Matemáticas babilónicas - Babylonian mathematics

Tablilla de arcilla babilónica YBC 7289 con anotaciones. La diagonal muestra una aproximación de la raíz cuadrada de 2 en cuatro cifras sexagesimales , 1 24 51 10, lo que equivale aproximadamente a seis dígitos decimales .
1 + 24/60 + 51/60 2 + 10/60 3 = 1.41421296 ... La tableta también da un ejemplo donde un lado del cuadrado es 30, y la diagonal resultante es 42 25 35 o 42.4263888 ...

Las matemáticas babilónicas (también conocidas como matemáticas asirio-babilónicas ) denotan las matemáticas desarrolladas o practicadas por la gente de Mesopotamia , desde los días de los primeros sumerios hasta los siglos posteriores a la caída de Babilonia en 539 a. C. Los textos matemáticos babilónicos son abundantes y están bien editados. Con respecto al tiempo, se dividen en dos grupos distintos: uno del período babilónico antiguo (1830-1531 a. C.), el otro principalmente seléucida de los últimos tres o cuatro siglos a. C. En cuanto al contenido, apenas existe diferencia entre los dos grupos de textos. Las matemáticas babilónicas permanecieron constantes, en carácter y contenido, durante casi dos milenios.

En contraste con la escasez de fuentes en las matemáticas egipcias , el conocimiento de las matemáticas babilónicas se deriva de unas 400 tablillas de arcilla desenterradas desde la década de 1850. Escritas en escritura cuneiforme , las tablillas se inscribían mientras la arcilla estaba húmeda y se horneaban en un horno o al calor del sol. La mayoría de las tablillas de arcilla recuperadas datan de 1800 a 1600 a. C. y cubren temas que incluyen fracciones , álgebra , ecuaciones cuadráticas y cúbicas y el teorema de Pitágoras . La tablilla babilónica YBC 7289 da una aproximación a la precisión de tres dígitos sexagesimales significativos (alrededor de seis dígitos decimales significativos).

Orígenes de las matemáticas babilónicas

Las matemáticas babilónicas son una gama de prácticas matemáticas numéricas y más avanzadas en el antiguo Cercano Oriente , escritas en escritura cuneiforme . El estudio se ha centrado históricamente en el período de la Antigua Babilonia a principios del segundo milenio antes de Cristo debido a la gran cantidad de datos disponibles. Ha habido un debate sobre la aparición más temprana de las matemáticas babilónicas, con historiadores que sugieren un rango de fechas entre el quinto y el tercer milenio antes de Cristo. Las matemáticas babilónicas se escribieron principalmente en tablillas de arcilla en escritura cuneiforme en los idiomas acadio o sumerio .

"Matemáticas babilónicas" es quizás un término poco útil ya que los primeros orígenes sugeridos datan del uso de dispositivos contables, como bullae y tokens , en el quinto milenio antes de Cristo.

Numerales babilonios

El sistema matemático babilónico era un sistema numérico sexagesimal (base 60) . De esto derivamos el uso actual de 60 segundos en un minuto, 60 minutos en una hora y 360 grados en un círculo. Los babilonios pudieron hacer grandes avances en matemáticas por dos razones. En primer lugar, el número 60 es un número superior altamente compuesto , que tiene factores de 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60 (incluidos los que son compuestos en sí mismos), lo que facilita los cálculos con fracciones . Además, a diferencia de los egipcios y romanos, los babilonios tenían un verdadero sistema de valor posicional , donde los dígitos escritos en la columna de la izquierda representaban valores más grandes (tanto como, en nuestro sistema de base diez, 734 = 7 × 100 + 3 × 10 + 4 × 1).

Matemáticas sumerias

Los antiguos sumerios de Mesopotamia desarrollaron un complejo sistema de metrología a partir del 3000 a. C. Desde el 2600 a. C. en adelante, los sumerios escribieron tablas de multiplicar en tablillas de arcilla y se ocuparon de ejercicios geométricos y problemas de división . Los primeros vestigios de los números babilónicos también se remontan a este período.

Matemáticas de la antigua Babilonia (2000-1600 a. C.)

La mayoría de las tablillas de arcilla que describen las matemáticas babilónicas pertenecen al antiguo babilónico , razón por la cual las matemáticas de Mesopotamia se conocen comúnmente como matemáticas babilónicas. Algunas tablillas de arcilla contienen listas y tablas matemáticas, otras contienen problemas y soluciones trabajadas.

Tablilla de arcilla, matemática, geométrico-algebraica, similar al teorema de Pitágoras. De Tell al-Dhabba'i, Irak. 2003-1595 a. C. Museo de Irak
Tablilla de arcilla, matemática, geométrico-algebraica, similar a la geometría euclidiana. De Tell Harmal, Irak. 2003-1595 a. C. Museo de Irak

Aritmética

Los babilonios utilizaron tablas precalculadas para ayudar con la aritmética . Por ejemplo, dos tablillas encontradas en Senkerah en el Éufrates en 1854, que datan del 2000 aC, dan listas de los cuadrados de los números hasta el 59 y los cubos de los números hasta el 32. Los babilonios usaron las listas de los cuadrados junto con las fórmulas:

para simplificar la multiplicación.

Los babilonios no tenían un algoritmo para la división larga . En cambio, basaron su método en el hecho de que:

junto con una tabla de recíprocos . Los números cuyos únicos factores primos son 2, 3 o 5 (conocidos como 5 números suaves o regulares ) tienen recíprocos finitos en notación sexagesimal, y se han encontrado tablas con listas extensas de estos recíprocos.

Los recíprocos como 1/7, 1/11, 1/13, etc. no tienen representaciones finitas en notación sexagesimal. Para calcular 1/13 o dividir un número por 13, los babilonios usarían una aproximación como:

Álgebra

La tablilla de arcilla babilónica YBC 7289 (c. 1800-1600 aC) da una aproximación de 2 en cuatro cifras sexagesimales , 1; 24,51,10, que tiene una precisión de aproximadamente seis dígitos decimales , y es el número de tres posiciones más cercano posible representación sexagesimal de 2 :

Además de los cálculos aritméticos, los matemáticos babilónicos también desarrollaron métodos algebraicos para resolver ecuaciones . Una vez más, estos se basaron en tablas precalculadas.

Para resolver una ecuación cuadrática , los babilonios esencialmente usaron la fórmula cuadrática estándar . Consideraron ecuaciones cuadráticas de la forma:

donde b y c no eran necesariamente enteros, pero c fue siempre positiva. Sabían que una solución a esta forma de ecuación es:

y encontraron raíces cuadradas de manera eficiente usando la división y el promedio. Siempre usaron la raíz positiva porque esto tenía sentido al resolver problemas "reales". Los problemas de este tipo incluían encontrar las dimensiones de un rectángulo dada su área y la cantidad en que la longitud excede el ancho.

Se utilizaron tablas de valores de n 3  +  n 2 para resolver ciertas ecuaciones cúbicas . Por ejemplo, considere la ecuación:

Multiplicando la ecuación por a 2 y dividiendo por b 3 da:

Sustituyendo y = ax / b da:

que ahora podría resolverse buscando en la tabla n 3  +  n 2 para encontrar el valor más cercano al lado derecho. Los babilonios lograron esto sin notación algebraica, mostrando una notable profundidad de comprensión. Sin embargo, no tenían un método para resolver la ecuación cúbica general.

Crecimiento

Los babilonios modelaron el crecimiento exponencial, el crecimiento restringido (a través de una forma de funciones sigmoideas ) y el tiempo de duplicación , este último en el contexto de los intereses de los préstamos.

Tabletas de arcilla de c. 2000 AEC incluye el ejercicio "Dada una tasa de interés de 1/60 por mes (sin capitalización), calcule el tiempo de duplicación". Esto produce una tasa de interés anual de 12/60 = 20% y, por lo tanto, un tiempo de duplicación del 100% de crecimiento / 20% de crecimiento por año = 5 años.

Plimpton 322

La tableta Plimpton 322 contiene una lista de " triples pitagóricos ", es decir, números enteros tales que . Los triples son demasiados y demasiado grandes para haber sido obtenidos por la fuerza bruta.

Mucho se ha escrito sobre el tema, incluida alguna especulación (quizás anacrónica) sobre si la tableta podría haber servido como una tabla trigonométrica temprana. Se debe tener cuidado de ver la tableta en términos de métodos familiares o accesibles para los escribas en ese momento.

[...] la pregunta "¿cómo se calculó la tableta?" no tiene que tener la misma respuesta que la pregunta "¿Qué problemas tiene la tableta?" La primera puede responderse de manera más satisfactoria mediante pares recíprocos, como se sugirió por primera vez hace medio siglo, y la segunda mediante algún tipo de problemas de triángulos rectángulos.

(E. Robson, "Ni Sherlock Holmes ni Babylon: una reevaluación de Plimpton 322", Historia Math. 28 (3), p. 202).

Geometría

Los babilonios conocían las reglas comunes para medir volúmenes y áreas. Midieron la circunferencia de un círculo como tres veces el diámetro y el área como una doceava parte del cuadrado de la circunferencia, lo que sería correcto si π se estima en 3. Sabían que se trataba de una aproximación, y una matemática del Antiguo Babilonia La tablilla excavada cerca de Susa en 1936 (fechada entre los siglos XIX y XVII a. C.) da una mejor aproximación de π como 25/8 = 3,125, aproximadamente un 0,5 por ciento por debajo del valor exacto. El volumen de un cilindro se tomó como el producto de la base y la altura, sin embargo, el volumen del tronco de un cono o una pirámide cuadrada se tomó incorrectamente como el producto de la altura y la mitad de la suma de las bases. El teorema de Pitágoras también era conocido por los babilonios.

La "milla babilónica" era una medida de distancia equivalente a unos 11,3 km (o unas siete millas modernas). Esta medida de distancias finalmente se convirtió en una "milla de tiempo" utilizada para medir el viaje del Sol, por lo tanto, representa el tiempo.

Los antiguos babilonios habían conocido teoremas sobre las proporciones de los lados de triángulos similares durante muchos siglos, pero carecían del concepto de la medida de un ángulo y, en consecuencia, estudiaron los lados de los triángulos.

Los astrónomos babilónicos mantuvieron registros detallados de la salida y puesta de las estrellas , el movimiento de los planetas y los eclipses solares y lunares , todo lo cual requería familiaridad con las distancias angulares medidas en la esfera celeste .

También utilizaron una forma de análisis de Fourier para calcular efemérides (tablas de posiciones astronómicas), que fue descubierto en la década de 1950 por Otto Neugebauer . Para hacer cálculos de los movimientos de los cuerpos celestes, los babilonios utilizaron aritmética básica y un sistema de coordenadas basado en la eclíptica , la parte del cielo por la que viajan el sol y los planetas.

Las tablillas conservadas en el Museo Británico proporcionan evidencia de que los babilonios incluso llegaron a tener un concepto de objetos en un espacio matemático abstracto. Las tablillas datan de entre 350 y 50 a. C., revelando que los babilonios entendieron y usaron la geometría incluso antes de lo que se pensaba. Los babilonios utilizaron un método para estimar el área bajo una curva dibujando un trapezoide debajo, una técnica que se creía que se originó en la Europa del siglo XIV. Este método de estimación les permitió, por ejemplo, encontrar la distancia que había viajado Júpiter en un cierto período de tiempo.

Influencia

Desde el redescubrimiento de la civilización babilónica, se ha hecho evidente que los matemáticos y astrónomos griegos y helenísticos , y en particular Hiparco , tomaron prestado mucho de los babilonios .

Franz Xaver Kugler demostró en su libro Die Babylonische Mondrechnung (" The Babylonian lunar computation ", Freiburg im Breisgau, 1900) lo siguiente: Ptolomeo había declarado en su Almagest IV.2 que Hiparco mejoró los valores de los períodos lunares conocidos por él desde " incluso astrónomos más antiguos "al comparar las observaciones de eclipses hechas anteriormente por" los caldeos ", y por él mismo. Sin embargo, Kugler descubrió que los períodos que Ptolomeo atribuye a Hiparco ya se habían utilizado en las efemérides babilónicas , específicamente en la colección de textos que hoy en día se llama "Sistema B" (a veces atribuido a Kidinnu ). Aparentemente, Hiparco solo confirmó la validez de los períodos que aprendió de los caldeos mediante sus observaciones más recientes.

Está claro que Hiparco (y Ptolomeo después de él) tenían una lista esencialmente completa de observaciones de eclipses que abarcaban muchos siglos. Lo más probable es que hayan sido compilados a partir de las tablillas del "diario": son tablillas de arcilla que registran todas las observaciones relevantes que los caldeos hacían habitualmente. Los ejemplos conservados datan del 652 a.C. al 130 d.C., pero probablemente los registros se remontan al reinado del rey babilónico Nabonassar : Ptolomeo comienza su cronología con el primer día en el calendario egipcio del primer año de Nabonassar, es decir, el 26 de febrero. 747 AC.

Esta materia prima por sí sola debe haber sido difícil de usar, y sin duda los propios caldeos compilaron extractos de, por ejemplo, todos los eclipses observados (se han encontrado algunas tablillas con una lista de todos los eclipses en un período de tiempo que cubren un saros ). Esto les permitió reconocer las recurrencias periódicas de eventos. Entre otros que utilizaron en el Sistema B (cf. Almagest IV.2):

  • 223 meses sinódicos = 239 retornos en anomalía ( mes anomalístico ) = 242 retornos en latitud ( mes dracónico ). Esto ahora se conoce como el período saros , que es útil para predecir eclipses .
  • 251 meses (sinódicos) = 269 retornos en anomalía
  • 5458 meses (sinódicos) = 5923 retornos en latitud
  • 1 mes sinódico = 29; 31,50,08,20 días (sexagesimal; 29.53059413 ... días en decimales = 29 días 12 horas 44 min 3⅓ s, el tiempo real de PS es 2,9 s, por lo tanto, 0,43 segundos de descuento)

Los babilonios expresaron todos los períodos en meses sinódicos , probablemente porque usaban un calendario lunisolar . Varias relaciones con los fenómenos anuales llevaron a diferentes valores a lo largo del año.

Del mismo modo, se conocieron varias relaciones entre los períodos de los planetas . Las relaciones que Ptolomeo atribuye a Hiparco en Almagest IX.3 ya se habían utilizado en predicciones encontradas en tablillas de arcilla babilónicas.

Todo este conocimiento fue transferido a los griegos probablemente poco después de la conquista de Alejandro Magno (331 aC). Según el filósofo clásico tardío Simplicio (principios del siglo VI d. C.), Alejandro ordenó la traducción de los registros astronómicos históricos bajo la supervisión de su cronista Calístenes de Olynthus , quien se los envió a su tío Aristóteles . Aunque Simplicius es una fuente muy tardía, su relato puede ser confiable. Pasó algún tiempo en el exilio en la corte sasánida (persa) y es posible que haya accedido a fuentes que de otro modo se habían perdido en Occidente. Llama la atención que mencione el título tèresis (griego: guardia), que es un nombre extraño para una obra histórica, pero es una traducción adecuada del título babilónico MassArt que significa custodiar, pero también observar. De todos modos, el alumno de Aristóteles, Calipo de Cícico, presentó su ciclo de 76 años, que mejoró en el ciclo metónico de 19 años , en ese momento. El primer año de su primer ciclo comenzó en el solsticio de verano del 28 de junio de 330 a.C. ( fecha del calendario juliano proléptico ), pero más tarde parece haber contado los meses lunares desde el primer mes después de la batalla decisiva de Alejandro en Gaugamela en el otoño de 331 a.C. Así que Callippus pudo haber obtenido sus datos de fuentes babilónicas y su calendario pudo haber sido anticipado por Kidinnu. También se sabe que el sacerdote babilónico conocido como Beroso escribió alrededor del 281 aC un libro en griego sobre la historia (bastante mitológica) de Babilonia, la Babiloniaca , para el nuevo gobernante Antíoco I ; se dice que posteriormente fundó una escuela de astrología en la isla griega de Kos . Otro candidato para enseñar a los griegos sobre la astronomía / astrología babilónica fue Sudines, quien estuvo en la corte de Atalo I Soter a fines del siglo III a. C.

En cualquier caso, la traducción de los registros astronómicos requirió un conocimiento profundo de la escritura cuneiforme , el idioma y los procedimientos, por lo que parece probable que lo hicieran algunos caldeos no identificados. Ahora, los babilonios fechan sus observaciones en su calendario lunisolar, en el que los meses y los años tienen una duración variable (29 o 30 días; 12 o 13 meses respectivamente). En ese momento, no usaban un calendario regular (como el que se basaba en el ciclo metónico, como lo hicieron más tarde), pero comenzaron un nuevo mes basado en las observaciones de la Luna Nueva . Esto hizo que fuera muy tedioso calcular el intervalo de tiempo entre eventos.

Lo que puede haber hecho Hiparco es transformar estos registros al calendario egipcio , que utiliza un año fijo de siempre 365 días (que consta de 12 meses de 30 días y 5 días adicionales): esto facilita mucho el cálculo de los intervalos de tiempo. Ptolomeo fechó todas las observaciones en este calendario. También escribe que "Todo lo que él (= Hiparco) hizo fue hacer una recopilación de las observaciones planetarias ordenadas de una manera más útil" ( Almagest IX.2). Plinio afirma ( Naturalis Historia II.IX (53)) sobre las predicciones de eclipses: "Después de su tiempo (= Tales ), los cursos de ambas estrellas (= Sol y Luna) durante 600 años fueron profetizados por Hiparco, ...". Esto parece implicar que Hiparco predijo eclipses durante un período de 600 años, pero considerando la enorme cantidad de cálculos necesarios, esto es muy poco probable. Más bien, Hipparchus habría hecho una lista de todos los eclipses desde la época de Nabonasser hasta la suya.

Otros rastros de la práctica babilónica en el trabajo de Hiparco son:

  • primer uso griego conocido de la división del círculo en 360 grados de 60 minutos de arco .
  • primer uso consistente del sistema numérico sexagesimal .
  • el uso de la unidad pechus ("codo") de aproximadamente 2 ° o 2½ °.
  • uso de un período corto de 248 días = 9 meses anómalos.

Ver también

Notas

Referencias