Discriminante - Discriminant

En matemáticas , el discriminante de un polinomio es una cantidad que depende de los coeficientes y determina varias propiedades de las raíces . Generalmente se define como una función polinomial de los coeficientes del polinomio original. El discriminante se usa ampliamente en factorización de polinomios , teoría de números y geometría algebraica . A menudo se denota con el símbolo .

El discriminante del polinomio de segundo grado con una ≠ 0 es:

la cantidad que aparece debajo de la raíz cuadrada en la fórmula cuadrática . Este discriminante es cero si y solo si el polinomio tiene una raíz doble . En el caso de los coeficientes reales , es positivo si el polinomio tiene dos raíces reales distintas y negativo si tiene dos raíces conjugadas complejas distintas . De manera similar, para un polinomio cúbico , hay un discriminante que es cero si y solo si el polinomio tiene una raíz múltiple . En el caso de un cúbico con coeficientes reales, el discriminante es positivo si el polinomio tiene tres raíces reales distintas y negativo si tiene una raíz real y dos raíces conjugadas complejas distintas.

De manera más general, el discriminante de un polinomio univariado de grado positivo es cero si y solo si el polinomio tiene una raíz múltiple. Para coeficientes reales y sin raíces múltiples, el discriminante es positivo si el número de raíces no reales es un múltiplo de 4 (incluida ninguna) y negativo en caso contrario.

Varias generalizaciones también se denominan discriminante: el discriminante de un campo numérico algebraico ; el discriminante de una forma cuadrática ; y más generalmente, el discriminante de una forma , de un polinomio homogéneo o de una hipersuperficie proyectiva (estos tres conceptos son esencialmente equivalentes).

Origen

El término "discriminante" fue acuñado en 1851 por el matemático británico James Joseph Sylvester .

Definición

Dejar

ser un polinomio de grado n (es decir ), de modo que los coeficientes pertenezcan a un campo o, más generalmente, a un anillo conmutativo . La resultante de A y su derivada es un polinomio con coeficientes enteros , que es el determinante de la matriz de Sylvester de A y A . Las entradas distintas de cero de la primera columna de la matriz de Sylvester son y y la resultante es, por tanto, un múltiplo de Por tanto, el discriminante, hasta su signo, se define como el cociente de la resultante de A y A ' por

Históricamente, este signo se ha elegido de manera que, sobre los reales, el discriminante será positivo cuando todas las raíces del polinomio sean reales. La división por puede no estar bien definida si el anillo de los coeficientes contiene divisores cero . Este problema puede evitarse reemplazando por 1 en la primera columna de la matriz de Sylvester, antes de calcular el determinante. En cualquier caso, el discriminante es un polinomio con coeficientes enteros.

Expresión en términos de raíces

Cuando el polinomio se define sobre un campo , tiene n raíces, r 1 , r 2 , ..., r n , no necesariamente todas distintas, en cualquier extensión algebraicamente cerrada del campo. (Si los coeficientes son números reales, las raíces pueden tomarse en el campo de los números complejos , donde se aplica el teorema fundamental del álgebra ).

En términos de raíces, el discriminante es igual a

Por tanto, es el cuadrado del polinomio de Vandermonde multiplicado por an 2 n - 2 .

Esta expresión del discriminante se toma a menudo como una definición. Deja en claro que si el polinomio tiene una raíz múltiple , entonces su discriminante es cero, y que si todas las raíces son reales y simples, entonces el discriminante es positivo. A diferencia de la definición anterior, esta expresión no es obviamente un polinomio en los coeficientes, pero esto se deriva del teorema fundamental de la teoría de Galois o del teorema fundamental de los polinomios simétricos al observar que esta expresión es un polinomio simétrico en las raíces de A .

Grados bajos

Rara vez se considera el discriminante de un polinomio lineal (grado 1). Si es necesario, comúnmente se define como igual a 1 (utilizando las convenciones habituales para el producto vacío y considerando que uno de los dos bloques de la matriz de Sylvester está vacío ). No existe una convención común para el discriminante de un polinomio constante (es decir, polinomio de grado 0).

Para grados pequeños, el discriminante es bastante simple (ver más abajo), pero para grados más altos, puede volverse difícil de manejar. Por ejemplo, el discriminante de un cuartico general tiene 16 términos, el de un quíntico tiene 59 términos y el de un séptico tiene 246 términos. Esta es la secuencia OEIS A007878 .

Grado 2

El polinomio cuadrático tiene discriminante

La raíz cuadrada del discriminante aparece en la fórmula cuadrática para las raíces del polinomio cuadrático:

donde el discriminante es cero si y solo si las dos raíces son iguales. Si a , b , c son números reales , el polinomio tiene dos raíces reales distintas si el discriminante es positivo y dos raíces conjugadas complejas si es negativo.

El discriminante es el producto de un 2 y el cuadrado de la diferencia de las raíces.

Si a , b , c son números racionales , entonces el discriminante es el cuadrado de un número racional si y solo si las dos raíces son números racionales.

Grado 3

El conjunto cero del discriminante del cúbico x 3 + bx 2 + cx + d , es decir, los puntos que satisfacen b 2 c 2 - 4 c 3 - 4 b 3 d - 27 d 2 + 18 bcd = 0 .

El polinomio cúbico tiene discriminante

En el caso especial de un polinomio cúbico deprimido , el discriminante se simplifica a

El discriminante es cero si y solo si al menos dos raíces son iguales. Si los coeficientes son números reales y el discriminante no es cero, el discriminante es positivo si las raíces son tres números reales distintos y negativo si hay una raíz real y dos raíces conjugadas complejas .

La raíz cuadrada de una cantidad fuertemente relacionada con el discriminante aparece en las fórmulas para las raíces de un polinomio cúbico . Específicamente, esta cantidad puede ser −3 veces el discriminante, o su producto con el cuadrado de un número racional; por ejemplo, el cuadrado de 1/18 en el caso de la fórmula de Cardano .

Si el polinomio es irreducible y sus coeficientes son números racionales (o pertenecen a un campo numérico ), entonces el discriminante es un cuadrado de un número racional (o un número del campo numérico) si y solo si el grupo de Galois de la ecuación cúbica es el grupo cíclico de orden tres.

Grado 4

El discriminante del polinomio cuártico x 4 + cx 2 + dx + e . La superficie representa los puntos ( c , d , e ) donde el polinomio tiene una raíz repetida. El borde cuspidal corresponde a los polinomios con una raíz triple, y la auto-intersección corresponde a los polinomios con dos raíces repetidas diferentes.

El polinomio cuartico tiene discriminante

El discriminante es cero si y solo si al menos dos raíces son iguales. Si los coeficientes son números reales y el discriminante es negativo, entonces hay dos raíces reales y dos raíces conjugadas complejas . Por el contrario, si el discriminante es positivo, entonces las raíces son todas reales o no reales.

Propiedades

Discriminante cero

El discriminante de un polinomio sobre un campo es cero si y solo si el polinomio tiene una raíz múltiple en alguna extensión de campo .

El discriminante de un polinomio sobre un dominio integral es cero si y solo si el polinomio y su derivada tienen un divisor común no constante.

En la característica 0, esto equivale a decir que el polinomio no es libre de cuadrados (es decir, divisible por el cuadrado de un polinomio no constante).

En la característica p distinta de cero , el discriminante es cero si y solo si el polinomio no es cuadrado libre o tiene un factor irreducible que no es separable (es decir, el factor irreducible es un polinomio en ).

Invarianza bajo cambio de la variable

El discriminante de un polinomio es, hasta una escala, invariante bajo cualquier transformación proyectiva de la variable. Como una transformación proyectiva puede descomponerse en un producto de traslaciones, homotecias e inversiones, esto da como resultado las siguientes fórmulas para transformaciones más simples, donde P ( x ) denota un polinomio de grado n , con un coeficiente principal.

  • Invarianza por traducción :
Esto resulta de la expresión del discriminante en términos de las raíces
  • Invarianza por homotecia :
Esto resulta de la expresión en términos de raíces, o de la cuasi homogeneidad del discriminante.
  • Invarianza por inversión :
cuando Aquí, denota el polinomio recíproco de P ; es decir, si y luego

Invarianza bajo homomorfismos de anillo

Sea un homomorfismo de anillos conmutativos . Dado un polinomio

en R [ x ] , el homomorfismo actúa sobre A para producir el polinomio

en S [ x ] .

El discriminante es invariante en el siguiente sentido. Si entonces

Como el discriminante se define en términos de un determinante, esta propiedad resulta inmediatamente de la propiedad similar de los determinantes.

Si entonces puede ser cero o no. Uno tiene, cuando

Cuando uno solo está interesado en saber si un discriminante es cero (como suele ser el caso en la geometría algebraica ), estas propiedades se pueden resumir como:

si y solo si o

Esto a menudo se interpreta como decir que , si y solo si tiene una raíz múltiple (posiblemente en el infinito ).

Producto de polinomios

Si R = PQ es un producto de polinomios en x , entonces

donde denota el resultante con respecto a la variable x , y p y q son los respectivos grados de P y Q .

Esta propiedad sigue inmediatamente al sustituir la expresión por el resultante y el discriminante en términos de las raíces de los respectivos polinomios.

Homogeneidad

El discriminante es un polinomio homogéneo en los coeficientes; también es un polinomio homogéneo en las raíces y, por tanto, casi homogéneo en los coeficientes.

El discriminante de un polinomio de grado n es homogéneo de grado 2 n - 2 en los coeficientes. Esto se puede ver de dos formas. En términos de la fórmula de raíces y término principal, multiplicar todos los coeficientes por λ no cambia las raíces, sino que multiplica el término principal por λ . En términos de su expresión como determinante de una matriz (2 n - 1) × (2 n - 1) (la matriz de Sylvester ) dividida por una n , el determinante es homogéneo de grado 2 n - 1 en las entradas, y dividiendo por una n hace que el grado 2 n - 2 .

El discriminante de un polinomio de grado n es homogéneo de grado n ( n - 1) en las raíces. Esto se sigue de la expresión del discriminante en términos de raíces, que es el producto de una constante y diferencias cuadradas de raíces.

El discriminante de un polinomio de grado n es cuasi homogéneo de grado n ( n - 1) en los coeficientes, si, para todo i , al coeficiente de se le da el peso n - i . También es cuasi-homogéneo del mismo grado si, para cada i , se le da el peso al coeficiente de Esto es una consecuencia del hecho general de que todo polinomio que sea homogéneo y simétrico en las raíces puede expresarse como un cuasi polinomio homogéneo en las funciones simétricas elementales de las raíces.

Considere el polinomio

De lo que precede se sigue que los exponentes de todo monomio a 0 i 0 . ..., un n i n que aparece en el discriminante satisface las dos ecuaciones

y

y también la ecuación

que se obtiene restando la segunda ecuación de la primera multiplicada por n .

Esto restringe los posibles términos en el discriminante. Para el polinomio cuadrático general solo hay dos posibilidades y dos términos en el discriminante, mientras que el polinomio general homogéneo de grado dos en tres variables tiene 6 términos. Para el polinomio cúbico general, hay cinco posibilidades y cinco términos en el discriminante, mientras que el polinomio general homogéneo de grado 4 en 5 variables tiene 70 términos

Para grados más altos, puede haber monomios que satisfagan las ecuaciones anteriores y no aparezcan en el discriminante. El primer ejemplo es para el polinomio cuártico ax 4 + bx 3 + cx 2 + dx + e , en cuyo caso el monomio bc 4 d satisface las ecuaciones sin aparecer en el discriminante.

Raíces reales

En esta sección, todos los polinomios tienen coeficientes reales .

Se ha visto en § Grados bajos que el signo del discriminante proporciona una información completa sobre la naturaleza de las raíces para polinomios de grado 2 y 3. Para grados más altos, la información proporcionada por el discriminante es menos completa, pero aún útil. Más precisamente, para un polinomio de grado n , se tiene:

  • El polinomio tiene una raíz múltiple si y solo si su discriminante es cero.
  • Si el discriminante es positivo, el número de raíces no reales es un múltiplo de 4. Es decir, hay un número entero no negativo kn / 4 tal que hay 2 k pares de raíces conjugadas complejas y n - 4 k raíces reales .
  • Si el discriminante es negativo, el número de raíces no reales no es un múltiplo de 4. Es decir, hay un número entero no negativo k ≤ ( n - 2) / 4 tal que hay 2 k + 1 pares de raíces conjugadas complejas y n - 4 k + 2 raíces reales.

Polinomio bivariado homogéneo

Dejar

ser un polinomio homogéneo de grado n en dos indeterminados.

Suponiendo, por el momento, que y ambos son distintos de cero, uno tiene

Denotando esta cantidad por uno tiene

y

Debido a estas propiedades, la cantidad se llama el discriminante o el discriminante homogénea de A .

Si y se permite que sean cero, los polinomios A ( x , 1) y A (1, y ) pueden tener un grado menor que n . En este caso, las fórmulas y la definición anteriores siguen siendo válidas, si los discriminantes se calculan como si todos los polinomios tuvieran el grado n . Esto significa que los discriminantes deben calcularse con y ser indeterminados, la sustitución de sus valores reales se realiza después de este cálculo. De manera equivalente, se deben utilizar las fórmulas de § Invarianza bajo homomorfismos de anillo .

Uso en geometría algebraica

El uso típico de discriminantes en geometría algebraica es para estudiar curvas algebraicas y, más generalmente, hipersuperficies algebraicas . Sea V tal curva o hipersuperficie; V se define como el conjunto cero de un polinomio multivariado . Este polinomio puede considerarse como un polinomio univariante en uno de los indeterminados, con polinomios en los otros indeterminados como coeficientes. El discriminante con respecto al indeterminado seleccionado define una hipersuperficie W en el espacio de los otros indeterminados. Los puntos de W son exactamente la proyección de los puntos de V (incluidos los puntos en el infinito ), que son singulares o tienen un hiperplano tangente que es paralelo al eje del indeterminado seleccionado.

Por ejemplo, sea f un polinomio bivariado en X e Y con coeficientes reales, tal que  f  = 0 es la ecuación implícita de una curva algebraica plana . Considerando f como un polinomio univariado en Y con coeficientes que dependen de X , entonces el discriminante es un polinomio en X cuyas raíces son las coordenadas X de los puntos singulares, de los puntos con una tangente paralela al eje Y y de algunos de las asíntotas paralelas al eje Y. En otras palabras, el cálculo de las raíces del discriminante Y y del discriminante X permite calcular todos los puntos notables de la curva, excepto los puntos de inflexión .

Generalizaciones

Hay dos clases del concepto de discriminante. La primera clase es el discriminante de un campo numérico algebraico , que, en algunos casos incluyendo campos cuadráticos , es el discriminante de un polinomio que define el campo.

Los discriminantes de la segunda clase surgen para problemas que dependen de coeficientes, cuando las instancias degeneradas o singularidades del problema se caracterizan por la desaparición de un solo polinomio en los coeficientes. Este es el caso del discriminante de un polinomio, que es cero cuando dos raíces colapsan. La mayoría de los casos, donde se define tal discriminante generalizado, son ejemplos de lo siguiente.

Sea A un polinomio homogéneo en n indeterminados sobre un campo de característica 0, o de una característica prima que no divide el grado del polinomio. El polinomio A define una hipersuperficie proyectiva , que tiene puntos singulares si y solo las n derivadas parciales de A tienen un cero común no trivial . Este es el caso si y sólo si la resultante multivariante de estas derivadas parciales es cero, y esta resultante puede ser considerado como el discriminante de A . Sin embargo, debido a los coeficientes enteros resultantes de la derivación, esta resultante multivariante puede ser divisible por una potencia de n , y es mejor tomar, como discriminante, la parte primitiva de la resultante, calculada con coeficientes genéricos. La restricción de la característica es necesaria porque, de lo contrario, un cero común de la derivada parcial no es necesariamente un cero del polinomio (ver la identidad de Euler para polinomios homogéneos ).

En el caso de un polinomio bivariado homogéneo de grado d , este discriminante general es multiplicado por el discriminante definido en § Polinomio bivariado homogéneo . En las siguientes secciones se describen varios otros tipos clásicos de discriminantes, que son ejemplos de la definición general.

Formas cuadráticas

Una forma cuadrática es una función sobre un espacio vectorial , que se define sobre alguna base por un polinomio homogéneo de grado 2:

o, en forma de matriz,

para la matriz simétrica , el vector de fila y el vector de columna . En característica diferente de 2, el discriminante o determinante de Q es el factor determinante de A .

El determinante hessiano de Q es multiplicado por su discriminante. La resultante multivariante de las derivadas parciales de Q es igual a su determinante de Hesse. Entonces, el discriminante de una forma cuadrática es un caso especial de la definición general anterior de un discriminante.

El discriminante de una forma cuadrática es invariante bajo cambios lineales de variables (es decir, un cambio de base del espacio vectorial en el que se define la forma cuadrática) en el siguiente sentido: un cambio lineal de variables está definido por una matriz no singular S , cambia la matriz A en y por lo tanto multiplica el discriminante por el cuadrado del determinante de S . Por lo tanto, el discriminante está bien definido solo hasta la multiplicación por un cuadrado. En otras palabras, el discriminante de una forma cuadrática sobre un campo K es un elemento de K / ( K × ) 2 , el cociente del monoide multiplicativo de K por el subgrupo de los cuadrados distintos de cero (es decir, dos elementos de K son en la misma clase de equivalencia si uno es el producto del otro por un cuadrado distinto de cero). Se deduce que sobre los números complejos , un discriminante es equivalente a 0 o 1. Sobre los números reales , un discriminante es equivalente a -1, 0 o 1. Sobre los números racionales , un discriminante es equivalente a un único cuadrado libre entero .

Por un teorema de Jacobi , una forma cuadrática sobre un campo de característica diferente de 2 se puede expresar, después de un cambio lineal de variables, en forma diagonal como

Más precisamente, una forma cuadrática en puede expresarse como una suma

donde el L i son formas lineales independientes y n es el número de las variables (algunos de la una i puede ser cero). De manera equivalente, para cualquier matriz simétrica A , existe una matriz elemental S tal que es una matriz diagonal. Entonces, el discriminante es el producto de a i , que está bien definido como una clase en K / ( K × ) 2 .

Geométricamente, el discriminante de una forma cuadrática en tres variables es la ecuación de una curva proyectiva cuadrática . El discriminante es cero si y solo si la curva se descompone en líneas (posiblemente sobre una extensión algebraicamente cerrada del campo).

Una forma cuadrática en cuatro variables es la ecuación de una superficie proyectiva . La superficie tiene un punto singular si y solo su discriminante es cero. En este caso, la superficie puede estar descompuesta en planos, o tiene un punto singular único, y es un cono o un cilindro . Sobre los reales, si el discriminante es positivo, entonces la superficie no tiene un punto real o tiene en todas partes una curvatura gaussiana negativa . Si el discriminante es negativo, la superficie tiene puntos reales y tiene una curvatura gaussiana negativa.

Secciones cónicas

Una sección cónica es una curva plana definida por una ecuación implícita de la forma

donde a , b , c , d , e , f son números reales.

Dos formas cuadráticas y, por tanto, dos discriminantes pueden asociarse a una sección cónica.

La primera forma cuadrática es

Su discriminante es el determinante

Es cero si la sección cónica degenera en dos líneas, una línea doble o un solo punto.

El segundo discriminante, que es el único que se considera en muchos libros de texto elementales, es el discriminante de la parte homogénea de grado dos de la ecuación. Es igual a

y determina la forma de la sección cónica. Si este discriminante es negativo, la curva o no tiene puntos reales, o es una elipse o un círculo , o, si degenera, se reduce a un solo punto. Si el discriminante es cero, la curva es una parábola o, si está degenerada, una línea doble o dos líneas paralelas. Si el discriminante es positivo, la curva es una hipérbola o, si degenera, un par de líneas que se cruzan.

Superficies cuadráticas reales

Una superficie cuadrática real en el espacio euclidiano de dimensión tres es una superficie que puede definirse como los ceros de un polinomio de grado dos en tres variables. En cuanto a las secciones cónicas, hay dos discriminantes que pueden definirse naturalmente. Ambos son útiles para obtener información sobre la naturaleza de una superficie cuádrica.

Sea un polinomio de grado dos en tres variables que define una superficie cuadrática real. La primera forma cuadrática asociada, depende de cuatro variables, y se obtiene homogeneizando P ; es decir

Denotemos su discriminante por

La segunda forma cuadrática, depende de tres variables y consta de los términos del grado dos de P ; es decir

Denotemos su discriminante por

Si y la superficie tiene puntos reales, es un paraboloide hiperbólico o un hiperboloide de una hoja . En ambos casos, esta es una superficie reglada que tiene una curvatura gaussiana negativa en cada punto.

Si la superficie es un elipsoide o un hiperboloide de dos hojas o un paraboloide elíptico . En todos los casos, tiene una curvatura gaussiana positiva en cada punto.

Si la superficie tiene un punto singular , posiblemente en el infinito . Si solo hay un punto singular, la superficie es un cilindro o un cono . Si hay varios puntos singulares, la superficie consta de dos planos, un plano doble o una sola línea.

Cuando el signo de si no 0, no proporciona ninguna información útil, ya que cambiar P en - P no cambia la superficie, pero cambia el signo de Sin embargo, si y la superficie es un paraboloide , que es elíptico o hiperbólico, dependiendo de el signo de

Discriminante de un campo numérico algebraico

Referencias

enlaces externos