Elipse - Ellipse

Una elipse (roja) obtenida como la intersección de un cono con un plano inclinado.
Elipse: notaciones
Elipses: ejemplos con excentricidad creciente

En matemáticas , una elipse es una curva plana que rodea dos puntos focales , de modo que para todos los puntos de la curva, la suma de las dos distancias a los puntos focales es una constante. Como tal, generaliza un círculo , que es el tipo especial de elipse en el que los dos puntos focales son iguales. El alargamiento de una elipse se mide por su excentricidad , un número que va desde (el caso límite de un círculo) hasta (el caso límite del alargamiento infinito, ya no es una elipse sino una parábola ).

Una elipse tiene una solución algebraica simple para su área, pero solo aproximaciones para su perímetro (también conocido como circunferencia ), para lo cual se requiere integración para obtener una solución exacta.

Analíticamente , la ecuación de una elipse estándar centrada en el origen con ancho y alto es:

Suponiendo que los focos son para . La ecuación paramétrica estándar es:

Las elipses son el tipo cerrado de sección cónica : una curva plana que traza la intersección de un cono con un plano (ver figura). Las elipses tienen muchas similitudes con las otras dos formas de secciones cónicas, parábolas e hipérbolas , las cuales son abiertas e ilimitadas . Una sección transversal en ángulo de un cilindro también es una elipse.

Una elipse también se puede definir en términos de un punto focal y una línea fuera de la elipse llamada directriz : para todos los puntos de la elipse, la relación entre la distancia al foco y la distancia a la directriz es una constante. Esta relación constante es la excentricidad mencionada anteriormente:

Las elipses son comunes en física , astronomía e ingeniería . Por ejemplo, la órbita de cada planeta del sistema solar es aproximadamente una elipse con el Sol en un punto de enfoque (más precisamente, el enfoque es el baricentro del par Sol-planeta). Lo mismo es cierto para las lunas que orbitan planetas y todos los demás sistemas de dos cuerpos astronómicos. Las formas de los planetas y las estrellas a menudo se describen bien mediante elipsoides . Un círculo visto desde un ángulo lateral parece una elipse: es decir, la elipse es la imagen de un círculo bajo proyección paralela o en perspectiva . La elipse es también la figura de Lissajous más simple que se forma cuando los movimientos horizontal y vertical son sinusoides con la misma frecuencia: un efecto similar conduce a la polarización elíptica de la luz en óptica .

El nombre, ἔλλειψις ( élleipsis , "omisión"), fue dado por Apolonio de Perge en sus Cónicas .

Definición como lugar geométrico de puntos

Elipse: definición por suma de distancias a focos
Elipse: definición por foco y directriz circular

Una elipse se puede definir geométricamente como un conjunto o lugar geométrico de puntos en el plano euclidiano:

Dados dos puntos fijos llamados focos y una distancia que es mayor que la distancia entre los focos, la elipse es el conjunto de puntos tales que la suma de las distancias es igual a :

El punto medio del segmento de línea que une los focos se llama centro de la elipse. La línea que pasa por los focos se llama eje mayor y la línea perpendicular a ella que pasa por el centro es el eje menor .El eje mayor interseca la elipse en dos vértices , que tienen distancia al centro. La distancia de los focos al centro se llama distancia focal o excentricidad lineal. El cociente es la excentricidad .

El caso produce un círculo y se incluye como un tipo especial de elipse.

La ecuación se puede ver de otra manera (ver figura):

Si es el círculo con punto medio y radio , entonces la distancia de un punto al círculo es igual a la distancia al foco :

se llama directriz circular (relacionada con el foco ) de la elipse. Esta propiedad no debe confundirse con la definición de una elipse usando una línea directriz a continuación.

Usando esferas de Dandelin , se puede probar que cualquier sección plana de un cono con un plano es una elipse, asumiendo que el plano no contiene el vértice y tiene una pendiente menor que la de las líneas del cono.

En coordenadas cartesianas

Parámetros de forma:

Ecuación estándar

La forma estándar de una elipse en coordenadas cartesianas asume que el origen es el centro de la elipse, el eje x es el eje mayor y:

los focos son los puntos ,
los vértices son .

Para un punto arbitrario, la distancia al foco es y al otro foco . Por lo tanto, el punto está en la elipse siempre que:

Eliminando los radicales mediante cuadraturas adecuadas y usando produce la ecuación estándar de la elipse:

o, resuelto para y:

Los parámetros de ancho y alto se denominan ejes semi-mayor y semi-menor . Los puntos superior e inferior son los co-vértices . Las distancias desde un punto de la elipse a los focos izquierdo y derecho son y .

De la ecuación se deduce que la elipse es simétrica con respecto a los ejes de coordenadas y, por tanto, con respecto al origen.

Parámetros

Ejes principales

A lo largo de este artículo, los ejes semi-mayor y semi-menor se indican y , respectivamente, es decir

En principio, la ecuación de elipse canónica puede tener (y por lo tanto la elipse sería más alta que ancha). Esta forma se puede convertir en la forma estándar mediante la transposición de los nombres de las variables y y los nombres de los parámetros y

Excentricidad lineal

Esta es la distancia desde el centro de un foco: .

Excentricidad

La excentricidad se puede expresar como:

suponiendo que una elipse con ejes iguales ( ) tiene excentricidad cero y es un círculo.

Recto semilato

La longitud de la cuerda a través de un foco, perpendicular al eje mayor, se llama latus recto . La mitad es el recto semi-latus . Un cálculo muestra:

El recto semilato es igual al radio de curvatura en los vértices (ver sección curvatura ).

Tangente

Una línea arbitraria interseca a una elipse en 0, 1 o 2 puntos, llamados respectivamente línea exterior , tangente y secante . A través de cualquier punto de una elipse existe una tangente única. La tangente en un punto de la elipse tiene la ecuación de coordenadas:

Una ecuación paramétrica vectorial de la tangente es:

con

Prueba: Sea un punto en una elipse y sea ​​la ecuación de cualquier línea que la contenga . Insertando la ecuación de la recta en la ecuación de elipse y respetando los rendimientos:

Luego hay casos:
  1. Entonces la línea y la elipse solo tienen un punto en común, y es una tangente. La dirección de la tangente tiene un vector perpendicular , por lo que la recta tangente tiene una ecuación para algunos . Porque está en la tangente y en la elipse, se obtiene .
  2. Entonces, la línea tiene un segundo punto en común con la elipse y es una secante.

Usando (1) uno encuentra que es un vector tangente en el punto , lo que prueba la ecuación del vector.

Si y son dos puntos de la elipse tales que , entonces los puntos se encuentran en dos diámetros conjugados (ver más abajo ). (Si , la elipse es un círculo y "conjugado" significa "ortogonal").

Elipse desplazada

Si la elipse estándar se desplaza para tener centro , su ecuación es

Los ejes siguen siendo paralelos a los ejes xey.

Elipse general

En geometría analítica , la elipse se define como una cuadrática : el conjunto de puntos del plano cartesiano que, en casos no degenerados, satisfacen la ecuación implícita

previsto

Para distinguir los casos degenerados del caso no degenerado, sea el determinante

Entonces la elipse es una elipse real no degenerada si y solo si C∆ <0. Si C∆ > 0, tenemos una elipse imaginaria, y si = 0, tenemos una elipse puntual.

Los coeficientes de la ecuación general se pueden obtener a partir del semieje mayor , el semieje menor , las coordenadas centrales y el ángulo de rotación (el ángulo desde el eje horizontal positivo hasta el eje mayor de la elipse) utilizando las fórmulas:

Estas expresiones se pueden derivar de la ecuación canónica mediante una transformación afín de las coordenadas :

Por el contrario, los parámetros de forma canónica se pueden obtener a partir de los coeficientes de forma general mediante las ecuaciones:

Representación paramétrica

La construcción de puntos a partir de la ecuación paramétrica y la interpretación del parámetro t , que se debe a de la Hire
Puntos de elipse calculados por la representación racional con parámetros espaciados iguales ( ).

Representación paramétrica estándar

Usando funciones trigonométricas , una representación paramétrica de la elipse estándar es:

El parámetro t (llamado anomalía excéntrica en astronomía) no es el ángulo de con el eje x , pero tiene un significado geométrico debido a Philippe de La Hire (ver Dibujo de elipses a continuación).

Representación racional

Con las fórmulas de sustitución y trigonométricas se obtiene

y la ecuación paramétrica racional de una elipse

que cubre cualquier punto de la elipse excepto el vértice izquierdo .

Para esta fórmula, representa el cuarto superior derecho de la elipse moviéndose en sentido antihorario al aumentar El vértice izquierdo es el límite

Las representaciones racionales de secciones cónicas se utilizan comúnmente en el diseño asistido por computadora (consulte la curva de Bezier ).

Pendiente tangente como parámetro

Se puede obtener una representación paramétrica, que utiliza la pendiente de la tangente en un punto de la elipse, a partir de la derivada de la representación estándar :

Con la ayuda de fórmulas trigonométricas se obtiene:

Reemplazo y de la representación estándar produce:

Aquí está la pendiente de la tangente en el punto de elipse correspondiente, es la mitad superior e inferior de la elipse. Los vértices , que tienen tangentes verticales, no están cubiertos por la representación.

La ecuación de la tangente en el punto tiene la forma . Lo aún desconocido se puede determinar insertando las coordenadas del punto de elipse correspondiente :

Esta descripción de las tangentes de una elipse es una herramienta esencial para la determinación de la ortóptica de una elipse. El artículo ortóptico contiene otra prueba, sin cálculo diferencial ni fórmulas trigonométricas.

Elipse general

Elipse como imagen afín del círculo unitario

Otra definición de elipse usa transformaciones afines :

Cualquier elipse es una imagen afín del círculo unitario con ecuación .
Representación paramétrica

Una transformación afín del plano euclidiano tiene la forma , donde es una matriz regular (con determinante distinto de cero ) y es un vector arbitrario. Si son los vectores columna de la matriz , el círculo unidad , , está asignada a la elipse:

Aquí está el centro y son las direcciones de dos diámetros conjugados , en general no perpendiculares.

Vértices

Los cuatro vértices de la elipse son , para un parámetro definido por:

(Si , entonces .) Esto se deriva de la siguiente manera. El vector tangente en el punto es:

En un parámetro de vértice , la tangente es perpendicular a los ejes mayor / menor, entonces:

Expandir y aplicar las identidades da la ecuación para

Zona

Del teorema de Apolonio (ver más abajo) se obtiene:
El área de una elipse es

Semiejes

Con las abreviaturas, los enunciados del teorema de Apolonio se pueden escribir como:

Al resolver este sistema no lineal se obtienen los semiejes:

Representación implícita

Resolviendo la representación paramétrica por la regla de Cramer y usando , se obtiene la representación implícita

.

Por el contrario: si la ecuación

con

de una elipse centrada en el origen, entonces los dos vectores

apuntar a dos puntos conjugados y las herramientas desarrolladas anteriormente son aplicables.

Ejemplo : Para la elipse con ecuación, los vectores son

.
Remolinos: elipses anidadas, escaladas y rotadas. La espiral no está dibujada: la vemos como el lugar geométrico de los puntos donde las elipses están especialmente cerca unas de otras.
Elipse estándar girada

Para uno se obtiene una representación paramétrica de la elipse estándar rotada por ángulo :

Elipse en el espacio

La definición de elipse en esta sección da una representación paramétrica de una elipse arbitraria, incluso en el espacio, si se permite que sean vectores en el espacio.

Formas polares

Forma polar relativa al centro

Coordenadas polares centradas en el centro.

En coordenadas polares , con el origen en el centro de la elipse y con la coordenada angular medida desde el eje mayor, la ecuación de la elipse es

Forma polar relativa al enfoque

Coordenadas polares centradas en el foco.

Si en cambio usamos coordenadas polares con el origen en un foco, con la coordenada angular aún medida desde el eje mayor, la ecuación de la elipse es

donde el signo en el denominador es negativo si la dirección de referencia apunta hacia el centro (como se ilustra a la derecha), y positivo si esa dirección apunta en dirección opuesta al centro.

En el caso un poco más general de una elipse con un foco en el origen y el otro foco en la coordenada angular , la forma polar es

El ángulo en estas fórmulas se llama la verdadera anomalía del punto. El numerador de estas fórmulas es el recto semilato .

Excentricidad y propiedad directriz

Elipse: propiedad de directriz

Cada una de las dos líneas paralelas al eje menor, y a una distancia de éste, se denomina directriz de la elipse (ver diagrama).

Para un punto arbitrario de la elipse, el cociente de la distancia a un foco y a la directriz correspondiente (ver diagrama) es igual a la excentricidad:

La prueba del par se deriva del hecho de que y satisfacen la ecuación

El segundo caso se prueba de manera análoga.

Lo contrario también es cierto y se puede usar para definir una elipse (de manera similar a la definición de una parábola):

Para cualquier punto (foco), cualquier línea (directriz) que no pase , y cualquier número real con elipse es el lugar geométrico de los puntos para los cuales el cociente de las distancias al punto y a la línea es que es:

La extensión a , que es la excentricidad de un círculo, no está permitida en este contexto en el plano euclidiano. Sin embargo, se puede considerar que la directriz de un círculo es la línea en el infinito ( siendo el radio del círculo) en el plano proyectivo .

(La elección produce una parábola y , si , una hipérbola).

Lápiz de cónicas con vértice común y recto semilato común
Prueba

Deje , y asumir un punto de la curva. La directriz tiene ecuación . Con , la relación produce las ecuaciones

y

La sustitución cede

Esta es la ecuación de una elipse ( ), una parábola ( ) o una hipérbola ( ). Todas estas cónicas no degeneradas tienen, en común, el origen como vértice (ver diagrama).

Si , introduzca nuevos parámetros para que , y luego la ecuación anterior se convierta en

que es la ecuación de una elipse con centro , el eje x como eje mayor y el semieje mayor / menor .

Construcción de una directriz
Construcción de una directriz

Debido al punto de la directriz (ver diagrama) y el foco son inversos con respecto a la inversión del círculo en el círculo (en el diagrama verde). Por tanto, se puede construir como se muestra en el diagrama. La directriz es la perpendicular al eje principal en el punto .

Elipse general

Si el foco es y la directriz , se obtiene la ecuación

(El lado derecho de la ecuación usa la forma normal de Hesse de una línea para calcular la distancia ).

Propiedad de reflexión de enfoque a enfoque

Elipse: la tangente biseca el ángulo suplementario del ángulo entre las líneas a los focos.
Los rayos de un foco se reflejan en la elipse para pasar a través del otro foco.

Una elipse posee la siguiente propiedad:

La normal en un punto biseca el ángulo entre las líneas .
Prueba

Debido a que la tangente es perpendicular a la normal, el enunciado también es cierto para la tangente y el ángulo suplementario del ángulo entre las líneas y los focos (ver diagrama).

Sea el punto en la línea con la distancia al foco , es el semi-eje mayor de la elipse. Sea la línea la bisectriz del ángulo suplementario al ángulo entre las líneas . Para demostrar que es la recta tangente en el punto , se comprueba que cualquier punto de la recta que sea diferente de no puede estar en la elipse. Por tanto, solo tiene un punto en común con la elipse y es, por tanto, la tangente en el punto .

A partir del diagrama y la desigualdad triangular se reconoce que sostiene, lo que significa: . La igualdad es cierta según el teorema de la bisectriz de ángulo porque y . Pero si es un punto de la elipse, la suma debería ser .

Solicitud

Los rayos de un foco son reflejados por la elipse al segundo foco. Esta propiedad tiene aplicaciones ópticas y acústicas similares a la propiedad reflectante de una parábola (ver galería de susurros ).

Diámetros conjugados

Definición de diámetros conjugados

Diámetros ortogonales de un círculo con un cuadrado de tangentes, puntos medios de cuerdas paralelas y una imagen afín, que es una elipse con diámetros conjugados, un paralelogramo de tangentes y puntos medios de cuerdas.

Un círculo tiene la siguiente propiedad:

Los puntos medios de las cuerdas paralelas se encuentran en un diámetro.

Una transformación afín conserva el paralelismo y los puntos medios de los segmentos de línea, por lo que esta propiedad es verdadera para cualquier elipse. (Tenga en cuenta que las cuerdas paralelas y el diámetro ya no son ortogonales).

Definición

Dos diámetros de una elipse son conjugada si los puntos medios de los acordes paralelos a acostarse en

Del diagrama se encuentra:

Dos diámetros de una elipse se conjugan siempre que las tangentes en y son paralelas a .

Los diámetros conjugados en una elipse generalizan los diámetros ortogonales en un círculo.

En la ecuación paramétrica para una elipse general dada anteriormente,

cualquier par de puntos pertenece a un diámetro y el par pertenece a su diámetro conjugado.

Teorema de Apollonios sobre diámetros conjugados

Teorema de Apollonios
Para la fórmula de área alternativa

Para una elipse con semiejes, se cumple lo siguiente:

Sean y mitades de dos diámetros conjugados (ver diagrama) entonces
  1. .
  2. El triángulo con lados (ver diagrama) tiene el área constante , que también se puede expresar con . es la altitud del punto y el ángulo entre los medios diámetros. Por lo tanto, el área de la elipse (consulte la sección de propiedades métricas ) se puede escribir como .
  3. El paralelogramo de tangentes adyacentes a los diámetros conjugados dados tiene la
Prueba

Sea la elipse en forma canónica con ecuación paramétrica

.

Los dos puntos están en diámetros conjugados (ver sección anterior). De las fórmulas trigonométricas se obtiene y

El área del triángulo generado por es

y en el diagrama se puede ver que el área del paralelogramo es 8 veces la de . Por eso

Tangentes ortogonales

Elipse con su ortóptico

Para la elipse, los puntos de intersección de las tangentes ortogonales se encuentran en el círculo .

Este círculo se llama ortóptico o círculo director de la elipse (no debe confundirse con la directriz circular definida anteriormente).

Dibujar elipses

Proyección central de círculos (puerta)

Las elipses aparecen en geometría descriptiva como imágenes (proyección paralela o central) de círculos. Existen varias herramientas para dibujar una elipse. Las computadoras proporcionan el método más rápido y preciso para dibujar una elipse. Sin embargo, existen herramientas técnicas ( elipsografías ) para dibujar una elipse sin una computadora. El principio de las elipsografías era conocido por matemáticos griegos como Arquímedes y Proklos .

Si no hay un elipsograma disponible, se puede dibujar una elipse usando una aproximación de los cuatro círculos osculantes en los vértices .

Para cualquier método que se describe a continuación, es necesario el conocimiento de los ejes y los semiejes (o de manera equivalente: los focos y el semieje mayor). Si no se cumple esta presunción, se deben conocer al menos dos diámetros conjugados. Con la ayuda de la construcción de Rytz, se pueden recuperar los ejes y semiejes.

Construcción del punto de La Hire

La siguiente construcción de puntos únicos de una elipse se debe a de La Hire . Se basa en la representación paramétrica estándar de una elipse:

  1. Dibuja los dos círculos centrados en el centro de la elipse con radios y los ejes de la elipse.
  2. Dibuja una línea a través del centro , que interseca los dos círculos en el punto y , respectivamente.
  3. Dibujar una línea a través de que es paralela al eje menor y una línea a través de que es paralela al eje mayor. Estas líneas se encuentran en un punto de elipse (ver diagrama).
  4. Repita los pasos (2) y (3) con diferentes líneas a través del centro.
Elipse: método del jardinero

Método de alfileres y cuerdas

La caracterización de una elipse como el lugar geométrico de los puntos de modo que la suma de las distancias a los focos sea constante conduce a un método para dibujar uno usando dos chinchetas , una cuerda y un lápiz. En este método, se introducen alfileres en el papel en dos puntos, que se convierten en los focos de la elipse. Se ata una cuerda en cada extremo a las dos clavijas; su longitud después de atar es . La punta del lápiz luego traza una elipse si se mueve mientras se mantiene la cuerda tensa. Usando dos clavijas y una cuerda, los jardineros usan este procedimiento para delinear un macizo de flores elíptico, por eso se llama elipse del jardinero .

Un método similar para dibujar elipses confocales con una cuerda cerrada se debe al obispo irlandés Charles Graves .

Métodos de tiras de papel

Los dos métodos siguientes se basan en la representación paramétrica (consulte la sección representación paramétrica , más arriba):

Esta representación se puede modelar técnicamente mediante dos métodos sencillos. En ambos casos hay que conocer el centro, los ejes y los semiejes .

Método 1

El primer método comienza con

una tira de papel de largo .

El punto donde se encuentran los semiejes está marcado por . Si la tira se desliza con ambos extremos en los ejes de la elipse deseada, el punto traza la elipse. Para la prueba se muestra que el punto tiene la representación paramétrica , donde parámetro es el ángulo de la pendiente de la tira de papel.

Una pareja de Tusi puede lograr una realización técnica del movimiento de la tira de papel (ver animación). El dispositivo puede dibujar cualquier elipse con una suma fija , que es el radio del círculo grande. Esta restricción puede ser una desventaja en la vida real. Más flexible es el segundo método de tiras de papel.

Una variación del método 1 de la tira de papel utiliza la observación de que el punto medio de la tira de papel se mueve en el círculo con el centro (de la elipse) y el radio . Por lo tanto, la tira de papel se puede cortar en un punto en mitades, volver a conectar mediante una junta en y el extremo deslizante se fija en el centro (ver diagrama). Después de esta operación, el movimiento de la mitad inalterada de la tira de papel permanece inalterado. Esta variación requiere solo una zapata deslizante.

Construcción de elipse: método de tira de papel 2
Método 2

El segundo método comienza con

una tira de papel de largo .

Se marca el punto, que divide la tira en dos subfiras de largo y . La tira se coloca sobre los ejes como se describe en el diagrama. Luego, el extremo libre de la tira traza una elipse, mientras la tira se mueve. Para la prueba, se reconoce que el punto de rastreo se puede describir paramétricamente mediante , donde parámetro es el ángulo de inclinación de la tira de papel.

Este método es la base de varios elipsogramas (consulte la sección siguiente).

De manera similar a la variación del método de tira de papel 1, se puede establecer una variación del método de tira de papel 2 (ver diagrama) cortando la parte entre los ejes en mitades.

La mayoría de los instrumentos de dibujo de elipsogramas se basan en el segundo método de tira de papel.

Aproximación de una elipse con círculos osculantes

Aproximación por círculos osculantes

De las propiedades métricas a continuación, se obtiene:

  • El radio de curvatura en los vértices es:
  • El radio de curvatura en los co-vértices es:

El diagrama muestra una manera fácil de encontrar los centros de curvatura en el vértice y co-vértice , respectivamente:

  1. marcar el punto auxiliar y dibujar el segmento de línea
  2. dibuja la línea a través , que es perpendicular a la línea
  3. los puntos de intersección de esta línea con los ejes son los centros de los círculos osculantes.

(prueba: cálculo simple).

Los centros de los vértices restantes se encuentran por simetría.

Con la ayuda de una curva francesa se dibuja una curva que tiene un contacto suave con los círculos osculantes .

Generación Steiner

Elipse: generación Steiner
Elipse: generación Steiner

El siguiente método para construir puntos únicos de una elipse se basa en la generación de Steiner de una sección cónica :

Dados dos lápices de líneas en dos puntos (todas las líneas que contiene y , respectivamente) y un mapeo perspectiva proyectiva pero no de a , entonces los puntos de intersección de las líneas correspondientes forman una sección cónica proyectiva no degenerado.

Para la generación de puntos de la elipse se utilizan lápices en los vértices . Sea un co-vértice superior de la elipse y .

es el centro del rectángulo . El lado del rectángulo se divide en n segmentos de línea espaciados iguales y esta división se proyecta paralela a la diagonal como dirección sobre el segmento de línea y asigna la división como se muestra en el diagrama. La proyección paralela junto con el reverso de la orientación es parte del mapeo proyectivo entre los lápices en y necesario. Los puntos de intersección de dos líneas relacionadas cualesquiera y son puntos de la elipse definida de forma única. Con ayuda de los puntos se pueden determinar los puntos del segundo cuarto de la elipse. Análogamente se obtienen los puntos de la mitad inferior de la elipse.

La generación de Steiner también se puede definir para hipérbolas y parábolas. A veces se le llama método de paralelogramo porque se pueden usar otros puntos en lugar de los vértices, que comienza con un paralelogramo en lugar de un rectángulo.

Como hipotrocoide

Una elipse (en rojo) como caso especial del hipotrocoide con  R  = 2 r

La elipse es un caso especial del hipotrocoide cuando , como se muestra en la imagen adyacente. El caso especial de un círculo en movimiento con radio dentro de un círculo con radio se llama pareja Tusi .

Ángulos inscritos y forma de tres puntos

Círculos

Círculo: teorema del ángulo inscrito

Un círculo con ecuación está determinado únicamente por tres puntos que no están en una línea. Una forma sencilla de determinar los parámetros utiliza el teorema del ángulo inscrito para círculos:

Para cuatro puntos (ver diagrama), la siguiente afirmación es verdadera:
Los cuatro puntos están en un círculo si y solo si los ángulos en y son iguales.

Por lo general, se miden ángulos inscritos en un grado o radianes θ, pero aquí la siguiente medida es más conveniente:

Para medir el ángulo entre dos rectas con ecuaciones se usa el cociente:

Teorema del ángulo inscrito para círculos

Para cuatro puntos, no tres de ellos en una línea, tenemos lo siguiente (ver diagrama):

Los cuatro puntos están en un círculo, si y solo si los ángulos en y son iguales. En términos de la medición del ángulo anterior, esto significa:

Al principio, la medida está disponible solo para acordes que no sean paralelos al eje y, pero la fórmula final funciona para cualquier acorde.

Forma de tres puntos de la ecuación circular

Como consecuencia, se obtiene una ecuación para el círculo determinada por tres puntos no colineales :

Por ejemplo, para la ecuación de tres puntos es:

, que se puede reorganizar para

Usando vectores, productos escalares y determinantes, esta fórmula se puede ordenar más claramente, dejando :

El centro del círculo satisface:

El radio es la distancia entre cualquiera de los tres puntos y el centro.

Elipses

En esta sección, consideramos la familia de elipses definida por ecuaciones con una excentricidad fija . Es conveniente utilizar el parámetro:

y escribir la ecuación de la elipse como:

donde q es fijo y varía con respecto a los números reales. (Tales elipses tienen sus ejes paralelos a los ejes de coordenadas: si , el eje mayor es paralelo al eje x ; si , es paralelo al eje y ).

Teorema del ángulo inscrito para una elipse

Como un círculo, tal elipse está determinada por tres puntos que no están en una línea.

Para esta familia de elipses, se introduce la siguiente medida de ángulo q-analógica , que no es una función de la medida de ángulo habitual θ :

Para medir un ángulo entre dos rectas con ecuaciones se usa el cociente:

Teorema del ángulo inscrito para elipses

Dados cuatro puntos , no hay tres en una línea (ver diagrama).
Los cuatro puntos están en una elipse con ecuación si y solo si los ángulos en y son iguales en el sentido de la medida anterior, es decir, si

Al principio, la medida está disponible solo para acordes que no son paralelos al eje y. Pero la fórmula final funciona para cualquier acorde. La prueba se deriva de un cálculo sencillo. Para la dirección de la prueba dada que los puntos están en una elipse, se puede asumir que el centro de la elipse es el origen.

Forma de tres puntos de la ecuación de elipse

Como consecuencia, se obtiene una ecuación para la elipse determinada por tres puntos no colineales :

Por ejemplo, para y uno obtiene la forma de tres puntos

y después de la conversión

De manera análoga al caso del círculo, la ecuación se puede escribir más claramente usando vectores:

¿Dónde está el producto escalar modificado?

Relación polo-polar

Elipse: relación polo-polar

Cualquier elipse se puede describir en un sistema de coordenadas adecuado mediante una ecuación . La ecuación de la tangente en un punto de la elipse es Si se permite que el punto sea ​​un punto arbitrario diferente del origen, entonces

el punto se asigna a la línea , no a través del centro de la elipse.

Esta relación entre puntos y líneas es una biyección .

Los mapas de función inversa

  • línea sobre el punto y
  • línea sobre el punto

Esta relación entre puntos y líneas generada por una cónica se llama relación polo-polar o polaridad . El polo es el punto; el polar la línea.

Mediante cálculo se pueden confirmar las siguientes propiedades de la relación polo-polar de la elipse:

  • Para un punto (polo) en la elipse, el polar es la tangente en este punto (ver diagrama:) .
  • Para un polo fuera de la elipse, los puntos de intersección de su polar con la elipse son los puntos de tangencia de las dos tangentes que pasan (ver diagrama:) .
  • Para un punto dentro de la elipse, el polar no tiene ningún punto con la elipse en común (ver diagrama:) .
  1. El punto de intersección de dos polares es el polo de la línea que pasa por sus polos.
  2. Los focos y , respectivamente, y las directrices y , respectivamente, pertenecen a pares de polos y polares. Debido a que son pares polares con respecto al círculo , las directrices se pueden construir con compás y regla (ver Geometría inversa ).

También existen relaciones polo-polares para hipérbolas y parábolas.

Propiedades métricas

Todas las propiedades métricas que se dan a continuación se refieren a una elipse con ecuación

 

 

 

 

( 1 )

excepto por la sección sobre el área encerrada por una elipse inclinada, donde se dará la forma generalizada de la ecuación ( 1 ).

Zona

El área encerrada por una elipse es:

 

 

 

 

( 2 )

donde y son las longitudes de los ejes semi-mayor y semi-menor, respectivamente. La fórmula del área es intuitiva: comience con un círculo de radio (por lo que su área es ) y estírelo por un factor para hacer una elipse. Esto escala el área por el mismo factor: también es fácil probar rigurosamente la fórmula del área usando la integración de la siguiente manera. La ecuación ( 1 ) se puede reescribir como Para esta curva es la mitad superior de la elipse. Entonces, el doble de la integral de sobre el intervalo será el área de la elipse:

La segunda integral es el área de un círculo de radio , es decir, tanto

Una elipse definida implícitamente por tiene un área

El área también se puede expresar en términos de excentricidad y la longitud del semieje mayor como (obtenido resolviendo el aplanamiento y luego calculando el semieje menor).

El área encerrada por una elipse inclinada es .

Hasta ahora hemos tratado de elipses erectas , cuyos ejes mayor y menor son paralelos a los ejes y . Sin embargo, algunas aplicaciones requieren elipses inclinados . En la óptica de haz de partículas cargadas, por ejemplo, el área encerrada de una elipse erguida o inclinada es una propiedad importante del haz, su emitancia . En este caso todavía se aplica una fórmula simple, a saber

 

 

 

 

( 3 )

donde , son intersecciones y , son valores máximos. Se sigue directamente del teorema de Appolonio .

Circunferencia

Elipses con la misma circunferencia

La circunferencia de una elipse es:

donde nuevamente es la longitud del semieje mayor, es la excentricidad, y la función es la integral elíptica completa del segundo tipo ,

que en general no es una función elemental .

La circunferencia de la elipse puede evaluarse en términos del uso de la media aritmética-geométrica de Gauss ; este es un método iterativo que converge cuadráticamente.

La serie infinita exacta es:

donde es el factorial doble (extendido a enteros impares negativos por la relación de recurrencia , para ). Esta serie converge, pero al expandirse en términos de James Ivory y Bessel derivó una expresión que converge mucho más rápidamente:

Srinivasa Ramanujan da dos aproximaciones cercanas para la circunferencia en §16 de "Ecuaciones modulares y aproximaciones a "; son

y

Los errores en estas aproximaciones, que se obtuvieron empíricamente, son de orden y respectivamente.

Longitud de arco

Más generalmente, la longitud del arco de una porción de la circunferencia, en función del ángulo subtendido (o coordenadas x de dos puntos cualesquiera en la mitad superior de la elipse), viene dada por una integral elíptica incompleta . La mitad superior de una elipse está parametrizada por

Entonces la longitud del arco de a es:

Esto es equivalente a

donde es la integral elíptica incompleta del segundo tipo con parámetro

La función inversa , el ángulo subtendido en función de la longitud del arco, viene dada por una determinada función elíptica .

Algunos límites superior e inferior en la circunferencia de la elipse canónica con son

Aquí, el límite superior es la circunferencia de un círculo concéntrico circunscrito que pasa por los extremos del eje mayor de la elipse, y el límite inferior es el perímetro de un rombo inscrito con vértices en los extremos de los ejes mayor y menor.

Curvatura

La curvatura viene dada por el radio de curvatura en el punto :

Radio de curvatura en los dos vértices y los centros de curvatura:

Radio de curvatura en los dos co-vértices y los centros de curvatura:

En geometría triangular

Las elipses aparecen en geometría triangular como

  1. Elipse de Steiner : elipse a través de los vértices del triángulo con centro en el centroide,
  2. inelipses : elipses que tocan los lados de un triángulo. Casos especiales son el Steiner inellipse y el Mandart inellipse .

Como secciones planas de cuadrículas

Las elipses aparecen como secciones planas de los siguientes cuadrículas :

Aplicaciones

Física

Reflectores elípticos y acústica

Si la superficie del agua se altera en un foco de un tanque de agua elíptico, las ondas circulares de esa perturbación, después de reflejarse en las paredes, convergen simultáneamente en un solo punto: el segundo foco . Esto es una consecuencia de que la longitud total del recorrido es la misma a lo largo de cualquier trayectoria de rebote en la pared entre los dos focos.

De manera similar, si se coloca una fuente de luz en un foco de un espejo elíptico , todos los rayos de luz en el plano de la elipse se reflejan en el segundo foco. Dado que ninguna otra curva suave tiene tal propiedad, se puede utilizar como una definición alternativa de una elipse. (En el caso especial de un círculo con una fuente en su centro, toda la luz se reflejaría de regreso al centro). Si la elipse se gira a lo largo de su eje mayor para producir un espejo elipsoidal (específicamente, un esferoide alargado ), esta propiedad se mantiene. para todos los rayos fuera de la fuente. Alternativamente, se puede usar un espejo cilíndrico con sección transversal elíptica para enfocar la luz de una lámpara fluorescente lineal a lo largo de una línea del papel; estos espejos se utilizan en algunos escáneres de documentos .

Las ondas sonoras se reflejan de manera similar, por lo que en una gran sala elíptica, una persona que se encuentre en un foco puede escuchar a una persona que se encuentre en el otro foco notablemente bien. El efecto es aún más evidente bajo un techo abovedado con forma de sección de un esferoide alargado. Tal habitación se llama cámara de susurros . El mismo efecto se puede demostrar con dos reflectores con la forma de las tapas de los extremos de un esferoide de este tipo, colocados uno frente al otro a la distancia adecuada. Algunos ejemplos son el National Statuary Hall en el Capitolio de los Estados Unidos (donde se dice que John Quincy Adams usó esta propiedad para espiar asuntos políticos); el Tabernáculo Mormón en Temple Square en Salt Lake City , Utah ; en una exhibición sobre sonido en el Museo de Ciencia e Industria de Chicago ; frente a la Universidad de Illinois en Urbana – Champaign Foellinger Auditorium; y también en una cámara lateral del Palacio de Carlos V, en la Alhambra .

Órbitas planetarias

En el siglo XVII, Johannes Kepler descubrió que las órbitas a lo largo de las cuales viajan los planetas alrededor del Sol son elipses con el Sol [aproximadamente] en un foco, en su primera ley del movimiento planetario . Más tarde, Isaac Newton explicó esto como un corolario de su ley de gravitación universal .

De manera más general, en el problema gravitacional de dos cuerpos , si los dos cuerpos están unidos entre sí (es decir, la energía total es negativa), sus órbitas son elipses similares, siendo el baricentro común uno de los focos de cada elipse. El otro foco de cualquiera de las elipse no tiene ningún significado físico conocido. La órbita de cualquiera de los cuerpos en el marco de referencia del otro también es una elipse, con el otro cuerpo en el mismo foco.

Las órbitas elípticas keplerianas son el resultado de cualquier fuerza de atracción dirigida radialmente cuya fuerza es inversamente proporcional al cuadrado de la distancia. Así, en principio, el movimiento de dos partículas con carga opuesta en el espacio vacío también sería una elipse. (Sin embargo, esta conclusión ignora las pérdidas debidas a la radiación electromagnética y los efectos cuánticos , que se vuelven significativos cuando las partículas se mueven a alta velocidad).

Para órbitas elípticas , las relaciones útiles que involucran la excentricidad son:

dónde

  • es el radio en apoapsis (la distancia más lejana)
  • es el radio en periapsis (la distancia más cercana)
  • es la longitud del semieje mayor

Además, en términos de y , el semieje mayor es su media aritmética , el semieje menor es su media geométrica y el recto semilato es su media armónica . En otras palabras,

.

Osciladores armónicos

La solución general para un oscilador armónico en dos o más dimensiones es también una elipse. Tal es el caso, por ejemplo, de un péndulo largo que puede moverse libremente en dos dimensiones; de una masa unida a un punto fijo por un resorte perfectamente elástico ; o de cualquier objeto que se mueva bajo la influencia de una fuerza de atracción que sea directamente proporcional a su distancia de un atractor fijo. Sin embargo, a diferencia de las órbitas keplerianas, estas "órbitas armónicas" tienen el centro de atracción en el centro geométrico de la elipse y tienen ecuaciones de movimiento bastante simples.

Visualización de fase

En electrónica , la fase relativa de dos señales sinusoidales se puede comparar alimentándolas a las entradas vertical y horizontal de un osciloscopio . Si la pantalla de la figura de Lissajous es una elipse, en lugar de una línea recta, las dos señales están desfasadas.

Engranajes elípticos

Dos engranajes no circulares con el mismo contorno elíptico, cada uno girando alrededor de un foco y colocado en el ángulo adecuado, giran suavemente mientras mantienen el contacto en todo momento. Alternativamente, pueden estar conectados mediante una cadena de eslabones o una correa de distribución , o en el caso de una bicicleta, el plato principal puede ser elíptico o un ovoide similar a una elipse en forma. Tales engranajes elípticos pueden usarse en equipos mecánicos para producir velocidad angular variable o par a partir de una rotación constante del eje motriz, o en el caso de una bicicleta para permitir una velocidad de rotación de manivela variable con una ventaja mecánica variable inversamente .

Los engranajes de bicicleta elíptica facilitan que la cadena se salga del engranaje al cambiar de marcha.

Un ejemplo de aplicación de engranajes sería un dispositivo que enrolla hilo en una bobina cónica en una máquina de hilar . La bobina debería enrollarse más rápido cuando el hilo está cerca del vértice que cuando está cerca de la base.

Óptica

  • En un material que es ópticamente anisotrópico ( birrefringente ), el índice de refracción depende de la dirección de la luz. La dependencia se puede describir mediante un elipsoide de índice . (Si el material es ópticamente isotrópico , este elipsoide es una esfera).
  • En los láseres de estado sólido bombeados por lámpara, se han utilizado reflectores elípticos en forma de cilindro para dirigir la luz de la lámpara de la bomba (coaxial con un eje focal de elipse) a la varilla del medio activo (coaxial con el segundo eje focal).
  • En las fuentes de luz EUV producidas por láser-plasma utilizadas en la litografía de microchip , la luz EUV se genera mediante el plasma colocado en el foco principal de un espejo elipsoide y se recoge en el foco secundario en la entrada de la máquina de litografía.

Estadísticas y finanzas

En estadística , un vector aleatorio bivariado se distribuye conjuntamente elípticamente si sus contornos de isodensidad (loci de valores iguales de la función de densidad) son elipses. El concepto se extiende a un número arbitrario de elementos del vector aleatorio, en cuyo caso, en general, los contornos de isodensidad son elipsoides. Un caso especial es la distribución normal multivariante . Las distribuciones elípticas son importantes en finanzas porque si las tasas de rendimiento de los activos se distribuyen conjuntamente de forma elíptica, todas las carteras se pueden caracterizar completamente por su media y varianza, es decir, dos carteras cualesquiera con media y varianza idénticas de rendimiento de cartera tienen distribuciones idénticas de cartera. regreso.

Gráficos de computadora

Dibujar una elipse como primitiva de gráficos es común en las bibliotecas de visualización estándar, como la API MacIntosh QuickDraw y Direct2D en Windows. Jack Bresenham en IBM es más famoso por la invención de primitivas de dibujo 2D, incluido el dibujo de líneas y círculos, utilizando solo operaciones rápidas de enteros como la suma y la ramificación en bit de acarreo. MLV Pitteway extendió el algoritmo de Bresenham para líneas a cónicas en 1967. Otra generalización eficiente para dibujar elipses fue inventada en 1984 por Jerry Van Aken.

En 1970, Danny Cohen presentó en la conferencia "Computer Graphics 1970" en Inglaterra un algoritmo lineal para dibujar elipses y círculos. En 1971, LB Smith publicó algoritmos similares para todas las secciones cónicas y demostró que tenían buenas propiedades. Estos algoritmos solo necesitan unas pocas multiplicaciones y adiciones para calcular cada vector.

Es beneficioso utilizar una formulación paramétrica en gráficos por computadora porque la densidad de puntos es mayor donde hay más curvatura. Por tanto, el cambio de pendiente entre cada punto sucesivo es pequeño, lo que reduce la aparente "irregularidad" de la aproximación.

Dibujar con caminos de Bézier

Las curvas compuestas de Bézier también se pueden usar para dibujar una elipse con suficiente precisión, ya que cualquier elipse puede interpretarse como una transformación afín de un círculo. Los métodos de spline usados ​​para dibujar un círculo pueden usarse para dibujar una elipse, ya que las curvas de Bézier constituyentes se comportan apropiadamente bajo tales transformaciones.

Teoría de optimización

A veces es útil encontrar la elipse delimitadora mínima en un conjunto de puntos. El método elipsoide es bastante útil para resolver este problema.

Ver también

Notas

Referencias

enlaces externos