Factorización - Factorization

El polinomio x 2  +  cx  +  d , donde a + b = c y ab = d , se puede factorizar en ( x + a ) ( x + b ).

En matemáticas , la factorización (o factorización , ver diferencias ortográficas en inglés ) o factorización consiste en escribir un número u otro objeto matemático como producto de varios factores , generalmente objetos más pequeños o más simples del mismo tipo. Por ejemplo, 3 × 5 es una factorización del entero 15 y ( x - 2) ( x + 2) es una factorización del polinomio x 2 - 4 .

La factorización generalmente no se considera significativa dentro de los sistemas numéricos que poseen división , como los números reales o complejos , ya que cualquiera puede escribirse trivialmente como siempre que no sea cero. Sin embargo, se puede obtener una factorización significativa para un número racional o una función racional escribiéndolo en términos mínimos y factorizando por separado su numerador y denominador.

La factorización fue considerada por primera vez por los matemáticos griegos antiguos en el caso de los números enteros. Demostraron el teorema fundamental de la aritmética , que afirma que cada entero positivo puede factorizarse en un producto de números primos , que no se puede factorizar en números enteros mayores que 1. Además, esta factorización es única hasta el orden de los factores. Aunque la factorización de enteros es una especie de inverso a la multiplicación, es mucho más difícil algorítmicamente , un hecho que se explota en el criptosistema RSA para implementar la criptografía de clave pública .

La factorización de polinomios también se ha estudiado durante siglos. En álgebra elemental, factorizar un polinomio reduce el problema de encontrar sus raíces a encontrar las raíces de los factores. Los polinomios con coeficientes en números enteros o en un campo poseen la propiedad de factorización única , una versión del teorema fundamental de la aritmética con números primos reemplazados por polinomios irreducibles . En particular, un polinomio univariado con coeficientes complejos admite una factorización única (hasta ordenar) en polinomios lineales : esta es una versión del teorema fundamental del álgebra . En este caso, la factorización se puede realizar con algoritmos de búsqueda de raíces . El caso de polinomios con coeficientes enteros es fundamental para el álgebra computacional . Existen algoritmos informáticos eficientes para calcular factorizaciones (completas) dentro del anillo de polinomios con coeficientes de números racionales (ver factorización de polinomios ).

Un anillo conmutativo que posee la propiedad de factorización única se denomina dominio de factorización único . Hay sistemas numéricos , como ciertos anillos de números enteros algebraicos , que no son dominios de factorización únicos. Sin embargo, los anillos de números enteros algebraicos satisfacen la propiedad más débil de los dominios de Dedekind : los ideales se factorizan únicamente en los ideales primos .

La factorización también puede referirse a descomposiciones más generales de un objeto matemático en el producto de objetos más pequeños o más simples. Por ejemplo, cada función puede incluirse en la composición de una función sobreyectiva con una función inyectiva . Las matrices poseen muchos tipos de factorizaciones matriciales . Por ejemplo, cada matriz tiene una factorización LUP única como producto de una matriz triangular inferior L con todas las entradas diagonales iguales a uno, una matriz triangular superior U y una matriz de permutación P ; esta es una formulación matricial de eliminación gaussiana .

Enteros

Según el teorema fundamental de la aritmética , todo número entero mayor que 1 tiene una factorización única (hasta el orden de los factores) en números primos , que son aquellos enteros que no se pueden factorizar más en el producto de números enteros mayores que uno.

Para calcular la factorización de un número entero n , se necesita un algoritmo para encontrar un divisor q de n o decidir que n es primo. Cuando se encuentra un divisor tal, la aplicación repetida de este algoritmo a los factores q y n / q da finalmente la factorización completa de n .

Para encontrar un divisor q de n , en su caso, es suficiente para poner a prueba todos los valores de q tal que 1 <q y q 2n . De hecho, si r es un divisor de n tal que r 2 > n , entonces q = n / r es un divisor de n tal que q 2n .

Si se prueban los valores de q en orden creciente, el primer divisor que se encuentra es necesariamente un número primo, y el cofactor r = n / q no puede tener ningún divisor menor que q . Para obtener la factorización completa, basta con continuar el algoritmo buscando un divisor de r que no sea menor que q ni mayor que r .

No es necesario probar todos los valores de q para aplicar el método. En principio, basta con probar solo los divisores primos. Esto necesita tener una tabla de números primos que se pueda generar, por ejemplo, con el tamiz de Eratóstenes . Como el método de factorización hace esencialmente el mismo trabajo que el tamiz de Eratóstenes, generalmente es más eficiente probar un divisor solo aquellos números para los que no está claro de inmediato si son primos o no. Por lo general, se puede proceder probando 2, 3, 5 y los números> 5, cuyo último dígito es 1, 3, 7, 9 y la suma de dígitos no es un múltiplo de 3.

Este método funciona bien para factorizar números enteros pequeños, pero es ineficaz para números enteros más grandes. Por ejemplo, Pierre de Fermat no pudo descubrir que el sexto número de Fermat

no es un número primo. De hecho, aplicar el método anterior requeriría más de10 000  divisiones , para un número que tiene 10  dígitos decimales .

Hay algoritmos de factorización más eficientes. Sin embargo, siguen siendo relativamente ineficientes, ya que, con el estado actual de la técnica, no se puede factorizar, incluso con las computadoras más potentes, un número de 500 dígitos decimales que es el producto de dos números primos elegidos al azar. Esto garantiza la seguridad del criptosistema RSA , que se utiliza ampliamente para la comunicación segura por Internet .

Ejemplo

Para factorizar n = 1386 en números primos:

  • Comience con la división por 2: el número es par y n = 2 · 693 . Continúe con 693 y 2 como primer candidato a divisor.
  • 693 es impar (2 no es divisor), pero es múltiplo de 3: uno tiene 693 = 3 · 231 y n = 2 · 3 · 231 . Continúe con 231 y 3 como primer candidato a divisor.
  • 231 también es múltiplo de 3: uno tiene 231 = 3 · 77 , y por lo tanto n = 2 · 3 2 · 77 . Continúe con 77 y 3 como primer candidato a divisor.
  • 77 no es un múltiplo de 3, ya que la suma de sus dígitos es 14, no es un múltiplo de 3. Tampoco es un múltiplo de 5 porque su último dígito es 7. El siguiente divisor impar que se probará es 7. Uno tiene 77 = 7 · 11 , y por tanto n = 2 · 3 2 · 7 · 11 . Esto muestra que 7 es primo (fácil de probar directamente). Continúe con 11 y 7 como primer candidato a divisor.
  • Como 7 2 > 11 , uno ha terminado. Por tanto, 11 es primo y la factorización prima es
1386 = 2 · 3 2 · 7 · 11 .

Expresiones

Manipular expresiones es la base del álgebra . La factorización es uno de los métodos más importantes para la manipulación de expresiones por varias razones. Si se puede poner una ecuación en forma factorizada EF = 0 , entonces el problema de resolver la ecuación se divide en dos problemas independientes (y generalmente más fáciles) E = 0 y F = 0 . Cuando se puede factorizar una expresión, los factores suelen ser mucho más simples y, por lo tanto, pueden ofrecer una idea del problema. Por ejemplo,

tener 16 multiplicaciones, 4 restas y 3 sumas, se puede factorizar en la expresión mucho más simple

con solo dos multiplicaciones y tres restas. Además, la forma factorizada da inmediatamente raíces x = a , b , c como las raíces del polinomio.

Por otro lado, la factorización no siempre es posible, y cuando es posible, los factores no siempre son más simples. Por ejemplo, se puede factorizar en dos factores irreductibles y .

Se han desarrollado varios métodos para encontrar factorizaciones; algunos se describen a continuación .

La resolución de ecuaciones algebraicas puede verse como un problema de factorización polinomial. De hecho, el teorema fundamental del álgebra se puede enunciar de la siguiente manera: todo polinomio en x de grado n con coeficientes complejos se puede factorizar en n factores lineales para i = 1, ..., n , donde a i s son las raíces del polinomio. Aunque se conoce la estructura de la factorización en estos casos, las a i s generalmente no se pueden calcular en términos de radicales ( raíces n - ésimas), mediante el teorema de Abel-Ruffini . En la mayoría de los casos, lo mejor que se puede hacer es calcular valores aproximados de las raíces con un algoritmo de búsqueda de raíces .

Historia de la factorización de expresiones

El uso sistemático de manipulaciones algebraicas para simplificar expresiones (más específicamente ecuaciones ) se puede fechar en el siglo IX, con el libro de al-Khwarizmi The Compendious Book on Calculation by Completion and Balancing , que se titula con dos de esos tipos de manipulación.

Sin embargo, incluso para resolver ecuaciones cuadráticas , el método de factorización no se utilizó antes de que se publicara el trabajo de Harriot en 1631, diez años después de su muerte. En su libro Artis Analyticae Praxis ad Aequationes Algebraicas Resolvendas , Harriot dibujó tablas para sumar, restar, multiplicar y dividir monomios , binomios y trinomios . Luego, en una segunda sección, estableció la ecuación aa - ba + ca = + bc , y mostró que esto coincide con la forma de multiplicación que había proporcionado previamente, dando la factorización ( a - b ) ( a + c ) .

Métodos generales

Los siguientes métodos se aplican a cualquier expresión que sea una suma o que pueda transformarse en una suma. Por lo tanto, se aplican con mayor frecuencia a polinomios , aunque también se pueden aplicar cuando los términos de la suma no son monomios , es decir, los términos de la suma son un producto de variables y constantes.

Factor común

Puede ocurrir que todos los términos de una suma sean productos y que algunos factores sean comunes a todos los términos. En este caso, la ley distributiva permite factorizar este factor común. Si hay varios factores comunes de este tipo, vale la pena dividir el factor común más grande. Además, si hay coeficientes enteros, se puede factorizar el máximo común divisor de estos coeficientes.

Por ejemplo,

ya que 2 es el máximo común divisor de 6, 8 y 10, y divide todos los términos.

Agrupamiento

Los términos de agrupación pueden permitir el uso de otros métodos para obtener una factorización.

Por ejemplo, factorizar

se puede observar que los dos primeros términos tienen un factor común x , y los dos últimos términos tienen el factor común y . Por lo tanto

Luego, una simple inspección muestra el factor común x + 5 , lo que lleva a la factorización

En general, esto funciona para sumas de 4 términos que se han obtenido como producto de dos binomios . Aunque no es frecuente, esto puede funcionar también para ejemplos más complicados.

Sumar y restar términos

A veces, algunas agrupaciones de términos dejan aparecer como parte de un patrón reconocible . Entonces es útil agregar términos para completar el patrón y restarlos para no cambiar el valor de la expresión.

Un uso típico de esto es el método de completar el cuadrado para obtener una fórmula cuadrática .

Otro ejemplo es la factorización de Si se introduce la raíz cuadrada no real de –1 , comúnmente denotada como i , entonces se tiene una diferencia de cuadrados

Sin embargo, también se puede desear una factorización con coeficientes de números reales . Al sumar, restar y agrupar tres términos, uno puede reconocer el cuadrado de un binomio :

Restar y sumar también produce la factorización:

Estas factorizaciones funcionan no solo sobre los números complejos, sino también sobre cualquier campo , donde –1, 2 o –2 es un cuadrado. En un campo finito , el producto de dos no cuadrados es un cuadrado; esto implica que el polinomio que es irreductible sobre los enteros, es modulo reducible a cada número primo . Por ejemplo,

ya que
ya que
ya que

Patrones reconocibles

Muchas identidades proporcionan una igualdad entre una suma y un producto. Los métodos anteriores pueden usarse para permitir que la suma de alguna identidad aparezca en una expresión, que por lo tanto puede ser reemplazada por un producto.

A continuación se muestran las identidades cuyos lados izquierdos se utilizan comúnmente como patrones (esto significa que las variables E y F que aparecen en estas identidades pueden representar cualquier subexpresión de la expresión que deba factorizarse.

Prueba visual de las diferencias entre dos cuadrados y dos cubos.
Por ejemplo,
  • Suma / diferencia de dos cubos
  • Diferencia de dos cuartos poderes
  • Suma / diferencia de dos n- ésimas potencias
En las siguientes identidades, los factores a menudo se pueden factorizar aún más:
  • Diferencia, incluso exponente
  • Diferencia, exponente par o impar
Este es un ejemplo que muestra que los factores pueden ser mucho mayores que la suma que se factoriza.
  • Suma, exponente impar
(obtenido cambiando F por - F en la fórmula anterior)
  • Suma, exponente par
Si el exponente es una potencia de dos, entonces la expresión no puede, en general, factorizarse sin introducir números complejos (si E y F contienen números complejos, este puede no ser el caso). Si n tiene un divisor impar, es decir, si n = pq con p impar, se puede usar la fórmula anterior (en "Suma, exponente impar") aplicada a
  • Trinomios y fórmulas cúbicas
  • Expansiones binomiales
Visualización de expansión binomial hasta la 4a potencia
El teorema del binomio proporciona patrones que pueden reconocerse fácilmente a partir de los números enteros que aparecen en ellos.
En bajo grado:
De manera más general, los coeficientes de las formas expandidas de y son los coeficientes de dos términos , que aparecen en el n º fila de triángulo de Pascal .

Raíces de unidad

Las n- ésimas raíces de la unidad son los números complejos, cada uno de los cuales es una raíz del polinomio. Por lo tanto, son los números.

por

De ello se deduce que para dos expresiones cualesquiera E y F , uno tiene:

Si E y F son expresiones reales, y uno quiere factores reales, debe reemplazar cada par de factores complejos conjugados por su producto. Como conjugado complejo de is y

uno tiene las siguientes factorizaciones reales (se pasa de uno a otro cambiando k en n - k o n + 1 - k , y aplicando las fórmulas trigonométricas habituales :

Los cosenos que aparecen en estas factorizaciones son números algebraicos , y pueden expresarse en términos de radicales (esto es posible porque su grupo de Galois es cíclico); sin embargo, estas expresiones radicales son demasiado complicadas para ser utilizadas, excepto para valores bajos de n . Por ejemplo,

A menudo se quiere una factorización con coeficientes racionales. Tal factorización implica polinomios ciclotómicos . Para expresar factorizaciones racionales de sumas y diferencias o potencias, necesitamos una notación para la homogeneización de un polinomio : si su homogeneización es el polinomio bivariado Entonces, se tiene

donde los productos se toman sobre todos los divisores de n , o todos los divisores de 2 n que no dividen n , y es el n -ésimo polinomio ciclotómico.

Por ejemplo,

ya que los divisores de 6 son 1, 2, 3, 6, y los divisores de 12 que no dividen a 6 son 4 y 12.

Polinomios

Para los polinomios, la factorización está fuertemente relacionada con el problema de resolver ecuaciones algebraicas . Una ecuación algebraica tiene la forma

donde P ( x ) es un polinomio en x con Una solución de esta ecuación (también llamada raíz del polinomio) es un valor r de x tal que

Si es una factorización de P ( x ) = 0 como producto de dos polinomios, entonces las raíces de P ( x ) son la unión de las raíces de Q ( x ) y las raíces de R ( x ) . Por lo tanto, resolver P ( x ) = 0 se reduce a los problemas más simples de resolver Q ( x ) = 0 y R ( x ) = 0 .

Por el contrario, el teorema del factor afirma que, si r es una raíz de P ( x ) = 0 , entonces P ( x ) se puede factorizar como

donde Q ( x ) es el cociente de la división euclidiana de P ( x ) = 0 por el factor lineal (grado uno) x - r .

Si los coeficientes de P ( x ) son números reales o complejos , el teorema fundamental del álgebra afirma que P ( x ) tiene una raíz real o compleja. Usando el teorema del factor de forma recursiva, resulta que

donde están las raíces reales o complejas de P , con algunas de ellas posiblemente repetidas. Esta factorización completa es única hasta el orden de los factores.

Si los coeficientes de P ( x ) son reales, generalmente se desea una factorización donde los factores tienen coeficientes reales. En este caso, la factorización completa puede tener algunos factores cuadráticos (grado dos). Esta factorización puede deducirse fácilmente de la factorización completa anterior. De hecho, si r = a + ib es una raíz no real de P ( x ) , entonces su conjugado complejo s = a - ib también es una raíz de P ( x ) . Entonces, el producto

es un factor de P ( x ) con coeficientes reales. Repetir esto para todos los factores no reales da una factorización con factores reales lineales o cuadráticos.

Para calcular estas factorizaciones reales o complejas, se necesitan las raíces del polinomio, que puede que no se calculen con exactitud y solo se aproximen mediante algoritmos de búsqueda de raíces .

En la práctica, la mayoría de las ecuaciones algebraicas de interés tienen coeficientes enteros o racionales , y se puede desear una factorización con factores del mismo tipo. El teorema fundamental de la aritmética puede generalizarse a este caso, indicando que los polinomios con coeficientes enteros o racionales tienen la propiedad de factorización única . Más precisamente, cada polinomio con coeficientes racionales puede factorizarse en un producto

donde q es un número racional y son polinomios no constantes con coeficientes enteros que son irreducibles y primitivos ; esto significa que ninguno de los puede escribirse como el producto de dos polinomios (con coeficientes enteros) que no sean ni 1 ni –1 (los enteros se consideran polinomios de grado cero). Además, esta factorización es única hasta el orden de los factores y los signos de los factores.

Existen algoritmos eficientes para calcular esta factorización, que se implementan en la mayoría de los sistemas de álgebra por computadora . Consulte Factorización de polinomios . Desafortunadamente, estos algoritmos son demasiado complicados de usar para cálculos con papel y lápiz. Además de las heurísticas anteriores, solo unos pocos métodos son adecuados para cálculos manuales, que generalmente funcionan solo para polinomios de bajo grado, con pocos coeficientes distintos de cero. Los principales métodos de este tipo se describen en las siguientes subsecciones.

Factorización de contenido y partes primitivas

Todo polinomio con coeficientes racionales , puede factorizarse, de manera única, como el producto de un número racional y un polinomio con coeficientes enteros, que es primitivo (es decir, el máximo común divisor de los coeficientes es 1), y tiene un coeficiente principal positivo (coeficiente del término del grado más alto). Por ejemplo:

En esta factorización, el número racional se llama contenido y el polinomio primitivo es la parte primitiva . El cálculo de esta factorización se puede hacer de la siguiente manera: en primer lugar, reducir todos los coeficientes a un denominador común, para obtener el cociente entre un número entero q de un polinomio con coeficientes enteros. Luego se divide el mayor común divisor p de los coeficientes de este polinomio para obtener la parte primitiva, cuyo contenido es Finalmente, si es necesario, se cambian los signos de py todos los coeficientes de la parte primitiva.

Esta factorización puede producir un resultado mayor que el polinomio original (normalmente cuando hay muchos denominadores coprimos ), pero, incluso cuando este es el caso, la parte primitiva es generalmente más fácil de manipular para una factorización adicional.

Usando el teorema del factor

El teorema del factor establece que, si r es la raíz de un polinomio

lo que significa P ( r ) = 0 , entonces hay una factorización

dónde

con . Entonces la división polinomial larga o la división sintética dan:

Esto puede resultar útil cuando se conoce o se puede adivinar la raíz del polinomio.

Por ejemplo, uno puede ver fácilmente que la suma de sus coeficientes es 0, por lo que r = 1 es una raíz. Como r + 0 = 1 , y uno tiene

Raíces racionales

Para polinomios con coeficientes de números racionales, se pueden buscar raíces que sean números racionales. La factorización primitiva de contenido parcial (ver arriba ) reduce el problema de buscar raíces racionales al caso de polinomios con coeficientes enteros que no tienen divisor común no trivial .

Si es una raíz racional de tal polinomio

el teorema del factor muestra que uno tiene una factorización

donde ambos factores tienen coeficientes enteros (el hecho de que Q tenga coeficientes enteros resulta de la fórmula anterior para el cociente de P ( x ) por ).

La comparación de los coeficientes de grado n y los coeficientes constantes en las anteriores espectáculos de igualdad que, si es una raíz racional en forma reducida , a continuación, q es un divisor de y p es un divisor de lo tanto, existe un número finito de posibilidades de p y q , que puede examinarse sistemáticamente.

Por ejemplo, si el polinomio

tiene una raíz racional con q > 0 , entonces p debe dividir 6; es decir y q debe dividir 2, que es otra parte, si x <0 , todos los términos del polinomio son negativos, y, por lo tanto, una raíz no puede ser negativa. Es decir, uno debe tener

Un cálculo directo muestra que solo hay una raíz, por lo que no puede haber otra raíz racional. La aplicación del teorema del factor conduce finalmente a la factorización

Método de CA cuadrático

El método anterior puede adaptarse para polinomios cuadráticos , lo que lleva al método de factorización ac .

Considere el polinomio cuadrático

con coeficientes enteros. Si tiene una raíz racional, su denominador debe dividir a uniformemente y puede escribirse como una fracción posiblemente reducible. Mediante las fórmulas de Vieta , la otra raíz es

con Así, la segunda raíz también es racional, y la segunda fórmula de Vieta da

es decir

Al verificar todos los pares de números enteros cuyo producto es ac, se obtienen las raíces racionales, si las hay.

Por ejemplo, consideremos el polinomio cuadrático

La inspección de los factores de ac = 36 conduce a 4 + 9 = 13 = b , dando las dos raíces

y la factorización

Usar fórmulas para raíces polinomiales

Cualquier polinomio cuadrático univariado se puede factorizar usando la fórmula cuadrática :

donde y son las dos raíces del polinomio.

Si a, b, c son todos reales , los factores son reales si y solo si el discriminante no es negativo. De lo contrario, el polinomio cuadrático no se puede factorizar en factores reales no constantes.

La fórmula cuadrática es válida cuando los coeficientes pertenecen a cualquier campo de característica diferente de dos y, en particular, para coeficientes en un campo finito con un número impar de elementos.

También hay fórmulas para raíces de polinomios cúbicos y cuárticos , que en general son demasiado complicadas para su uso práctico. El teorema de Abel-Ruffini muestra que no existen fórmulas de raíz generales en términos de radicales para polinomios de grado cinco o superior.

Usando relaciones entre raíces

Puede ocurrir que se conozca alguna relación entre las raíces de un polinomio y sus coeficientes. Usar este conocimiento puede ayudar a factorizar el polinomio y encontrar sus raíces. La teoría de Galois se basa en un estudio sistemático de las relaciones entre raíces y coeficientes, que incluyen fórmulas de Vieta .

Aquí, consideramos el caso más simple donde dos raíces y de un polinomio satisfacen la relación

donde Q es un polinomio.

Esto implica que es una raíz común de y, por lo tanto, es una raíz del máximo común divisor de estos dos polinomios. De ello se deduce que este máximo común divisor es un factor no constante del algoritmo euclidiano para polinomios que permite calcular este máximo común divisor .

Por ejemplo, si uno sabe o adivina que: tiene dos raíces que suman cero, se puede aplicar el algoritmo euclidiano a y El primer paso de división consiste en sumar para dar el resto de

Luego, dividir entre da cero como un nuevo resto y x - 5 como un cociente, lo que lleva a la factorización completa.

Dominios de factorización únicos

Los números enteros y los polinomios sobre un campo comparten la propiedad de factorización única, es decir, cada elemento distinto de cero puede factorizarse en un producto de un elemento invertible (una unidad , ± 1 en el caso de números enteros) y un producto de elementos irreductibles ( números primos , en el caso de números enteros), y esta factorización es única hasta reordenar los factores y cambiar las unidades entre los factores. Los dominios integrales que comparten esta propiedad se denominan dominios de factorización únicos (UFD).

Los mayores divisores comunes existen en las UFD y, a la inversa, cada dominio integral en el que existen los máximos divisores comunes es una UFD. Cada dominio ideal principal es un UFD.

Un dominio euclidiano es un dominio integral en el que se define una división euclidiana similar a la de los números enteros. Cada dominio euclidiano es un dominio ideal principal y, por lo tanto, un UFD.

En un dominio euclidiano, la división euclidiana permite definir un algoritmo euclidiano para calcular los máximos divisores comunes. Sin embargo, esto no implica la existencia de un algoritmo de factorización. Hay un ejemplo explícito de un campo F de tal manera que no puede existir cualquier algoritmo de factorización en el euclidiana dominio F [ x ] de los polinomios univariantes más de F .

Ideales

En la teoría algebraica de números , el estudio de las ecuaciones diofánticas llevó a los matemáticos, durante el siglo XIX, a introducir generalizaciones de los números enteros llamados enteros algebraicos . El primer anillo de enteros algebraicos que se han considerado fueron los enteros de Gauss y los enteros de Eisenstein , que comparten con los enteros habituales la propiedad de ser dominios ideales principales y, por tanto, tienen la propiedad de factorización única .

Desafortunadamente, pronto pareció que la mayoría de los anillos de números enteros algebraicos no son principales y no tienen factorización única. El ejemplo más simple es en el que

y todos estos factores son irreductibles .

Esta falta de factorización única es una gran dificultad para resolver ecuaciones diofánticas. Por ejemplo, muchas pruebas erróneas del último teorema de Fermat (probablemente incluyendo la "prueba verdaderamente maravillosa de Fermat de esto, que este margen es demasiado estrecho para contener" ) se basaron en la suposición implícita de factorización única.

Esta dificultad fue resuelta por Dedekind , quien demostró que los anillos de números enteros algebraicos tienen una factorización única de ideales : en estos anillos, cada ideal es producto de ideales primos , y esta factorización es única en el orden de los factores. Los dominios integrales que tienen esta propiedad de factorización única ahora se denominan dominios Dedekind . Tienen muchas propiedades interesantes que las hacen fundamentales en la teoría algebraica de números.

Matrices

Los anillos de matriz no son conmutativos y no tienen una factorización única: hay, en general, muchas formas de escribir una matriz como producto de matrices. Por tanto, el problema de la factorización consiste en encontrar factores de tipos específicos. Por ejemplo, la descomposición LU da una matriz como el producto de una matriz triangular inferior por una matriz triangular superior . Como esto no siempre es posible, generalmente se considera la "descomposición LUP" que tiene una matriz de permutación como su tercer factor.

Consulte Descomposición de matrices para conocer los tipos más comunes de factorizaciones de matrices.

Una matriz lógica representa una relación binaria y la multiplicación de matrices corresponde a la composición de relaciones . La descomposición de una relación a través de la factorización sirve para perfilar la naturaleza de la relación, como una relación difuncional .

Ver también

Notas

Referencias

  • Burnside, William Snow ; Panton, Arthur William (1960) [1912], La teoría de las ecuaciones con una introducción a la teoría de las formas algebraicas binarias (Volumen uno) , Dover
  • Dickson, Leonard Eugene (1922), primer curso de teoría de ecuaciones , Nueva York: John Wiley & Sons
  • Fite, William Benjamin (1921), Álgebra universitaria (revisada) , Boston: DC Heath & Co.
  • Klein, Felix (1925), Matemáticas elementales desde un punto de vista avanzado; Aritmética, Álgebra, Análisis , Dover
  • Selby, Samuel M., CRC Standard Mathematical Tables (18a ed.), The Chemical Rubber Co.

enlaces externos