Estructura algebraica - Algebraic structure

Estructuras algebraicas
Tipo grupo
Teoría de grupos
Como un anillo
Teoría del anillo
celosía -como
Como un módulo
Algebra- like

En matemáticas , una estructura algebraica consiste en un conjunto A no vacío (llamado conjunto subyacente , conjunto portador o dominio ), una colección de operaciones en A de aridad finita (típicamente operaciones binarias ) y un conjunto finito de identidades , conocido como axiomas , que estas operaciones deben satisfacer.

Una estructura algebraica puede basarse en otras estructuras algebraicas con operaciones y axiomas que involucran varias estructuras. Por ejemplo, un espacio vectorial involucra una segunda estructura llamada campo y una operación llamada multiplicación escalar entre elementos del campo (llamados escalares ) y elementos del espacio vectorial (llamados vectores ).

En el contexto del álgebra universal , el conjunto A con esta estructura se llama álgebra , mientras que, en otros contextos, se llama (algo ambiguamente) estructura algebraica , el término álgebra se reserva para estructuras algebraicas específicas que son espacios vectoriales sobre un campo o módulos sobre un anillo conmutativo .

Las propiedades de estructuras algebraicas específicas se estudian en álgebra abstracta . La teoría general de las estructuras algebraicas se ha formalizado en el álgebra universal. El lenguaje de la teoría de categorías se utiliza para expresar y estudiar las relaciones entre diferentes clases de objetos algebraicos y no algebraicos. Esto se debe a que a veces es posible encontrar fuertes conexiones entre algunas clases de objetos, a veces de diferentes tipos. Por ejemplo, la teoría de Galois establece una conexión entre ciertos campos y grupos: dos estructuras algebraicas de diferentes tipos.

Introducción

La suma y la multiplicación de números reales son los ejemplos prototípicos de operaciones que combinan dos elementos de un conjunto para producir un tercer elemento del conjunto. Estas operaciones obedecen a varias leyes algebraicas. Por ejemplo, a + ( b + c ) = ( a + b ) + c y a ( bc ) = ( ab ) c como las leyes asociativas . También a + b = b + a y ab = ba como las leyes conmutativas. Muchos sistemas estudiados por matemáticos tienen operaciones que obedecen algunas, pero no necesariamente todas, las leyes de la aritmética ordinaria. Por ejemplo, las rotaciones de un objeto en un espacio tridimensional se pueden combinar, por ejemplo, realizando la primera rotación en el objeto y luego aplicando la segunda rotación en él en su nueva orientación hecha por la rotación anterior. La rotación como operación obedece a la ley asociativa, pero puede fallar en satisfacer la ley conmutativa.

Los matemáticos dan nombres a conjuntos con una o más operaciones que obedecen a una colección particular de leyes y las estudian en abstracto como estructuras algebraicas. Cuando se puede demostrar que un nuevo problema sigue las leyes de una de estas estructuras algebraicas, todo el trabajo que se ha realizado en esa categoría en el pasado se puede aplicar al nuevo problema.

En total generalidad, las estructuras algebraicas pueden involucrar una colección arbitraria de operaciones, incluyendo operaciones que combinan más de dos elementos ( operaciones de aridad superior ) y operaciones que toman solo un argumento ( operaciones unarias ). Los ejemplos utilizados aquí no son de ninguna manera una lista completa, pero están destinados a ser una lista representativa e incluyen las estructuras más comunes. Se pueden encontrar listas más largas de estructuras algebraicas en los enlaces externos y dentro de Categoría: Estructuras algebraicas . Las estructuras se enumeran en orden aproximado de complejidad creciente.

Ejemplos de

Un juego con operaciones

Estructuras simples : sin operación binaria :

  • Conjunto : una estructura algebraica degenerada S que no tiene operaciones.
  • Conjunto puntiagudo : S tiene uno o más elementos distinguidos, a menudo 0, 1 o ambos.
  • Sistema unario: S y una sola operación unaria sobre S .
  • Sistema unario puntiagudo : un sistema unario con S un conjunto puntiagudo.

Estructuras grupales : una operación binaria. La operación binaria se puede indicar con cualquier símbolo o sin símbolo (yuxtaposición) como se hace para la multiplicación ordinaria de números reales.

Estructuras en forma de anillo o Ringoides : dos operaciones binarias, a menudo llamadas suma y multiplicación , con la multiplicación distribuyendo sobre la suma.

  • Semiring : un ringoide tal que S es un monoide en cada operación. Se asume típicamente que la adición es conmutativa y asociativa, y se asume que el producto monoide se distribuye sobre la adición en ambos lados, y la identidad aditiva 0 es un elemento absorbente en el sentido de que 0  x = 0 para todo x .
  • Near-ring : un semirrígido cuyo monoide aditivo es un grupo (no necesariamente abeliano).
  • Anillo : un semirrígido cuyo monoide aditivo es un grupo abeliano.
  • Anillo de mentira : un ringoide cuyo monoide aditivo es un grupo abeliano, pero cuya operación multiplicativa satisface la identidad de Jacobi más que la asociatividad.
  • Anillo conmutativo : un anillo en el que la operación de multiplicación es conmutativa.
  • Anillo booleano : un anillo conmutativo con operación de multiplicación idempotente.
  • Campo : un anillo conmutativo que contiene un inverso multiplicativo para cada elemento distinto de cero.
  • Álgebras de Kleene : un semiring con adición idempotente y una operación unaria, la estrella de Kleene , que satisface propiedades adicionales.
  • * -álgebra : un anillo con una operación unaria adicional (*) que satisface propiedades adicionales.

Estructuras de celosía : dos o más operaciones binarias, incluidas las operaciones llamadas reunirse y unirse , conectadas por la ley de absorción .

  • Celosía completa : una celosía en la que existen encuentros y uniones arbitrarios .
  • Celosía acotada : una celosía con un elemento mayor y un elemento menor.
  • Celosía complementada : una celosía acotada con una operación unaria, complementación, denotada por el sufijo ⊥ . La unión de un elemento con su complemento es el elemento mayor y la unión de los dos elementos es el elemento menor.
  • Celosía modular : una celosía cuyos elementos satisfacen la identidad modular adicional .
  • Enrejado distributivo : un enrejado en el que cada uno se encuentra y se une distribuye sobre el otro. Las celosías distributivas son modulares, pero no ocurre lo contrario.
  • Álgebra de Boole : una red distributiva complementada. Cualquiera de conocer o unirse se puede definir en términos de la otra y la complementación. Se puede demostrar que esto es equivalente a la estructura en forma de anillo del mismo nombre anterior.
  • Álgebra de Heyting : una red distributiva acotada con una operación binaria agregada, pseudocomplemento relativo , denotado por infijo →, y gobernado por los axiomas:
    • x  →  x = 1
    • x  ( x  →  y ) = x y
    • y  ( x  →  y ) = y
    • x  → ( y z ) = ( x  →  y ) ( x  →  z )

Aritmética : dos operaciones binarias , suma y multiplicación. S es un conjunto infinito . La aritmética son sistemas unarios apuntados, cuya operación unaria es sucesora inyectiva , y con elemento distinguido 0.

  • Aritmética de Robinson . La suma y la multiplicación se definen de forma recursiva mediante sucesor. 0 es el elemento de identidad para la suma y aniquila la multiplicación. La aritmética de Robinson se enumera aquí aunque es una variedad, debido a su cercanía a la aritmética de Peano.
  • Aritmética de Peano . Aritmética de Robinson con un esquema de axioma de inducción . La mayoría de los axiomas de anillo y campo relacionados con las propiedades de la suma y la multiplicación son teoremas de la aritmética de Peano o de sus propias extensiones.

Dos conjuntos con operaciones

Estructuras similares a módulos : sistemas compuestos que involucran dos conjuntos y que emplean al menos dos operaciones binarias.

  • Grupo con operadores : un grupo G con un conjunto Ω y una operación binaria Ω ×  G → G satisfaciendo ciertos axiomas.
  • Módulo : un grupo abeliano M y un anillo R que actúa como operadores en M . Los miembros de R a veces se denominan escalares , y la operación binaria de la multiplicación escalar es una función R  ×  M → M , que satisface varios axiomas. Contando las operaciones de anillo, estos sistemas tienen al menos tres operaciones.
  • Espacio vectorial : módulo donde el anillo R es un anillo o campo de división .
  • Espacio vectorial graduado : un espacio vectorial con una descomposición de suma directa que divide el espacio en "grados".
  • Espacio cuadrática : un espacio vectorial V sobre un campo F con una forma cuadrática en V tomando valores en F .

Estructuras similares al álgebra : sistema compuesto definido en dos conjuntos, un anillo R y unmódulo R M equipado con una operación llamada multiplicación. Esto puede ser visto como un sistema con cinco operaciones binarias: dos operaciones en R , dos en H y uno que involucró a ambos R y M .

Cuatro o más operaciones binarias:

Estructuras híbridas

Las estructuras algebraicas también pueden coexistir con estructuras añadidas de naturaleza no algebraica, como un orden parcial o una topología . La estructura agregada debe ser compatible, en cierto sentido, con la estructura algebraica.

Álgebra universal

Artículo principal: Álgebra universal

Las estructuras algebraicas se definen a través de diferentes configuraciones de axiomas . El álgebra universal estudia estos objetos de forma abstracta. Una dicotomía importante es entre estructuras axiomatizadas enteramente por identidades y estructuras que no lo son. Si todos los axiomas que definen una clase de álgebra son identidades, entonces esta clase es una variedad (que no debe confundirse con las variedades algebraicas de la geometría algebraica ).

Las identidades son ecuaciones formuladas utilizando solo las operaciones que permite la estructura, y las variables que se cuantifican tácitamente universalmente sobre el universo relevante . Las identidades no contienen conectivos , variables cuantificadas existencialmente o relaciones de ningún tipo que no sean las operaciones permitidas. El estudio de las variedades es una parte importante del álgebra universal . Una estructura algebraica en una variedad puede entenderse como el álgebra cociente del álgebra de términos (también llamada " álgebra absolutamente libre ") dividida por las relaciones de equivalencia generadas por un conjunto de identidades. Por lo tanto, una colección de funciones dadas con firmas generar un álgebra libre, el término álgebra T . Dado un conjunto de identidades ecuacionales (los axiomas), se puede considerar su simétrica, transitiva de cierre E . El álgebra cociente T / E es entonces la estructura o variedad algebraica. Así, por ejemplo, los grupos tienen una firma que contiene dos operadores: el operador de multiplicación m , que toma dos argumentos, y el operador inverso i , que toma un argumento, y el elemento identidad e , una constante, que puede considerarse un operador que toma cero. argumentos. Dado un conjunto (contable) de variables x , y , z , etc., el término álgebra es la colección de todos los términos posibles que involucran a m , i , e y las variables; por ejemplo, m ( i ( x ), m ( x , m ( y , e ))) sería un elemento del término álgebra. Uno de los axiomas que definen a un grupo es la identidad m ( x , i ( x )) = e ; otro es m ( x , e ) = x . Los axiomas se pueden representar como árboles . Estas ecuaciones inducen clases de equivalencia en el álgebra libre; el álgebra del cociente tiene entonces la estructura algebraica de un grupo.

Algunas estructuras no forman variedades, porque tampoco:

  1. Es necesario que 0 ≠ 1, 0 sea el elemento de identidad aditivo y 1 sea un elemento de identidad multiplicativo, pero esto es una no identidad;
  2. Estructuras, tales como campos tienen algunos axiomas que sostienen solamente para los miembros distintos de cero de S . Para que una estructura algebraica sea una variedad, sus operaciones deben definirse para todos los miembros de S ; no puede haber operaciones parciales.

Las estructuras cuyos axiomas incluyen inevitablemente no identidades se encuentran entre las más importantes en matemáticas, por ejemplo, campos y anillos de división . Las estructuras con no identidades presentan desafíos que las variedades no. Por ejemplo, el producto directo de dos campos no es un campo, porque , pero los campos no tienen divisores cero .

Teoría de categorías

La teoría de categorías es otra herramienta para estudiar estructuras algebraicas (ver, por ejemplo, Mac Lane 1998). Una categoría es una colección de objetos con morfismos asociados . Cada estructura algebraica tiene su propia noción de homomorfismo , es decir, cualquier función compatible con las operaciones que definen la estructura. De esta forma, toda estructura algebraica da lugar a una categoría . Por ejemplo, la categoría de grupos tiene todos los grupos como objetos y todos los homomorfismos de grupo como morfismos. Esta categoría concreta puede verse como una categoría de conjuntos con una estructura teórica de categorías añadida. Asimismo, la categoría de grupos topológicos (cuyos morfismos son los homomorfismos de grupo continuo) es una categoría de espacios topológicos con estructura extra. Un functor olvidadizo entre categorías de estructuras algebraicas "olvida" una parte de una estructura.

Hay varios conceptos en la teoría de categorías que intentan capturar el carácter algebraico de un contexto, por ejemplo

Diferentes significados de "estructura"

En un ligero abuso de notación , la palabra "estructura" también puede referirse solo a las operaciones en una estructura, en lugar del conjunto subyacente en sí. Por ejemplo, la oración "Hemos definido una estructura de anillo en el conjunto " significa que hemos definido operaciones de anillo en el conjunto . Para otro ejemplo, el grupo puede verse como un conjunto que está equipado con una estructura algebraica, a saber , la operación .

Ver también

Notas

Referencias

Teoría de categorías

enlaces externos