Ecuaciones consistentes e inconsistentes - Consistent and inconsistent equations

En matemáticas y particularmente en álgebra , un sistema de ecuaciones lineal o no lineal se llama consistente si hay al menos un conjunto de valores para las incógnitas que satisface cada ecuación en el sistema, es decir, cuando se sustituye en cada una de las ecuaciones, hacen cada ecuación es válida como identidad . En contraste, un sistema de ecuaciones lineales o no lineales se llama inconsistente si no hay un conjunto de valores para las incógnitas que satisfaga todas las ecuaciones.

Si un sistema de ecuaciones es inconsistente, entonces es posible manipular y combinar las ecuaciones de tal manera que se obtenga información contradictoria, como 2 = 1, o x ³ + y ³ = 5 y x ³ + y ³ = 6 (lo que implica 5 = 6).

Ambos tipos de sistemas de ecuaciones, consistentes e inconsistentes, pueden ser sobredeterminados (tener más ecuaciones que incógnitas), subdeterminados (tener menos ecuaciones que incógnitas) o determinados exactamente.

Ejemplos sencillos

Indeterminado y consistente

El sistema

${\ Displaystyle x + y + z = 3,}$

${\ Displaystyle x + y + 2z = 4}$

tiene un número infinito de soluciones, todas ellas con z = 1 (como se puede ver al restar la primera ecuación de la segunda) y, por lo tanto, todas tienen x + y = 2 para cualquier valor de x e y .

El sistema no lineal

${\ Displaystyle x ^ {2} + y ^ {2} + z ^ {2} = 10,}$

${\ Displaystyle x ^ {2} + y ^ {2} = 5}$

tiene una infinidad de soluciones, todas involucrando ${\ Displaystyle z = \ pm {\ sqrt {5}}.}$

Dado que cada uno de estos sistemas tiene más de una solución, es un sistema indeterminado .

Indeterminado e inconsistente

El sistema

${\ Displaystyle x + y + z = 3,}$

${\ Displaystyle x + y + z = 4}$

no tiene soluciones, como se puede ver restando la primera ecuación de la segunda para obtener el imposible 0 = 1.

El sistema no lineal

${\ Displaystyle x ^ {2} + y ^ {2} + z ^ {2} = 17,}$

${\ Displaystyle x ^ {2} + y ^ {2} + z ^ {2} = 14}$

no tiene soluciones, porque si se resta una ecuación de la otra obtenemos el imposible 0 = 3.

Exactamente determinado y consistente

El sistema

${\ Displaystyle x + y = 3,}$

${\ Displaystyle x + 2y = 5}$

tiene exactamente una solución: x = 1, y = 2.

El sistema no lineal

${\ Displaystyle x + y = 1,}$

${\ Displaystyle x ^ {2} + y ^ {2} = 1}$

tiene las dos soluciones ( x, y ) = (1, 0) y ( x, y ) = (0, 1), mientras que

${\ Displaystyle x ^ {3} + y ^ {3} + z ^ {3} = 10,}$

${\ Displaystyle x ^ {3} + 2y ^ {3} + z ^ {3} = 12,}$

${\ Displaystyle 3x ^ {3} + 5y ^ {3} + 3z ^ {3} = 34}$

tiene un número infinito de soluciones porque la tercera ecuación es la primera ecuación más el doble de la segunda y, por lo tanto, no contiene información independiente; por tanto, cualquier valor de z puede ser elegido y los valores de x y y se puede encontrar para satisfacer los dos primeros (y por lo tanto el tercero) ecuaciones.

Exactamente determinado e inconsistente

El sistema

${\ Displaystyle x + y = 3,}$

${\ Displaystyle 4x + 4y = 10}$

no tiene soluciones; la inconsistencia se puede ver multiplicando la primera ecuación por 4 y restando la segunda ecuación para obtener el imposible 0 = 2.

Igualmente,

${\ Displaystyle x ^ {3} + y ^ {3} + z ^ {3} = 10,}$

${\ Displaystyle x ^ {3} + 2y ^ {3} + z ^ {3} = 12,}$

${\ Displaystyle 3x ^ {3} + 5y ^ {3} + 3z ^ {3} = 32}$

es un sistema inconsistente porque la primera ecuación más el doble de la segunda menos la tercera contiene la contradicción 0 = 2.

Sobredeterminado y consistente

El sistema

${\ Displaystyle x + y = 3,}$

${\ Displaystyle x + 2y = 7,}$

${\ Displaystyle 4x + 6y = 20}$

tiene una solución, x = –1, y = 4, porque las dos primeras ecuaciones no se contradicen entre sí y la tercera ecuación es redundante (ya que contiene la misma información que se puede obtener de las dos primeras ecuaciones multiplicando cada una por 2 y sumarlos).

El sistema

${\ Displaystyle x + 2y = 7,}$

${\ Displaystyle 3x + 6y = 21,}$

${\ Displaystyle 7x + 14y = 49}$

tiene una infinidad de soluciones ya que las tres ecuaciones dan la misma información entre sí (como se puede ver al multiplicar a través de la primera ecuación por 3 o 7). Cualquier valor de y es parte de una solución, siendo el valor correspondiente de x 7–2y.

El sistema no lineal

${\ displaystyle x ^ {2} -1 = 0,}$

${\ displaystyle y ^ {2} -1 = 0,}$

${\ Displaystyle (x-1) (y-1) = 0}$

tiene las tres soluciones ( x, y ) = (1, –1), (–1, 1) y (1, 1).

Sobredeterminado e inconsistente

El sistema

${\ Displaystyle x + y = 3,}$

${\ Displaystyle x + 2y = 7,}$

${\ Displaystyle 4x + 6y = 21}$

es inconsistente porque la última ecuación contradice la información incluida en las dos primeras, como se ve al multiplicar cada una de las dos primeras por 2 y sumarlas.

El sistema

${\ Displaystyle x ^ {2} + y ^ {2} = 1,}$

${\ displaystyle x ^ {2} + 2y ^ {2} = 2,}$

${\ Displaystyle 2x ^ {2} + 3y ^ {2} = 4}$

es inconsistente porque la suma de las dos primeras ecuaciones contradice la tercera.

Criterios de coherencia

Como se puede ver en los ejemplos anteriores, la consistencia versus la inconsistencia es un tema diferente de comparar el número de ecuaciones e incógnitas.

Sistemas lineales

Un sistema lineal es consistente si y solo si su matriz de coeficientes tiene el mismo rango que su matriz aumentada (la matriz de coeficientes con una columna adicional agregada, siendo esa columna el vector de constantes de columna ).

Sistemas no lineales

Referencias