Cono - Cone

Un cono circular recto y un cono circular oblicuo

Un cono doble (no se muestra infinitamente extendido)

Modelo 3D de un cono

Un cono es una forma geométrica tridimensional que se estrecha suavemente desde una base plana (con frecuencia, aunque no necesariamente, circular) hasta un punto llamado vértice o vértice .

Un cono está formado por un conjunto de segmentos de línea , medias líneas o líneas que conectan un punto común, el vértice, con todos los puntos de una base que está en un plano que no contiene el vértice. Dependiendo del autor, la base puede estar restringida a un círculo , cualquier forma cuadrática unidimensional en el plano, cualquier figura unidimensional cerrada o cualquiera de los puntos anteriores más todos los puntos encerrados. Si los puntos encerrados se incluyen en la base, el cono es un objeto sólido ; de lo contrario, es un objeto bidimensional en un espacio tridimensional. En el caso de un objeto sólido, el límite formado por estas líneas o líneas parciales se denomina superficie lateral ; si la superficie lateral es ilimitada, es una superficie cónica .

En el caso de los segmentos de línea, el cono no se extiende más allá de la base, mientras que en el caso de las medias líneas, se extiende infinitamente. En el caso de las líneas, el cono se extiende infinitamente en ambas direcciones desde el vértice, en cuyo caso a veces se le llama cono doble.. Cualquiera de las dos mitades de un cono doble en un lado del ápice se llama napa .

El eje de un cono es la línea recta (si la hay), que pasa por el vértice, alrededor del cual la base (y todo el cono) tiene una simetría circular .

En el uso común en geometría elemental , se supone que los conos son circulares rectos , donde circular significa que la base es un círculo y derecho significa que el eje pasa por el centro de la base en ángulo recto con su plano. Si el cono es circular recto, la intersección de un plano con la superficie lateral es una sección cónica . Sin embargo, en general, la base puede tener cualquier forma y el vértice puede estar en cualquier lugar (aunque se suele asumir que la base está delimitada y, por lo tanto, tiene un área finita , y que el vértice se encuentra fuera del plano de la base). En contraste con los conos derechos hay conos oblicuos, en los que el eje pasa por el centro de la base de forma no perpendicular.

Un cono con una base poligonal se llama pirámide .

Dependiendo del contexto, "cono" también puede significar específicamente un cono convexo o un cono proyectivo .

Los conos también se pueden generalizar a dimensiones superiores .

Terminología adicional

El perímetro de la base de un cono se llama "directriz", y cada uno de los segmentos de línea entre la directriz y el vértice es una "generatriz" o "línea generadora" de la superficie lateral. (Para conocer la conexión entre este sentido del término "directriz" y la directriz de una sección cónica, consulte las esferas de Dandelin ).

El "radio de la base" de un cono circular es el radio de su base; a menudo esto se llama simplemente radio del cono. La apertura de un cono circular recto es el ángulo máximo entre dos líneas generatrices; si la generatriz forma un ángulo θ con el eje, la apertura es 2 θ .

Ilustración de Problemata mathica ... publicada en Acta Eruditorum , 1734

Un cono con una región que incluye su vértice cortado por un plano se denomina " cono truncado "; si el plano de truncamiento es paralelo a la base del cono, se llama tronco . Un "cono elíptico" es un cono con una base elíptica . Un "cono generalizado" es la superficie creada por el conjunto de líneas que pasan a través de un vértice y cada punto en un límite (ver también casco visual ).

Medidas y ecuaciones

Volumen

El volumen de cualquier sólido cónico es un tercio del producto del área de la base y la altura${\ Displaystyle V}$${\ Displaystyle A_ {B}}$${\ Displaystyle h}$

${\ Displaystyle V = {\ frac {1} {3}} A_ {B} h.}$

En las matemáticas modernas, esta fórmula se puede calcular fácilmente usando el cálculo; es, hasta escalar, la integral.Sin usar el cálculo, la fórmula se puede probar comparando el cono con una pirámide y aplicando el principio de Cavalieri, específicamente, comparando el cono con una pirámide. (en escala vertical) pirámide cuadrada derecha, que forma un tercio de un cubo. Esta fórmula no puede ser probada sin usar argumentos tan infinitesimales - a diferencia de las fórmulas bidimensionales para el área poliédrica, aunque similar al área del círculo - y por lo tanto admitió pruebas menos rigurosas antes del advenimiento del cálculo, con los antiguos griegos usando el método de agotamiento . Este es esencialmente el contenido del tercer problema de Hilbert ; más precisamente, no todas las pirámides poliédricas son congruentes en tijeras (se pueden cortar en pedazos finitos y reordenar en el otro), y por lo tanto el volumen no se puede calcular simplemente usando un argumento de descomposición. ${\ Displaystyle \ int x ^ {2} dx = {\ tfrac {1} {3}} x ^ {3}.}$

Centro de masa

El centro de masa de un sólido cónico de densidad uniforme se encuentra a un cuarto del camino desde el centro de la base hasta el vértice, en la línea recta que une los dos.

Cono circular recto

Volumen

Para un cono circular con radio r y altura h , la base es un círculo de área y, por lo tanto, la fórmula para el volumen se convierte en ${\ Displaystyle \ pi r ^ {2}}$

${\ Displaystyle V = {\ frac {1} {3}} \ pi r ^ {2} h.}$

Altura inclinada

La altura inclinada de un cono circular recto es la distancia desde cualquier punto del círculo de su base hasta el vértice a través de un segmento de línea a lo largo de la superficie del cono. Viene dado por , donde es el radio de la base y es la altura. Esto puede demostrarse mediante el teorema de Pitágoras . ${\ Displaystyle {\ sqrt {r ^ {2} + h ^ {2}}}}$${\ Displaystyle r}$${\ Displaystyle h}$

Área de superficie

El área de la superficie lateral de un cono circular recto es donde está el radio del círculo en la parte inferior del cono y es la altura inclinada del cono. El área de superficie del círculo inferior de un cono es el mismo que para cualquier círculo, . Por lo tanto, el área de superficie total de un cono circular recto se puede expresar como cada uno de los siguientes: ${\ Displaystyle LSA = \ pi rl}$${\ Displaystyle r}$${\ Displaystyle l}$${\ Displaystyle \ pi r ^ {2}}$

• Radio y altura

${\ Displaystyle \ pi r ^ {2} + \ pi r {\ sqrt {r ^ {2} + h ^ {2}}}}$

(el área de la base más el área de la superficie lateral; el término es la altura inclinada)${\ Displaystyle {\ sqrt {r ^ {2} + h ^ {2}}}}$

${\ Displaystyle \ pi r \ left (r + {\ sqrt {r ^ {2} + h ^ {2}}} \ right)}$

donde es el radio y es la altura.${\ Displaystyle r}$${\ Displaystyle h}$

• Radio y altura inclinada

${\ Displaystyle \ pi r ^ {2} + \ pi rl}$

${\ Displaystyle \ pi r (r + l)}$

donde es el radio y es la altura inclinada.${\ Displaystyle r}$${\ Displaystyle l}$

• Circunferencia y altura inclinada

${\ Displaystyle {\ frac {c ^ {2}} {4 \ pi}} + {\ frac {cl} {2}}}$

${\ Displaystyle \ left ({\ frac {c} {2}} \ right) \ left ({\ frac {c} {2 \ pi}} + l \ right)}$

donde es la circunferencia y es la altura inclinada.${\ Displaystyle c}$${\ Displaystyle l}$

• Ángulo y altura del ápice

${\ Displaystyle \ pi h ^ {2} \ tan {\ frac {\ Theta} {2}} \ left (\ tan {\ frac {\ Theta} {2}} + \ sec {\ frac {\ Theta} { 2}} \ derecha)}$

donde es el ángulo del vértice y es la altura.${\ Displaystyle \ Theta}$${\ Displaystyle h}$

Sector circular

El sector circular obtenido al desplegar la superficie de una nuca del cono tiene:

• radio R

${\ Displaystyle R = {\ sqrt {r ^ {2} + h ^ {2}}}}$

• longitud de arco L

${\ Displaystyle L = c = 2 \ pi r}$

• ángulo central φ en radianes

${\ Displaystyle \ phi = {\ frac {L} {R}} = {\ frac {2 \ pi r} {\ sqrt {r ^ {2} + h ^ {2}}}}}$

Forma de ecuación

La superficie de un cono se puede parametrizar como

${\ Displaystyle f (\ theta, h) = (h \ cos \ theta, h \ sin \ theta, h),}$

donde es el ángulo "alrededor" del cono y es la "altura" a lo largo del cono. ${\ Displaystyle \ theta \ in [0,2 \ pi)}$${\ Displaystyle h \ in \ mathbb {R}}$

Un cono circular sólido recto con altura y apertura , cuyo eje es el eje de coordenadas y cuyo vértice es el origen, se describe paramétricamente como ${\ Displaystyle h}$${\ Displaystyle 2 \ theta}$${\ Displaystyle z}$

${\ Displaystyle F (s, t, u) = \ left (u \ tan s \ cos t, u \ tan s \ sin t, u \ right)}$

donde oscilar sobre , y , respectivamente. ${\ Displaystyle s, t, u}$${\ Displaystyle [0, \ theta)}$${\ Displaystyle [0,2 \ pi)}$${\ Displaystyle [0, h]}$

En forma implícita , el mismo sólido se define por las desigualdades

${\ Displaystyle \ {F (x, y, z) \ leq 0, z \ geq 0, z \ leq h \},}$

donde

${\ Displaystyle F (x, y, z) = (x ^ {2} + y ^ {2}) (\ cos \ theta) ^ {2} -z ^ {2} (\ sin \ theta) ^ {2 }. \,}$

De manera más general, un cono circular recto con vértice en el origen, eje paralelo al vector y apertura viene dado por la ecuación vectorial implícita donde ${\ Displaystyle d}$${\ Displaystyle 2 \ theta}$${\ Displaystyle F (u) = 0}$

${\ Displaystyle F (u) = (u \ cdot d) ^ {2} - (d \ cdot d) (u \ cdot u) (\ cos \ theta) ^ {2}}$   o   ${\ Displaystyle F (u) = u \ cdot d- | d || u | \ cos \ theta}$

donde , y denota el producto escalar . ${\ Displaystyle u = (x, y, z)}$${\ Displaystyle u \ cdot d}$

Cono elíptico

Una superficie cuádrica de cono elíptico

En el sistema de coordenadas cartesianas , un cono elíptico es el lugar geométrico de una ecuación de la forma

${\ Displaystyle {\ frac {x ^ {2}} {a ^ {2}}} + {\ frac {y ^ {2}} {b ^ {2}}} = z ^ {2}.}$

Es una imagen afín del cono unitario circular recto con ecuación Del hecho de que la imagen afín de una sección cónica es una sección cónica del mismo tipo (elipse, parábola, ...) se obtiene: ${\ Displaystyle x ^ {2} + y ^ {2} = z ^ {2} \.}$

• Cualquier sección plana de un cono elíptico es una sección cónica.

Obviamente, cualquier cono circular recto contiene círculos. Esto también es cierto, pero menos obvio, en el caso general (ver sección circular ).

La intersección de un cono elíptico con una esfera concéntrica es una cónica esférica .

Geometría proyectiva

En geometría proyectiva , un cilindro es simplemente un cono cuyo vértice está en el infinito, lo que corresponde visualmente a un cilindro en perspectiva que parece ser un cono hacia el cielo.

En geometría proyectiva , un cilindro es simplemente un cono cuyo vértice está en el infinito. Intuitivamente, si se mantiene la base fija y se toma el límite cuando el vértice llega al infinito, se obtiene un cilindro, el ángulo del lado aumentando como arctan , en el límite formando un ángulo recto . Esto es útil en la definición de cónicas degeneradas , que requieren considerar las cónicas cilíndricas .

Según GB Halsted , un cono se genera de manera similar a una cónica de Steiner solo con una proyectividad y lápices axiales (no en perspectiva) en lugar de los rangos proyectivos utilizados para la cónica de Steiner:

"Si dos lápices axiales copuntuales no rectos son proyectivos pero no perspectiva, los encuentros de planos correlacionados forman una 'superficie cónica de segundo orden', o 'cono'".

Mayores dimensiones

La definición de cono puede extenderse a dimensiones superiores (ver conos convexos ). En este caso, se dice que un conjunto convexo C en el verdadero espacio vectorial R ⁿ es un cono (con vértice en el origen) si para cada vector x en C y cada número real no negativo de una , el vector de hacha está en C . En este contexto, los análogos de los conos circulares no suelen ser especiales; de hecho, a menudo nos interesan los conos poliédricos .

Ver también

• Bicono
• Cono (álgebra lineal)
• Cono (topología)
• Cilindro (geometría)
• Demócrito
• Cónica generalizada
• Hiperboloide
• Lista de formas
• Cono pirométrico
• Quadric
• Rotación de ejes
• Superficie reglada
• Traducción de axes

Notas

Referencias

• Protter, Murray H .; Morrey, Jr., Charles B. (1970), Cálculo universitario con geometría analítica (2a ed.), Lectura: Addison-Wesley , LCCN  76087042

enlaces externos

• Weisstein, Eric W. "Cone" . MathWorld .
• Weisstein, Eric W. "Cono doble" . MathWorld .
• Weisstein, Eric W. "Cono generalizado" . MathWorld .
• Un cono giratorio interactivo de Maths Is Fun
• Cono de modelo de papel
• Superficie lateral de un cono oblicuo
• Cortar un cono Una demostración interactiva de la intersección de un cono con un plano