Álgebra elemental - Elementary algebra

El álgebra elemental engloba algunos de los conceptos básicos del álgebra , una de las principales ramas de las matemáticas . Por lo general, se enseña a estudiantes de secundaria y se basa en su comprensión de la aritmética . Mientras que la aritmética se ocupa de números específicos , el álgebra introduce cantidades sin valores fijos, conocidas como variables . Este uso de variables implica el uso de notación algebraica y la comprensión de las reglas generales de las operaciones introducidas en aritmética. A diferencia del álgebra abstracta , el álgebra elemental no se ocupa de estructuras algebraicas fuera del ámbito de los números reales y complejos .

El uso de variables para denotar cantidades permite que las relaciones generales entre cantidades se expresen de manera formal y concisa y, por lo tanto, permite resolver una gama más amplia de problemas. Muchas relaciones cuantitativas en ciencias y matemáticas se expresan como ecuaciones algebraicas .

Notación algebraica

La notación algebraica describe las reglas y convenciones para escribir expresiones matemáticas , así como la terminología utilizada para hablar sobre partes de expresiones. Por ejemplo, la expresión tiene los siguientes componentes: ${\ Displaystyle 3x ^ {2} -2xy + c}$

Un coeficiente es un valor numérico, o letra que representa una constante numérica, que multiplica una variable (se omite el operador). Un término es un sumando o sumando , un grupo de coeficientes, variables, constantes y exponentes que pueden estar separados de los otros términos por los operadores más y menos. Las letras representan variables y constantes. Por convención, letras al principio del alfabeto (por ejemplo ) se utilizan típicamente para representar constantes , y los que hacia el final del alfabeto (por ejemplo, y z ) se utilizan para representar las variables . Suelen estar escritos en cursiva. ${\ Displaystyle a, b, c}$${\ Displaystyle x, y}$

Las operaciones algebraicas funcionan de la misma manera que las operaciones aritméticas , como suma , resta , multiplicación , división y exponenciación . y se aplican a variables y términos algebraicos. Los símbolos de multiplicación generalmente se omiten y están implícitos cuando no hay espacio entre dos variables o términos, o cuando se usa un coeficiente . Por ejemplo, se escribe como y se puede escribir . ${\ Displaystyle 3 \ times x ^ {2}}$${\ Displaystyle 3x ^ {2}}$${\ Displaystyle 2 \ times x \ times y}$${\ displaystyle 2xy}$

Por lo general, los términos con la mayor potencia ( exponente ), se escriben a la izquierda, por ejemplo, se escriben a la izquierda de x . Cuando un coeficiente es uno, generalmente se omite (por ejemplo, está escrito ). Del mismo modo, cuando el exponente (potencia) es uno (por ejemplo, está escrito ). Cuando el exponente es cero, el resultado es siempre 1 (por ejemplo, siempre se reescribe a 1 ). Sin embargo , al ser indefinido, no debe aparecer en una expresión, y se debe tener cuidado al simplificar expresiones en las que las variables pueden aparecer en exponentes. ${\ Displaystyle x ^ {2}}$${\ Displaystyle 1x ^ {2}}$${\ Displaystyle x ^ {2}}$${\ Displaystyle 3x ^ {1}}$${\ Displaystyle 3x}$${\ Displaystyle x ^ {0}}$${\ Displaystyle 0 ^ {0}}$

Notación alternativa

Se utilizan otros tipos de notación en expresiones algebraicas cuando el formato requerido no está disponible o no puede estar implícito, como cuando solo están disponibles letras y símbolos. Como ilustración de esto, mientras que los exponentes generalmente se formatean con superíndices, por ejemplo, en texto sin formato y en el lenguaje de marcado TeX , el símbolo de intercalación "^" representa exponenciación, por lo que se escribe como "x ^ 2"., así como algunos lenguajes de programación como Lua. En lenguajes de programación como Ada , Fortran , Perl , Python y Ruby , se usa un asterisco doble, por lo que se escribe como "x ** 2". Muchos lenguajes de programación y calculadoras usan un solo asterisco para representar el símbolo de multiplicación, y debe usarse explícitamente, por ejemplo, se escribe "3 * x". ${\ Displaystyle x ^ {2}}$${\ Displaystyle x ^ {2}}$${\ Displaystyle x ^ {2}}$${\ Displaystyle 3x}$

Conceptos

Variables

El álgebra elemental se basa y amplía la aritmética al introducir letras llamadas variables para representar números generales (no especificados). Esto es útil por varias razones.

1. Las variables pueden representar números cuyos valores aún no se conocen . Por ejemplo, si la temperatura del día actual, C, es 20 grados más alta que la temperatura del día anterior, P, entonces el problema se puede describir algebraicamente como .${\ Displaystyle C = P + 20}$
2. Las variables permiten describir problemas generales , sin especificar los valores de las cantidades involucradas. Por ejemplo, se puede afirmar específicamente que 5 minutos equivalen a segundos. Una descripción más general (algebraica) puede indicar que el número de segundos , donde m es el número de minutos.${\ Displaystyle 60 \ times 5 = 300}$${\ Displaystyle s = 60 \ times m}$
3. Las variables permiten describir relaciones matemáticas entre cantidades que pueden variar. Por ejemplo, la relación entre la circunferencia, c , y el diámetro, d , de un círculo se describe mediante .${\ Displaystyle \ pi = c / d}$
4. Las variables permiten describir algunas propiedades matemáticas. Por ejemplo, una propiedad básica de la suma es la conmutatividad, que establece que el orden de la suma de los números no importa. La conmutatividad se expresa algebraicamente como .${\ Displaystyle (a + b) = (b + a)}$

Simplificando expresiones

Las expresiones algebraicas se pueden evaluar y simplificar, basándose en las propiedades básicas de las operaciones aritméticas ( suma , resta , multiplicación , división y exponenciación ). Por ejemplo,

• Los términos agregados se simplifican mediante coeficientes. Por ejemplo, se puede simplificar como (donde 3 es un coeficiente numérico).${\ Displaystyle x + x + x}$${\ Displaystyle 3x}$
• Los términos multiplicados se simplifican usando exponentes. Por ejemplo, se representa como${\ Displaystyle x \ times x \ times x}$${\ Displaystyle x ^ {3}}$
• Los términos semejantes se suman, por ejemplo, se escribe como , porque los términos que contienen se suman y los términos que contienen se suman.${\ Displaystyle 2x ^ {2} + 3ab-x ^ {2} + ab}$${\ Displaystyle x ^ {2} + 4ab}$${\ Displaystyle x ^ {2}}$${\ displaystyle ab}$
• Los corchetes se pueden "multiplicar", utilizando la propiedad distributiva . Por ejemplo, se puede escribir como que se puede escribir como${\ Displaystyle x (2x + 3)}$${\ Displaystyle (x \ times 2x) + (x \ times 3)}$${\ Displaystyle 2x ^ {2} + 3x}$
• Las expresiones se pueden factorizar. Por ejemplo, al dividir ambos términos por se puede escribir como${\ Displaystyle 6x ^ {5} + 3x ^ {2}}$${\ Displaystyle 3x ^ {2}}$${\ Displaystyle 3x ^ {2} (2x ^ {3} +1)}$

Ecuaciones

Una ecuación establece que dos expresiones son iguales usando el símbolo de igualdad, = (el signo de igual ). Una de las más conocidas ecuaciones describe la ley de Pitágoras que relaciona la longitud de los lados de un ángulo recto del triángulo:

${\ Displaystyle c ^ {2} = a ^ {2} + b ^ {2}}$

Esta ecuación establece que , lo que representa el cuadrado de la longitud del lado que es la hipotenusa, el lado opuesto al ángulo recto, es igual a la suma (adición) de los cuadrados de los otros dos lados cuyas longitudes están representados por una y b . ${\ Displaystyle c ^ {2}}$

Una ecuación es la afirmación de que dos expresiones tienen el mismo valor y son iguales. Algunas ecuaciones son verdaderas para todos los valores de las variables involucradas (como ); tales ecuaciones se llaman identidades . Las ecuaciones condicionales son verdaderas solo para algunos valores de las variables involucradas, por ejemplo, es verdadera solo para y . Los valores de las variables que hacen que la ecuación sea verdadera son las soluciones de la ecuación y se pueden encontrar mediante la resolución de ecuaciones . ${\ Displaystyle a + b = b + a}$${\ displaystyle x ^ {2} -1 = 8}$${\ Displaystyle x = 3}$${\ Displaystyle x = -3}$

Otro tipo de ecuación es la desigualdad. Las desigualdades se utilizan para mostrar que un lado de la ecuación es mayor o menor que el otro. Los símbolos utilizados para esto son: donde representa 'mayor que' y donde representa 'menor que'. Al igual que las ecuaciones de igualdad estándar, los números se pueden sumar, restar, multiplicar o dividir. La única excepción es que al multiplicar o dividir por un número negativo, el símbolo de desigualdad debe invertirse. ${\ Displaystyle a> b}$${\ Displaystyle>}$${\ Displaystyle a <b}$${\ Displaystyle <}$

Propiedades de la igualdad

Por definición, la igualdad es una relación de equivalencia , lo que significa que tiene las propiedades (a) reflexiva (es decir ), (b) simétrica (es decir, si entonces ) (c) transitiva (es decir, si y luego ). También satisface la importante propiedad de que si dos símbolos se usan para cosas iguales, entonces un símbolo puede sustituirse por el otro en cualquier declaración verdadera sobre el primero y la declaración seguirá siendo verdadera. Esto implica las siguientes propiedades: ${\ Displaystyle b = b}$${\ Displaystyle a = b}$${\ Displaystyle b = a}$${\ Displaystyle a = b}$${\ Displaystyle b = c}$${\ Displaystyle a = c}$

• si y luego y ;${\ Displaystyle a = b}$${\ Displaystyle c = d}$${\ Displaystyle a + c = b + d}$${\ Displaystyle ac = bd}$
• si entonces y ;${\ Displaystyle a = b}$${\ Displaystyle a + c = b + c}$${\ Displaystyle ac = bc}$
• más generalmente, para cualquier función f , si entonces .${\ Displaystyle a = b}$${\ Displaystyle f (a) = f (b)}$

Propiedades de la desigualdad

Las relaciones menor que y mayor que tienen la propiedad de transitividad: ${\ Displaystyle <}$${\ Displaystyle>}$

• Si     y     luego   ;${\ Displaystyle a <b}$${\ Displaystyle b <c}$${\ Displaystyle a <c}$
• Si     y     luego   ;${\ Displaystyle a <b}$${\ Displaystyle c <d}$${\ Displaystyle a + c <b + d}$
• Si     y     luego   ;${\ Displaystyle a <b}$${\ Displaystyle c> 0}$${\ Displaystyle ac <bc}$
• Si     y     luego   .${\ Displaystyle a <b}$${\ Displaystyle c <0}$${\ Displaystyle bc <ac}$

Al invertir la inecuación, y se puede intercambiar, por ejemplo: ${\ Displaystyle <}$${\ Displaystyle>}$

• ${\ Displaystyle a <b}$ es equivalente a ${\ Displaystyle b> a}$

Sustitución

La sustitución es reemplazar los términos en una expresión para crear una nueva expresión. Sustituyendo 3 por a en la expresión a * 5 se obtiene una nueva expresión 3 * 5 con significado 15 . Sustituir los términos de una declaración genera una nueva declaración. Cuando el enunciado original es verdadero independientemente de los valores de los términos, el enunciado creado por sustituciones también es verdadero. Por lo tanto, las definiciones pueden hacerse en términos simbólicos e interpretarse mediante sustitución: si se entiende como la definición de como el producto de a con sí mismo, la sustitución de 3 por a informa al lector de esta afirmación que significa 3 × 3 = 9 . A menudo, no se sabe si la afirmación es verdadera independientemente de los valores de los términos. Y la sustitución permite derivar restricciones sobre los valores posibles, o mostrar en qué condiciones se cumple el enunciado. Por ejemplo, tomando el enunciado x + 1 = 0 , si x se sustituye por 1 , esto implica 1 + 1 = 2 = 0 , lo cual es falso, lo que implica que si x + 1 = 0 entonces x no puede ser 1 . ${\ Displaystyle a ^ {2}: = a \ times a}$${\ Displaystyle a ^ {2},}$${\ Displaystyle 3 ^ {2}}$

Si x e y son números enteros , racionales , o números reales , entonces xy = 0 implica x = 0 o y = 0 . Considere abc = 0 . Luego, sustituyendo a por x y bc por y , aprendemos a = 0 o bc = 0 . Entonces podemos sustituir de nuevo, dejando que x = b y Y = C , para demostrar que si bc = 0 entonces b = 0 o C = 0 . Por lo tanto, si abc = 0 , entonces a = 0 o ( b = 0 o c = 0 ), entonces abc = 0 implica a = 0 o b = 0 o c = 0 .

Si el hecho original se expresó como " ab = 0 implica a = 0 o b = 0 ", entonces al decir "considerar abc = 0 ", tendríamos un conflicto de términos al sustituir. Sin embargo, la lógica anterior sigue siendo válida para demostrar que si abc = 0 entonces un = 0 o b = 0 o C = 0 si, en lugar de dejar a = un y b = bc , uno sustituye un para un y b para bc (y con bc = 0 , sustituyendo b para una y c para b ). Esto muestra que sustituir los términos en un enunciado no siempre es lo mismo que dejar que los términos del enunciado sean iguales a los términos sustituidos. En esta situación, está claro que si sustituimos una expresión de una a la de un término de la ecuación original, el de una sustituido no se refiere a la una de la cuenta de " ab = 0 implica una = 0 o b = 0 ".

Resolver ecuaciones algebraicas

Las siguientes secciones presentan ejemplos de algunos de los tipos de ecuaciones algebraicas que pueden encontrarse.

Ecuaciones lineales con una variable

Las ecuaciones lineales se llaman así porque cuando se trazan, describen una línea recta. Las ecuaciones más simples de resolver son ecuaciones lineales que tienen solo una variable. Contienen solo números constantes y una sola variable sin exponente. Como ejemplo, considere:

Problema en palabras: si duplica la edad de un niño y agrega 4, la respuesta resultante es 12. ¿Qué edad tiene el niño?

Ecuación equivalente: donde x representa la edad del niño${\ Displaystyle 2x + 4 = 12}$

Para resolver este tipo de ecuación, la técnica consiste en sumar, restar, multiplicar o dividir ambos lados de la ecuación por el mismo número para aislar la variable en un lado de la ecuación. Una vez que la variable está aislada, el otro lado de la ecuación es el valor de la variable. Este problema y su solución son los siguientes:

1. Ecuación a resolver:	${\ Displaystyle 2x + 4 = 12}$
2. Resta 4 de ambos lados:	${\ Displaystyle 2x + 4-4 = 12-4}$
3. Esto se simplifica a:	${\ Displaystyle 2x = 8}$
4. Divida ambos lados por 2:	${\ Displaystyle {\ frac {2x} {2}} = {\ frac {8} {2}}}$
5. Esto simplifica la solución:	${\ Displaystyle x = 4}$

En palabras: el niño tiene 4 años.

La forma general de una ecuación lineal con una variable se puede escribir como: ${\ Displaystyle ax + b = c}$

Siguiendo el mismo procedimiento (es decir, restar b de ambos lados y luego dividir por a ), la solución general viene dada por${\ Displaystyle x = {\ frac {cb} {a}}}$

Ecuaciones lineales con dos variables

Una ecuación lineal con dos variables tiene muchas (es decir, un número infinito de) soluciones. Por ejemplo:

Problema en palabras: un padre es 22 años mayor que su hijo. ¿Qué edad tienen?

Ecuación equivalente: donde y es la edad del padre, x es la edad del hijo.${\ Displaystyle y = x + 22}$

Eso no se puede resolver por sí solo. Si se diera a conocer la edad del hijo, entonces ya no habría dos incógnitas (variables). Entonces, el problema se convierte en una ecuación lineal con una sola variable, que se puede resolver como se describió anteriormente.

Para resolver una ecuación lineal con dos variables (incógnitas), se requieren dos ecuaciones relacionadas. Por ejemplo, si también se reveló que:

Problema en palabras

En 10 años, el padre tendrá el doble de edad que su hijo.

Ecuación equivalente

${\ displaystyle {\ begin {alineado} y + 10 & = 2 \ times (x + 10) \\ y & = 2 \ times (x + 10) -10 && {\ text {Restar 10 de ambos lados}} \\ y & = 2x + 20-10 && {\ text {Varios corchetes}} \\ y & = 2x + 10 && {\ text {Simplify}} \ end {alineado}}}$

Ahora hay dos ecuaciones lineales relacionadas, cada una con dos incógnitas, lo que permite la producción de una ecuación lineal con una sola variable, restando una de la otra (llamado método de eliminación):

${\ displaystyle {\ begin {cases} y = x + 22 & {\ text {Primera ecuación}} \\ y = 2x + 10 & {\ text {Segunda ecuación}} \ end {cases}}}$

${\ displaystyle {\ begin {align} &&& {\ text {Resta la primera ecuación de}} \\ (yy) & = (2x-x) + 10-22 && {\ text {la segunda para eliminar}} y \\ 0 & = x-12 && {\ text {Simplify}} \\ 12 & = x && {\ text {Suma 12 a ambos lados}} \\ x & = 12 && {\ text {Reorganizar}} \ end {alineado}}}$

En otras palabras, el hijo tiene 12 años, y como el padre 22 años mayor, debe tener 34. En 10 años, el hijo tendrá 22 y el padre tendrá el doble de edad, 44. Este problema se ilustra en la gráfico asociado de las ecuaciones.

Para conocer otras formas de resolver este tipo de ecuaciones, consulte a continuación, Sistema de ecuaciones lineales .

Ecuaciones cuadráticas

Una ecuación cuadrática es aquella que incluye un término con un exponente de 2, por ejemplo , y ningún término con un exponente más alto. El nombre deriva del latín quadrus , que significa cuadrado. En general, una ecuación cuadrática se puede expresar en la forma , donde a no es cero (si fuera cero, entonces la ecuación no sería cuadrática sino lineal). Debido a esto, una ecuación cuadrática debe contener el término , que se conoce como término cuadrático. Por lo tanto , y por lo que puede dividir por una y reorganizar la ecuación en la forma estándar ${\ Displaystyle x ^ {2}}$${\ Displaystyle ax ^ {2} + bx + c = 0}$${\ Displaystyle ax ^ {2}}$${\ Displaystyle a \ neq 0}$

${\ Displaystyle x ^ {2} + px + q = 0}$

donde y . Resolver esto, mediante un proceso conocido como completar el cuadrado , conduce a la fórmula cuadrática${\ Displaystyle p = {\ frac {b} {a}}}$${\ Displaystyle q = {\ frac {c} {a}}}$

${\ Displaystyle x = {\ frac {-b \ pm {\ sqrt {b ^ {2} -4ac}}} {2a}},}$

donde el símbolo "±" indica que ambos

${\ Displaystyle x = {\ frac {-b + {\ sqrt {b ^ {2} -4ac}}} {2a}} \ quad {\ text {y}} \ quad x = {\ frac {-b- { \ sqrt {b ^ {2} -4ac}}} {2a}}}$

son soluciones de la ecuación cuadrática.

Las ecuaciones cuadráticas también se pueden resolver usando factorización (el proceso inverso del cual es expansión , pero para dos términos lineales a veces se denota frustrar ). Como ejemplo de factoraje:

${\ Displaystyle x ^ {2} + 3x-10 = 0,}$

que es lo mismo que

${\ displaystyle (x + 5) (x-2) = 0.}$

De la propiedad del producto cero se deduce que o son soluciones, ya que precisamente uno de los factores debe ser igual a cero . Todas las ecuaciones cuadráticas tendrán dos soluciones en el sistema de números complejos , pero no es necesario que tengan ninguna en el sistema de números reales . Por ejemplo, ${\ Displaystyle x = 2}$${\ Displaystyle x = -5}$

${\ Displaystyle x ^ {2} + 1 = 0}$

no tiene una solución de número real ya que ningún número real al cuadrado es igual a -1. A veces, una ecuación cuadrática tiene una raíz de multiplicidad 2, como:

${\ displaystyle (x + 1) ^ {2} = 0.}$

Para esta ecuación, −1 es una raíz de multiplicidad 2. Esto significa que −1 aparece dos veces, ya que la ecuación se puede reescribir en forma factorizada como

${\ Displaystyle [x - (- 1)] [x - (- 1)] = 0.}$

Números complejos

Todas las ecuaciones cuadráticas tienen exactamente dos soluciones en números complejos (pero pueden ser iguales entre sí), una categoría que incluye números reales , números imaginarios y sumas de números reales e imaginarios. Los números complejos surgen por primera vez en la enseñanza de ecuaciones cuadráticas y la fórmula cuadrática. Por ejemplo, la ecuación cuadrática

${\ Displaystyle x ^ {2} + x + 1 = 0}$

tiene soluciones

${\ Displaystyle x = {\ frac {-1 + {\ sqrt {-3}}} {2}} \ quad \ quad {\ text {y}} \ quad \ quad x = {\ frac {-1- { \ sqrt {-3}}} {2}}.}$

Dado que no es un número real, ambas soluciones para x son números complejos. ${\ Displaystyle {\ sqrt {-3}}}$

Ecuaciones exponenciales y logarítmicas

Una ecuación exponencial es aquella que tiene la forma de , que tiene solución ${\ Displaystyle a ^ {x} = b}$${\ Displaystyle a> 0}$

${\ Displaystyle X = \ log _ {a} b = {\ frac {\ ln b} {\ ln a}}}$

cuando . Se utilizan técnicas algebraicas elementales para reescribir una ecuación dada de la forma anterior antes de llegar a la solución. Por ejemplo, si ${\ Displaystyle b> 0}$

${\ Displaystyle 3 \ cdot 2 ^ {x-1} + 1 = 10}$

luego, restando 1 de ambos lados de la ecuación, y luego dividiendo ambos lados por 3 obtenemos

${\ Displaystyle 2 ^ {x-1} = 3}$

De dónde

${\ Displaystyle x-1 = \ log _ {2} 3}$

o

${\ Displaystyle x = \ log _ {2} 3 + 1.}$

Una ecuación logarítmica es una ecuación de la forma para , que tiene solución ${\ displaystyle log_ {a} (x) = b}$${\ Displaystyle a> 0}$

${\ Displaystyle X = a ^ {b}.}$

Por ejemplo, si

${\ Displaystyle 4 \ log _ {5} (x-3) -2 = 6}$

luego, al sumar 2 a ambos lados de la ecuación, seguido de dividir ambos lados por 4, obtenemos

${\ Displaystyle \ log _ {5} (x-3) = 2}$

De dónde

${\ displaystyle x-3 = 5 ^ {2} = 25}$

del cual obtenemos

${\ Displaystyle x = 28.}$

Ecuaciones radicales

Una ecuación radical es la que incluye un signo radical, que incluye raíces cuadradas , raíces cúbicas , y n th raíces , . Recordemos que un n º raíz puede ser reescrita en formato exponencial, por lo que es equivalente a . Combinado con exponentes regulares (potencias), entonces (la raíz cuadrada de x al cubo), se puede reescribir como . Así que una forma común de una ecuación radical es (equivalente a ) donde m y n son números enteros . Tiene solución (s) real (es): ${\ Displaystyle {\ sqrt {x}},}$ ${\ Displaystyle {\ sqrt [{3}] {x}}}$${\ Displaystyle {\ sqrt [{n}] {x}}}$${\ Displaystyle {\ sqrt [{n}] {x}}}$${\ Displaystyle x ^ {\ frac {1} {n}}}$${\ Displaystyle {\ sqrt [{2}] {x ^ {3}}}}$${\ Displaystyle x ^ {\ frac {3} {2}}}$${\ Displaystyle {\ sqrt [{n}] {x ^ {m}}} = a}$${\ Displaystyle x ^ {\ frac {m} {n}} = a}$

n es extraño	n es par y${\ Displaystyle a \ geq 0}$	n y m son incluso y ${\ Displaystyle a <0}$	n es par, m es impar , y ${\ Displaystyle a <0}$
${\ Displaystyle x = {\ sqrt [{n}] {a ^ {m}}}}$ equivalentemente ${\ Displaystyle x = \ left ({\ sqrt [{n}] {a}} \ right) ^ {m}}$	${\ Displaystyle x = \ pm {\ sqrt [{n}] {a ^ {m}}}}$ equivalentemente ${\ Displaystyle x = \ pm \ left ({\ sqrt [{n}] {a}} \ right) ^ {m}}$	${\ Displaystyle x = \ pm {\ sqrt [{n}] {a ^ {m}}}}$	no hay una solución real

Por ejemplo, si:

${\ displaystyle (x + 5) ^ {2/3} = 4}$

luego

${\ Displaystyle {\ begin {alineado} x + 5 & = \ pm ({\ sqrt {4}}) ^ {3}, \\ x + 5 & = \ pm 8, \\ x & = - 5 \ pm 8, \ final {alineado}}}$

y por lo tanto

${\ Displaystyle x = 3 \ quad {\ text {o}} \ quad x = -13}$

Sistema de ecuaciones lineales

Existen diferentes métodos para resolver un sistema de ecuaciones lineales con dos variables.

Método de eliminación

Un ejemplo de cómo resolver un sistema de ecuaciones lineales es mediante el método de eliminación:

${\ displaystyle {\ begin {cases} 4x + 2y & = 14 \\ 2x-y & = 1. \ end {cases}}}$

Multiplicando los términos de la segunda ecuación por 2:

${\ Displaystyle 4x + 2y = 14}$

${\ Displaystyle 4x-2y = 2.}$

Sumando las dos ecuaciones para obtener:

${\ Displaystyle 8x = 16}$

que simplifica a

${\ Displaystyle x = 2.}$

Dado que se conoce el hecho , es posible deducir que por cualquiera de las dos ecuaciones originales (usando 2 en lugar de x ) La solución completa a este problema es entonces ${\ Displaystyle x = 2}$${\ Displaystyle y = 3}$

${\ Displaystyle {\ begin {cases} x = 2 \\ y = 3. \ end {cases}}}$

Esta no es la única forma de resolver este sistema específico; y podría haberse resuelto antes que x .

Método de sustitución

Otra forma de resolver el mismo sistema de ecuaciones lineales es mediante sustitución.

${\ displaystyle {\ begin {cases} 4x + 2y & = 14 \\ 2x-y & = 1. \ end {cases}}}$

Se puede deducir un equivalente de y usando una de las dos ecuaciones. Usando la segunda ecuación:

${\ Displaystyle 2x-y = 1}$

Restando de cada lado de la ecuación: ${\ Displaystyle 2x}$

${\ displaystyle {\ begin {alineado} 2x-2x-y & = 1-2x \\ - y & = 1-2x \ end {alineado}}}$

y multiplicar por -1:

${\ Displaystyle y = 2x-1.}$

Usando este valor de y en la primera ecuación en el sistema original:

${\ displaystyle {\ begin {alineado} 4x + 2 (2x-1) & = 14 \\ 4x + 4x-2 & = 14 \\ 8x-2 & = 14 \ end {alineado}}}$

Sumando 2 a cada lado de la ecuación:

${\ displaystyle {\ begin {alineado} 8x-2 + 2 & = 14 + 2 \\ 8x & = 16 \ end {alineado}}}$

que simplifica a

${\ Displaystyle x = 2}$

Usando este valor en una de las ecuaciones, se obtiene la misma solución que en el método anterior.

${\ Displaystyle {\ begin {cases} x = 2 \\ y = 3. \ end {cases}}}$

Esta no es la única forma de resolver este sistema específico; también en este caso, y podría haberse resuelto antes que x .

Otros tipos de sistemas de ecuaciones lineales

Sistemas inconsistentes

En el ejemplo anterior, existe una solución. Sin embargo, también hay sistemas de ecuaciones que no tienen solución. Tal sistema se llama inconsistente . Un ejemplo obvio es

${\ displaystyle {\ begin {cases} {\ begin {alineado} x + y & = 1 \\ 0x + 0y & = 2 \,. \ end {alineado}} \ end {cases}}}$

Como 0 ≠ 2, la segunda ecuación del sistema no tiene solución. Por tanto, el sistema no tiene solución. Sin embargo, no todos los sistemas inconsistentes se reconocen a primera vista. Como ejemplo, considere el sistema

${\ Displaystyle {\ begin {cases} {\ begin {alineado} 4x + 2y & = 12 \\ - 2x-y & = - 4 \,. \ end {alineado}} \ end {cases}}}$

Multiplicar por 2 ambos lados de la segunda ecuación y sumarlo a la primera da como resultado

${\ Displaystyle 0x + 0y = 4 \ ,,}$

que claramente no tiene solución.

Sistemas indeterminados

También hay sistemas que tienen un número infinito de soluciones, en contraste con un sistema con una solución única (es decir, un par único de valores para x y y ) Por ejemplo:

${\ displaystyle {\ begin {cases} {\ begin {alineado} 4x + 2y & = 12 \\ - 2x-y & = - 6 \ end {alineado}} \ end {cases}}}$

Aislando y en la segunda ecuación:

${\ Displaystyle y = -2x + 6}$

Y usando este valor en la primera ecuación del sistema:

${\ displaystyle {\ begin {alineado} 4x + 2 (-2x + 6) = 12 \\ 4x-4x + 12 = 12 \\ 12 = 12 \ end {alineado}}}$

La igualdad es verdadera, pero no proporciona un valor para x . De hecho, uno puede verificar fácilmente (simplemente completando algunos valores de x ) que para cualquier x hay una solución siempre que . Hay un número infinito de soluciones para este sistema. ${\ Displaystyle y = -2x + 6}$

Sistemas sobredeterminados y subdeterminados

Los sistemas con más variables que el número de ecuaciones lineales se denominan subdeterminados . Un sistema así, si tiene alguna solución, no tiene una única, sino una infinidad de ellas. Un ejemplo de tal sistema es

${\ displaystyle {\ begin {cases} {\ begin {alineado} x + 2y & = 10 \\ yz & = 2. \ end {alineado}} \ end {cases}}}$

Al intentar resolverlo, uno se ve llevado a expresar algunas variables como funciones de las otras si existe alguna solución, pero no puede expresar todas las soluciones numéricamente porque hay un número infinito de ellas si las hay.

Un sistema con un número mayor de ecuaciones que de variables se denomina sobredeterminado . Si un sistema sobredeterminado tiene alguna solución, necesariamente algunas ecuaciones son combinaciones lineales de las otras.

Ver también

• Historia del álgebra elemental
• Operación binaria
• eliminación gaussiana
• Educación matemática
• Numero de linea
• Polinomio
• Cancelando
• Problema de álgebra de secundaria de Tarski

Referencias

• Leonhard Euler , Elements of Algebra , 1770. Traducción al inglés Tarquin Press , 2007, ISBN 978-1-899618-79-8 , también ediciones digitalizadas en línea 2006, 1822.  
• Charles Smith, Tratado de Álgebra , en Monografías históricas de matemáticas de la Biblioteca de la Universidad de Cornell .
• Enrojece, John. Álgebra elemental . Conocimiento del mundo plano, 2011

enlaces externos

• Medios relacionados con el álgebra elemental en Wikimedia Commons