

• Álgebra simbólica , en la que se utiliza el simbolismo completo. Los primeros pasos hacia esto se pueden ver en el trabajo de varios matemáticos islámicos como Ibn al-Banna (siglos XIII-XIV) y al-Qalasadi (siglo XV), aunque el álgebra completamente simbólica fue desarrollado por François Viète (siglo XVI). Más tarde, René Descartes (siglo XVII) introdujo la notación moderna (por ejemplo, el uso de x - ver más abajo ) y demostró que los problemas que ocurren en geometría se pueden expresar y resolver en términos de álgebra ( geometría cartesiana ).

Tan importante como el uso o la falta de simbolismo en álgebra fue el grado de las ecuaciones que se abordaron. Las ecuaciones cuadráticas jugaron un papel importante en el álgebra temprana; ya lo largo de la mayor parte de la historia, hasta el período moderno temprano, todas las ecuaciones cuadráticas se clasificaron como pertenecientes a una de tres categorías.

• ${\ Displaystyle x ^ {2} + px = q}$
• ${\ Displaystyle x ^ {2} = px + q}$
• ${\ Displaystyle x ^ {2} + q = px}$

donde y son positivos. Esta tricotomía se produce porque las ecuaciones cuadráticas de la forma con y positivo, no tienen raíces positivas . ${\ Displaystyle p}$${\ Displaystyle q}$${\ Displaystyle x ^ {2} + px + q = 0,}$${\ Displaystyle p}$${\ Displaystyle q}$

Entre las etapas retórica y sincopada del álgebra simbólica, los matemáticos griegos clásicos e indios védicos desarrollaron un álgebra constructiva geométrica en la que las ecuaciones algebraicas se resolvían a través de la geometría. Por ejemplo, una ecuación de la forma se resolvió hallando el lado de un cuadrado de área${\ Displaystyle x ^ {2} = A}$${\ Displaystyle A.}$

Etapas conceptuales

Además de las tres etapas de expresión de ideas algebraicas, algunos autores reconocieron cuatro etapas conceptuales en el desarrollo del álgebra que ocurrieron junto con los cambios en la expresión. Estas cuatro etapas fueron las siguientes:

• Etapa geométrica , donde los conceptos de álgebra son en gran parte geométricos. Esto se remonta a los babilonios y continuó con los griegos , y luego fue revivido por Omar Khayyám .
• Etapa de resolución de ecuaciones estáticas , donde el objetivo es encontrar números que satisfagan determinadas relaciones. El alejamiento del álgebra geométrica se remonta a Diofanto y Brahmagupta , pero el álgebra no pasó de manera decisiva a la etapa de resolución de ecuaciones estáticas hasta que Al-Khwarizmi introdujo procesos algorítmicos generalizados para resolver problemas algebraicos.
• Etapa de función dinámica , donde el movimiento es una idea subyacente. La idea de una función comenzó a surgir con Sharaf al-Dīn al-Tūsī , pero el álgebra no pasó de manera decisiva a la etapa de función dinámica hasta Gottfried Leibniz .
• Etapa abstracta , donde la estructura matemática juega un papel central. El álgebra abstracta es en gran parte un producto de los siglos XIX y XX.

Babilonia

Los orígenes del álgebra se remontan a los antiguos babilonios , que desarrollaron un sistema numérico posicional que les ayudó enormemente a resolver sus ecuaciones algebraicas retóricas. Los babilonios no estaban interesados ​​en soluciones exactas, sino más bien en aproximaciones, por lo que comúnmente usaban la interpolación lineal para aproximar valores intermedios. Una de las tablillas más famosas es la tablilla Plimpton 322 , creada alrededor de 1900-1600 a. C., que ofrece una tabla de triples pitagóricas y representa algunas de las matemáticas más avanzadas anteriores a las matemáticas griegas.

El álgebra babilónica era mucho más avanzada que el álgebra egipcia de la época; mientras que a los egipcios les preocupaban principalmente las ecuaciones lineales, los babilonios estaban más preocupados por las ecuaciones cuadráticas y cúbicas . Los babilonios habían desarrollado operaciones algebraicas flexibles con las que podían sumar iguales a iguales y multiplicar ambos lados de una ecuación por cantidades iguales para eliminar fracciones y factores. Estaban familiarizados con muchas formas simples de factorización , ecuaciones cuadráticas de tres términos con raíces positivas y muchas ecuaciones cúbicas, aunque no se sabe si pudieron reducir la ecuación cúbica general.

Antiguo Egipto

El álgebra egipcia antigua se ocupaba principalmente de ecuaciones lineales, mientras que los babilonios consideraban que estas ecuaciones eran demasiado elementales y desarrollaron las matemáticas a un nivel más alto que los egipcios.

El papiro de Rhind, también conocido como el papiro de Ahmes, es un antiguo papiro egipcio escrito c. 1650 a. C. por Ahmes, quien lo transcribió de una obra anterior que databa entre 2000 y 1800 a. C. Es el documento matemático egipcio antiguo más extenso conocido por los historiadores. El Papiro de Rhind contiene problemas donde las ecuaciones lineales de la forma y se resuelven, donde y se conocen y que se conoce como "aha" o montón, es lo desconocido. Posiblemente, pero no es probable, se llegó a las soluciones utilizando el "método de posición falsa", o regula falsi , donde primero se sustituye un valor específico en el lado izquierdo de la ecuación, luego se realizan los cálculos aritméticos requeridos, en tercer lugar el resultado se compara con el lado derecho de la ecuación y, finalmente, se encuentra la respuesta correcta mediante el uso de proporciones. En algunos de los problemas, el autor "verifica" su solución, escribiendo así una de las primeras pruebas sencillas conocidas. ${\ Displaystyle x + ax = b}$${\ Displaystyle x + ax + bx = c}$${\ Displaystyle a, b,}$${\ Displaystyle c}$${\ Displaystyle x,}$

Matemáticas griegas

A veces se alega que los griegos no tenían álgebra, pero esto es inexacto. En la época de Platón , las matemáticas griegas habían experimentado un cambio drástico. Los griegos crearon un álgebra geométrica donde los términos estaban representados por lados de objetos geométricos, generalmente líneas, que tenían letras asociadas con ellos, y con esta nueva forma de álgebra pudieron encontrar soluciones a ecuaciones usando un proceso que inventaron, conocido como "la aplicación de áreas". "La aplicación de zonas" es sólo una parte de álgebra geométrica y se cubre a fondo en Euclides 's Elementos .

Un ejemplo de álgebra geométrica sería resolver la ecuación lineal.Los antiguos griegos resolverían esta ecuación mirándola como una igualdad de áreas en lugar de como una igualdad entre las razones y los griegos construirían un rectángulo con lados de longitud y luego extenderían un lado del rectángulo a la longitud y finalmente completarían el rectángulo extendido para encontrar el lado del rectángulo que es la solución. ${\ Displaystyle ax = bc.}$${\ Displaystyle a: b}$${\ Displaystyle c: x.}$${\ Displaystyle b}$${\ Displaystyle c,}$${\ Displaystyle a,}$

Floración de Thymaridas

Iamblichus en Introductio arithmatica dice que Thymaridas (c. 400 a. C. - c. 350 a. C.) trabajaba con ecuaciones lineales simultáneas. En particular, creó la entonces famosa regla que se conocía como la "flor de Thymaridas" o como la "flor de Thymaridas", que establece que:

Si se da la suma de cantidades, y también la suma de cada par que contiene una cantidad particular, entonces esta cantidad particular es igual a la diferencia entre las sumas de estos pares y la primera suma dada.${\ Displaystyle n}$${\ Displaystyle 1 / (n-2)}$

o usando la notación moderna, la solución del siguiente sistema de ecuaciones lineales en incógnitas, ${\ Displaystyle n}$${\ Displaystyle n}$

${\ Displaystyle x + x_ {1} + x_ {2} + \ cdots + x_ {n-1} = s}$
${\ Displaystyle x + x_ {1} = m_ {1}}$
${\ Displaystyle x + x_ {2} = m_ {2}}$
${\ Displaystyle \ vdots}$
${\ Displaystyle x + x_ {n-1} = m_ {n-1}}$

es,

${\ Displaystyle x = {\ cfrac {(m_ {1} + m_ {2} + ... + m_ {n-1}) - s} {n-2}} = {\ cfrac {(\ sum _ { i = 1} ^ {n-1} m_ {i}) - s} {n-2}}.}$

Iamblichus continúa describiendo cómo algunos sistemas de ecuaciones lineales que no están en esta forma pueden colocarse en esta forma.

Euclides de Alejandría

Euclides ( griego : Εὐκλείδης ) fue un matemático griego que floreció en Alejandría , Egipto , casi con certeza durante el reinado de Ptolomeo I (323-283 a. C.). No se han establecido ni el año ni el lugar de su nacimiento, ni las circunstancias de su muerte.

Euclides es considerado el "padre de la geometría ". His Elements es el libro de texto de mayor éxito en la historia de las matemáticas . Aunque es uno de los matemáticos más famosos de la historia, no se le atribuyen nuevos descubrimientos; más bien se le recuerda por sus grandes habilidades explicativas. Los Elementos no es, como a veces se piensa, una colección de todo el conocimiento matemático griego hasta su fecha; más bien, es una introducción elemental a él.

Elementos

El trabajo geométrico de los griegos, tipificado en los Elementos de Euclides , proporcionó el marco para generalizar fórmulas más allá de la solución de problemas particulares en sistemas más generales de enunciado y resolución de ecuaciones.

El Libro II de los Elementos contiene catorce proposiciones, que en la época de Euclides eran extremadamente significativas para hacer álgebra geométrica. Estas proposiciones y sus resultados son los equivalentes geométricos de nuestra trigonometría y álgebra simbólica moderna. Hoy, usando el álgebra simbólica moderna, permitimos que los símbolos representen magnitudes conocidas y desconocidas (es decir, números) y luego aplicamos operaciones algebraicas sobre ellos, mientras que en el tiempo de Euclides las magnitudes se veían como segmentos de línea y luego los resultados se deducían usando los axiomas o teoremas de la geometría.

Muchas leyes básicas de suma y multiplicación están incluidas o probadas geométricamente en los Elementos . Por ejemplo, la proposición 1 del Libro II establece:

Si hay dos líneas rectas, y una de ellas se corta en cualquier número de segmentos, el rectángulo contenido por las dos líneas rectas es igual a los rectángulos contenidos por la línea recta sin cortar y cada uno de los segmentos.

Pero esto no es nada más que la versión geométrica de la (a la izquierda) ley distributiva , ; y en los libros V y VII de la Elementos las conmutativas y asociativas se demuestran las leyes para la multiplicación. ${\ Displaystyle a (b + c + d) = ab + ac + ad}$

Muchas ecuaciones básicas también se probaron geométricamente. Por ejemplo, la proposición 5 en el Libro II prueba que y la proposición 4 en el Libro II prueba que${\ Displaystyle a ^ {2} -b ^ {2} = (a + b) (ab),}$${\ Displaystyle (a + b) ^ {2} = a ^ {2} + 2ab + b ^ {2}.}$

Además, también se dan soluciones geométricas para muchas ecuaciones. Por ejemplo, la proposición 6 del Libro II da la solución a la ecuación cuadrática y la proposición 11 del Libro II da una solución a${\ Displaystyle ax + x ^ {2} = b ^ {2},}$${\ Displaystyle ax + x ^ {2} = a ^ {2}.}$

Datos

Data es un trabajo escrito por Euclides para su uso en las escuelas de Alejandría y estaba destinado a ser utilizado como volumen complementario de los primeros seis libros de los Elementos . El libro contiene unas quince definiciones y noventa y cinco afirmaciones, de las cuales hay unas dos docenas de afirmaciones que sirven como reglas o fórmulas algebraicas. Algunas de estas afirmaciones son equivalentes geométricos de soluciones de ecuaciones cuadráticas. Por ejemplo, Data contiene las soluciones a las ecuacionesy la familiar ecuación babilónica.${\ displaystyle dx ^ {2} -adx + b ^ {2} c = 0}$${\ Displaystyle xy = a ^ {2}, x \ pm y = b.}$

Secciones cónicas

Una sección cónica es una curva que resulta de la intersección de un cono con un plano . Hay tres tipos principales de secciones cónicas: elipses (incluidos los círculos ), parábolas e hipérbolas . Se dice que las secciones cónicas fueron descubiertas por Menaecmo (c. 380 a. C. - c. 320 a. C.) y dado que tratar con secciones cónicas es equivalente a tratar con sus respectivas ecuaciones, desempeñaron papeles geométricos equivalentes a ecuaciones cúbicas y otras ecuaciones de orden superior. .

Menaechmus sabía que en una parábola, la ecuación se cumple, donde hay una constante llamada latus recto , aunque no era consciente del hecho de que cualquier ecuación en dos incógnitas determina una curva. Aparentemente, derivó estas propiedades de las secciones cónicas y otras también. Con esta información, ahora era posible encontrar una solución al problema de la duplicación del cubo resolviendo los puntos en los que se cruzan dos parábolas, una solución equivalente a resolver una ecuación cúbica. ${\ Displaystyle y ^ {2} = lx}$${\ Displaystyle l}$

Eutocius nos informa que el método que utilizó para resolver la ecuación cúbica se debió a Dionysodorus (250 aC - 190 aC). Dionysodorus resolvió la cúbica mediante la intersección de una hipérbola rectangular y una parábola. Esto se relaciona con un problema de Arquímedes ' Sobre la esfera y el cilindro . Las secciones cónicas serían estudiadas y utilizadas durante miles de años por matemáticos griegos, y más tarde islámicos y europeos. En particular , las famosas cónicas de Apolonio de Perge tratan de las secciones cónicas, entre otros temas.

porcelana

Las matemáticas chinas se remontan al menos al año 300 a. C. con el Zhoubi Suanjing , generalmente considerado como uno de los documentos matemáticos chinos más antiguos.

Nueve capítulos sobre el arte matemático

Chiu-chang suan-shu o Los nueve capítulos sobre el arte matemático , escrito alrededor del 250 a. C., es uno de los libros de matemáticas chinos más influyentes y se compone de unos 246 problemas. El capítulo ocho trata sobre la resolución de ecuaciones lineales simultáneas determinadas e indeterminadas usando números positivos y negativos, con un problema que trata de resolver cuatro ecuaciones en cinco incógnitas.

Medidas del espejo de mar del círculo

Ts'e-yuan hai-ching , o Sea-Mirror of the Circle Measurements , es una colección de unos 170 problemas escritos por Li Zhi (o Li Ye) (1192-1279 EC). Usó fan fa , o el método de Horner , para resolver ecuaciones de grado tan alto como seis, aunque no describió su método para resolver ecuaciones.

Tratado matemático en nueve secciones

Shu-shu chiu-chang , o Tratado matemático en nueve secciones , fue escrito por el rico gobernador y ministro Ch'in Chiu-shao (c. 1202 - c. 1261) y con la invención de un método para resolver congruencias simultáneas , ahora llamado teorema chino del residuo , marca el punto más alto en el análisis chino indeterminado.

Cuadrados magicos

Los primeros cuadrados mágicos conocidos aparecieron en China. En Nueve Capítulos, el autor resuelve un sistema de ecuaciones lineales simultáneas colocando los coeficientes y términos constantes de las ecuaciones lineales en un cuadrado mágico (es decir, una matriz) y realizando operaciones de reducción de columnas en el cuadrado mágico. Los primeros cuadrados mágicos conocidos de orden superior a tres se atribuyen a Yang Hui (fl. C. 1261 - 1275), quien trabajó con cuadrados mágicos de orden de hasta diez.

Precioso Espejo de los Cuatro Elementos

Ssy-yüan yü-chien《四 元 玉 鑒》, o Espejo Precioso de los Cuatro Elementos , fue escrito por Chu Shih-chieh en 1303 y marca el pico en el desarrollo del álgebra china. Los cuatro elementos , llamados cielo, tierra, hombre y materia, representaban las cuatro cantidades desconocidas en sus ecuaciones algebraicas. El Ssy-yüan yü-chien trata con ecuaciones simultáneas y con ecuaciones de grados tan altos como catorce. El autor utiliza el método de fan fa , hoy llamado método de Horner , para resolver estas ecuaciones.

El Espejo Precioso se abre con un diagrama del triángulo aritmético ( el triángulo de Pascal ) usando un símbolo de cero redondo, pero Chu Shih-chieh niega el crédito por ello. Un triángulo similar aparece en la obra de Yang Hui, pero sin el símbolo cero.

Hay muchas ecuaciones de suma sin prueba en el Espejo Precioso . Algunas de las sumas son:

${\ Displaystyle 1 ^ {2} + 2 ^ {2} + 3 ^ {2} + \ cdots + n ^ {2} = {n (n + 1) (2n + 1) \ over 3!}}$

${\ Displaystyle 1 + 8 + 30 + 80 + \ cdots + {n ^ {2} (n + 1) (n + 2) \ over 3!} = {n (n + 1) (n + 2) (n +3) (4n + 1) \ más de 5!}}$

Diofanto

Diofanto fue un matemático helenístico que vivió c. 250 d.C., pero la incertidumbre de esta fecha es tan grande que puede estar desfasada en más de un siglo. Es conocido por haber escrito Arithmetica , un tratado que originalmente tenía trece libros pero del cual solo se han conservado los seis primeros. La aritmética tiene muy poco en común con la matemática griega tradicional, ya que está divorciada de los métodos geométricos, y se diferencia de la matemática babilónica en que Diofanto se ocupa principalmente de soluciones exactas, tanto determinadas como indeterminadas, en lugar de simples aproximaciones.

Por lo general, es bastante difícil saber si una ecuación diofántica dada se puede resolver. No hay evidencia que sugiera que Diofanto se haya dado cuenta de que podría haber dos soluciones para una ecuación cuadrática. También consideró ecuaciones cuadráticas simultáneas. Además, no se puede abstraer ningún método general de todas las soluciones de Diofanto.

En Arithmetica , Diofanto es el primero en usar símbolos para números desconocidos, así como abreviaturas para potencias de números, relaciones y operaciones; así usó lo que ahora se conoce como álgebra sincopada . La principal diferencia entre el álgebra sincopada diofántica y la notación algebraica moderna es que la primera carecía de símbolos especiales para operaciones, relaciones y exponenciales. Entonces, por ejemplo, lo que escribiríamos como

${\ displaystyle x ^ {3} -2x ^ {2} + 10x-1 = 5,}$

que se puede reescribir como

${\ Displaystyle \ left ({x ^ {3}} 1+ {x} 10 \ right) - \ left ({x ^ {2}} 2+ {x ^ {0}} 1 \ right) = {x ^ {0}} 5,}$

estaría escrito en la notación sincopada de Diofanto como

${\ Displaystyle \ mathrm {K} ^ {\ upsilon} {\ overline {\ alpha}} \; \ zeta {\ overline {\ iota}} \; \, \ pitchfork \; \, \ Delta ^ {\ upsilon} {\ overline {\ beta}} \; \ mathrm {M} {\ overline {\ alpha}} \, \;}$ἴ${\ Displaystyle \ sigma \; \, \ mathrm {M} {\ overline {\ varepsilon}}}$

donde los símbolos representan lo siguiente:

Símbolo	Lo que representa
${\ Displaystyle {\ overline {\ alpha}}}$	1
${\ Displaystyle {\ overline {\ beta}}}$	2
${\ Displaystyle {\ overline {\ varepsilon}}}$	5
${\ Displaystyle {\ overline {\ iota}}}$	10
ἴσ	"igual" (abreviatura de ἴσος )
${\ Displaystyle \ pitchfork}$	representa la resta de todo lo que sigue hasta ἴσ${\ Displaystyle \ pitchfork}$
${\ Displaystyle \ mathrm {M}}$	la potencia cero (es decir, un término constante)
${\ Displaystyle \ zeta}$	la cantidad desconocida (debido a que un número elevado a la primera potencia es solo esto puede considerarse como "la primera potencia") ${\ Displaystyle x}$${\ Displaystyle x,}$
${\ Displaystyle \ Delta ^ {\ upsilon}}$	el segundo poder, del griego δύναμις , que significa fuerza o poder
${\ Displaystyle \ mathrm {K} ^ {\ upsilon}}$	el tercer poder, del griego κύβος , que significa un cubo
${\ Displaystyle \ Delta ^ {\ upsilon} \ Delta}$	el cuarto poder
${\ Displaystyle \ Delta \ mathrm {K} ^ {\ upsilon}}$	el quinto poder
${\ Displaystyle \ mathrm {K} ^ {\ upsilon} \ mathrm {K}}$	el sexto poder

A diferencia de la notación moderna, los coeficientes vienen después de las variables y esa suma está representada por la yuxtaposición de términos. Una traducción literal símbolo por símbolo de la ecuación sincopada de Diofanto en una ecuación simbólica moderna sería la siguiente:

${\ Displaystyle {x ^ {3}} 1 {x} 10- {x ^ {2}} 2 {x ^ {0}} 1 = {x ^ {0}} 5}$

donde aclarar, si se usan los paréntesis modernos y más, entonces la ecuación anterior se puede reescribir como:

${\ Displaystyle \ left ({x ^ {3}} 1+ {x} 10 \ right) - \ left ({x ^ {2}} 2+ {x ^ {0}} 1 \ right) = {x ^ {0}} 5}$

Arithmetica es una colección de unos 150 problemas resueltos con números específicos y no hay desarrollo postulacional ni se explica explícitamente un método general, aunque puede que se haya pretendido generalizar el método y no se intenta encontrar todas las soluciones a las ecuaciones. Arithmetica contiene problemas resueltos que involucran varias cantidades desconocidas, que se resuelven, si es posible, expresando las cantidades desconocidas en términos de solo una de ellas. Arithmetica también hace uso de las identidades:

${\ Displaystyle (a ^ {2} + b ^ {2}) (c ^ {2} + d ^ {2})}$	${\ Displaystyle = (ac + db) ^ {2} + (bc-ad) ^ {2}}$
	${\ Displaystyle = (ad + bc) ^ {2} + (ac-bd) ^ {2}}$

India

Los matemáticos indios estaban activos en el estudio de los sistemas numéricos. Los primeros documentos matemáticos indios conocidos datan de alrededor de mediados del primer milenio antes de Cristo (alrededor del siglo VI a. C.).

Los temas recurrentes en las matemáticas indias son, entre otros, ecuaciones lineales y cuadráticas determinadas e indeterminadas, medición simple y triples pitagóricas.

Aryabhata

Aryabhata (476-550) fue un matemático indio autor de Aryabhatiya . En él dio las reglas,

${\ Displaystyle 1 ^ {2} + 2 ^ {2} + \ cdots + n ^ {2} = {n (n + 1) (2n + 1) \ over 6}}$

y

${\ Displaystyle 1 ^ {3} + 2 ^ {3} + \ cdots + n ^ {3} = (1 + 2 + \ cdots + n) ^ {2}}$

Brahma Sphuta Siddhanta

Brahmagupta (fl. 628) fue un matemático indio que fue el autor de Brahma Sphuta Siddhanta . En su trabajo, Brahmagupta resuelve la ecuación cuadrática general para raíces tanto positivas como negativas. En un análisis indeterminado, Brahmagupta da las tríadas pitagóricas, pero esta es una forma modificada de una antigua regla babilónica con la que Brahmagupta puede haber estado familiarizado. Fue el primero en dar una solución general a la ecuación diofántica lineal donde y son números enteros . A diferencia de Diofanto, que solo dio una solución a una ecuación indeterminada, Brahmagupta dio todas las soluciones enteras; pero que Brahmagupta usó algunos de los mismos ejemplos que Diofanto ha llevado a algunos historiadores a considerar la posibilidad de una influencia griega en la obra de Brahmagupta, o al menos una fuente babilónica común. ${\ Displaystyle m, {\ frac {1} {2}} \ left ({m ^ {2} \ over n} -n \ right),}$ ${\ Displaystyle {\ frac {1} {2}} \ left ({m ^ {2} \ over n} + n \ right),}$${\ Displaystyle ax + by = c,}$${\ Displaystyle a, b,}$${\ Displaystyle c}$

Como el álgebra de Diofanto, el álgebra de Brahmagupta estaba sincopado. La suma se indicó colocando los números uno al lado del otro, la resta colocando un punto sobre el sustraendo y la división colocando el divisor debajo del dividendo, similar a nuestra notación moderna pero sin la barra. La multiplicación, la evolución y las cantidades desconocidas se representaron mediante abreviaturas de términos apropiados. Se desconoce el alcance de la influencia griega en esta síncopa, si la hay, y es posible que tanto la síncopa griega como la india se deriven de una fuente babilónica común.

Bhāskara II

Bhāskara II (1114 - c. 1185) fue el principal matemático del siglo XII. En Álgebra, dio la solución general de la ecuación de Pell . Es el autor de Lilavati y Vija-Ganita , que contienen problemas relacionados con ecuaciones lineales y cuadráticas determinadas e indeterminadas, y triples pitagóricas y no distingue entre enunciados exactos y aproximados. Muchos de los problemas en Lilavati y Vija-Ganita se derivan de otras fuentes hindúes, por lo que Bhaskara está en su mejor momento al tratar con análisis indeterminados.

Bhaskara usa los símbolos iniciales de los nombres de los colores como símbolos de variables desconocidas. Entonces, por ejemplo, lo que escribiríamos hoy como

${\ Displaystyle (-x-1) + (2x-8) = x-9}$

Bhaskara habría escrito como

. _ .

ya 1 ru 1

.

ya 2 ru 8

.

Sum ya 1 ru 9

donde ya indica la primera sílaba de la palabra negra , y ru se toma de la palabra especie . Los puntos sobre los números indican resta.

Mundo islámico

El primer siglo del Imperio Árabe Islámico no vio casi ningún logro científico o matemático ya que los árabes, con su imperio recién conquistado, aún no habían ganado ningún impulso intelectual y la investigación en otras partes del mundo se había desvanecido. En la segunda mitad del siglo VIII, el Islam tuvo un despertar cultural y aumentó la investigación en matemáticas y ciencias. Se dice que el califa musulmán abasí al-Mamun (809-833) tuvo un sueño en el que se le apareció Aristóteles y, como consecuencia, al-Mamun ordenó que se tradujera al árabe tantas obras griegas como fuera posible, incluida la Almagesto de Ptolomeo y Elementos de Euclides . Las obras griegas serían entregadas a los musulmanes por el Imperio bizantino a cambio de tratados, ya que los dos imperios mantenían una paz incómoda. Muchas de estas obras griegas fueron traducidas por Thabit ibn Qurra (826–901), quien tradujo libros escritos por Euclides, Arquímedes, Apolonio, Ptolomeo y Eutocio.

Los matemáticos árabes establecieron el álgebra como una disciplina independiente y le dieron el nombre de "álgebra" ( al-jabr ). Fueron los primeros en enseñar álgebra en forma elemental y por sí misma. Hay tres teorías sobre los orígenes del álgebra árabe. El primero enfatiza la influencia hindú, el segundo enfatiza la influencia mesopotámica o persa-siríaca y el tercero enfatiza la influencia griega. Muchos estudiosos creen que es el resultado de una combinación de las tres fuentes.

A lo largo de su tiempo en el poder, los árabes utilizaron un álgebra completamente retórica, donde a menudo incluso los números se deletreaban con palabras. Los árabes eventualmente reemplazarían los números escritos (por ejemplo, veintidós) con números arábigos (por ejemplo, 22), pero los árabes no adoptaron ni desarrollaron un álgebra sincopada o simbólica hasta el trabajo de Ibn al-Banna , quien desarrolló un álgebra simbólica en el siglo XIII, seguido por Abū al-Hasan ibn Alī al-Qalasādī en el siglo XV.

Al-jabr wa'l muqabalah

El matemático persa musulmán Muhammad ibn Mūsā al-Khwārizmī era miembro de la facultad de la " Casa de la Sabiduría " ( Bait al-Hikma ) en Bagdad, que fue establecida por Al-Mamun. Al-Khwarizmi, quien murió alrededor del 850 EC, escribió más de media docena de trabajos matemáticos y astronómicos , algunos de los cuales se basaron en el indio Sindhind . Uno de los libros más famosos de al-Khwarizmi se titula Al-jabr wa'l muqabalah o The Compendious Book on Calculation by Completion and Balancing , y ofrece una descripción exhaustiva de la resolución de polinomios hasta el segundo grado . El libro también introdujo el concepto fundamental de " reducción " y "equilibrio", refiriéndose a la transposición de términos restados al otro lado de una ecuación, es decir, la cancelación de términos similares en lados opuestos de la ecuación. Esta es la operación que Al-Khwarizmi describió originalmente como al-jabr . El nombre "álgebra" proviene del " al-jabr " en el título de su libro.

R. Rashed y Angela Armstrong escriben:

"El texto de Al-Khwarizmi puede verse como distinto no sólo de las tablillas babilónicas , sino también de la Arithmetica de Diofanto . Ya no se refiere a una serie de problemas por resolver, sino a una exposición que comienza con términos primitivos en los que las combinaciones deben dar todos los prototipos posibles de ecuaciones, que en adelante constituyen explícitamente el verdadero objeto de estudio. Por otra parte, la idea de una ecuación por sí misma aparece desde el principio y, se podría decir, de manera genérica, en la medida en que no surge simplemente en el curso de la resolución de un problema, sino que se le pide específicamente que defina una clase infinita de problemas ".

Al-Jabr está dividido en seis capítulos, cada uno de los cuales trata de un tipo diferente de fórmula. El primer capítulo de Al-Jabr trata sobre ecuaciones cuyos cuadrados son iguales a sus raíces el segundo capítulo trata sobre cuadrados iguales a un número el tercer capítulo trata sobre raíces iguales a un número el cuarto capítulo trata sobre cuadrados y raíces iguales a un número el quinto capítulo trata sobre cuadrados y números iguales a raíces y el sexto y último capítulo trata de raíces y números iguales a cuadrados${\ Displaystyle \ left (ax ^ {2} = bx \ right),}$${\ Displaystyle \ left (ax ^ {2} = c \ right),}$${\ Displaystyle \ left (bx = c \ right),}$${\ Displaystyle \ left (ax ^ {2} + bx = c \ right),}$${\ Displaystyle \ left (ax ^ {2} + c = bx \ right),}$${\ Displaystyle \ left (bx + c = ax ^ {2} \ right).}$

En Al-Jabr , al-Khwarizmi usa pruebas geométricas, no reconoce la raíz y solo se ocupa de las raíces positivas. También reconoce que el discriminante debe ser positivo y describió el método de completar el cuadrado , aunque no justifica el procedimiento. La influencia griega se muestra en los cimientos geométricos de Al-Jabr y en un problema tomado de Heron. Hace uso de diagramas con letras, pero todos los coeficientes en todas sus ecuaciones son números específicos ya que no tenía forma de expresar con parámetros lo que podía expresar geométricamente; aunque se pretende la generalidad del método. ${\ Displaystyle x = 0,}$

Lo más probable es que Al-Khwarizmi no conociera la Arithmetica de Diofanto , que los árabes conocieron en algún momento antes del siglo X. Y aunque es muy probable que al-Khwarizmi supiera del trabajo de Brahmagupta, Al-Jabr es completamente retórico y los números incluso se deletrean con palabras. Entonces, por ejemplo, lo que escribiríamos como

${\ displaystyle x ^ {2} + 10x = 39}$

Diofanto habría escrito como

${\ Displaystyle \ Delta ^ {\ Upsilon} {\ overline {\ alpha}} \ varsigma {\ overline {\ iota}} \, \;}$ἴ${\ Displaystyle \ sigma \; \, \ mathrm {M} \ lambda {\ overline {\ theta}}}$

Y al-Khwarizmi habría escrito como

Un cuadrado y diez raíces de la misma cantidad equivalen a treinta y nueve dirhems ; es decir, ¿cuál debe ser el cuadrado que, aumentado por diez de sus propias raíces, asciende a treinta y nueve?

Necesidades lógicas en ecuaciones mixtas

'Abd al-Hamīd ibn Turk es el autor de un manuscrito titulado Necesidades lógicas en ecuaciones mixtas , que es muy similar al Al-Jabr de al-Khwarzimi y se publicó aproximadamente al mismo tiempo, o incluso posiblemente antes, que Al-Jabr . El manuscrito da exactamente la misma demostración geométrica que se encuentra en Al-Jabr , y en un caso el mismo ejemplo que se encuentra en Al-Jabr , e incluso va más allá de Al-Jabr al dar una prueba geométrica de que si el discriminante es negativo, entonces el La ecuación cuadrática no tiene solución. La similitud entre estas dos obras ha llevado a algunos historiadores a concluir que el álgebra árabe puede haber sido bien desarrollada en la época de al-Khwarizmi y 'Abd al-Hamid.

Abu Kamil y al-Karkhi

Los matemáticos árabes trataron los números irracionales como objetos algebraicos. El matemático egipcio Abū Kāmil Shujā ibn Aslam (c. 850–930) fue el primero en aceptar números irracionales (a menudo en forma de raíz cuadrada , raíz cúbica o cuarta raíz ) como soluciones a ecuaciones cuadráticas o como coeficientes en una ecuación. También fue el primero en resolver tres ecuaciones simultáneas no lineales con tres variables desconocidas .

Al-Karkhi (953-1029), también conocido como Al-Karaji, fue el sucesor de Abū al-Wafā 'al-Būzjānī (940-998) y descubrió la primera solución numérica a las ecuaciones de la forma que Al-Karkhi solo considera raíces positivas. Al-Karkhi también es considerado como la primera persona en liberar el álgebra de las operaciones geométricas y reemplazarlas con el tipo de operaciones aritméticas que son el núcleo del álgebra actual. Su trabajo sobre álgebra y polinomios dio las reglas para las operaciones aritméticas para manipular polinomios. El historiador de las matemáticas F. Woepcke, en Extrait du Fakhri, traité d'Algèbre par Abou Bekr Mohammed Ben Alhacan Alkarkhi ( París , 1853), elogió a Al-Karaji por ser "el primero que introdujo la teoría del cálculo algebraico". A partir de esto, Al-Karaji investigó los coeficientes binomiales y el triángulo de Pascal . ${\ Displaystyle ax ^ {2n} + bx ^ {n} = c.}$

Omar Khayyám, Sharaf al-Dīn y al-Kashi

Omar Khayyám (c. 1050-1123) escribió un libro sobre álgebra que fue más allá de Al-Jabr para incluir ecuaciones de tercer grado. Omar Khayyám proporcionó soluciones aritméticas y geométricas para ecuaciones cuadráticas, pero solo dio soluciones geométricas para ecuaciones cúbicas generales , ya que creía erróneamente que las soluciones aritméticas eran imposibles. Menaechmus , Arquímedes e Ibn al-Haytham (Alhazen) habían utilizado su método para resolver ecuaciones cúbicas mediante el uso de cónicas que se cruzan , pero Omar Khayyám generalizó el método para cubrir todas las ecuaciones cúbicas con raíces positivas. Solo consideró raíces positivas y no pasó del tercer grado. También vio una fuerte relación entre la geometría y el álgebra.

En el siglo XII, Sharaf al-Dīn al-Tūsī (1135-1213) escribió el Al-Mu'adalat ( Tratado de ecuaciones ), que trataba de ocho tipos de ecuaciones cúbicas con soluciones positivas y cinco tipos de ecuaciones cúbicas que no pueden tener soluciones positivas. Usó lo que más tarde se conocería como el " método Ruffini - Horner " para aproximar numéricamente la raíz de una ecuación cúbica. También desarrolló los conceptos de máximos y mínimos de curvas para resolver ecuaciones cúbicas que pueden no tener soluciones positivas. Entendió la importancia del discriminante de la ecuación cúbica y usó una versión temprana de la fórmula de Cardano para encontrar soluciones algebraicas para ciertos tipos de ecuaciones cúbicas. Algunos eruditos, como Roshdi Rashed, argumentan que Sharaf al-Din descubrió la derivada de polinomios cúbicos y se dio cuenta de su significado, mientras que otros eruditos conectan su solución con las ideas de Euclides y Arquímedes.

Sharaf al-Din también desarrolló el concepto de función . En su análisis de la ecuación, por ejemplo, comienza cambiando la forma de la ecuación a . Luego afirma que la cuestión de si la ecuación tiene una solución depende de si la "función" del lado izquierdo alcanza el valor o no . Para determinar esto, encuentra un valor máximo para la función. Demuestra que el valor máximo ocurre cuando , lo que da el valor funcional . Sharaf al-Din luego afirma que si este valor es menor que , no hay soluciones positivas; si es igual a , entonces hay una solución en ; y si es mayor que , entonces hay dos soluciones, una entre y y otra entre y . ${\ Displaystyle x ^ {3} + d = bx ^ {2}}$${\ Displaystyle x ^ {2} (bx) = d}$${\ Displaystyle d}$${\ Displaystyle x = {\ frac {2b} {3}}}$${\ Displaystyle {\ frac {4b ^ {3}} {27}}}$${\ Displaystyle d}$${\ Displaystyle d}$${\ Displaystyle x = {\ frac {2b} {3}}}$${\ Displaystyle d}$${\ Displaystyle 0}$${\ Displaystyle {\ frac {2b} {3}}}$${\ Displaystyle {\ frac {2b} {3}}}$${\ Displaystyle b}$

A principios del siglo XV, Jamshīd al-Kāshī desarrolló una forma temprana del método de Newton para resolver numéricamente la ecuación para encontrar raíces . Al-Kāshī también desarrolló fracciones decimales y afirmó haberlas descubierto él mismo. Sin embargo, J. Lennart Berggrenn señala que estaba equivocado, ya que las fracciones decimales fueron utilizadas por primera vez cinco siglos antes que él por el matemático de Bagdadi Abu'l-Hasan al-Uqlidisi ya en el siglo X. ${\ Displaystyle x ^ {P} -N = 0}$${\ Displaystyle N}$

Al-Hassār, Ibn al-Banna y al-Qalasadi

Al-Hassār , un matemático de Marruecos especializado en jurisprudencia de herencia islámica durante el siglo XII, desarrolló la notación matemática simbólica moderna para fracciones , donde el numerador y el denominador están separados por una barra horizontal. Esta misma notación fraccionaria apareció poco después en la obra de Fibonacci en el siglo XIII.

Abū al-Hasan ibn Alī al-Qalasādī (1412-1486) fue el último gran algebrista árabe medieval , quien hizo el primer intento de crear una notación algebraica desde Ibn al-Banna dos siglos antes, quien fue él mismo el primero en hacer tal intento desde Diofanto y Brahmagupta en la antigüedad. Sin embargo, las notaciones sincopadas de sus predecesores carecían de símbolos para operaciones matemáticas . Al-Qalasadi "dio los primeros pasos hacia la introducción del simbolismo algebraico al usar letras en lugar de números" y al "usar palabras árabes breves, o simplemente sus letras iniciales, como símbolos matemáticos".

Europa y la región mediterránea

Así como la muerte de Hipatia señala el cierre de la Biblioteca de Alejandría como centro matemático, la muerte de Boecio señala el fin de las matemáticas en el Imperio Romano Occidental . Aunque se estaban realizando algunos trabajos en Atenas , estos llegaron a su fin cuando en 529 el emperador bizantino Justiniano cerró las escuelas filosóficas paganas . Ahora se considera que el año 529 es el comienzo del período medieval. Los eruditos huyeron de Occidente hacia el Oriente más hospitalario, particularmente hacia Persia , donde encontraron refugio bajo el rey Cosroes y establecieron lo que podría denominarse una "Academia ateniense en el exilio". En virtud de un tratado con Justiniano, Cosroes finalmente devolvería a los eruditos al Imperio de Oriente . Durante la Edad Media, las matemáticas europeas estaban en su punto más bajo con la investigación matemática que consistía principalmente en comentarios sobre tratados antiguos; y la mayor parte de esta investigación se centró en el Imperio Bizantino . El final del período medieval se establece como la caída de Constantinopla ante los turcos en 1453.

Baja Edad Media

El siglo XII vio una avalancha de traducciones del árabe al latín y, para el siglo XIII, las matemáticas europeas comenzaban a rivalizar con las matemáticas de otras tierras. En el siglo XIII, la solución de una ecuación cúbica de Fibonacci es representativa del comienzo de un renacimiento del álgebra europea.

A medida que el mundo islámico declinaba después del siglo XV, el mundo europeo ascendía. Y es aquí donde se desarrolló aún más el álgebra.

Álgebra simbólica

La notación moderna para operaciones aritméticas fue introducida entre finales del siglo XV y principios del siglo XVI por Johannes Widmann y Michael Stifel . A finales del siglo XVI, François Viète introdujo símbolos, ahora llamados variables , para representar números indeterminados o desconocidos. Esto creó un nuevo álgebra que consiste en calcular con expresiones simbólicas como si fueran números.

Otro evento clave en el desarrollo posterior del álgebra fue la solución algebraica general de las ecuaciones cúbica y cuártica , desarrollada a mediados del siglo XVI. La idea de un determinante fue desarrollada por el matemático japonés Kowa Seki en el siglo XVII, seguido por Gottfried Leibniz diez años después, con el propósito de resolver sistemas de ecuaciones lineales simultáneas utilizando matrices . Gabriel Cramer también hizo algunos trabajos sobre matrices y determinantes en el siglo XVIII.

El símbolo x

Por tradición, la primera variable desconocida en un problema algebraico hoy en día está representada por el símbolo y si hay una segunda o una tercera incógnita, entonces se etiquetan y respectivamente. El algebraico se imprime convencionalmente en cursiva para distinguirlo del signo de la multiplicación. ${\ Displaystyle {\ mathit {x}}}$${\ Displaystyle {\ mathit {y}}}$${\ Displaystyle {\ mathit {z}}}$${\ Displaystyle x}$

Los historiadores de las matemáticas generalmente están de acuerdo en que el uso de en álgebra fue introducido por René Descartes y publicado por primera vez en su tratado La Géométrie (1637). En ese trabajo, usó letras del principio del alfabeto para cantidades conocidas y letras del final del alfabeto para las incógnitas. Se ha sugerido que más tarde se decidió por (en lugar de ) la primera incógnita debido a su abundancia relativamente mayor en las fuentes tipográficas francesas y latinas de la época. ${\ Displaystyle x}$${\ Displaystyle (a, b, c, \ ldots)}$${\ Displaystyle (z, y, x, \ ldots)}$${\ Displaystyle x}$${\ Displaystyle z}$

En el siglo XIX se sugirieron tres teorías alternativas sobre el origen del algebraico : (1) un símbolo utilizado por los algebristas alemanes y que se cree que se deriva de una letra cursiva que se confunde con ; (2) el número 1 con tachado oblicuo ; y (3) una fuente árabe / española (ver más abajo). Pero el historiador suizo-estadounidense de las matemáticas Florian Cajori las examinó y encontró que las tres carecían de evidencia concreta; Cajori acreditó a Descartes como el creador, y describió a él y como "libre de la tradición [,] y su elección puramente arbitraria". ${\ Displaystyle x}$${\ Displaystyle r,}$${\ Displaystyle x}$${\ Displaystyle x, y,}$${\ Displaystyle z}$

Sin embargo, la hipótesis hispanoárabe sigue estando presente en la cultura popular en la actualidad. Es la afirmación de que algebraico es la abreviatura de una supuesta palabra prestada del árabe en español antiguo. La teoría se originó en 1884 con el orientalista alemán Paul de Lagarde , poco después de que publicara su edición de un glosario bilingüe español / árabe de 1505 en el que el español cosa ("cosa") se emparejaba con su equivalente árabe, شىء ( shay ^ʔ ), transcrito como xei . (El sonido "sh" en español antiguo se deletreaba habitualmente ) Evidentemente, Lagarde sabía que los matemáticos árabes, en la etapa "retórica" ​​del desarrollo del álgebra, a menudo usaban esa palabra para representar la cantidad desconocida. Supuso que "nada podría ser más natural" ("Nichts war also natürlicher ...") que la inicial de la palabra árabe, romanizada como el español antiguo, para ser adoptada para su uso en álgebra. Un lector posterior reinterpretó la conjetura de Lagarde como si hubiera "probado" el punto. Lagarde no sabía que los primeros matemáticos españoles usaban, no una transcripción de la palabra árabe, sino su traducción en su propio idioma, "cosa". No hay ningún ejemplo de xei o formas similares en varios vocabularios históricos compilados del español. ${\ Displaystyle x}$ ${\ Displaystyle x.}$${\ Displaystyle x}$

Gottfried Leibniz

Aunque la noción matemática de función estaba implícita en las tablas trigonométricas y logarítmicas , que existían en su época, Gottfried Leibniz fue el primero, en 1692 y 1694, en emplearla explícitamente, para denotar cualquiera de varios conceptos geométricos derivados de una curva, como abscisa , ordenada , tangente , acorde y la perpendicular . En el siglo XVIII, la "función" perdió estas asociaciones geométricas.

Leibniz se dio cuenta de que los coeficientes de un sistema de ecuaciones lineales podrían organizarse en una matriz, ahora llamada matriz , que puede manipularse para encontrar la solución del sistema, si la hubiera. Este método se denominó posteriormente eliminación gaussiana . Leibniz también descubrió el álgebra booleana y la lógica simbólica , también relevantes para el álgebra.

Álgebra abstracta

La capacidad de hacer álgebra es una habilidad que se cultiva en la educación matemática . Como explica Andrew Warwick, los estudiantes de la Universidad de Cambridge a principios del siglo XIX practicaban "matemáticas mixtas", realizando ejercicios basados ​​en variables físicas como el espacio, el tiempo y el peso. Con el tiempo, la asociación de variables con cantidades físicas se desvaneció a medida que crecía la técnica matemática. Finalmente, las matemáticas se interesaron completamente por polinomios abstractos , números complejos , números hipercomplejos y otros conceptos. La aplicación a situaciones físicas se denominó entonces matemáticas aplicadas o física matemática , y el campo de las matemáticas se expandió para incluir el álgebra abstracta . Por ejemplo, la cuestión de los números construibles mostró algunas limitaciones matemáticas y se desarrolló el campo de la teoría de Galois .

El padre del álgebra

El título de "el padre del álgebra" se atribuye con frecuencia al matemático persa Al-Khwarizmi , apoyado por historiadores de las matemáticas , como Carl Benjamin Boyer , Solomon Gandz y Bartel Leendert van der Waerden . Sin embargo, el punto es discutible y el título a veces se atribuye al matemático helenístico Diofanto . Aquellos que apoyan a Diofanto señalan que el álgebra que se encuentra en Al-Jabr es más elemental que el álgebra que se encuentra en Arithmetica , y que Arithmetica está sincopado mientras que Al-Jabr es completamente retórico. Sin embargo, el historiador de las matemáticas Kurt Vogel argumenta en contra de que Diofanto tuviera este título, ya que sus matemáticas no eran mucho más algebraicas que las de los antiguos babilonios .

Quienes apoyan a Al-Khwarizmi señalan el hecho de que dio una explicación exhaustiva de la solución algebraica de ecuaciones cuadráticas con raíces positivas, y fue el primero en enseñar álgebra en una forma elemental y por sí misma, mientras que Diofanto se ocupó principalmente de la teoría de los números . Al-Khwarizmi también introdujo el concepto fundamental de "reducción" y "equilibrio" (al que originalmente utilizó el término al-jabr para referirse), refiriéndose a la transposición de términos restados al otro lado de una ecuación, es decir, el cancelación de términos semejantes en lados opuestos de la ecuación. Otros partidarios de Al-Khwarizmi señalan que su álgebra ya no se ocupa "de una serie de problemas por resolver, sino de una exposición que comienza con términos primitivos en los que las combinaciones deben dar todos los prototipos posibles de ecuaciones, que de ahora en adelante constituyen explícitamente el verdadero objeto de estudio ". También señalan su tratamiento de una ecuación por sí misma y "de manera genérica, en la medida en que no surge simplemente en el curso de la resolución de un problema, sino que se le pide específicamente que defina una clase infinita de problemas". Victor J. Katz considera que Al-Jabr es el primer texto verdadero de álgebra que aún existe.

Ver también

• Al-Mansur  - Segundo califa abasí (r. 754–775)
• Cronología del álgebra  : eventos notables en la historia del álgebra

Referencias

Fuentes

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enlaces externos

• "Comentario del jeque islámico Zakariyya al-Ansari sobre el poema de Ibn al-Hā'im sobre la ciencia del álgebra y el equilibrio llamado la epifanía del creador al explicar lo convincente" que presenta los conceptos básicos del álgebra que se remontan al siglo XV, de World Digital Biblioteca .