División (matemáticas) - Division (mathematics)

20/4 = 5, ilustrado aquí con manzanas. Esto se dice verbalmente, "Veinte dividido por cuatro es igual a cinco".

Operaciones aritmeticas v t mi

Suma (+) ${\ Displaystyle \ scriptstyle \ left. {\ begin {matrix} \ scriptstyle {\ text {término}} \, + \, {\ text {término}} \\\ scriptstyle {\ text {summand}} \, + \ , {\ text {summand}} \\\ scriptstyle {\ text {addend}} \, + \, {\ text {addend}} \\\ scriptstyle {\ text {augend}} \, + \, {\ text {sumando}} \ end {matriz}} \ right \} \, = \,}$ ${\ Displaystyle \ scriptstyle {\ text {sum}}}$ Resta (-) ${\ Displaystyle \ scriptstyle \ left. {\ begin {matrix} \ scriptstyle {\ text {término}} \, - \, {\ text {término}} \\\ scriptstyle {\ text {minuendo}} \, - \ , {\ text {sustraendo}} \ end {matriz}} \ right \} \, = \,}$ ${\ Displaystyle \ scriptstyle {\ text {diferencia}}}$ Multiplicación (×) ${\ Displaystyle \ scriptstyle \ left. {\ begin {matrix} \ scriptstyle {\ text {factor}} \, \ times \, {\ text {factor}} \\\ scriptstyle {\ text {multiplicador}} \, \ veces \, {\ text {multiplicando}} \ end {matriz}} \ right \} \, = \,}$ ${\ Displaystyle \ scriptstyle {\ text {producto}}}$ División (÷) ${\ Displaystyle \ scriptstyle \ left. {\ begin {matrix} \ scriptstyle {\ frac {\ scriptstyle {\ text {dividendo}}} {\ scriptstyle {\ text {divisor}}}} \\\ scriptstyle {\ text { }} \\\ scriptstyle {\ frac {\ scriptstyle {\ text {numerador}}} {\ scriptstyle {\ text {denominator}}}} \ end {matriz}} \ right \} \, = \,}$ ${\ Displaystyle {\ begin {matrix} \ scriptstyle {\ text {fracción}} \\\ scriptstyle {\ text {cociente}} \\\ scriptstyle {\ text {ratio}} \ end {matriz}}}$ Exponenciación ${\ Displaystyle \ scriptstyle {\ text {base}} ^ {\ text {exponent}} \, = \,}$ ${\ Displaystyle \ scriptstyle {\ text {poder}}}$ n º raíz (√) ${\ Displaystyle \ scriptstyle {\ sqrt [{\ text {grado}}] {\ scriptstyle {\ text {radicand}}}} \, = \,}$ ${\ Displaystyle \ scriptstyle {\ text {raíz}}}$ Logaritmo (log) ${\ Displaystyle \ scriptstyle \ log _ {\ text {base}} ({\ text {antilogaritmo}}) \, = \,}$ ${\ Displaystyle \ scriptstyle {\ text {logaritmo}}}$

La división es una de las cuatro operaciones básicas de la aritmética , la forma en que los números se combinan para formar nuevos números. Las otras operaciones son suma , resta y multiplicación .

A nivel elemental, la división de dos números naturales es, entre otras posibles interpretaciones , el proceso de calcular el número de veces que un número está contenido dentro de otro. Este número de veces no siempre es un número entero (un número que se puede obtener usando las otras operaciones aritméticas con los números naturales).

La división con resto o división euclidiana de dos números naturales proporciona un cociente entero , que es el número de veces que el segundo número está completamente contenido en el primer número, y un resto , que es la parte del primer número que permanece, cuando está en Durante el proceso de cálculo del cociente, no se puede asignar una porción más completa del tamaño del segundo número.

Para que la división siempre produzca un número en lugar de un cociente más un resto, los números naturales deben extenderse a números racionales (los números que se pueden obtener usando aritmética en números naturales) o números reales . En estos sistemas numéricos ampliados , la división es la operación inversa a la multiplicación, es decir, a = c / b significa a × b = c , siempre que b no sea cero. Si b = 0 , entonces esta es una división por cero , que no está definida.

Ambas formas de división aparecen en varias estructuras algebraicas , diferentes formas de definir la estructura matemática. Aquellos en los que se define una división euclidiana (con resto) se denominan dominios euclidianos e incluyen anillos polinomiales en uno indeterminado (que definen la multiplicación y la suma sobre fórmulas de una sola variable). Aquellos en los que se define una división (con un solo resultado) por todos los elementos distintos de cero se denominan campos y anillos de división . En un anillo, los elementos por los que siempre es posible la división se denominan unidades (por ejemplo, 1 y -1 en el anillo de números enteros). Otra generalización de la división a las estructuras algebraicas es el grupo cociente , en el que el resultado de la "división" es un grupo en lugar de un número.

Introducción

La manera más simple de visualizar división es en términos de quotition y partición : desde la perspectiva quotition, 20/5 significa el número de 5s que deben añadirse para obtener 20. En términos de partición, 20/5 medios del tamaño de cada uno de 5 partes en las que se divide un conjunto de tamaño 20. Por ejemplo, 20 manzanas se dividen en cinco grupos de cuatro manzanas, lo que significa que veinte dividido por cinco es igual a cuatro . Esto se denota como 20/5 = 4 , o 20/5= 4 . Lo que se divide se llama dividendo , que se divide por el divisor , y el resultado se llama cociente . En el ejemplo, 20 es el dividendo, 5 es el divisor y 4 es el cociente.

A diferencia de las otras operaciones básicas, al dividir números naturales a veces hay un resto que no irá uniformemente al dividendo; por ejemplo, 10/3 deja un resto de 1, ya que 10 no es un múltiplo de 3. A veces, este resto se agrega al cociente como una parte fraccionaria , por lo que 10/3 es igual a 3+1/3o 3.33 ... , pero en el contexto de la división de enteros , donde los números no tienen parte fraccionaria, el resto se mantiene por separado (o excepcionalmente, se descarta o se redondea ). Cuando el resto se mantiene como fracción, conduce a un número racional . El conjunto de todos los números racionales se crea extendiendo los números enteros con todos los resultados posibles de las divisiones de números enteros.

A diferencia de la multiplicación y la suma, la división no es conmutativa , lo que significa que a / b no siempre es igual a b / a . La división tampoco es, en general, asociativa , lo que significa que al dividir varias veces, el orden de división puede cambiar el resultado. Por ejemplo, (20/5) / 2 = 2 , pero 20 / (5/2) = 8 (donde el uso de paréntesis indica que las operaciones entre paréntesis se realizan antes que las operaciones fuera de paréntesis).

La división se considera tradicionalmente como asociativa de izquierda . Es decir, si hay varias divisiones seguidas, el orden de cálculo va de izquierda a derecha:

${\ Displaystyle a / b / c = (a / b) / c = a / (b \ times c) \ neq a / (b / c) = (a \ times c) / b.}$

La división es distributiva a la derecha sobre la suma y la resta, en el sentido de que

${\ Displaystyle {\ frac {a \ pm b} {c}} = (a \ pm b) / c = (a / c) \ pm (b / c) = {\ frac {a} {c}} \ pm {\ frac {b} {c}}.}$

Esto es lo mismo para la multiplicación , como . Sin embargo, la división no es distributiva por la izquierda , ya que ${\ Displaystyle (a + b) \ times c = a \ times c + b \ times c}$

${\ Displaystyle {\ frac {a} {b + c}} = a / (b + c) \ neq (a / b) + (a / c) = {\ frac {ac + ab} {bc}}. }$

Esto es diferente al caso de la multiplicación, que es distributiva a la izquierda y distributiva a la derecha y, por lo tanto, distributiva .

Notación

Más y menos. Un obelus utilizado como variante del signo menos en un extracto de un formulario de declaración comercial noruego oficial llamado «Næringsoppgave 1» para el año fiscal 2010.

La división a menudo se muestra en álgebra y ciencia colocando el dividendo sobre el divisor con una línea horizontal, también llamada barra de fracción , entre ellos. Por ejemplo, " a dividido por b " se puede escribir como:

${\ Displaystyle {\ frac {a} {b}}}$

que también se puede leer en voz alta como "divide a por b " o " a sobre b ". Una forma de expresar la división en una sola línea es escribir el dividendo (o numerador), luego una barra , luego el divisor (o denominador), de la siguiente manera:

${\ Displaystyle a / b}$

Esta es la forma habitual de especificar la división en la mayoría de los lenguajes de programación de computadoras , ya que se puede escribir fácilmente como una secuencia simple de caracteres ASCII . Algún software matemático , como MATLAB y GNU Octave , permite que los operandos se escriban en orden inverso utilizando la barra invertida como operador de división:

${\ Displaystyle b \ backslash a}$

Una variación tipográfica a medio camino entre estas dos formas usa un solidus (barra inclinada de fracción), pero eleva el dividendo y reduce el divisor:

${\ Displaystyle {} ^ {a} \! / {} _ {b}}$

Cualquiera de estas formas se puede utilizar para mostrar una fracción . Una fracción es una expresión de división en la que tanto el dividendo como el divisor son números enteros (normalmente denominados numerador y denominador ), y no hay ninguna implicación de que la división deba evaluarse más a fondo. Una segunda forma de mostrar la división es usar el signo de división (÷, también conocido como obelus aunque el término tiene significados adicionales), común en aritmética, de esta manera:

${\ Displaystyle a \ div b}$

Esta forma es poco frecuente excepto en aritmética elemental. ISO 80000-2 -9.6 establece que no debe usarse. Este signo de división también se usa solo para representar la operación de división en sí, como por ejemplo, como una etiqueta en una tecla de una calculadora . El obelus fue introducido por el matemático suizo Johann Rahn en 1659 en Teutsche Algebra . El símbolo ÷ se utiliza para indicar la resta en algunos países europeos, por lo que su uso puede malinterpretarse.

En algunos países que no hablan inglés , se utilizan dos puntos para indicar división:

${\ Displaystyle a: b}$

Esta notación fue introducida por Gottfried Wilhelm Leibniz en su Acta eruditorum de 1684 . A Leibniz no le gustaba tener símbolos separados para la razón y la división. Sin embargo, en el uso del inglés, los dos puntos se restringen a expresar el concepto relacionado de proporciones .

Desde el siglo XIX, los libros de texto de EE. UU. Han utilizado o para denotar a dividido por b , especialmente cuando se habla de división larga . La historia de esta notación no está del todo clara porque evolucionó con el tiempo. ${\ Displaystyle b) a}$${\ Displaystyle b {\ overline {) a}}}$

Informática

Métodos manuales

La división se introduce a menudo mediante la noción de "repartir" un conjunto de objetos, por ejemplo, una pila de caramelos, en varias porciones iguales. Distribuir los objetos varios a la vez en cada ronda de compartir en cada porción conduce a la idea de ' fragmentar ', una forma de división en la que uno resta repetidamente múltiplos del divisor del dividendo en sí.

Al permitir que uno reste más múltiplos de los que permite el resto parcial en una etapa determinada, también se pueden desarrollar métodos más flexibles, como la variante bidireccional de fragmentación.

De manera más sistemática y eficiente, se pueden dividir dos enteros con lápiz y papel con el método de división corta , si el divisor es pequeño, o división larga , si el divisor es mayor. Si el dividendo tiene una parte fraccionaria (expresada como una fracción decimal ), se puede continuar el procedimiento más allá del lugar de las unidades tanto como se desee. Si el divisor tiene una parte fraccionaria, se puede reformular el problema moviendo el decimal hacia la derecha en ambos números hasta que el divisor no tenga fracción, lo que puede hacer que el problema sea más fácil de resolver (p. Ej., 10 / 2.5 = 100/25 = 4 ).

La división se puede calcular con un ábaco .

Las tablas de logaritmos se pueden usar para dividir dos números, restando los logaritmos de los dos números y luego buscando el antilogaritmo del resultado.

La división se puede calcular con una regla de cálculo alineando el divisor de la escala C con el dividendo de la escala D. El cociente se puede encontrar en la escala D donde está alineado con el índice izquierdo en la escala C. Sin embargo, el usuario es responsable de realizar un seguimiento mental del punto decimal.

Por computadora

Las calculadoras y computadoras modernas calculan la división por métodos similares a la división larga o por métodos más rápidos; consulte el algoritmo de división .

En aritmética modular (módulo un número primo) y para números reales , los números distintos de cero tienen un inverso multiplicativo . En estos casos, una división por x puede calcularse como el producto del inverso multiplicativo de x . Este enfoque a menudo se asocia con los métodos más rápidos en aritmética informática.

División en diferentes contextos

División euclidiana

La división euclidiana es la formulación matemática del resultado del proceso habitual de división de números enteros. Afirma que, dados dos enteros, a , el dividendo , yb , el divisor , tal que b ≠ 0, hay enteros únicos q , el cociente , y r , el resto, tal que a = bq + r y 0 ≤ r <| b |, donde | b | denota el valor absoluto de b .

De enteros

Los enteros no se cierran bajo división. Aparte de que la división por cero no está definida, el cociente no es un número entero a menos que el dividendo sea un múltiplo entero del divisor. Por ejemplo, 26 no se puede dividir entre 11 para dar un número entero. Tal caso utiliza uno de cinco enfoques:

1. Digamos que 26 no se puede dividir entre 11; la división se convierte en una función parcial .
2. Da una respuesta aproximada como un número " real ". Este es el enfoque que se suele adoptar en el cálculo numérico .
3. Da la respuesta como una fracción que representa un número racional , por lo que el resultado de la división de 26 entre 11 es (o como un número mixto , por lo tanto ) Por lo general, la fracción resultante debe simplificarse: el resultado de la división de 52 entre 22 también es . Esta simplificación se puede hacer factorizando el máximo común divisor .${\ displaystyle {\ tfrac {26} {11}}}$${\ displaystyle {\ tfrac {26} {11}} = 2 {\ tfrac {4} {11}}.}$${\ displaystyle {\ tfrac {26} {11}}}$
4. Da la respuesta como un cociente de enteros y un resto , por lo que para hacer la distinción con el caso anterior, esta división, con dos enteros como resultado, a veces se llama división euclidiana , porque es la base del algoritmo euclidiano .${\ displaystyle {\ tfrac {26} {11}} = 2 {\ mbox {resto}} 4.}$
5. Da el cociente de números enteros como respuesta, por lo que esta es la función de piso , también llamada a veces división de enteros en un nivel elemental.${\ displaystyle {\ tfrac {26} {11}} = 2.}$

La división de números enteros en un programa de computadora requiere un cuidado especial. Algunos lenguajes de programación tratan la división de enteros como en el caso 5 anterior, por lo que la respuesta es un entero. Otros lenguajes, como MATLAB y todos los sistemas de álgebra informática, devuelven un número racional como respuesta, como en el caso 3 anterior. Estos lenguajes también proporcionan funciones para obtener los resultados de los otros casos, ya sea directamente o del resultado del caso 3.

Los nombres y símbolos utilizados para la división de enteros incluyen div, /, \ y%. Las definiciones varían con respecto a la división de enteros cuando el dividendo o el divisor es negativo: el redondeo puede ser hacia cero (la denominada división T) o hacia −∞ (división F); pueden ocurrir estilos más raros; consulte Operación de módulo para obtener más detalles.

Las reglas de divisibilidad a veces se pueden usar para determinar rápidamente si un entero se divide exactamente en otro.

De números racionales

El resultado de dividir dos números racionales es otro número racional cuando el divisor no es 0. La división de dos números racionales p / q y r / s puede calcularse como

${\ Displaystyle {p / q \ over r / s} = {p \ over q} \ times {s \ over r} = {ps \ over qr}.}$

Las cuatro cantidades son números enteros y solo p puede ser 0. Esta definición asegura que la división es la operación inversa de la multiplicación .

De números reales

La división de dos números reales da como resultado otro número real (cuando el divisor es distinto de cero). Se define de tal manera que a / b = c si y solo si a = cb y b ≠ 0.

De números complejos

Dividir dos números complejos (cuando el divisor es distinto de cero) da como resultado otro número complejo, que se encuentra usando el conjugado del denominador:

${\ displaystyle {p + iq \ over r + is} = {(p + iq) (r-is) \ over (r + is) (r-is)} = {pr + qs + i (qr-ps) \ sobre r ^ {2} + s ^ {2}} = {pr + qs \ sobre r ^ {2} + s ^ {2}} + i {qr-ps \ sobre r ^ {2} + s ^ { 2}}.}$

Este proceso de multiplicar y dividir por se llama "realización" o (por analogía) racionalización . Los cuatro cantidades p , q , r , s son números reales, y r y s no pueden ser ambos 0. ${\ displaystyle r-is}$

La división de números complejos expresados ​​en forma polar es más simple que la definición anterior:

${\ displaystyle {pe ^ {iq} \ over re ^ {is}} = {pe ^ {iq} e ^ {- is} \ over re ^ {is} e ^ {- is}} = {p \ over r } e ^ {i (qs)}.}$

Nuevamente, las cuatro cantidades p , q , r , s son números reales y r puede no ser 0.

De polinomios

Se puede definir la operación de división de polinomios en una variable sobre un campo . Entonces, como en el caso de los números enteros, uno tiene un resto. Consulte División euclidiana de polinomios y, para cálculos escritos a mano, división polinomial larga o división sintética .

De matrices

Se puede definir una operación de división para matrices. La forma habitual de hacer esto es definir A / B = AB ^-1 , donde B ^-1 denota el inverso de B , pero es mucho más común escribir AB ^-1 explícitamente para evitar confusiones. Una división por elementos también se puede definir en términos del producto Hadamard .

División izquierda y derecha

Debido a la multiplicación de matrices no es conmutativa , también se puede definir una división izquierda o la llamada backslash-división como A \ B = A ^-1 B . Para que esto esté bien definido, no es necesario que B ⁻¹ exista, sin embargo, A ⁻¹ debe existir. Para evitar confusiones, la división definida por A / B = AB ^{−1 a} veces se denomina división por la derecha o división por barra en este contexto.

Tenga en cuenta que con la división izquierda y derecha definida de esta manera, A / ( BC ) en general no es lo mismo que ( A / B ) / C , ni es ( AB ) \ C lo mismo que A \ ( B \ C ) . Sin embargo, sostiene que A / ( BC ) = ( A / C ) / B y ( AB ) \ C = B \ ( A \ C ) .

Pseudoinverso

Para evitar problemas cuando A ⁻¹ y / o B ⁻¹ no existen, la división también se puede definir como una multiplicación por el pseudoinverso . Esto es, A / B = AB ⁺ y A \ B = A ⁺ B , donde A ⁺ y B ⁺ denotan los pseudoinverses de A y B .

Álgebra abstracta

En álgebra abstracta , dado un magma con operación binaria ∗ (que nominalmente podría denominarse multiplicación), la división izquierda de b por a (escrito a \ b ) se define típicamente como la solución x de la ecuación a ∗ x = b , si esto existe y es único. De manera similar, la división derecha de b por a (escrito b / a ) es la solución y a la ecuación y ∗ a = b . La división en este sentido no requiere que ∗ tenga propiedades particulares (como conmutatividad, asociatividad o un elemento de identidad).

La "división" en el sentido de "cancelación" se puede hacer en cualquier magma por un elemento con la propiedad de cancelación . Los ejemplos incluyen álgebras de matrices y álgebras de cuaterniones . Un cuasigrupo es una estructura en la que la división siempre es posible, incluso sin un elemento de identidad y, por tanto, inversa. En un dominio integral , donde no todos los elementos necesitan tener una inversa, la división por un elemento cancelador a todavía se puede realizar en elementos de la forma ab o ca mediante cancelación izquierda o derecha, respectivamente. Si un anillo es finito y cada elemento distinto de cero es cancelador, entonces mediante la aplicación del principio de casillero , cada elemento distinto de cero del anillo es invertible y es posible la división por cualquier elemento distinto de cero. Para saber cuándo las álgebras (en el sentido técnico) tienen una operación de división, consulte la página sobre álgebras de división . En particular periodicidad Bott puede ser utilizado para mostrar que cualquier verdadero álgebra de división normado debe ser isomorfo a cualquiera de los números reales R , los números complejos C , los cuaterniones H , o los octoniones O .

Cálculo

La derivada del cociente de dos funciones viene dada por la regla del cociente :

${\ displaystyle {\ left ({\ frac {f} {g}} \ right)} '= {\ frac {f'g-fg'} {g ^ {2}}}.}$

División por cero

La división de cualquier número por cero en la mayoría de los sistemas matemáticos no está definida, porque cero multiplicado por cualquier número finito siempre da como resultado un producto de cero. La introducción de una expresión de este tipo en la mayoría de las calculadoras produce un mensaje de error. Sin embargo, en ciertas matemáticas de nivel superior, la división por cero es posible mediante el anillo cero y álgebras como las ruedas . En estas álgebras, el significado de división es diferente de las definiciones tradicionales.

Ver también

• Algoritmo de división Sunzi 400AD
• División por dos
• División de galeras
• Elemento inverso
• Orden de operaciones
• Decimal repetido

Notas

Referencias

enlaces externos

• División Planetmath
• División en un ábaco japonés seleccionado de Abacus: Mystery of the Bead
• Técnicas chinas de división corta en un Suan Pan
• Reglas de divisibilidad