Aritmética - Arithmetic

Tablas aritméticas para niños, Lausana, 1835

La aritmética (del griego ἀριθμός arithmos , ' número ' y τική [τέχνη] , tiké [téchne] , ' arte ' o ' artesanía ') es una rama de las matemáticas que consiste en el estudio de los números , especialmente en lo que se refiere a las propiedades de los métodos tradicionales. operaciones sobre ellos: suma , resta , multiplicación , división , exponenciación y extracción de raíces . La aritmética es una parte elemental de la teoría de números., y la teoría de números se considera una de las divisiones de nivel superior de las matemáticas modernas , junto con el álgebra , la geometría y el análisis . Los términos aritmética y aritmética superior se utilizaron hasta principios del siglo XX como sinónimos de la teoría de números y, a veces, todavía se utilizan para referirse a una parte más amplia de la teoría de números.

Historia

La prehistoria de la aritmética se limita a un pequeño número de artefactos, lo que puede indicar la concepción de la suma y la resta, siendo el más conocido el hueso de Ishango de África central , que data de algún lugar entre el 20.000 y el 18.000 a.C., aunque su interpretación es controvertida.

Los registros escritos más antiguos indican que los egipcios y babilonios utilizaron todas las operaciones aritméticas elementales ya en el año 2000 a. C. Estos artefactos no siempre revelan el proceso específico utilizado para resolver problemas, pero las características del sistema numérico particular influyen fuertemente en la complejidad de los métodos. El sistema jeroglífico de los números egipcios , como los números romanos posteriores , desciende de las marcas de conteo utilizadas para contar. En ambos casos, este origen dio como resultado valores que usaban una base decimal , pero no incluían la notación posicional . Los cálculos complejos con números romanos requerían la ayuda de una tabla de contar (o el ábaco romano ) para obtener los resultados.

Los primeros sistemas numéricos que incluían la notación posicional no eran decimales, incluido el sistema sexagesimal (base 60) para los números babilónicos y el sistema vigesimal (base 20) que definía los números mayas . Debido a este concepto de valor posicional, la capacidad de reutilizar los mismos dígitos para diferentes valores contribuyó a métodos de cálculo más simples y eficientes.

El continuo desarrollo histórico de la aritmética moderna comienza con la civilización helenística de la antigua Grecia, aunque se originó mucho más tarde que los ejemplos babilónico y egipcio. Antes de las obras de Euclides alrededor del 300 a. C., los estudios griegos en matemáticas se superponían con creencias filosóficas y místicas. Por ejemplo, Nicomachus resumió el punto de vista del anterior enfoque pitagórico de los números y sus relaciones entre sí, en su Introducción a la aritmética .

Arquímedes , Diofanto y otros utilizaron números griegos en una notación posicional no muy diferente de la notación moderna. Los antiguos griegos carecían de un símbolo para el cero hasta el período helenístico, y usaban tres conjuntos separados de símbolos como dígitos : uno para el lugar de las unidades, otro para el lugar de las decenas y otro para las centenas. Para el lugar de los miles, reutilizarían los símbolos del lugar de las unidades, y así sucesivamente. Su algoritmo de adición era idéntico al método moderno y su algoritmo de multiplicación era solo ligeramente diferente. Su algoritmo de división larga era el mismo, y Arquímedes (quien pudo haberlo inventado) conocía el algoritmo de raíz cuadrada de dígito por dígito , utilizado popularmente en fechas tan recientes como el siglo XX. Lo prefirió al método de aproximación sucesiva de Hero porque, una vez calculado, un dígito no cambia, y las raíces cuadradas de cuadrados perfectos, como 7485696, terminan inmediatamente como 2736. Para números con una parte fraccionaria, como 546,934, usaron potencias negativas de 60, en lugar de potencias negativas de 10 para la parte fraccionaria 0.934.

Los antiguos chinos tenían estudios aritméticos avanzados que datan de la dinastía Shang y continuaron durante la dinastía Tang, desde los números básicos hasta el álgebra avanzada. Los chinos antiguos usaban una notación posicional similar a la de los griegos. Como también carecían de un símbolo para el cero , tenían un conjunto de símbolos para el lugar de las unidades y un segundo conjunto para el lugar de las decenas. Para el lugar de las centenas, luego reutilizaron los símbolos del lugar de las unidades, y así sucesivamente. Sus símbolos se basaban en las antiguas varillas de conteo . Se desconoce el momento exacto en que los chinos comenzaron a calcular con representación posicional, aunque se sabe que la adopción comenzó antes del 400 a. C. Los antiguos chinos fueron los primeros en descubrir, comprender y aplicar de manera significativa los números negativos. Esto se explica en los Nueve Capítulos sobre el Arte Matemático ( Jiuzhang Suanshu ), que fue escrito por Liu Hui y se remonta al siglo II a. C.

El desarrollo gradual del sistema de numeración hindú-árabe ideó de forma independiente el concepto de valor posicional y la notación posicional, que combinó los métodos más simples para los cálculos con una base decimal y el uso de un dígito que representa el 0 . Esto permitió que el sistema representara de manera consistente tanto números enteros grandes como pequeños, un enfoque que eventualmente reemplazó a todos los demás sistemas. A principios del siglo VI d.C., el matemático indio Aryabhata incorporó una versión existente de este sistema en su trabajo y experimentó con diferentes notaciones. En el siglo VII, Brahmagupta estableció el uso del 0 como un número separado y determinó los resultados para la multiplicación, división, suma y resta de cero y todos los demás números, excepto el resultado de la división por cero . Su contemporáneo, el obispo siríaco Severus Sebokht (650 d. C.) dijo: "Los indios poseen un método de cálculo que ninguna palabra puede elogiar lo suficiente. Su sistema racional de matemáticas, o de su método de cálculo. Me refiero al sistema que utiliza nueve símbolos". Los árabes también aprendieron este nuevo método y lo llamaron hesab .

Stepped Reckoner de Leibniz fue la primera calculadora que pudo realizar las cuatro operaciones aritméticas.

Aunque el Codex Vigilanus describió una forma temprana de números arábigos (omitiendo 0) en 976 d.C., Leonardo de Pisa ( Fibonacci ) fue el principal responsable de difundir su uso por toda Europa después de la publicación de su libro Liber Abaci en 1202. Escribió: "El El método de los indios (en latín Modus Indorum ) supera a cualquier método de cálculo conocido. Es un método maravilloso. Hacen sus cálculos utilizando nueve cifras y el símbolo cero ".

En la Edad Media, la aritmética era una de las siete artes liberales que se enseñaban en las universidades.

El florecimiento del álgebra en el mundo islámico medieval , y también en la Europa del Renacimiento , fue una consecuencia de la enorme simplificación del cálculo mediante la notación decimal .

Se han inventado y utilizado ampliamente varios tipos de herramientas para ayudar en los cálculos numéricos. Antes del Renacimiento, eran varios tipos de ábacos . Los ejemplos más recientes incluyen reglas de cálculo , nomogramas y calculadoras mecánicas , como la calculadora de Pascal . En la actualidad, han sido reemplazados por calculadoras electrónicas y computadoras .

Operaciones aritmeticas

Las operaciones aritméticas básicas son suma, resta, multiplicación y división. Aunque la aritmética también incluye operaciones más avanzadas, como manipulaciones de porcentajes , raíces cuadradas , exponenciación , funciones logarítmicas e incluso funciones trigonométricas , en la misma línea que los logaritmos ( prosthaferesis ). Las expresiones aritméticas deben evaluarse de acuerdo con la secuencia de operaciones prevista. Hay varios métodos para especificar esto, ya sea —los más comunes, junto con la notación infija— usando explícitamente paréntesis y confiando en reglas de precedencia , o usando una notación de prefijo o sufijo , que fijan de manera única el orden de ejecución por sí mismos. Cualquier conjunto de objetos sobre los que se pueden realizar las cuatro operaciones aritméticas (excepto la división por cero ), y donde estas cuatro operaciones obedecen las leyes habituales (incluida la distributividad), se denomina campo .

Adición

La suma, denotada por el símbolo , es la operación más básica de la aritmética. En su forma simple, la suma combina dos números, los sumandos o términos , en un solo número, la suma de los números (como 2 + 2 = 4 o 3 + 5 = 8 ).

Sumar un número finito de números puede verse como una suma simple repetida; este procedimiento se conoce como suma , un término que también se usa para denotar la definición de "sumar infinitos números" en una serie infinita . La suma repetida del número  1 es la forma más básica de contar ; el resultado de sumar 1 suele denominarse sucesor del número original.

La suma es conmutativa y asociativa , por lo que el orden en el que se agregan un número finito de términos no importa.

El número 0 tiene la propiedad de que, sumado a cualquier número, da ese mismo número; por tanto, es el elemento de identidad de la adición, o la identidad aditiva .

Para cada número x , hay un número denotado - x , llamado el opuesto de x , tal que x + (- x ) = 0 y (- x ) + x = 0 . Entonces, el opuesto de x es el inverso de x con respecto a la suma, o el inverso aditivo de x . Por ejemplo, el opuesto de 7 es −7 , ya que 7 + (−7) = 0 .

La suma también se puede interpretar geométricamente, como en el siguiente ejemplo. Si tenemos dos palos de longitud 2 y 5 , entonces, si los palos están alineados uno tras otro, la longitud del palo combinado se convierte en 7 , ya que 2 + 5 = 7 .

Sustracción

La resta, denotada por el símbolo , es la operación inversa a la suma. Resta encuentra la diferencia entre dos números, el minuendo menos el sustraendo : D = M - S . El recurso a la adición previamente establecido, esto es decir que la diferencia es el número que, cuando se añade al sustraendo, los resultados en el minuendo: D + S = M .

Para argumentos positivos, M y S se cumple:

Si el minuendo es mayor que el sustraendo, la diferencia D es positiva.
Si el minuendo es menor que el sustraendo, la diferencia D es negativa.

En cualquier caso, si el minuendo y el sustraendo son iguales, la diferencia D = 0.

La resta no es conmutativa ni asociativa . Por esa razón, la construcción de esta operación inversa en el álgebra moderna a menudo se descarta en favor de introducir el concepto de elementos inversos (como se esboza en § Suma ), donde la resta se considera como la suma del inverso aditivo del sustraendo al minuendo, que es, a - b = a + (- b ) . El precio inmediato de descartar la operación binaria de resta es la introducción de la operación unaria (trivial) , entregando el inverso aditivo para cualquier número dado y perdiendo el acceso inmediato a la noción de diferencia , que es potencialmente engañosa cuando se involucran argumentos negativos. .

Para cualquier representación de números, existen métodos de cálculo de resultados, algunos de los cuales son particularmente ventajosos en procedimientos de explotación, existentes para una operación, mediante pequeñas alteraciones también para otras. Por ejemplo, las computadoras digitales pueden reutilizar circuitos de suma existentes y ahorrar circuitos adicionales para implementar una resta, empleando el método del complemento a dos para representar las inversas aditivas, que es extremadamente fácil de implementar en hardware ( negación ). La compensación es la reducción a la mitad del rango de números para una longitud de palabra fija.

Un método anteriormente de amplio margen para lograr un monto de cambio correcto, conociendo los montos adeudados y dados, es el método de conteo , que no genera explícitamente el valor de la diferencia. Supongamos que una cantidad P se da con el fin de pagar la cantidad requerida Q , con P mayor que Q . En lugar de realizar explícitamente la resta P - Q = C y contar esa cantidad C en cambio, el dinero se cuenta comenzando con el sucesor de Q y continuando en los pasos de la moneda, hasta que se alcanza P. Aunque la cantidad contada debe ser igual al resultado de la resta P - Q , la resta nunca se hizo realmente y este método no proporciona el valor de P - Q.

Multiplicación

La multiplicación, denotada por los símbolos o , es la segunda operación básica de la aritmética. La multiplicación también combina dos números en un solo número, el producto . Los dos números originales se llaman multiplicador y multiplicando , en su mayoría ambos se denominan simplemente factores .

La multiplicación puede verse como una operación de escalado. Si se imagina que los números están alineados, la multiplicación por un número mayor que 1, digamos x , es lo mismo que estirar todo desde 0 uniformemente, de tal manera que el número 1 en sí se estira hasta donde estaba x . De manera similar, se puede imaginar que multiplicar por un número menor que 1 aprieta hacia 0, de tal manera que 1 va al multiplicando.

Otro punto de vista sobre la multiplicación de números enteros (extensible a racionales pero no muy accesible para números reales) es considerarlo como una suma repetida. Por ejemplo. 3 × 4 corresponde a sumar 3 veces un 4 o 4 veces un 3 , dando el mismo resultado. Hay diferentes opiniones sobre la ventaja de estos paradigmas en la educación matemática.

La multiplicación es conmutativa y asociativa; además, es distributivo sobre la suma y la resta. La identidad multiplicativa es 1, ya que multiplicar cualquier número por 1 da como resultado ese mismo número. El inverso multiplicativo para cualquier número excepto  0 es el recíproco de este número, porque multiplicar el recíproco de cualquier número por el número mismo da como resultado la identidad multiplicativa 1 . 0  es el único número sin un inverso multiplicativo, y el resultado de multiplicar cualquier número y 0 es nuevamente 0. Se dice que 0 no está contenido en el grupo multiplicativo de números.

El producto de una y b se escribe como un × b o una · b . Cuando una o b son expresiones escritas no simplemente con los dígitos, también está escrito por simple yuxtaposición:  ab . En los lenguajes de programación de computadoras y paquetes de software (en la que sólo se puede utilizar caracteres que normalmente se encuentran en un teclado), a menudo se escribe con un asterisco:  a * b.

Los algoritmos que implementan la operación de multiplicación para varias representaciones de números son mucho más costosos y laboriosos que los de la suma. Aquellos accesibles para el cálculo manual se basan en descomponer los factores en valores de lugar únicos y aplicar sumas repetidas, o en el empleo de tablas o reglas de cálculo , mapeando así la multiplicación con la suma y viceversa. Estos métodos están desactualizados y son reemplazados gradualmente por dispositivos móviles. Las computadoras utilizan diversos algoritmos sofisticados y altamente optimizados para implementar la multiplicación y división para los diversos formatos numéricos admitidos en su sistema.

División

La división, denotada por los símbolos o , es esencialmente la operación inversa a la multiplicación. La división calcula el cociente de dos números, el dividendo dividido por el divisor . Cualquier dividendo dividido por cero no está definido. Para números positivos distintos, si el dividendo es mayor que el divisor, el cociente es mayor que 1; de lo contrario, es menor o igual que 1 (se aplica una regla similar para números negativos). El cociente multiplicado por el divisor siempre da como resultado el dividendo.

La división no es conmutativa ni asociativa. Entonces, como se explica en § Resta , la construcción de la división en álgebra moderna se descarta a favor de construir los elementos inversos con respecto a la multiplicación, como se introdujo en § Multiplicación . Por lo tanto, la división es la multiplicación del dividendo con el recíproco del divisor como factores, es decir, a ÷ b = a × 1/B.

Dentro de los números naturales, también hay una noción diferente pero relacionada llamada división euclidiana , que genera dos números después de "dividir" un N natural (numerador) por un D natural (denominador): primero un Q natural (cociente), y segundo un R natural (resto) tal que N = D × Q + R y 0 ≤ R < Q .

En algunos contextos, incluida la programación de computadoras y la aritmética avanzada, la división se amplía con otra salida para el resto. Esto a menudo se trata como una operación separada, la operación de módulo , indicada por el símbolo o la palabra , aunque a veces es una segunda salida para una operación "divmod". En cualquier caso, la aritmética modular tiene una variedad de casos de uso. Las diferentes implementaciones de división (suelo, truncado, euclidiano, etc.) se corresponden con diferentes implementaciones de módulo.

Teorema fundamental de la aritmética

El teorema fundamental de la aritmética establece que cualquier número entero mayor que 1 tiene una factorización prima única (una representación de un número como el producto de factores primos), excluyendo el orden de los factores. Por ejemplo, 252 solo tiene una factorización prima:

252 = 2 2 × 3 2 × 7 1

Los Elementos de Euclides introdujeron por primera vez este teorema y dieron una demostración parcial (que se llama lema de Euclides ). El teorema fundamental de la aritmética fue probado por primera vez por Carl Friedrich Gauss .

El teorema fundamental de la aritmética es una de las razones por las que 1 no se considera un número primo . Otras razones incluyen el tamiz de Eratóstenes y la definición de un número primo en sí mismo (un número natural mayor que 1 que no se puede formar multiplicando dos números naturales más pequeños).

Aritmética decimal

La representación decimal se refiere exclusivamente, en el uso común, al sistema numérico escrito que emplea números arábigos como dígitos para una notación posicional de base 10 ("decimal") ; sin embargo, cualquier sistema numérico basado en potencias de 10, por ejemplo, números griegos , cirílicos , romanos o chinos, puede describirse conceptualmente como "notación decimal" o "representación decimal".

Los métodos modernos para cuatro operaciones fundamentales (suma, resta, multiplicación y división) fueron ideados por primera vez por Brahmagupta de la India. Esto fue conocido durante la Europa medieval como "Modus Indorum" o Método de los indios. La notación posicional (también conocida como "notación de valor posicional") se refiere a la representación o codificación de números que utilizan el mismo símbolo para los diferentes órdenes de magnitud (p. Ej., El "lugar de las unidades", el lugar de las decenas, el lugar de las centenas) y, con un punto de base , usar esos mismos símbolos para representar fracciones (por ejemplo, el "lugar de las décimas", "lugar de las centésimas"). Por ejemplo, 507.36 denota 5 centenas (10 2 ), más 0 decenas (10 1 ), más 7 unidades (10 0 ), más 3 décimas (10 −1 ) más 6 centésimas (10 −2 ).

El concepto de 0 como un número comparable a los otros dígitos básicos es esencial para esta notación, al igual que el concepto del uso de ceros como marcador de posición y la definición de multiplicación y suma con 0. El uso de 0 como marcador de posición y , por lo tanto, el uso de una notación posicional se atestigua por primera vez en el texto jainista de la India titulado Lokavibhâga , con fecha de 458 d.C. y solo a principios del siglo XIII se introdujeron estos conceptos, transmitidos a través de la erudición del mundo árabe . en Europa por Fibonacci usando el sistema de numeración hindú-árabe.

El algoritmo comprende todas las reglas para realizar cálculos aritméticos utilizando este tipo de numeración escrita. Por ejemplo, la suma produce la suma de dos números arbitrarios. El resultado se calcula mediante la suma repetida de un solo dígito de cada número que ocupa la misma posición, procediendo de derecha a izquierda. Una tabla de suma con diez filas y diez columnas muestra todos los valores posibles para cada suma. Si una suma individual excede el valor 9, el resultado se representa con dos dígitos. El dígito más a la derecha es el valor de la posición actual, y el resultado de la posterior adición de los dígitos a la izquierda aumenta en el valor del segundo dígito (más a la izquierda), que siempre es uno (si no es cero). Este ajuste se denomina acarreo del valor 1.

El proceso para multiplicar dos números arbitrarios es similar al proceso para sumar. Una tabla de multiplicar con diez filas y diez columnas enumera los resultados para cada par de dígitos. Si un producto individual de un par de dígitos excede 9, el ajuste de acarreo aumenta el resultado de cualquier multiplicación posterior de los dígitos a la izquierda por un valor igual al segundo dígito (más a la izquierda), que es cualquier valor de 1 a 8 ( 9 × 9 = 81 ). Los pasos adicionales definen el resultado final.

Existen técnicas similares para la resta y la división.

La creación de un proceso correcto para la multiplicación se basa en la relación entre valores de dígitos adyacentes. El valor de cualquier dígito en un número depende de su posición. Además, cada posición a la izquierda representa un valor diez veces mayor que la posición a la derecha. En términos matemáticos, el exponente de la raíz (base) de 10 aumenta en 1 (hacia la izquierda) o disminuye en 1 (hacia la derecha). Por lo tanto, el valor de cualquier dígito arbitrario se multiplica por un valor de la forma 10 n con un número entero  n . La lista de valores correspondientes a todas las posiciones posibles para un solo dígito se escribe como {..., 10 2 , 10, 1, 10 −1 , 10 −2 , ...}.

La multiplicación repetida de cualquier valor en esta lista por 10 produce otro valor en la lista. En terminología matemática, esta característica se define como cierre , y la lista anterior se describe como cerrada bajo multiplicación . Es la base para encontrar correctamente los resultados de la multiplicación utilizando la técnica anterior. Este resultado es un ejemplo de los usos de la teoría de números .

Aritmética de unidades compuestas

La aritmética de unidades compuestas es la aplicación de operaciones aritméticas a cantidades de base mixta como pies y pulgadas; galones y pintas; libras, chelines y peniques; etcétera. Antes de los sistemas de dinero y unidades de medida basados ​​en decimales, la aritmética de unidades compuestas se usaba ampliamente en el comercio y la industria.

Operaciones aritméticas básicas

Las técnicas utilizadas en la aritmética de unidades compuestas se desarrollaron durante muchos siglos y están bien documentadas en muchos libros de texto en muchos idiomas diferentes. Además de las funciones aritméticas básicas que se encuentran en la aritmética decimal, la aritmética de unidades compuestas emplea tres funciones más:

  • Reducción , en la que una cantidad compuesta se reduce a una sola cantidad; por ejemplo, conversión de una distancia expresada en yardas, pies y pulgadas a una expresada en pulgadas.
  • La expansión , la función inversa a la reducción, es la conversión de una cantidad que se expresa como una sola unidad de medida en una unidad compuesta, como expandir 24 oz a 1 lb 8 oz .
  • La normalización es la conversión de un conjunto de unidades compuestas a una forma estándar, por ejemplo, reescribir " 1 pie 13 pulgadas " como " 2 pies 1 pulgada ".

El conocimiento de la relación entre las distintas unidades de medida, sus múltiplos y sus submúltiplos forma parte esencial de la aritmética de unidades compuestas.

Principios de la aritmética de unidades compuestas

Hay dos enfoques básicos para la aritmética de unidades compuestas:

  • Método de reducción-expansión donde todas las variables unitarias compuestas se reducen a variables unitarias individuales, el cálculo se realiza y el resultado se expande nuevamente a unidades compuestas. Este enfoque es adecuado para cálculos automatizados. Un ejemplo típico es el manejo del tiempo por Microsoft Excel donde todos los intervalos de tiempo se procesan internamente como días y fracciones decimales de un día.
  • Método de normalización continuo en el que cada unidad se trata por separado y el problema se normaliza continuamente a medida que se desarrolla la solución. Este enfoque, que se describe ampliamente en los textos clásicos, es el más adecuado para los cálculos manuales. A continuación se muestra un ejemplo del método de normalización en curso aplicado a la suma.
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La operación de adición se realiza de derecha a izquierda; en este caso, primero se procesan los peniques, luego los chelines y luego las libras. Los números debajo de la "línea de respuesta" son resultados intermedios.

El total en la columna de peniques es 25. Como hay 12 centavos en un chelín, 25 se divide por 12 para dar 2 con un resto de 1. El valor "1" se escribe en la fila de respuestas y el valor "2". trasladado a la columna de chelines. Esta operación se repite usando los valores en la columna de chelines, con el paso adicional de sumar el valor que se trasladó de la columna de centavos. El total intermedio se divide por 20 ya que hay 20 chelines en una libra. Luego se procesa la columna de libras, pero como las libras son la unidad más grande que se está considerando, no se transfieren valores de la columna de libras.

En aras de la simplicidad, el ejemplo elegido no tenía céntimos.

Operaciones en la práctica

Una escala calibrada en unidades imperiales con una pantalla de costo asociada.

Durante los siglos XIX y XX se desarrollaron varias ayudas para ayudar a la manipulación de unidades compuestas, particularmente en aplicaciones comerciales. Las ayudas más habituales fueron las cajas mecánicas que se adaptaron en países como Reino Unido para acomodar libras, chelines, centavos y farthings, y los ready reckoners , que son libros dirigidos a comerciantes que catalogan los resultados de diversos cálculos rutinarios como los porcentajes o múltiplos de varias sumas de dinero. Un folleto típico que tenía 150 páginas tabulaba múltiplos "de uno a diez mil a los distintos precios de un cuarto a una libra".

La naturaleza engorrosa de la aritmética de unidades compuestas ha sido reconocida durante muchos años: en 1586, el matemático flamenco Simon Stevin publicó un pequeño panfleto llamado De Thiende ("el décimo") en el que declaró la introducción universal de las monedas, medidas y pesos decimales ser simplemente una cuestión de tiempo. En la era moderna, muchos programas de conversión, como el incluido en la calculadora del sistema operativo Microsoft Windows 7, muestran unidades compuestas en un formato decimal reducido en lugar de usar un formato expandido (por ejemplo, se muestra "2.5 pies" en lugar de "2 pies 6 en " ).

Teoría de los números

Hasta el siglo XIX, la teoría de números era sinónimo de "aritmética". Los problemas abordados estaban directamente relacionados con las operaciones básicas y se referían a la primacía , la divisibilidad y la solución de ecuaciones en números enteros , como el último teorema de Fermat . Parecía que la mayoría de estos problemas, aunque muy elementales de enunciar, son muy difíciles y es posible que no se resuelvan sin unas matemáticas muy profundas que incluyan conceptos y métodos de muchas otras ramas de las matemáticas. Esto condujo a nuevas ramas de la teoría de números, como la teoría analítica de números , la teoría algebraica de números , la geometría diofántica y la geometría algebraica aritmética . La demostración de Wiles del último teorema de Fermat es un ejemplo típico de la necesidad de métodos sofisticados, que van mucho más allá de los métodos clásicos de la aritmética, para resolver problemas que pueden enunciarse en aritmética elemental.

Aritmética en educación

La educación primaria en matemáticas a menudo se centra en los algoritmos para la aritmética de números naturales , enteros , fracciones y decimales (utilizando el sistema de valor posicional decimal). Este estudio a veces se conoce como algoritmo.

La dificultad y la apariencia desmotivada de estos algoritmos ha llevado a los educadores a cuestionar este plan de estudios, defendiendo la enseñanza temprana de ideas matemáticas más centrales e intuitivas. Un movimiento notable en esta dirección fue el New Math de las décadas de 1960 y 1970, que intentó enseñar aritmética en el espíritu del desarrollo axiomático de la teoría de conjuntos, un eco de la tendencia predominante en las matemáticas superiores.

Además, los eruditos islámicos utilizaron la aritmética para enseñar la aplicación de las reglas relacionadas con Zakat e Irth . Esto se hizo en un libro titulado Lo mejor de la aritmética de Abd-al-Fattah-al-Dumyati.

El libro comienza con los fundamentos de las matemáticas y continúa con su aplicación en los capítulos posteriores.

Ver también

Temas relacionados

Notas

Referencias

enlaces externos