polinomio -Polynomial

En matemáticas , un polinomio es una expresión que consta de indeterminados (también llamados variables ) y coeficientes , que involucra solo las operaciones de suma , resta , multiplicación y exponenciación de variables enteras no negativas . Un ejemplo de un polinomio de un solo indeterminado x es x ² − 4 x + 7 . Un ejemplo en tres variables es x ³ + 2 xyz ² − yz+ 1 .

Los polinomios aparecen en muchas áreas de las matemáticas y las ciencias. Por ejemplo, se utilizan para formar ecuaciones polinómicas , que codifican una amplia gama de problemas, desde problemas elementales de palabras hasta problemas científicos complicados; se utilizan para definir funciones polinómicas , que aparecen en entornos que van desde la química y la física básicas hasta la economía y las ciencias sociales ; se utilizan en cálculo y análisis numérico para aproximar otras funciones. En matemáticas avanzadas, los polinomios se utilizan para construir anillos de polinomios y variedades algebraicas , que son conceptos centrales en álgebra y geometría algebraica .

Etimología

La palabra polinomio une dos raíces diversas : la griega poly , que significa "muchos", y la latina nomen , o "nombre". Se derivó del término binomio al reemplazar la raíz latina bi- por la griega poli- . Es decir, significa una suma de muchos términos (muchos monomios ). La palabra polinomio se utilizó por primera vez en el siglo XVII.

Notación y terminología

La x que aparece en un polinomio se denomina comúnmente variable o indeterminada . Cuando el polinomio se considera como una expresión, x es un símbolo fijo que no tiene ningún valor (su valor es "indeterminado"). Sin embargo, cuando se considera la función definida por el polinomio, entonces x representa el argumento de la función y, por lo tanto, se denomina "variable". Muchos autores usan estas dos palabras indistintamente.

Un polinomio P en el indeterminado x se denota comúnmente como P o como P ( x ). Formalmente, el nombre del polinomio es P , no P ( x ), pero el uso de la notación funcional P ( x ) data de una época en la que no estaba clara la distinción entre un polinomio y la función asociada. Además, la notación funcional suele ser útil para especificar, en una sola frase, un polinomio y su indeterminado. Por ejemplo, "sea P ( x ) un polinomio" es una forma abreviada de "sea P un polinomio en la x indeterminada ". Por otro lado, cuando no es necesario enfatizar el nombre del indeterminado, muchas fórmulas son mucho más simples y fáciles de leer si el nombre o nombres de los indeterminados no aparecen en cada ocurrencia del polinomio.

La ambigüedad de tener dos notaciones para un solo objeto matemático puede resolverse formalmente considerando el significado general de la notación funcional para polinomios. Si a denota un número, una variable, otro polinomio o, más generalmente, cualquier expresión, entonces P ( a ) denota, por convención, el resultado de sustituir x por a en P . Así, el polinomio P define la función

${\displaystyle a\mapsto P(a),}$

que es la función polinomial asociada a P . Con frecuencia, al usar esta notación, se supone que a es un número. Sin embargo, uno puede usarlo sobre cualquier dominio donde se definan la suma y la multiplicación (es decir, cualquier anillo ). En particular, si a es un polinomio, entonces P ( a ) también es un polinomio.

Más específicamente, cuando a es la x indeterminada , entonces la imagen de x por esta función es el mismo polinomio P (sustituir x por x no cambia nada). En otras palabras,

${\displaystyle P(x)=P,}$

lo que justifica formalmente la existencia de dos notaciones para el mismo polinomio.

Definición

Una expresión polinomial es una expresión que se puede construir a partir de constantes y símbolos llamados variables o indeterminados mediante suma , multiplicación y exponenciación a una potencia entera no negativa . Las constantes son generalmente números , pero pueden ser cualquier expresión que no involucre los indeterminados, y representan objetos matemáticos que se pueden sumar y multiplicar. Se considera que dos expresiones polinómicas definen el mismo polinomio si pueden transformarse, una en la otra, aplicando las propiedades habituales de conmutatividad , asociatividad y distributividad de la suma y la multiplicación. Por ejemplo y son dos expresiones polinómicas que representan el mismo polinomio; entonces uno escribe${\ estilo de visualización (x-1) (x-2)}$${\ estilo de visualización x^{2}-3x+2}$${\ estilo de visualización (x-1) (x-2) = x ^ {2}-3x + 2.}$

Un polinomio en un solo indeterminado x siempre se puede escribir (o reescribir) en la forma

${\displaystyle a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\dotsb +a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0} ,}$

donde son constantes que se llaman los coeficientes del polinomio, y es la indeterminada. La palabra "indeterminado" significa que no representa ningún valor en particular, aunque cualquier valor puede sustituirlo. El mapeo que asocia el resultado de esta sustitución al valor sustituido es una función , llamada función polinomial . ${\displaystyle a_{0},\ldots,a_{n}}$${\ estilo de visualización x}$${\ estilo de visualización x}$

Esto se puede expresar de manera más concisa usando la notación de suma :

${\displaystyle \sum _{k=0}^{n}a_{k}x^{k}}$

Es decir, un polinomio puede ser cero o puede escribirse como la suma de un número finito de términos distintos de cero . Cada término consta del producto de un número, llamado coeficiente del término, y un número finito de indeterminados elevados a potencias enteras no negativas.

Clasificación

El exponente de una indeterminada en un término se llama grado de esa indeterminada en ese término; el grado del término es la suma de los grados de los indeterminados en ese término, y el grado de un polinomio es el mayor grado de cualquier término con coeficiente distinto de cero. Como x = x ¹ , el grado de un indeterminado sin exponente escrito es uno.

Un término sin indeterminados y un polinomio sin indeterminados se denominan, respectivamente, término constante y polinomio constante . El grado de un término constante y de un polinomio constante distinto de cero es 0. El grado del polinomio cero 0 (que no tiene términos en absoluto) generalmente se trata como no definido (pero ver más abajo).

Por ejemplo:

${\displaystyle -5x^{2}y}$

es un término El coeficiente es −5 , los indeterminados son x e y , el grado de x es dos, mientras que el grado de y es uno. El grado de todo el término es la suma de los grados de cada indeterminado en él, por lo que en este ejemplo el grado es 2 + 1 = 3 .

Formar una suma de varios términos produce un polinomio. Por ejemplo, el siguiente es un polinomio:

${\displaystyle \underbrace {_{\,}3x^{2}}_{\begin{smallmatrix}\mathrm {término} \\\mathrm {1} \end{smallmatrix}}\underbrace {-_{\, }5x} _ {\begin{smallmatrix}\mathrm {término} \\\mathrm {2} \end{smallmatrix}}\underbrace {+_{\,}4}_{\begin{smallmatrix}\mathrm {término } \\\mathrm {3} \end{matriz pequeña}}.}$

Consta de tres términos: el primero es de grado dos, el segundo es de grado uno y el tercero es de grado cero.

A los polinomios de grado pequeño se les han dado nombres específicos. Un polinomio de grado cero es un polinomio constante , o simplemente una constante . Los polinomios de grado uno, dos o tres son respectivamente polinomios lineales, polinomios cuadráticos y polinomios cúbicos . Para grados superiores, los nombres específicos no se usan comúnmente, aunque a veces se usan polinomio quártico (para el grado cuatro) y polinomio quíntico (para el grado cinco). Los nombres de los grados pueden aplicarse al polinomio oa sus términos. Por ejemplo, el término 2 x en x ² + 2 x + 1 es un término lineal en un polinomio cuadrático.

El polinomio 0, que se puede considerar que no tiene ningún término, se llama polinomio cero . A diferencia de otros polinomios constantes, su grado no es cero. Más bien, el grado del polinomio cero se deja explícitamente sin definir o se define como negativo (ya sea −1 o −∞). El polinomio cero también es único porque es el único polinomio en un indeterminado que tiene un número infinito de raíces . La gráfica del polinomio cero, f ( x ) = 0 , es el eje x .

En el caso de polinomios en más de una indeterminada, un polinomio se llama homogéneo de grado n si todos sus términos distintos de cero tienen grado n . El polinomio cero es homogéneo y, como polinomio homogéneo, su grado no está definido. Por ejemplo, x ³ y ² + 7 x ² y ³ − 3 x ⁵ es homogéneo de grado 5. Para obtener más detalles, consulte Polinomio homogéneo .

La ley conmutativa de la suma se puede usar para reorganizar los términos en cualquier orden preferido. En los polinomios con un indeterminado, los términos suelen estar ordenados según el grado, ya sea en "potencias de x descendentes", con el término de mayor grado primero, o en "potencias de x ascendentes ". El polinomio 3 x ² - 5 x + 4 se escribe en potencias descendentes de x . El primer término tiene coeficiente 3 , indeterminado x y exponente 2 . En el segundo término, el coeficiente es −5 . El tercer término es una constante. Debido a que el grado de un polinomio distinto de cero es el mayor grado de cualquier término, este polinomio tiene grado dos.

Dos términos con los mismos indeterminados elevados a las mismas potencias se denominan "términos similares" o "términos semejantes", y pueden combinarse, usando la ley distributiva , en un solo término cuyo coeficiente es la suma de los coeficientes de los términos que fueron combinados. Puede suceder que esto haga que el coeficiente sea 0. Los polinomios se pueden clasificar por el número de términos con coeficientes distintos de cero, de modo que un polinomio de un término se denomina monomio , un polinomio de dos términos se denomina binomial y un polinomio de tres términos polinomio se llama trinomio . El término "cuadrinomial" se usa ocasionalmente para un polinomio de cuatro términos.

Un polinomio real es un polinomio con coeficientes reales . Cuando se usa para definir una función , el dominio no está tan restringido. Sin embargo, una función polinomial real es una función de reales a reales que está definida por un polinomio real. De manera similar, un polinomio entero es un polinomio con coeficientes enteros y un polinomio complejo es un polinomio con coeficientes complejos .

Un polinomio en un indeterminado se llama polinomio univariado , un polinomio en más de un indeterminado se llama polinomio multivariado . Un polinomio con dos indeterminados se llama polinomio bivariado . Estas nociones se refieren más al tipo de polinomios con los que generalmente se trabaja que a polinomios individuales; por ejemplo, cuando se trabaja con polinomios univariados, no se excluyen los polinomios constantes (que pueden resultar de la resta de polinomios no constantes), aunque estrictamente hablando, los polinomios constantes no contienen ningún indeterminado. Es posible clasificar polinomios multivariados como bivariados , trivariados , etc., de acuerdo con el número máximo de indeterminados permitidos. Nuevamente, para que el conjunto de objetos bajo consideración sea cerrado bajo sustracción, un estudio de polinomios trivariados usualmente permite polinomios bivariados, y así sucesivamente. También es común decir simplemente "polinomios en x , y y z ", enumerando los indeterminados permitidos.

La evaluación de un polinomio consiste en sustituir un valor numérico a cada indeterminado y realizar las multiplicaciones y sumas indicadas. Para polinomios en un indeterminado, la evaluación suele ser más eficiente (menor número de operaciones aritméticas a realizar) utilizando el método de Horner :

${\displaystyle (((((a_{n}x+a_{n-1})x+a_{n-2})x+\dotsb +a_{3})x+a_{2})x+a_{ 1})x+a_{0}.}$

Aritmética

Adición y sustracción

Los polinomios se pueden sumar usando la ley asociativa de la suma (agrupando todos sus términos en una sola suma), posiblemente reordenándolos (usando la ley conmutativa ) y combinando términos similares. Por ejemplo, si

${\displaystyle P=3x^{2}-2x+5xy-2}$y${\displaystyle Q=-3x^{2}+3x+4y^{2}+8}$

entonces la suma

${\displaystyle P+Q=3x^{2}-2x+5xy-2-3x^{2}+3x+4y^{2}+8}$

se puede reordenar y reagrupar como

${\displaystyle P+Q=(3x^{2}-3x^{2})+(-2x+3x)+5xy+4y^{2}+(8-2)}$

y luego simplificado a

${\displaystyle P+Q=x+5xy+4y^{2}+6.}$

Cuando se suman polinomios, el resultado es otro polinomio.

La resta de polinomios es similar.

Multiplicación

Los polinomios también se pueden multiplicar. Para expandir el producto de dos polinomios en una suma de términos, se aplica repetidamente la ley distributiva, lo que da como resultado que cada término de un polinomio se multiplique por cada término del otro. Por ejemplo, si

${\displaystyle {\begin{alineado}\color {Rojo}P&\color {Rojo}{=2x+3y+5}\\\color {Azul}Q&\color {Azul}{=2x+5y+xy+1 }\end{alineado}}}$

después

${\displaystyle {\begin{matriz}{rccrcrcrcr}{\color {Rojo}{P}}{\color {Azul}{Q}}&{=}&&({\color {Rojo}{2x}}\cdot {\color {Azul}{2x}})&+&({\color {Rojo}{2x}}\cdot {\color {Azul}{5y}})&+&({\color {Rojo}{2x }}\cdot {\color {Azul}{xy}})&+&({\color {Rojo}{2x}}\cdot {\color {Azul}{1}})\\&&+&({\ color {Rojo}{3y}}\cdot {\color {Azul}{2x}})&+&({\color {Rojo}{3y}}\cdot {\color {Azul}{5y}})&+ &({\color {Rojo}{3y}}\cdot {\color {Azul}{xy}})&+&({\color {Rojo}{3y}}\cdot {\color {Azul}{1} })\\&&+&({\color {Rojo}{5}}\cdot {\color {Azul}{2x}})&+&({\color {Rojo}{5}}\cdot {\color {Azul}{5y}})&+&({\color {Rojo}{5}}\cdot {\color {Azul}{xy}})&+&({\color {Rojo}{5}}\ cdot {\color {Azul}{1}})\end{matriz}}}$

Realizando la multiplicación en cada término se obtiene

${\displaystyle {\begin{matriz}{rccrcrcrcr}PQ&=&&4x^{2}&+&10xy&+&2x^{2}y&+&2x\\&&+&6xy&+&15y^{2}&+&3xy^{2}& +&3y\\&&+&10x&+&25y&+&5xy&+&5.\end{matriz}}}$

La combinación de términos similares produce

${\displaystyle {\begin{matriz}{rcccrcrcrcr}PQ&=&&4x^{2}&+&(10xy+6xy+5xy)&+&2x^{2}y&+&(2x+10x)\\&&+&15y^ {2}&+&3xy^{2}&+&(3y+25y)&+&5\end{matriz}}}$

que se puede simplificar a

${\displaystyle PQ=4x^{2}+21xy+2x^{2}y+12x+15y^{2}+3xy^{2}+28y+5.}$

Como en el ejemplo, el producto de polinomios siempre es un polinomio.

Composición

Dado un polinomio de una sola variable y otro polinomio g de cualquier número de variables, la composición se obtiene sustituyendo cada copia de la variable del primer polinomio por el segundo polinomio. Por ejemplo, si y entonces ${\ estilo de visualización f}$ ${\ estilo de visualización f \ círculo g}$${\displaystyle f(x)=x^{2}+2x}$${\ estilo de visualización g (x) = 3x + 2}$

Una composición puede expandirse a una suma de términos usando las reglas de multiplicación y división de polinomios. La composición de dos polinomios es otro polinomio.

División

La división de un polinomio por otro no es típicamente un polinomio. En cambio, tales proporciones son una familia más general de objetos, llamados fracciones racionales , expresiones racionales o funciones racionales , según el contexto. Esto es análogo al hecho de que la razón de dos números enteros es un número racional , no necesariamente un número entero. Por ejemplo, la fracción 1/( x ² + 1) no es un polinomio y no puede escribirse como una suma finita de potencias de la variable x .

Para polinomios de una variable, existe una noción de división euclidiana de polinomios , generalizando la división euclidiana de enteros. Esta noción de la división a ( x )/ b ( x ) da como resultado dos polinomios, un cociente q ( x ) y un resto r ( x ) , tal que a = b q + r y grado( r ) < grado( b ) . El cociente y el resto se pueden calcular mediante cualquiera de varios algoritmos, incluida la división polinomial larga y la división sintética .

Cuando el denominador b ( x ) es mónico y lineal, es decir, b ( x ) = x − c para alguna constante c , entonces el teorema del resto polinomial afirma que el resto de la división de a ( x ) entre b ( x ) es la evaluación a ( c ) . En este caso, el cociente puede calcularse mediante la regla de Ruffini , un caso especial de división sintética.

Factorización

Todos los polinomios con coeficientes en un dominio de factorización único (por ejemplo, los números enteros o un campo ) también tienen una forma factorizada en la que el polinomio se escribe como un producto de polinomios irreducibles y una constante. Esta forma factorizada es única hasta el orden de los factores y su multiplicación por una constante invertible. En el caso del campo de los números complejos , los factores irreducibles son lineales. Sobre los números reales , tienen el grado uno o dos. Sobre los números enteros y los números racionales los factores irreducibles pueden tener cualquier grado. Por ejemplo, la forma factorizada de

${\ estilo de visualización 5x^{3}-5}$

es

${\displaystyle 5(x-1)\left(x^{2}+x+1\right)}$

sobre los enteros y los reales, y

${\displaystyle 5(x-1)\left(x+{\frac {1+i{\sqrt {3}}}{2}}\right)\left(x+{\frac {1-i{\sqrt { 3}}}{2}}\derecho)}$

sobre los números complejos.

El cálculo de la forma factorizada, llamada factorización , es, en general, demasiado difícil de realizar mediante cálculos escritos a mano. Sin embargo, los algoritmos de factorización de polinomios eficientes están disponibles en la mayoría de los sistemas de álgebra computacional .

Cálculo

Calcular derivadas e integrales de polinomios es particularmente simple, en comparación con otros tipos de funciones. La derivada del polinomio

con respecto a x es el polinomio De manera similar, la antiderivada general (o integral indefinida) de es ${\ estilo de visualización P}$ donde c es una constante arbitraria. Por ejemplo, las antiderivadas de x ² + 1 tienen la forma 1/3x ³ + x + c .

Para polinomios cuyos coeficientes provienen de configuraciones más abstractas (por ejemplo, si los coeficientes son números enteros módulo algún número primo p , o elementos de un anillo arbitrario), la fórmula para la derivada todavía se puede interpretar formalmente, con el coeficiente ka _k entendido como significa la suma de k copias de a _k . Por ejemplo, sobre los enteros módulo p , la derivada del polinomio x ^p + x es el polinomio 1 .

Funciones polinómicas

Una función polinomial es una función que se puede definir evaluando un polinomio. Más precisamente, una función f de un argumento de un dominio dado es una función polinomial si existe un polinomio

${\displaystyle a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0} }$

que se evalúa para todo x en el dominio de f (aquí, n es un número entero no negativo y a ₀ , a ₁ , a ₂ , ..., _an son coeficientes constantes). Generalmente, a menos que se especifique lo contrario, las funciones polinómicas tienen coeficientes, argumentos y valores complejos . En particular, un polinomio, restringido a tener coeficientes reales, define una función de los números complejos a los números complejos. Si el dominio de esta función también está restringido a los reales, la función resultante es una función real que asigna reales a reales. ${\ estilo de visualización f (x)}$

Por ejemplo, la función f , definida por

${\displaystyle f(x)=x^{3}-x,}$

es una función polinomial de una variable. Las funciones polinómicas de varias variables se definen de manera similar, usando polinomios en más de un indeterminado, como en

${\displaystyle f(x,y)=2x^{3}+4x^{2}y+xy^{5}+y^{2}-7.}$

De acuerdo con la definición de funciones polinómicas, puede haber expresiones que obviamente no son polinomios pero que, sin embargo, definen funciones polinómicas. Un ejemplo es la expresión que toma los mismos valores que el polinomio en el intervalo , y por lo tanto ambas expresiones definen la misma función polinomial en este intervalo. ${\displaystyle \left({\sqrt {1-x^{2}}}\right)^{2},}$${\ estilo de visualización 1-x^{2}}$${\ estilo de visualización [-1,1]}$

Toda función polinomial es continua , uniforme y entera .

gráficos

Una función polinomial en una variable real se puede representar mediante un gráfico .

• La gráfica del polinomio cero
  f ( x ) = 0
  es el eje x .
• La gráfica de un polinomio de grado 0
  f ( x ) = a ₀ , donde a ₀ ≠ 0 ,
  es una recta horizontal con intersección en y a ₀
• La gráfica de un polinomio de grado 1 (o función lineal)
  f ( x ) = un ₀ + un ₁ x , donde un ₁ ≠ 0 ,
  es una recta oblicua con intersección en y a ₀ y pendiente a ₁ .
• La gráfica de un polinomio de grado 2
  f ( x ) = un ₀ + un ₁ x + un ₂ x ² , donde un ₂ ≠ 0
  es una parábola .
• La gráfica de un polinomio de grado 3
  f ( x ) = un ₀ + un ₁ x + un ₂ x ² + un ₃ x ³ , donde un ₃ ≠ 0
  es una curva cúbica .
• La gráfica de cualquier polinomio de grado 2 o mayor
  f ( x ) = un ₀ + un ₁ x + un ₂ x ² + ⋯ + un _norte x ^norte , donde un _norte ≠ 0 y norte ≥ 2
  es una curva continua no lineal.

Una función polinomial no constante tiende al infinito cuando la variable aumenta indefinidamente (en valor absoluto ). Si el grado es mayor que uno, la gráfica no tiene asíntota . Tiene dos ramas parabólicas con dirección vertical (una rama para x positiva y otra para x negativa ).

Los gráficos de polinomios se analizan en cálculo utilizando intersecciones, pendientes, concavidad y comportamiento final.

ecuaciones

Una ecuación polinomial , también llamada ecuación algebraica , es una ecuación de la forma

${\displaystyle a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\dotsb +a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0} =0.}$

Por ejemplo,

${\ estilo de visualización 3x^{2}+4x-5=0}$

es una ecuación polinomial.

Al considerar ecuaciones, las indeterminadas (variables) de los polinomios también se denominan incógnitas , y las soluciones son los posibles valores de las incógnitas para las que la igualdad es verdadera (en general, puede existir más de una solución). Una ecuación polinomial contrasta con una identidad polinomial como ( x + y )( x − y ) = x ² − y ² , donde ambas expresiones representan el mismo polinomio en diferentes formas, y como consecuencia cualquier evaluación de ambos miembros da un igualdad válida.

En álgebra elemental , se enseñan métodos como la fórmula cuadrática para resolver todas las ecuaciones polinómicas de primer y segundo grado en una variable. También hay fórmulas para las ecuaciones cúbicas y cuárticas . Para grados superiores, el teorema de Abel-Ruffini afirma que no puede existir una fórmula general en los radicales. Sin embargo, los algoritmos de búsqueda de raíces se pueden usar para encontrar aproximaciones numéricas de las raíces de una expresión polinomial de cualquier grado.

El número de soluciones de una ecuación polinomial con coeficientes reales no puede exceder el grado, y es igual al grado cuando se cuentan las soluciones complejas con su multiplicidad . Este hecho se llama el teorema fundamental del álgebra .

Resolviendo ecuaciones

Una raíz de un polinomio univariado distinto de cero P es un valor a de x tal que P ( a ) = 0 . En otras palabras, una raíz de P es una solución de la ecuación polinomial P ( x ) = 0 o un cero de la función polinomial definida por P . En el caso del polinomio cero, todo número es un cero de la función correspondiente, y rara vez se considera el concepto de raíz.

Un número a es raíz de un polinomio P si y sólo si el polinomio lineal x − a divide a P , es decir si existe otro polinomio Q tal que P = ( x − a ) Q . Puede ocurrir que una potencia (mayor que 1 ) de x − a divida a P ; en este caso, a es una raíz múltiple de P y , de lo contrario, a es una raíz simple de P. Si P es un polinomio distinto de cero, existe una potencia máxima m tal que ( x − a ) ^m divide a P , lo que se denomina multiplicidad de a como raíz de P . El número de raíces de un polinomio distinto de cero P , contadas con sus respectivas multiplicidades, no puede exceder el grado de P , y es igual a este grado si se consideran todas las raíces complejas (esto es consecuencia del teorema fundamental del álgebra . Los coeficientes de un polinomio y sus raíces están relacionadas por las fórmulas de Vieta .

Algunos polinomios, como x ² + 1 , no tienen raíces entre los números reales . Sin embargo, si el conjunto de soluciones aceptadas se expande a los números complejos , todo polinomio no constante tiene al menos una raíz; este es el teorema fundamental del álgebra . Al dividir sucesivamente los factores x − a , se ve que cualquier polinomio con coeficientes complejos se puede escribir como una constante (su coeficiente principal) por un producto de tales factores polinómicos de grado 1; como consecuencia, el número de raíces (complejas) contadas con sus multiplicidades es exactamente igual al grado del polinomio.

Puede haber varios significados de "resolver una ecuación". Uno puede querer expresar las soluciones como números explícitos; por ejemplo, la solución única de 2 x − 1 = 0 es 1/2 . Desgraciadamente, esto es, en general, imposible para ecuaciones de grado mayor que uno, y, desde la antigüedad, los matemáticos han buscado expresar las soluciones como expresión algebraica ; por ejemplo, la proporción áurea es la única solución positiva de En la antigüedad, solo tenían éxito para los grados uno y dos. Para ecuaciones cuadráticas , la fórmula cuadrática proporciona tales expresiones de las soluciones. Desde el siglo XVI, se conocen fórmulas similares (usando raíces cúbicas además de raíces cuadradas), pero mucho más complicadas para ecuaciones de grado tres y cuatro (ver ecuación cúbica y ecuación cuártica ). Pero las fórmulas para el grado 5 y superior eludieron a los investigadores durante varios siglos. En 1824, Niels Henrik Abel demostró el sorprendente resultado de que existen ecuaciones de grado 5 cuyas soluciones no pueden expresarse mediante una fórmula (finita), que involucra solo operaciones aritméticas y radicales (ver el teorema de Abel-Ruffini ). En 1830, Évariste Galois demostró que la mayoría de las ecuaciones de grado superior a cuatro no pueden resolverse mediante radicales y mostró que para cada ecuación, uno puede decidir si es resoluble mediante radicales y, si lo es, resolverla. Este resultado marcó el comienzo de la teoría de Galois y la teoría de grupos , dos ramas importantes del álgebra moderna . El mismo Galois notó que los cálculos implícitos en su método eran impracticables. Sin embargo, se han publicado fórmulas para ecuaciones resolubles de grados 5 y 6 (ver función quíntica y ecuación séxtica ). ${\ estilo de visualización (1+ {\ sqrt {5}})/2}$${\ estilo de visualización x^{2}-x-1=0.}$

Cuando no hay una expresión algebraica para las raíces, y cuando tal expresión algebraica existe pero es demasiado complicada para ser útil, la única forma de resolver es calcular aproximaciones numéricas de las soluciones. Hay muchos métodos para eso; algunos están restringidos a polinomios y otros pueden aplicarse a cualquier función continua . Los algoritmos más eficientes permiten resolver fácilmente (en una computadora ) ecuaciones polinómicas de grado superior a 1000 (ver Algoritmo de búsqueda de raíces ).

Para polinomios en más de un indeterminado, las combinaciones de valores de las variables para las que la función polinomial toma el valor cero generalmente se denominan ceros en lugar de "raíces". El estudio de los conjuntos de ceros de los polinomios es objeto de la geometría algebraica . Para un conjunto de ecuaciones polinómicas con varias incógnitas, existen algoritmos para decidir si tienen un número finito de soluciones complejas y, si este número es finito, para calcular las soluciones. Ver Sistema de ecuaciones polinómicas .

El caso especial en el que todos los polinomios son de grado uno se denomina sistema de ecuaciones lineales , para el que existe otra gama de métodos de solución diferentes , incluida la eliminación clásica de Gauss .

Una ecuación polinomial para la cual uno está interesado solo en las soluciones que son números enteros se llama ecuación diofántica . Resolver ecuaciones diofánticas es generalmente una tarea muy difícil. Se ha demostrado que no puede haber ningún algoritmo general para resolverlos, e incluso para decidir si el conjunto de soluciones está vacío (ver el décimo problema de Hilbert ). Algunos de los problemas más famosos que se han resuelto durante los últimos cincuenta años están relacionados con las ecuaciones diofánticas, como el último teorema de Fermat .

generalizaciones

Hay varias generalizaciones del concepto de polinomios.

Polinomios trigonométricos

Un polinomio trigonométrico es una combinación lineal finita de funciones sen( nx ) y cos( nx ) con n tomando los valores de uno o más números naturales . Los coeficientes pueden tomarse como números reales, para funciones con valores reales.

Si sin( nx ) y cos( nx ) se expanden en términos de sin( x ) y cos( x ), un polinomio trigonométrico se convierte en un polinomio en las dos variables sin( x ) y cos( x ) (usando Lista de identidades trigonométricas #Fórmulas de ángulos múltiples ). Por el contrario, cada polinomio en sin( x ) y cos( x ) se puede convertir, con identidades de producto a suma , en una combinación lineal de funciones sin( nx ) y cos( nx ). Esta equivalencia explica por qué las combinaciones lineales se llaman polinomios.

Para coeficientes complejos , no hay diferencia entre tal función y una serie finita de Fourier .

Los polinomios trigonométricos se utilizan mucho, por ejemplo, en la interpolación trigonométrica aplicada a la interpolación de funciones periódicas . Se utilizan también en la transformada discreta de Fourier .

Polinomios matriciales

Un polinomio matricial es un polinomio con matrices cuadradas como variables. Dado un polinomio ordinario de valor escalar

${\displaystyle P(x)=\sum_{i=0}^{n}{a_{i}x^{i}}=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{ 2}+\cdots +a_{n}x^{n},}$

este polinomio evaluado en una matriz A es

${\displaystyle P(A)=\sum _{i=0}^{n}{a_{i}A^{i}}=a_{0}I+a_{1}A+a_{2}A^ {2}+\cdots +a_{n}A^{n},}$

donde I es la matriz identidad .

Una ecuación polinomial matricial es una igualdad entre dos polinomios matriciales, que se cumple para las matrices específicas en cuestión. Una identidad polinomial matricial es una ecuación polinomial matricial que se cumple para todas las matrices A en un anillo matricial especificado M _n ( R ).

Polinomios de Laurent

Los polinomios de Laurent son como polinomios, pero permiten que ocurran potencias negativas de la(s) variable(s).

Funciones racionales

Una fracción racional es el cociente ( fracción algebraica ) de dos polinomios. Cualquier expresión algebraica que se pueda reescribir como una fracción racional es una función racional .

Mientras que las funciones polinómicas se definen para todos los valores de las variables, una función racional se define solo para los valores de las variables para las que el denominador no es cero.

Las fracciones racionales incluyen los polinomios de Laurent, pero no limitan los denominadores a potencias de un indeterminado.

Serie de potencia

Las series de potencias formales son como los polinomios, pero permiten que ocurran una cantidad infinita de términos distintos de cero, por lo que no tienen un grado finito. A diferencia de los polinomios, en general no se pueden escribir explícita y completamente (al igual que los números irracionales ), pero las reglas para manipular sus términos son las mismas que para los polinomios. Las series de potencias no formales también generalizan polinomios, pero es posible que la multiplicación de dos series de potencias no converja.

Otros ejemplos

Un polinomio bivariante en el que la segunda variable se sustituye por una función exponencial aplicada a la primera variable, por ejemplo P ( x , e ^x ) , puede denominarse polinomio exponencial .

Anillo de polinomio

Un polinomio f sobre un anillo conmutativo R es un polinomio cuyos coeficientes pertenecen todos a R . Es sencillo verificar que los polinomios en un conjunto dado de indeterminados sobre R forman un anillo conmutativo, llamado anillo polinomial en estos indeterminados, denotado en el caso univariante y en el caso multivariante. ${\ estilo de visualización R [x]}$${\displaystyle R[x_{1},\ldots,x_{n}]}$

Uno tiene

${\displaystyle R[x_{1},\ldots,x_{n}]=\left(R[x_{1},\ldots,x_{n-1}]\right)[x_{n}].}$

Entonces, la mayor parte de la teoría del caso multivariante se puede reducir a un caso univariante iterado.

El mapa de R a R [ x ] que envía r a sí mismo considerado como un polinomio constante es un homomorfismo de anillo inyectivo , por el cual R se ve como un subanillo de R [ x ] . En particular, R [ x ] es un álgebra sobre R .

Se puede pensar que el anillo R [ x ] surge de R agregando un nuevo elemento x a R , y extendiéndose de forma mínima a un anillo en el que x no satisface más relaciones que las obligatorias, además de la conmutación con todos los elementos de R (es decir, xr = rx ). Para hacer esto, se deben sumar todas las potencias de x y también sus combinaciones lineales.

La formación del anillo de polinomios, junto con la formación de anillos de factores mediante la factorización de ideales , son herramientas importantes para construir nuevos anillos a partir de los conocidos. Por ejemplo, el anillo (de hecho campo) de números complejos, que se puede construir a partir del anillo polinomial R [ x ] sobre los números reales factorizando el ideal de los múltiplos del polinomio x ² + 1 . Otro ejemplo es la construcción de campos finitos , que procede de manera similar, comenzando con el campo de los números enteros módulo algún número primo como el anillo de coeficientes R (ver aritmética modular ).

Si R es conmutativo, entonces se puede asociar con cada polinomio P en R [ x ] una función polinomial f con dominio y rango igual a R . (En términos más generales, se puede considerar que el dominio y el rango son cualquier álgebra asociativa unitaria sobre R .) Se obtiene el valor f ( r ) sustituyendo el valor r por el símbolo x en P . Una razón para distinguir entre polinomios y funciones polinómicas es que, en algunos anillos, diferentes polinomios pueden dar lugar a la misma función polinomial (ver el pequeño teorema de Fermat para un ejemplo donde R es el módulo p de números enteros ). Este no es el caso cuando R es el número real o complejo, por lo que los dos conceptos no siempre se distinguen en el análisis . Una razón aún más importante para distinguir entre polinomios y funciones polinómicas es que muchas operaciones en polinomios (como la división euclidiana ) requieren mirar de qué se compone un polinomio como una expresión en lugar de evaluarlo en algún valor constante para x .

Divisibilidad

Si R es un dominio integral y f y g son polinomios en R [ x ] , se dice que f divide g o f es divisor de g si existe un polinomio q en R [ x ] tal que f q = g . Si entonces a es raíz de f si y sólo divide a f . En este caso, el cociente se puede calcular usando la división larga de polinomios . ${\ estilo de visualización a \ en R,}$${\ estilo de visualización xa}$

Si F es un campo y f y g son polinomios en F [ x ] con g ≠ 0 , entonces existen polinomios únicos q y r en F [ x ] con

${\ estilo de visualización f = q \, g + r}$

y tal que el grado de r es menor que el grado de g (usando la convención de que el polinomio 0 tiene un grado negativo). Los polinomios q y r están determinados únicamente por f y g . Esto se llama división euclidiana , división con resto o división polinomial larga y muestra que el anillo F [ x ] es un dominio euclidiano .

Análogamente, los polinomios primos (más correctamente, polinomios irreducibles ) se pueden definir como polinomios distintos de cero que no se pueden factorizar en el producto de dos polinomios no constantes . En el caso de coeficientes en un anillo, "no constante" debe ser reemplazado por "no constante o no unitario " (ambas definiciones concuerdan en el caso de coeficientes en un campo). Cualquier polinomio puede descomponerse en el producto de una constante invertible por un producto de polinomios irreducibles. Si los coeficientes pertenecen a un campo oa un único dominio de factorización esta descomposición es única hasta el orden de los factores y la multiplicación de cualquier factor no unitario por una unidad (y división del factor unitario por la misma unidad). Cuando los coeficientes pertenecen a números enteros, números racionales o un campo finito, existen algoritmos para probar la irreductibilidad y calcular la factorización en polinomios irreducibles (ver Factorización de polinomios ). Estos algoritmos no son prácticos para el cálculo escrito a mano, pero están disponibles en cualquier sistema de álgebra computacional . El criterio de Eisenstein también se puede utilizar en algunos casos para determinar la irreductibilidad.

Aplicaciones

Notación posicional

En los sistemas de números posicionales modernos, como el sistema decimal , los dígitos y sus posiciones en la representación de un número entero, por ejemplo, 45, son una notación abreviada para un polinomio en la raíz o base, en este caso, 4 × 10 ¹ + 5 × 10 ⁰ . Como otro ejemplo, en base 5, una cadena de dígitos como 132 denota el número (decimal) 1 × 5 ² + 3 × 5 ¹ + 2 × 5 ⁰ = 42. Esta representación es única. Sea b un entero positivo mayor que 1. Entonces todo entero positivo a se puede expresar de forma única en la forma

${\displaystyle a=r_{m}b^{m}+r_{m-1}b^{m-1}+\dotsb +r_{1}b+r_{0},}$

donde m es un entero no negativo y las r son enteros tales que

0 < r _metro < segundo y 0 ≤ r _yo < segundo para yo = 0, 1, . . . , metro - 1 .

Interpolación y aproximación

La estructura simple de las funciones polinómicas las hace bastante útiles para analizar funciones generales usando aproximaciones polinómicas. Un ejemplo importante en cálculo es el teorema de Taylor , que establece aproximadamente que toda función diferenciable localmente se parece a una función polinomial, y el teorema de Stone-Weierstrass , que establece que toda función continua definida en un intervalo compacto del eje real se puede aproximar en el intervalo completo tan cerca como lo desee una función polinomial. Los métodos prácticos de aproximación incluyen la interpolación de polinomios y el uso de splines .

Otras aplicaciones

Los polinomios se utilizan con frecuencia para codificar información sobre algún otro objeto. El polinomio característico de una matriz o un operador lineal contiene información sobre los valores propios del operador . El polinomio mínimo de un elemento algebraico registra la relación algebraica más simple satisfecha por ese elemento. El polinomio cromático de un gráfico cuenta el número de colores propios de ese gráfico.

El término "polinomio", como adjetivo, también se puede usar para cantidades o funciones que se pueden escribir en forma de polinomio. Por ejemplo, en la teoría de la complejidad computacional, la frase tiempo polinomial significa que el tiempo que lleva completar un algoritmo está limitado por una función polinomial de alguna variable, como el tamaño de la entrada.

Historia

Determinar las raíces de polinomios, o "resolver ecuaciones algebraicas", es uno de los problemas matemáticos más antiguos. Sin embargo, la notación elegante y práctica que usamos hoy solo se desarrolló a partir del siglo XV. Antes de eso, las ecuaciones se escribían con palabras. Por ejemplo, un problema de álgebra de la Aritmética china en nueve secciones , alrededor del año 200 a. C., comienza "Tres gavillas de buena cosecha, dos gavillas de cosecha mediocre y una gavilla de mala cosecha se venden por 29 dou". Escribiríamos 3 x + 2 y + z = 29 .

Historia de la notación

El primer uso conocido del signo igual se encuentra en The Whetstone of Witte de Robert Recorde , 1557. Los signos + para la suma, − para la resta y el uso de una letra para una incógnita aparecen en Arithemetica integra de Michael Stifel , 1544. René Descartes , en La géometrie , 1637, introdujo el concepto de la gráfica de una ecuación polinomial. Popularizó el uso de letras desde el principio del alfabeto para denotar constantes y letras desde el final del alfabeto para denotar variables, como se puede ver arriba, en la fórmula general para un polinomio en una variable, donde las a denotan constantes y x denota una variable. Descartes también introdujo el uso de superíndices para denotar exponentes.

Ver también

• Lista de temas de polinomios

notas

Referencias

enlaces externos

• "Polinomio" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
• "Investigaciones de Euler sobre las raíces de las ecuaciones" . Archivado desde el original el 24 de septiembre de 2012.