Geometria plana) - Plane (geometry)

Ecuación plana en forma normal

En matemáticas , un plano es un plano , de dos dimensiones de superficie que se extiende infinitamente lejos. Un plano es el análogo bidimensional de un punto (dimensiones cero), una línea (una dimensión) y un espacio tridimensional . Los planos pueden surgir como subespacios de algún espacio de dimensiones superiores, como con una de las paredes de una habitación, infinitamente extendido, o pueden disfrutar de una existencia independiente por derecho propio, como en el escenario de la geometría euclidiana .

Cuando se trabaja exclusivamente en el espacio euclidiano bidimensional , se utiliza el artículo definido, por lo que el plano se refiere a todo el espacio. Muchas tareas fundamentales en matemáticas, geometría , trigonometría , teoría de grafos y graficación se realizan en un espacio bidimensional, a menudo en el plano.

Geometría euclidiana

Euclides estableció el primer gran hito del pensamiento matemático, un tratamiento axiomático de la geometría. Seleccionó un pequeño núcleo de términos indefinidos (llamados nociones comunes ) y postulados (o axiomas ) que luego usó para probar varios enunciados geométricos. Aunque al plano en su sentido moderno no se le da directamente una definición en ningún lugar de los Elementos , se puede pensar en él como parte de las nociones comunes. Euclides nunca usó números para medir longitud, ángulo o área. De esta manera, el plano euclidiano no es exactamente el mismo que el plano cartesiano .

Tres planos paralelos.

Un plano es una superficie reglada

Representación

Esta sección se ocupa únicamente de los planos incrustados en tres dimensiones: específicamente, en R 3 .

Determinación por puntos y líneas contenidos

En un espacio euclidiano de cualquier número de dimensiones, un plano está determinado de forma única por cualquiera de los siguientes:

  • Tres puntos no colineales (puntos que no están en una sola línea).
  • Una línea y un punto que no está en esa línea.
  • Dos líneas distintas pero que se cruzan.
  • Dos líneas distintas pero paralelas .

Propiedades

Las siguientes afirmaciones se mantienen en el espacio euclidiano tridimensional pero no en dimensiones superiores, aunque tienen análogos de dimensiones superiores:

  • Dos planos distintos son paralelos o se cruzan en una línea .
  • Una línea es paralela a un plano, lo corta en un solo punto o está contenida en el plano.
  • Dos líneas distintas perpendiculares al mismo plano deben ser paralelas entre sí.
  • Dos planos distintos perpendiculares a la misma línea deben ser paralelos entre sí.

Punto: forma normal y forma general de la ecuación de un plano

De una manera análoga a la forma en que las líneas en un espacio bidimensional se describen usando una forma punto-pendiente para sus ecuaciones, los planos en un espacio tridimensional tienen una descripción natural usando un punto en el plano y un vector ortogonal a él (el vector normal ) para indicar su "inclinación".

Específicamente, sea r 0 el vector de posición de algún punto P 0 = ( x 0 , y 0 , z 0 ) , y sea n = ( a , b , c ) un vector distinto de cero. El plano determinado por el punto P 0 y el vector n consta de aquellos puntos P , con vector de posición r , de manera que el vector dibujado de P 0 a P es perpendicular an . Recordando que dos vectores son perpendiculares si y solo si su producto escalar es cero, se deduce que el plano deseado se puede describir como el conjunto de todos los puntos r tales que

El punto aquí significa un producto de puntos (escalar) .
Expandido esto se convierte

que es la forma normal de punto de la ecuación de un plano. Esta es solo una ecuación lineal

dónde

,

que es la forma expandida de

En matemáticas es una convención común expresar lo normal como un vector unitario , pero el argumento anterior es válido para un vector normal de cualquier longitud distinta de cero.

Por el contrario, se demuestra fácilmente que si un , b , c y d son constantes y a , b , y c no son todos cero, entonces el gráfico de la ecuación

es un plano que tiene el vector n = ( a , b , c ) como normal. Esta ecuación familiar para un avión se llama la forma general de la ecuación del avión.

Así, por ejemplo, una ecuación de regresión de la forma y = d + ax + cz (con b = −1 ) establece un plano de mejor ajuste en el espacio tridimensional cuando hay dos variables explicativas.

Describir un plano con un punto y dos vectores sobre él.

Alternativamente, un plano puede describirse paramétricamente como el conjunto de todos los puntos de la forma

Descripción vectorial de un avión

donde s y t abarcan todos los números reales, v y w reciben vectores linealmente independientes que definen el plano, y r 0 es el vector que representa la posición de un punto arbitrario (pero fijo) en el plano. Los vectores v y w se pueden visualizar como vectores que comienzan en r 0 y apuntan en diferentes direcciones a lo largo del plano. Los vectores v y w pueden ser perpendiculares , pero no paralelos.

Describir un plano a través de tres puntos.

Sean p 1 = ( x 1 , y 1 , z 1 ) , p 2 = ( x 2 , y 2 , z 2 ) y p 3 = ( x 3 , y 3 , z 3 ) puntos no colineales.

Método 1

El plano que pasa por p 1 , p 2 y p 3 se puede describir como el conjunto de todos los puntos ( x , y , z ) que satisfacen las siguientes ecuaciones determinantes :

Método 2

Para describir el plano mediante una ecuación de la forma , resuelva el siguiente sistema de ecuaciones:

Este sistema se puede resolver utilizando la regla de Cramer y manipulaciones matriciales básicas. Dejar

.

Si D es distinto de cero (por lo que para aviones no a través del origen) los valores para un , b y c se pueden calcular como sigue:

Estas ecuaciones son paramétricas en d . Establecer d igual a cualquier número distinto de cero y sustituirlo en estas ecuaciones producirá un conjunto de soluciones.

Método 3

Este plano también se puede describir mediante la prescripción de " punto y un vector normal " anterior. Un vector normal adecuado viene dado por el producto cruzado

y el punto r 0 puede tomarse como cualquiera de los puntos dados p 1 , p 2 o p 3 (o cualquier otro punto del plano).

Operaciones

Distancia desde un punto a un plano

Para un plano y un punto que no se encuentran necesariamente en el plano, la distancia más corta desde el plano es

De ello se deduce que se encuentra en el plano si y solo si D = 0 .

Si lo que significa que a , b , y c se normalizó entonces la ecuación se convierte

Otra forma de vector para la ecuación de un plano, conocida como la forma normal Hesse se basa en el parámetro D . Este formulario es:

donde es un vector normal unitario al plano, un vector de posición de un punto del plano y D 0 la distancia del plano al origen.

Se puede llegar rápidamente a la fórmula general para dimensiones más altas utilizando la notación vectorial . Supongamos que el hiperplano tiene una ecuación , donde el es un vector normal y es un vector de posición a un punto en el hiperplano . Deseamos la distancia perpendicular al punto . El hiperplano también puede representarse mediante la ecuación escalar , para constantes . Asimismo, un correspondiente puede representarse como . Deseamos la proyección escalar del vector en la dirección de . Observando que (como satisface la ecuación del hiperplano ) tenemos

.

Intersección línea-plano

En geometría analítica, la intersección de una línea y un plano en el espacio tridimensional puede ser el conjunto vacío , un punto o una línea.

Línea de intersección entre dos planos

Dos planos que se cruzan en un espacio tridimensional.

La línea de intersección entre dos planos y donde están normalizados viene dada por

dónde

Esto se encuentra al notar que la línea debe ser perpendicular a ambos planos normales y, por lo tanto, paralela a su producto cruzado (este producto cruzado es cero si y solo si los planos son paralelos y, por lo tanto, no se intersecan o son completamente coincidentes).

Se llega al resto de la expresión encontrando un punto arbitrario en la línea. Para ello, considere que cualquier punto del espacio puede escribirse como , ya que es una base . Deseamos encontrar un punto que esté en ambos planos (es decir, en su intersección), así que inserte esta ecuación en cada una de las ecuaciones de los planos para obtener dos ecuaciones simultáneas que puedan resolverse para y .

Si además asumimos que y son ortonormales, entonces el punto más cercano en la línea de intersección al origen es . Si ese no es el caso, entonces se debe utilizar un procedimiento más complejo.

Ángulo diedro

Dados dos planos de intersección descritos por y , el ángulo diedro entre ellos se define como el ángulo entre sus direcciones normales:

Planos en diversas áreas de las matemáticas

Además de su estructura geométrica familiar , con isomorfismos que son isometrías con respecto al producto interno habitual, el plano puede verse en varios otros niveles de abstracción . Cada nivel de abstracción corresponde a una categoría específica .

En un extremo, todos los conceptos geométricos y métricos pueden abandonarse para abandonar el plano topológico , que puede considerarse como una lámina de caucho infinita homotópicamente trivial idealizada , que conserva una noción de proximidad, pero no tiene distancias. El plano topológico tiene el concepto de trayectoria lineal, pero no el concepto de línea recta. El plano topológico, o su equivalente el disco abierto, es la vecindad topológica básica utilizada para construir superficies (o 2-variedades) clasificadas en topología de baja dimensión . Los isomorfismos del plano topológico son todos biyecciones continuas . El plano topológico es el contexto natural para la rama de la teoría de grafos que se ocupa de grafos planos y resultados como el teorema de los cuatro colores .

El plano también puede verse como un espacio afín , cuyos isomorfismos son combinaciones de traslaciones y mapas lineales no singulares. Desde este punto de vista no hay distancias, pero se conservan la colinealidad y las relaciones de distancias en cualquier línea.

La geometría diferencial ve un plano como una variedad real bidimensional , un plano topológico que está provisto de una estructura diferencial . Nuevamente, en este caso, no existe la noción de distancia, pero ahora existe un concepto de suavidad de mapas, por ejemplo, una ruta diferenciable o suave (según el tipo de estructura diferencial aplicada). Los isomorfismos en este caso son biyecciones con el grado de diferenciabilidad elegido.

En la dirección opuesta a la abstracción, podemos aplicar una estructura de campo compatible al plano geométrico, dando lugar al plano complejo y al área principal de análisis complejo . El campo complejo tiene solo dos isomorfismos que dejan fija la línea real, la identidad y la conjugación .

De la misma manera que en el caso real, el plano también puede verse como la variedad compleja más simple, unidimensional (sobre los números complejos ) , a veces llamada línea compleja. Sin embargo, este punto de vista contrasta marcadamente con el caso del plano como una variedad real bidimensional. Los isomorfismos son todas biyecciones conformes del plano complejo, pero las únicas posibilidades son mapas que corresponden a la composición de una multiplicación por un número complejo y una traslación.

Además, la geometría euclidiana (que tiene curvatura cero en todas partes) no es la única geometría que puede tener el plano. Al plano se le puede dar una geometría esférica utilizando la proyección estereográfica . Esto se puede pensar en colocar una esfera en el plano (como una bola en el suelo), quitar el punto superior y proyectar la esfera en el plano desde este punto). Esta es una de las proyecciones que se pueden utilizar para hacer un mapa plano de parte de la superficie de la Tierra. La geometría resultante tiene una curvatura positiva constante.

Alternativamente, al plano también se le puede dar una métrica que le dé una curvatura negativa constante dando el plano hiperbólico . La última posibilidad encuentra una aplicación en la teoría de la relatividad especial en el caso simplificado donde hay dos dimensiones espaciales y una dimensión temporal. (El plano hiperbólico es una hipersuperficie temporal en el espacio tridimensional de Minkowski ).

Nociones topológicas y geométricas diferenciales

La compactificación de un punto del plano es homeomorfa a una esfera (ver proyección estereográfica ); el disco abierto es homeomorfo a una esfera a la que le falta el "polo norte"; agregar ese punto completa la esfera (compacta). El resultado de esta compactación es una variedad denominada esfera de Riemann o línea proyectiva compleja . La proyección desde el plano euclidiano a una esfera sin punto es un difeomorfismo e incluso un mapa conforme .

El avión en sí es homeomórfico (y difeomórfico) a un disco abierto . Para el plano hiperbólico tal difeomorfismo es conforme, pero para el plano euclidiano no lo es.

Ver también

Notas

Referencias

  • Anton, Howard (1994), Álgebra lineal elemental (7a ed.), John Wiley & Sons, ISBN 0-471-58742-7
  • Eves, Howard (1963), Un estudio de geometría , I , Boston: Allyn y Bacon, Inc.

enlaces externos