Función cúbica - Cubic function

Gráfico de una función cúbica con 3 raíces reales (donde la curva cruza el eje horizontal, donde y = 0 ). El caso mostrado tiene dos puntos críticos . Aquí la función es f ( x ) = ( x ³ + 3 x ² - 6 x - 8) / 4 .

En matemáticas , una función cúbica es una función de la forma

${\ Displaystyle f (x) = ax ^ {3} + bx ^ {2} + cx + d}$

donde los coeficientes a , b , c , y d son números reales , y la variable x toma valores reales, y un ≠ 0 . En otras palabras, es una función polinomial de grado tres y una función real . En particular, el dominio y el codominio son el conjunto de los números reales.

Establecer f ( x ) = 0 produce una ecuación cúbica de la forma

${\ Displaystyle ax ^ {3} + bx ^ {2} + cx + d = 0,}$

cuyas soluciones se llaman raíces de la función.

Una función cúbica tiene una o tres raíces reales (que pueden no ser distintas); todos los polinomios de grado impar tienen al menos una raíz real.

La gráfica de una función cúbica siempre tiene un solo punto de inflexión . Puede tener dos puntos críticos , un mínimo local y un máximo local. De lo contrario, una función cúbica es monótona . La gráfica de una función cúbica es simétrica con respecto a su punto de inflexión; es decir, es invariante bajo una rotación de media vuelta alrededor de este punto. Hasta una transformación afín , solo hay tres gráficos posibles para funciones cúbicas.

Las funciones cúbicas son fundamentales para la interpolación cúbica .

Historia

Puntos críticos y de inflexión

Las raíces , puntos estacionarios , punto de inflexión y concavidad de un polinomio cúbico x ³ - 3 x ² - 144 x + 432 (línea negra) y su primera y segunda derivadas (rojo y azul).

Los puntos críticos de una función cúbica son sus puntos estacionarios , es decir, los puntos donde la pendiente de la función es cero. Así, los puntos críticos de una función cúbica f definida por

f ( x ) = ax ³ + bx ² + cx + d ,

ocurren en valores de x tales que la derivada

${\ displaystyle 3ax ^ {2} + 2bx + c = 0}$

de la función cúbica es cero.

Las soluciones de esta ecuación son los valores x de los puntos críticos y se dan, utilizando la fórmula cuadrática , por

${\ Displaystyle x _ {\ text {crítico}} = {\ frac {-b \ pm {\ sqrt {b ^ {2} -3ac}}} {3a}}.}$

El signo de la expresión dentro de la raíz cuadrada determina el número de puntos críticos. Si es positivo, entonces hay dos puntos críticos, uno es un máximo local y el otro es un mínimo local. Si b ² - 3 ac = 0 , entonces solo hay un punto crítico, que es un punto de inflexión . Si b ² - 3 ac <0 , entonces no hay puntos críticos (reales). En los dos últimos casos, es decir, si b ² - 3 ac no es positivo, la función cúbica es estrictamente monótona . Consulte la figura para ver un ejemplo del caso Δ ₀ > 0 .

El punto de inflexión de una función es donde esa función cambia de concavidad . Un punto de inflexión ocurre cuando la segunda derivada es cero y la tercera derivada es distinta de cero. Por tanto, una función cúbica tiene siempre un único punto de inflexión, que se produce en ${\ Displaystyle f '' (x) = 6ax + 2b,}$

${\ displaystyle x _ {\ text {inflexión}} = - {\ frac {b} {3a}}.}$

Clasificación

Funciones cúbicas de la forma La gráfica de cualquier función cúbica es similar a dicha curva. ${\ Displaystyle y = x ^ {3} + px.}$

La gráfica de una función cúbica es una curva cúbica , aunque muchas curvas cúbicas no son gráficas de funciones.

Aunque las funciones cúbicas dependen de cuatro parámetros, su gráfico solo puede tener muy pocas formas. De hecho, la gráfica de una función cúbica siempre es similar a la gráfica de una función de la forma

${\ Displaystyle y = x ^ {3} + px.}$

Esta similitud se puede construir como la composición de traslaciones paralelas a los ejes de coordenadas, una homotecia ( escala uniforme ) y, posiblemente, una reflexión ( imagen especular ) con respecto al eje y . Una escala adicional no uniforme puede transformar el gráfico en el gráfico de una de las tres funciones cúbicas

${\ Displaystyle {\ begin {alineado} y & = x ^ {3} + x \\ y & = x ^ {3} \\ y & = x ^ {3} -x. \ end {alineado}}}$

Esto significa que solo hay tres gráficos de funciones cúbicas hasta una transformación afín .

Las transformaciones geométricas anteriores se pueden construir de la siguiente manera, cuando se parte de una función cúbica general ${\ Displaystyle y = ax ^ {3} + bx ^ {2} + cx + d.}$

En primer lugar, si a <0 , el cambio de variable x → - x permite suponer a > 0 . Después de este cambio de variable, la nueva gráfica es la imagen especular de la anterior, con respecto al eje y .

Entonces, el cambio de variable x = x ₁ - B / 3 a proporciona una función de la forma

${\ Displaystyle y = ax_ {1} ^ {3} + px_ {1} + q.}$

Esto corresponde a una traslación paralela al eje x .

El cambio de variable y = y ₁ + q corresponde a una traslación con respecto al eje y , y da una función de la forma

${\ Displaystyle y_ {1} = ax_ {1} ^ {3} + px_ {1}.}$

El cambio de variable corresponde a una escala uniforme y da, después de la multiplicación por una función de la forma ${\ Displaystyle \ textstyle x_ {1} = {\ frac {x_ {2}} {\ sqrt {a}}}, y_ {1} = {\ frac {y_ {2}} {\ sqrt {a}}} }$${\ Displaystyle {\ sqrt {a}},}$

${\ Displaystyle y_ {2} = x_ {2} ^ {3} + px_ {2},}$

que es la forma más simple que se puede obtener por similitud.

Entonces, si p ≠ 0 , la escala no uniforme da, después de la división por ${\ Displaystyle \ textstyle x_ {2} = x_ {3} {\ sqrt {| p |}}, \ quad y_ {2} = y_ {3} {\ sqrt {| p | ^ {3}}}}$${\ Displaystyle \ textstyle {\ sqrt {| p | ^ {3}}},}$

${\ Displaystyle y_ {3} = x_ {3} ^ {3} + x_ {3} \ operatorname {sgn} (p),}$

donde tiene el valor 1 o –1, según el signo de p . Si se define, la última forma de la función se aplica a todos los casos (con y ). ${\ Displaystyle \ operatorname {sgn} (p)}$${\ Displaystyle \ operatorname {sgn} (0) = 0,}$${\ Displaystyle x_ {2} = x_ {3}}$${\ Displaystyle y_ {2} = y_ {3}}$

Simetría

Para una función cúbica de la forma, el punto de inflexión es, por tanto, el origen. Como tal función es una función impar , su gráfica es simétrica con respecto al punto de inflexión e invariante bajo una rotación de media vuelta alrededor del punto de inflexión. Como estas propiedades son invariantes por similitud , lo siguiente es cierto para todas las funciones cúbicas. ${\ Displaystyle y = x ^ {3} + px,}$

La gráfica de una función cúbica es simétrica con respecto a su punto de inflexión y es invariante bajo una rotación de media vuelta alrededor del punto de inflexión.

Colinealidades

Los puntos P ₁ , P ₂ y P ₃ (en azul) son colineales y pertenecen a la gráfica de x ³ + 3 / 2 x ² - 5 / 2 x + 5 / 4 . Los puntos T ₁ , T ₂ y T ₃ (en rojo) son las intersecciones de las líneas tangentes (punteadas) al gráfico en estos puntos con el gráfico en sí. También son colineales.

Las rectas tangentes a la gráfica de una función cúbica en tres puntos colineales interceptan la cúbica nuevamente en puntos colineales. Esto se puede ver de la siguiente manera.

Como esta propiedad es invariante bajo un movimiento rígido , se puede suponer que la función tiene la forma

${\ Displaystyle f (x) = x ^ {3} + px.}$

Si α es un número real, entonces la tangente a la gráfica de f en el punto ( α , f ( α )) es la recta

{( x , f ( α ) + ( x - α ) f  ′ ( α )): x ∈ R }.

Entonces, el punto de intersección entre esta línea y la gráfica de f se puede obtener resolviendo la ecuación f ( x ) = f ( α ) + ( x - α ) f  ′ ( α ) , es decir

${\ Displaystyle x ^ {3} + px = \ alpha ^ {3} + p \ alpha + (x- \ alpha) (3 \ alpha ^ {2} + p),}$

que se puede reescribir

${\ displaystyle x ^ {3} -3 \ alpha ^ {2} x + 2 \ alpha ^ {3} = 0,}$

y factorizado como

${\ displaystyle (x- \ alpha) ^ {2} (x + 2 \ alpha) = 0.}$

Entonces, la tangente intercepta el cúbico en

${\ Displaystyle (-2 \ alpha, -8 \ alpha ^ {3} -2p \ alpha) = (- 2 \ alpha, -8f (\ alpha) + 6p \ alpha).}$

Entonces, la función que mapea un punto ( x , y ) de la gráfica al otro punto donde la tangente intercepta la gráfica es

${\ Displaystyle (x, y) \ mapsto (-2x, -8y + 6px).}$

Esta es una transformación afín que transforma puntos colineales en puntos colineales. Esto prueba el resultado reclamado.

Interpolación cúbica

Dados los valores de una función y su derivada en dos puntos, hay exactamente una función cúbica que tiene los mismos cuatro valores, que se llama spline de Hermite cúbico .

Hay dos formas estándar de utilizar este hecho. En primer lugar, si se conocen, por ejemplo, mediante medición física, los valores de una función y su derivada en algunos puntos de muestreo, se puede interpolar la función con una función continuamente diferenciable , que es una función cúbica por partes .

Si el valor de una función se conoce en varios puntos, la interpolación cúbica consiste en aproximar la función mediante una función continuamente diferenciable , que es cúbica a trozos . Para tener una interpolación definida de forma única, se deben agregar dos restricciones más, como los valores de las derivadas en los puntos finales o una curvatura cero en los puntos finales.

Referencia

enlaces externos

• "Fórmula de Cardano" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
• Historia de ecuaciones cuadráticas, cúbicas y cuárticas en el archivo MacTutor .