operación binaria -Binary operation

Una operación binaria es una regla para combinar los argumentos x e y para producir

En matemáticas , una operación binaria u operación diádica es una regla para combinar dos elementos (llamados operandos ) para producir otro elemento. Más formalmente, una operación binaria es una operación de aridad dos.

Más específicamente, una operación binaria sobre un conjunto es una operación cuyos dos dominios y el codominio son el mismo conjunto. Los ejemplos incluyen las operaciones aritméticas familiares de suma , resta y multiplicación . Otros ejemplos se encuentran fácilmente en diferentes áreas de las matemáticas, como la suma de vectores , la multiplicación de matrices y la conjugación en grupos .

Una operación de aridad dos que implica varios conjuntos a veces también se denomina operación binaria . Por ejemplo, la multiplicación escalar de espacios vectoriales toma un escalar y un vector para producir un vector, y el producto escalar toma dos vectores para producir un escalar. Tales operaciones binarias pueden llamarse simplemente funciones binarias .

Las operaciones binarias son la piedra angular de la mayoría de las estructuras algebraicas que se estudian en álgebra , en particular en semigrupos , monoides , grupos , anillos , campos y espacios vectoriales .

Terminología

Más precisamente, una operación binaria en un conjunto S es un mapeo de los elementos del producto cartesiano S × S a S :

Debido a que el resultado de realizar la operación en un par de elementos de S es nuevamente un elemento de S , la operación se denomina operación binaria cerrada (o interna ) en S (o, a veces, se expresa como si tuviera la propiedad de cierre ).

Si f no es una función , sino una función parcial , entonces f se denomina operación binaria parcial . Por ejemplo, la división de números reales es una operación binaria parcial, porque no se puede dividir por cero : un /0 no está definido para cada número real a . Tanto en álgebra universal como en teoría de modelos , se requiere definir operaciones binarias en todos los elementos de S × S.

A veces, especialmente en informática , el término operación binaria se usa para cualquier función binaria .

Propiedades y ejemplos

Ejemplos típicos de operaciones binarias son la suma (+) y la multiplicación (×) de números y matrices , así como la composición de funciones en un solo conjunto. Por ejemplo,

  • En el conjunto de números reales R , f ( a , b ) = a + b es una operación binaria ya que la suma de dos números reales es un número real.
  • Sobre el conjunto de los números naturales N , f ( a , b ) = a + b es una operación binaria ya que la suma de dos números naturales es un número natural. Esta es una operación binaria diferente a la anterior ya que los conjuntos son diferentes.
  • En el conjunto M(2, R ) de matrices de 2 × 2 con entradas reales, f ( A , B ) = A + B es una operación binaria ya que la suma de dos matrices de este tipo es una matriz de 2 × 2 .
  • En el conjunto M(2, R ) de matrices de 2 × 2 con entradas reales, f ( A , B ) = AB es una operación binaria ya que el producto de dos matrices de este tipo es una matriz de 2 × 2 .
  • Para un conjunto C dado , sea S el conjunto de todas las funciones h  : CC. Definir f  : S × SS por f ( h 1 , h 2 )( c ) = ( h 1h 2 ) ( c ) = h 1 ( h 2 ( c )) para todo cC , la composición de las dos funciones h 1 y h 2 en S . Entonces f es una operación binaria ya que la composición de las dos funciones es nuevamente una función en el conjunto C (es decir, un miembro de S ).

Muchas operaciones binarias de interés tanto en álgebra como en lógica formal son conmutativas , y satisfacen f ( a , b ) = f ( b , a ) para todos los elementos a y b en S , o asociativas , que satisfacen f ( f ( a , b ), c ) = f ( a , f ( b , c )) para todos a , b , yc en S . Muchos también tienen elementos de identidad y elementos inversos .

Los tres primeros ejemplos anteriores son conmutativos y todos los ejemplos anteriores son asociativos.

Sobre el conjunto de los números reales R , la resta , es decir, f ( a , b ) = ab , es una operación binaria que no es conmutativa ya que, en general, abba . Tampoco es asociativo, ya que, en general, a − ( bc ) ≠ ( ab ) − c ; por ejemplo, 1 − (2 − 3) = 2 pero (1 − 2) − 3 = −4 .

Sobre el conjunto de números naturales N , la exponenciación de la operación binaria , f ( a , b ) = a b , no es conmutativa ya que, a bb a (cf. Ecuación x y = y x ), y tampoco es asociativa ya que F ( F ( un , segundo ), C ) ≠ F ( un , F ( segundo , C )) . Por ejemplo, con a = 2 , b = 3 y c = 2 , f (2 3 ,2) = f (8,2) = 8 2 = 64 , pero f (2,3 2 ) = f (2, 9) = 2 9 = 512 . Al cambiar el conjunto N por el conjunto de enteros Z , esta operación binaria se convierte en una operación binaria parcial ya que ahora no está definida cuando a = 0 y b es cualquier entero negativo. Para cualquier conjunto, esta operación tiene una identidad correcta (que es 1) ya que f ( a , 1) = a para todo a en el conjunto, que no es una identidad (identidad bilateral) ya que f (1, b ) ≠ b en general.

La división (/), una operación binaria parcial sobre el conjunto de números reales o racionales, no es conmutativa ni asociativa. La tetración (↑↑), como operación binaria sobre los números naturales, no es conmutativa ni asociativa y no tiene elemento de identidad.

Notación

Las operaciones binarias a menudo se escriben usando notación infija como ab , a + b , a · b o (por yuxtaposición sin símbolo) ab en lugar de notación funcional de la forma f ( a , b ) . Las potencias también suelen escribirse sin operador, pero con el segundo argumento como superíndice .

Las operaciones binarias a veces se escriben usando notación de prefijo o (más frecuentemente) de sufijo, los cuales prescinden de los paréntesis. También se les llama, respectivamente, notación polaca y notación polaca inversa .

par y tupla

Una operación binaria, ab , depende del par ordenado ( a, b ) y entonces ( ab ) c (donde los paréntesis aquí significan operar primero en el par ordenado ( a , b ) y luego operar en el resultado de eso usando el par ordenado par (( ab ), c ​​)) depende en general del par ordenado (( a , b ), c ​​). Así, para el caso general, no asociativo, las operaciones binarias se pueden representar con árboles binarios .

Sin embargo:

  • Si la operación es asociativa, ( ab ) c = a ( bc ), entonces el valor de ( ab ) c depende únicamente de la tupla ( a , b , c ).
  • Si la operación es conmutativa, ab = ba , entonces el valor de ( ab ) c depende solo de { { a , b }, c }, donde las llaves indican conjuntos múltiples .
  • Si la operación es tanto asociativa como conmutativa, entonces el valor de ( ab ) c depende solo del multiconjunto { a , b , c }.
  • Si la operación es asociativa, conmutativa e idempotente , aa = a , entonces el valor de ( ab ) c depende únicamente del conjunto { a , b , c }.

Operaciones binarias como relaciones ternarias

Una operación binaria f en un conjunto S puede verse como una relación ternaria en S , es decir, el conjunto de triples ( a , b , f ( a,b )) en S × S × S para todo a y b en S .

Operaciones binarias externas

Una operación binaria externa es una función binaria de K × S a S . Esto difiere de una operación binaria sobre un conjunto en el sentido de que K no necesita ser S ; sus elementos vienen del exterior .

Un ejemplo de una operación binaria externa es la multiplicación escalar en álgebra lineal . Aquí K es un campo y S es un espacio vectorial sobre ese campo.

Algunas operaciones binarias externas pueden verse alternativamente como una acción de K sobre S . Esto requiere la existencia de una multiplicación asociativa en K y una regla de compatibilidad de la forma donde y (aquí, tanto la operación externa como la multiplicación en K se denotan por yuxtaposición).

El producto escalar de dos vectores asigna S × S a K , donde K es un campo y S es un espacio vectorial sobre K . Depende de los autores si se considera como una operación binaria.

Ver también

notas

Referencias

  • Fraleigh, John B. (1976), Un primer curso de álgebra abstracta (2.ª ed.), Lectura: Addison-Wesley, ISBN 0-201-01984-1
  • Hall Jr., Marshall (1959), La teoría de los grupos , Nueva York: Macmillan
  • Hardy, Darel W.; Walker, Carol L. (2002), Álgebra aplicada: códigos, cifrados y algoritmos discretos , Upper Saddle River, Nueva Jersey: Prentice-Hall, ISBN 0-13-067464-8
  • Rotman, Joseph J. (1973), La teoría de los grupos: una introducción (2.ª ed.), Boston: Allyn and Bacon

enlaces externos