Raíz cuadrada - Square root

Notación para la raíz cuadrada (principal) de x .
Por ejemplo, 25 = 5 , ya que 25 = 5 ⋅ 5 , o 5 2 (5 al cuadrado).

En matemáticas , una raíz cuadrada de un número x es un número y tal que y 2 = x ; en otras palabras, un número y cuyo cuadrado (el resultado de multiplicar el número por sí mismo, o y  ⋅  y ) es x . Por ejemplo, 4 y −4 son raíces cuadradas de 16, porque 4 2 = (−4) 2 = 16 . Cada número real no negativo x tiene una raíz cuadrada no negativa única, llamada raíz cuadrada principal , que se denota por donde el símbolo se llama signo radical o raíz . Por ejemplo, la raíz cuadrada principal de 9 es 3, que se denota porque 3 2 = 3 ⋅ 3 = 9 y 3 no es negativo. El término (o número) cuya raíz cuadrada se está considerando se conoce como radicando . El radicando es el número o expresión debajo del signo del radical, en este caso 9.

Todo número positivo x tiene dos raíces cuadradas: cuál es positiva y cuál es negativa. Juntas, estas dos raíces se denotan como (ver ± taquigrafía ). Aunque la raíz cuadrada principal de un número positivo es solo una de sus dos raíces cuadradas, la designación " la raíz cuadrada" se usa a menudo para referirse a la raíz cuadrada principal . Para x positivo , la raíz cuadrada principal también se puede escribir en notación exponencial , como x 1/2 .

Las raíces cuadradas de números negativos se pueden discutir dentro del marco de los números complejos . De manera más general, las raíces cuadradas se pueden considerar en cualquier contexto en el que se defina una noción del " cuadrado " de un objeto matemático. Estos incluyen espacios funcionales y matrices cuadradas , entre otras estructuras matemáticas .

Historia

La tablilla de arcilla Yale Babylonian Collection YBC 7289 fue creada entre 1800 AC y 1600 AC, mostrando y respectivamente como 1; 24,51,10 y 0; 42,25,35 base 60 números en un cuadrado cruzado por dos diagonales. (1; 24,51,10) base 60 corresponde a 1.41421296, que es un valor correcto a 5 decimales (1.41421356 ...).

El papiro matemático de Rhind es una copia de 1650 a. C. de un papiro de Berlín anterior y otros textos, posiblemente el papiro de Kahun  , que muestra cómo los egipcios extrajeron raíces cuadradas mediante un método de proporción inversa.

En la India antigua , el conocimiento de los aspectos teóricos y aplicados de la raíz cuadrada y cuadrada era al menos tan antiguo como los Sulba Sutras , fechados alrededor del 800-500 a. C. (posiblemente mucho antes). En el Baudhayana Sulba Sutra se da un método para encontrar muy buenas aproximaciones a las raíces cuadradas de 2 y 3 . Aryabhata , en el Aryabhatiya (sección 2.4), ha proporcionado un método para encontrar la raíz cuadrada de números que tienen muchos dígitos.

Los antiguos griegos sabían que las raíces cuadradas de enteros positivos que no son cuadrados perfectos son siempre números irracionales : números que no se pueden expresar como una razón de dos enteros (es decir, no se pueden escribir exactamente como m / n , donde m y n son enteros). Este es el teorema de Euclides X, 9 , casi con certeza debido a que Theaetetus se remonta a alrededor del 380 aC. Se supone que el caso particular de la raíz cuadrada de 2 se remonta antes a los pitagóricos , y tradicionalmente se atribuye a Hippasus . Es exactamente la longitud de la diagonal de un cuadrado con una longitud de lado 1 .

En el trabajo matemático chino Writings on Reckoning , escrito entre el 202 a. C. y el 186 a. C. durante la dinastía Han , la raíz cuadrada se aproxima utilizando un método de "exceso y deficiencia", que dice "... combinar el exceso y la deficiencia como el divisor; (tomando) el numerador de la deficiencia multiplicado por el denominador en exceso y el numerador en exceso multiplicado por el denominador de la deficiencia, combínelos como dividendo ".

Regiomontanus (1436-1476) inventó un símbolo de raíces cuadradas, escrito como una R elaborada . Un R también se utiliza para indicar la raíz a las raíces cuadradas de Gerolamo Cardano 's Ars Magna .

Según el historiador de las matemáticas DE Smith , el método de Aryabhata para encontrar la raíz cuadrada fue introducido por primera vez en Europa por Cataneo en 1546.

Según Jeffrey A. Oaks, los árabes usaban la letra jīm / ĝīm ( ج ), la primera letra de la palabra " جذر " (transliterada de diversas formas como jaḏr , jiḏr , ǧaḏr o ǧiḏr , "raíz"), colocada en su forma inicial ( ) sobre un número para indicar su raíz cuadrada. La letra jīm se asemeja a la forma de raíz cuadrada actual. Su uso llega hasta finales del siglo XII en las obras del matemático marroquí Ibn al-Yasamin .

El símbolo "√" para la raíz cuadrada se utilizó por primera vez en la impresión en 1525, en Christoph Rudolff 's Coss .

Propiedades y usos

La gráfica de la función f ( x ) = √ x , formada por media parábola con directriz vertical

La función de raíz cuadrada principal (generalmente denominada "función de raíz cuadrada") es una función que mapea el conjunto de números reales no negativos sobre sí misma. En términos geométricos , la función de raíz cuadrada asigna el área de un cuadrado a la longitud de su lado.

La raíz cuadrada de x es racional si y solo si x es un número racional que se puede representar como una razón de dos cuadrados perfectos. (Consulte la raíz cuadrada de 2 para ver las pruebas de que este es un número irracional y el irracional cuadrático para una prueba de todos los números naturales no cuadrados). La función de raíz cuadrada mapea números racionales en números algebraicos , siendo este último un superconjunto de los números racionales. ).

Para todos los números reales x ,

    (ver valor absoluto )

Para todos los números reales no negativos x e y ,

y

La función raíz cuadrada es continua para todo x no negativo y diferenciable para todo x positivo . Si f denota la función raíz cuadrada, cuya derivada está dada por:

La serie de Taylor de aproximadamente x = 0 converge para | x | ≤ 1, y viene dado por

La raíz cuadrada de un número no negativo se utiliza en la definición de norma euclidiana (y distancia ), así como en generalizaciones como los espacios de Hilbert . Define un concepto importante de desviación estándar que se utiliza en la teoría de la probabilidad y la estadística . Tiene un uso importante en la fórmula de raíces de una ecuación cuadrática ; Los campos cuadráticos y los anillos de números enteros cuadráticos , que se basan en raíces cuadradas, son importantes en álgebra y tienen usos en geometría. Las raíces cuadradas aparecen con frecuencia en fórmulas matemáticas en otros lugares, así como en muchas leyes físicas .

Raíces cuadradas de enteros positivos

Un número positivo tiene dos raíces cuadradas, una positiva y otra negativa, que son opuestas entre sí. Cuando se habla de la raíz cuadrada de un número entero positivo, normalmente se trata de la raíz cuadrada positiva.

Las raíces cuadradas de un número entero son números enteros algebraicos, más específicamente números enteros cuadráticos .

La raíz cuadrada de un número entero positivo es el producto de las raíces de sus factores primos , porque la raíz cuadrada de un producto es el producto de las raíces cuadradas de los factores. Dado que solo son necesarias las raíces de esos números primos que tienen una potencia impar en la factorización . Más precisamente, la raíz cuadrada de una factorización prima es

Como expansiones decimales

Las raíces cuadradas de los cuadrados perfectos (por ejemplo, 0, 1, 4, 9, 16) son números enteros . En todos los demás casos, las raíces cuadradas de los enteros positivos son números irracionales y, por lo tanto, tienen decimales no repetidos en sus representaciones decimales . En la siguiente tabla se dan aproximaciones decimales de las raíces cuadradas de los primeros números naturales.

norte truncado a 50 lugares decimales
0 0
1 1
2 1,4142135623 7309504880 1688724209 6980785696 7187537694
3 1,7320508075 6887729352 7446341505 8723669428 0525381038
4 2
5 2.2360679774 9978969640 9173668731 2762354406 1835961152
6 2.4494897427 8317809819 7284074705 8913919659 4748065667
7 2.6457513110 6459059050 1615753639 2604257102 5918308245
8 2.8284271247 4619009760 3377448419 3961571393 4375075389
9 3
10 3.1622776601 6837933199 8893544432 7185337195 5513932521

Como expansiones en otros sistemas numéricos

Como antes, las raíces cuadradas de los cuadrados perfectos (por ejemplo, 1, 4, 9, 16) son números enteros. En todos los demás casos, las raíces cuadradas de los enteros positivos son números irracionales y, por lo tanto, tienen dígitos que no se repiten en cualquier sistema de notación posicional estándar .

Las raíces cuadradas de los números enteros pequeños se utilizan en los diseños de funciones hash SHA-1 y SHA-2 para no proporcionar nada en mis números de la manga .

Como fracciones continuas periódicas

Uno de los resultados más intrigantes del estudio de los números irracionales como fracciones continuas fue obtenido por Joseph Louis Lagrange c. 1780. Lagrange descubrió que la representación de la raíz cuadrada de cualquier entero positivo no cuadrado como una fracción continua es periódica . Es decir, cierto patrón de denominadores parciales se repite indefinidamente en la fracción continua. En cierto sentido, estas raíces cuadradas son los números irracionales más simples, porque se pueden representar con un patrón simple repetido de números enteros.

= [1; 2, 2, ...]
= [1; 1, 2, 1, 2, ...]
= [2]
= [2; 4, 4, ...]
= [2; 2, 4, 2, 4, ...]
= [2; 1, 1, 1, 4, 1, 1, 1, 4, ...]
= [2; 1, 4, 1, 4, ...]
= [3]
= [3; 6, 6, ...]
= [3; 3, 6, 3, 6, ...]
= [3; 2, 6, 2, 6, ...]
= [3; 1, 1, 1, 1, 6, 1, 1, 1, 1, 6, ...]
= [3; 1, 2, 1, 6, 1, 2, 1, 6, ...]
= [3; 1, 6, 1, 6, ...]
= [4]
= [4; 8, 8, ...]
= [4; 4, 8, 4, 8, ...]
= [4; 2, 1, 3, 1, 2, 8, 2, 1, 3, 1, 2, 8, ...]
= [4; 2, 8, 2, 8, ...]

La notación de corchetes usada arriba es una forma corta para una fracción continua. Escrita en la forma algebraica más sugerente, la fracción continua simple para la raíz cuadrada de 11, [3; 3, 6, 3, 6, ...], se ve así:

donde el patrón de dos dígitos {3, 6} se repite una y otra vez en los denominadores parciales. Dado que 11 = 3 2 + 2 , lo anterior también es idéntico a las siguientes fracciones continuas generalizadas :

Cálculo

Las raíces cuadradas de números positivos no son en general números racionales , por lo que no se pueden escribir como una expresión decimal recurrente o terminante. Por lo tanto, en general, cualquier intento de calcular una raíz cuadrada expresada en forma decimal solo puede producir una aproximación, aunque se puede obtener una secuencia de aproximaciones cada vez más precisas.

La mayoría de las calculadoras de bolsillo tienen una clave de raíz cuadrada. Las hojas de cálculo de computadora y otro software también se utilizan con frecuencia para calcular raíces cuadradas. Las calculadoras de bolsillo suelen implementar rutinas eficientes, como el método de Newton (con frecuencia con una estimación inicial de 1), para calcular la raíz cuadrada de un número real positivo. Al calcular raíces cuadradas con tablas de logaritmos o reglas de cálculo , se pueden aprovechar las identidades

donde ln y log 10 son los logaritmos natural y base 10 .

Por ensayo y error, se puede cuadrar una estimación y aumentar o disminuir la estimación hasta que esté de acuerdo con la precisión suficiente. Para esta técnica es prudente utilizar la identidad

ya que permite ajustar la estimación x en alguna cantidad cy medir el cuadrado del ajuste en términos de la estimación original y su cuadrado. Además, ( x + c ) 2x 2 + 2 xc cuando c está cerca de 0, porque la recta tangente a la gráfica de x 2 + 2 xc + c 2 en c = 0, en función de c solo, es y = 2 xc + x 2 . Por lo tanto, pequeños ajustes en x se pueden planificar a cabo mediante el establecimiento de 2 xc a una , o c = un / (2 x ).

El método iterativo más común de cálculo manual de la raíz cuadrada se conoce como el " método babilónico " o "método de Heron" en honor al filósofo griego Heron de Alejandría del siglo I , quien lo describió por primera vez. El método usa el mismo esquema iterativo que los rendimientos del método de Newton-Raphson cuando se aplica a la función y = f ( x ) = x 2 - a , usando el hecho de que su pendiente en cualquier punto es dy / dx = f ( x ) = 2 x , pero lo precede en muchos siglos. El algoritmo consiste en repetir un cálculo simple que da como resultado un número más cercano a la raíz cuadrada real cada vez que se repite con su resultado como la nueva entrada. La motivación es que si x es una sobreestimación de la raíz cuadrada de un número real no negativo a, entonces a / x será una subestimación y, por lo tanto, el promedio de estos dos números es una mejor aproximación que cualquiera de ellos. Sin embargo, la desigualdad de medias aritméticas y geométricas muestra que este promedio es siempre una sobreestimación de la raíz cuadrada (como se señala a continuación ), por lo que puede servir como una nueva sobreestimación con la que repetir el proceso, que converge como consecuencia de los sucesivos sobreestima y subestima estar más cerca el uno del otro después de cada iteración. Para encontrar x :

  1. Comience con un valor inicial positivo arbitrario x . Cuanto más cerca de la raíz cuadrada de a , menos iteraciones serán necesarias para lograr la precisión deseada.
  2. Reemplaza x por el promedio ( x + a / x ) / 2 entre x y a / x .
  3. Repita desde el paso 2, usando este promedio como el nuevo valor de x .

Es decir, si una suposición arbitraria para es x 0 , y x n + 1 = ( x n + a / x n ) / 2 , entonces cada x n es una aproximación de cuál es mejor para n grande que para n pequeño . Si a es positivo, la convergencia es cuadrática , lo que significa que al acercarse al límite, el número de dígitos correctos aproximadamente se duplica en cada iteración siguiente. Si a = 0 , la convergencia es solo lineal.

Usando la identidad

el cálculo de la raíz cuadrada de un número positivo se puede reducir al de un número en el rango [1,4) . Esto simplifica la búsqueda de un valor inicial para el método iterativo que esté cerca de la raíz cuadrada, para lo cual se puede usar una aproximación polinomial o lineal por partes .

La complejidad de tiempo para calcular una raíz cuadrada con n dígitos de precisión es equivalente a la de multiplicar dos números de n dígitos.

Otro método útil para calcular la raíz cuadrada es el algoritmo de raíz n-ésima de desplazamiento , aplicado para n = 2 .

El nombre de la función de raíz cuadrada varía de un lenguaje de programación a otro, y sqrt(a menudo se pronuncia "squirt") es común, se usa en C , C ++ y lenguajes derivados como JavaScript , PHP y Python .

Raíces cuadradas de números complejos y negativos

Primera hoja de la raíz cuadrada compleja
Segunda hoja de la raíz cuadrada compleja
Usando la superficie de Riemann de la raíz cuadrada, se muestra cómo encajan las dos hojas

El cuadrado de cualquier número positivo o negativo es positivo y el cuadrado de 0 es 0. Por lo tanto, ningún número negativo puede tener una raíz cuadrada real . Sin embargo, es posible trabajar con un conjunto de números más inclusivo, llamados números complejos , que contienen soluciones a la raíz cuadrada de un número negativo. Esto se hace introduciendo un nuevo número, denotado por i (a veces j , especialmente en el contexto de la electricidad donde " i " tradicionalmente representa corriente eléctrica) y llamado unidad imaginaria , que se define de manera que i 2 = −1 . Usando esta notación, podemos pensar en i como la raíz cuadrada de −1, pero también tenemos (- i ) 2 = i 2 = −1 y entonces - i también es una raíz cuadrada de −1. Por convención, la raíz cuadrada principal de −1 es i , o más generalmente, si x es cualquier número no negativo, entonces la raíz cuadrada principal de - x es

El lado derecho (así como su negativo) es de hecho una raíz cuadrada de - x , ya que

Para cada número complejo z distinto de cero existen precisamente dos números w tales que w 2 = z : la raíz cuadrada principal de z (definida a continuación), y su negativo.

Raíz cuadrada principal de un número complejo

Representación geométrica de la segunda a la sexta raíces de un número complejo z , en forma polar re donde r = | z  | y φ = arg z . Si z es real, φ = 0 o π . Las raíces principales se muestran en negro.

Para encontrar una definición de la raíz cuadrada que nos permita elegir consistentemente un solo valor, llamado valor principal , comenzamos observando que cualquier número complejo puede verse como un punto en el plano, expresado usando coordenadas cartesianas . El mismo punto puede ser reinterpretado usando coordenadas polares como el par donde es la distancia del punto al origen, y es el ángulo que forma la línea desde el origen al punto con el eje real positivo ( ). En un análisis complejo, la ubicación de este punto se escribe convencionalmente Si

entonces el La raíz cuadrada principal dese define como la siguiente:
Por tanto, la función de raíz cuadrada principal se define utilizando el eje real no positivo como un corte de rama . Si es un número real no negativo (lo que ocurre si y solo si ) entonces la raíz cuadrada principal de es, en otras palabras, la raíz cuadrada principal de un número real no negativo es solo la raíz cuadrada no negativa habitual. Es importante que porque si, por ejemplo, (entonces ) entonces la raíz cuadrada principal es
pero usar en su lugar produciría la otra raíz cuadrada

La función de raíz cuadrada principal es holomórfica en todas partes excepto en el conjunto de números reales no positivos (en reales estrictamente negativos ni siquiera es continua ). La serie de Taylor anterior sigue siendo válida para números complejos con

Lo anterior también se puede expresar en términos de funciones trigonométricas :

Fórmula algebraica

Las raíces cuadradas de i

Cuando el número se expresa usando sus partes real e imaginaria, se puede usar la siguiente fórmula para la raíz cuadrada principal:

donde sgn ( y ) es el signo de y (excepto que, aquí, sgn (0) = 1). En particular, las partes imaginarias del número original y el valor principal de su raíz cuadrada tienen el mismo signo. La parte real del valor principal de la raíz cuadrada siempre es no negativa.

Por ejemplo, las principales raíces cuadradas de ± i están dadas por:

Notas

En lo que sigue, el complejo z y w pueden expresarse como:

donde y .

Debido a la naturaleza discontinua de la función raíz cuadrada en el plano complejo, las siguientes leyes no son verdaderas en general.

  • (contraejemplo para la raíz cuadrada principal: z = -1 y w = -1 ) Esta igualdad es válida solamente cuando
  • (contraejemplo para la raíz cuadrada principal: w = 1 y z = -1 ) Esta igualdad es válida solamente cuando
  • (contraejemplo de la raíz cuadrada principal: z = −1 ) Esta igualdad es válida solo cuando

Un problema similar aparece con otras funciones complejas con cortes de rama, por ejemplo, el logaritmo complejo y las relaciones log z + log w = log ( zw ) o log ( z * ) = log ( z ) * que no son verdaderas en general.

Asumir erróneamente una de estas leyes subyace a varias "pruebas" defectuosas, por ejemplo, la siguiente que muestra que −1 = 1 :

La tercera igualdad no se puede justificar (ver prueba inválida ). Se puede hacer que se mantenga cambiando el significado de √ para que ya no represente la raíz cuadrada principal (ver arriba), sino que seleccione una rama para la raíz cuadrada que contiene El lado izquierdo se convierte en

si la rama incluye + i o

si la rama incluye - i , mientras que el lado derecho se convierte en

donde la última igualdad, es consecuencia de la elección de rama en la redefinición de √.

Raíces N y raíces polinomiales

La definición de raíz cuadrada de como un número tal que se ha generalizado de la siguiente manera.

Una raíz cúbica de es un número tal que ; se denota

Si n es un número entero mayor que dos, un n º raíz de es un número tal que ; se denota

Dado cualquier polinomio p , una raíz de p es un número y tal que p ( y ) = 0 . Por ejemplo, las raíces n -ésimas de x son las raíces del polinomio (en y )

El teorema de Abel-Ruffini establece que, en general, las raíces de un polinomio de grado cinco o superior no se pueden expresar en términos de raíces n .

Raíces cuadradas de matrices y operadores

Si A es una matriz u operador definida positiva , entonces existe precisamente una matriz u operador definida positiva B con B 2 = A ; entonces definimos A media = B . En general, las matrices pueden tener múltiples raíces cuadradas o incluso una infinitud de ellas. Por ejemplo, la matriz identidad 2 × 2 tiene una infinidad de raíces cuadradas, aunque solo una de ellas es definida positiva.

En dominios integrales, incluidos campos

Cada elemento de un dominio integral no tiene más de 2 raíces cuadradas. La diferencia de identidad de dos cuadrados u 2 - v 2 = ( u - v ) ( u + v ) se demuestra usando la conmutatividad de la multiplicación . Si U y V son las raíces cuadradas de un mismo elemento, a continuación, u 2 - v 2 = 0 . Debido a que no hay divisores cero, esto implica u = v o u + v = 0 , donde lo último significa que dos raíces son inversas aditivas entre sí. En otras palabras, si un elemento de una raíz cuadrada u de un elemento de una existe, entonces las únicas raíces cuadradas de un son u y -u . La única raíz cuadrada de 0 en un dominio integral es el propio 0.

En un campo de característica  2, un elemento tiene una raíz cuadrada o no tiene ninguna, porque cada elemento es su propio inverso aditivo, de modo que - u = u . Si el campo es finito de característica 2, entonces cada elemento tiene una raíz cuadrada única. En un campo de cualquier otra característica, cualquier elemento distinto de cero tiene dos raíces cuadradas, como se explicó anteriormente, o no tiene ninguna.

Dado un número primo impar p , sea q = p e para algún entero positivo e . Un elemento distinto de cero del campo F q con q elementos es un residuo cuadrático si tiene una raíz cuadrada en F q . De lo contrario, es un no residuo cuadrático. Hay ( q - 1) / 2 residuos cuadráticos y ( q - 1) / 2 no residuos cuadráticos; cero no se cuenta en ninguna de las clases. Los residuos cuadráticos forman un grupo bajo multiplicación. Las propiedades de los residuos cuadráticos se utilizan ampliamente en la teoría de números .

En anillos en general

A diferencia de un dominio integral, una raíz cuadrada en un anillo arbitrario (unital) no necesita ser única hasta el signo. Por ejemplo, en el anillo de números enteros módulo 8 (que es conmutativo, pero tiene cero divisores), el elemento 1 tiene cuatro raíces cuadradas distintas: ± 1 y ± 3.

Otro ejemplo lo proporciona el anillo de cuaterniones que no tiene divisores de cero, pero no es conmutativo. Aquí, el elemento −1 tiene infinitas raíces cuadradas , incluidas ± i , ± j y ± k . De hecho, el conjunto de raíces cuadradas de −1 es exactamente

Una raíz cuadrada de 0 es 0 o un divisor de cero. Por lo tanto, en anillos donde no existen divisores cero, es únicamente 0. Sin embargo, los anillos con divisores cero pueden tener múltiples raíces cuadradas de 0. Por ejemplo, en cualquier múltiplo de n hay una raíz cuadrada de 0.

Construcción geométrica de la raíz cuadrada.

Construyendo la longitud , dada la y la unidad de longitud
La espiral de Theodorus hasta el triángulo con una hipotenusa de √ 4

La raíz cuadrada de un número positivo generalmente se define como la longitud del lado de un cuadrado con el área igual al número dado. Pero la forma cuadrada no es necesaria para ello: si uno de dos objetos euclidianos planos similares tiene el área una vez mayor que otro, entonces la relación de sus tamaños lineales es .

Se puede construir una raíz cuadrada con un compás y una regla. En sus Elementos , Euclides ( fl. 300 aC) dio la construcción de la media geométrica de dos cantidades en dos lugares diferentes: la Proposición II.14 y la Proposición VI.13 . Dado que la media geométrica de una y b es , se puede construir simplemente tomando b = 1 .

La construcción también la da Descartes en su La Géométrie , ver figura 2 en la página 2 . Sin embargo, Descartes no hizo ningún reclamo de originalidad y su audiencia habría estado bastante familiarizada con Euclides.

La segunda demostración de Euclides en el Libro VI depende de la teoría de triángulos semejantes . Sea AHB un segmento de recta de longitud a + b con AH = a y HB = b . Construya el círculo con AB como diámetro y sea C una de las dos intersecciones de la cuerda perpendicular en H con el círculo y denote la longitud CH como h . Luego, usando el teorema de Thales y, como en la prueba del teorema de Pitágoras por triángulos similares , el triángulo AHC es similar al triángulo CHB (como de hecho ambos son al triángulo ACB, aunque no lo necesitamos, pero es la esencia de la prueba del teorema de Pitágoras) de modo que AH: CH es como HC: HB, es decir, a / h = h / b , de lo cual concluimos por multiplicación cruzada que h 2 = ab , y finalmente eso . Al marcar el punto medio O del segmento de línea AB y trazar el radio OC de longitud ( a + b ) / 2 , entonces claramente OC> CH, es decir (con igualdad si y solo si a = b ), que es la aritmética-geométrica desigualdad media para dos variables y, como se señaló anteriormente , es la base de la comprensión griega antigua del "método de Heron".

Otro método de construcción geométrica usa triángulos rectángulos e inducción : se puede construir, y una vez construido, el triángulo rectángulo de catetos 1 y tiene una hipotenusa de . La construcción de raíces cuadradas sucesivas de esta manera produce la Espiral de Teodoro que se muestra arriba.

Ver también

Notas

Referencias

enlaces externos