Completitud de los números reales - Completeness of the real numbers

Intuitivamente, la completitud implica que no hay "huecos" (en la terminología de Dedekind) o "puntos faltantes" en la recta numérica real . Esto contrasta con los números racionales , cuya recta numérica correspondiente tiene un "espacio" en cada valor irracional . En el sistema numérico decimal , la integridad es equivalente a la afirmación de que cualquier cadena infinita de dígitos decimales es en realidad una representación decimal de algún número real.

Dependiendo de la construcción de los números reales utilizados, la completitud puede tomar la forma de un axioma (el axioma de completitud ), o puede ser un teorema probado a partir de la construcción. Hay muchas formas equivalentes de completitud, siendo las más destacadas la completitud de Dedekind y la completitud de Cauchy ( completitud como espacio métrico ).

Formas de completitud

Los números reales pueden definirse sintéticamente como un campo ordenado que satisface alguna versión del axioma de completitud . Las diferentes versiones de este axioma son todas equivalentes en el sentido de que cualquier campo ordenado que satisfaga una forma de completitud las satisface todas, aparte del teorema de completitud de Cauchy y de intervalos anidados, que son estrictamente más débiles en el sentido de que hay campos no arquimedianos que están ordenados y Cauchy completo. Cuando, en cambio, los números reales se construyen utilizando un modelo, la completitud se convierte en un teorema o una colección de teoremas.

Propiedad de límite superior mínimo

La propiedad del límite superior mínimo establece que todo subconjunto no vacío de números reales que tenga un límite superior debe tener un límite superior mínimo (o superior ) en el conjunto de números reales.

La recta numérica racional Q no tiene la propiedad de límite superior mínimo. Un ejemplo es el subconjunto de números racionales

{\ Displaystyle S = \ {x \ in \ mathbb {Q} \ mid x ^ {2} <2 \}.}

Este conjunto tiene un límite superior. Sin embargo, este conjunto ha vinculado ningún extremo superior de $Q$ : el extremo superior como un subconjunto de los reales sería $\sqrt2$ , pero no existe en $Q$ . Para cualquier límite superior $x \in Q$ , hay otro límite superior $y \in Q$ con $y < x$ .

Por ejemplo, tome $x = 1.5$ , entonces $x$ es ciertamente un límite superior de $S$ , ya que $x$ es positivo y $x 2 = 2.25 \geq 2$ ; es decir, ningún elemento de $S$ es mayor que $x$ . Sin embargo, podemos elegir un límite superior más pequeño, digamos $y = 1,45$ ; esto también es una cota superior de $S$ por las mismas razones, pero es menor que $x$ , por lo que $x$ no es un menos del límite superior de $S$ . Podemos proceder de manera similar para encontrar una cota superior de $S$ que es menor que $Y$ , digamos $z = 1.42$ , etc., de tal manera que nunca encontramos una menos del límite superior de $S$ en $Q$ .

La propiedad de límite superior mínimo se puede generalizar al establecimiento de conjuntos parcialmente ordenados . Ver completitud (teoría del orden) .

Integridad de Dedekind

Consulte Completitud de Dedekind para conocer los conceptos más generales que llevan este nombre.

La integridad de Dedekind es la propiedad de que cada corte de Dedekind de los números reales es generado por un número real. En un enfoque sintético de los números reales, esta es la versión de integridad que se incluye con mayor frecuencia como axioma.

La recta numérica racional Q no es Dedekind completa. Un ejemplo es el corte Dedekind

{\ Displaystyle L = \ {x \ in \ mathbb {Q} \ mid x ^ {2} \ leq 2 \ vee x <0 \}.}

{\ Displaystyle R = \ {x \ in \ mathbb {Q} \ mid x ^ {2} \ geq 2 \ wedge x> 0 \}.}

L no tiene un máximo y R no tiene un mínimo, por lo que este corte no es generado por un número racional.

Existe una construcción de los números reales basada en la idea de usar cortes de Dedekind de números racionales para nombrar números reales; por ejemplo, el corte (L, R) descrito arriba nombraría . Si se repitiera la construcción de números reales con cortes de Dedekind (es decir, "cerrar" el conjunto de números reales agregando todos los cortes de Dedekind posibles), no se obtendrían números adicionales porque los números reales ya están completos de Dedekind. ${\ Displaystyle {\ sqrt {2}}}$

Integridad de Cauchy

La completitud de Cauchy es la afirmación de que todas las secuencias de Cauchy de números reales convergen .

La recta numérica racional Q no es Cauchy completa. Un ejemplo es la siguiente secuencia de números racionales:

{\ Displaystyle 3, \ quad 3.1, \ quad 3.14, \ quad 3.142, \ quad 3.1416, \ quad \ ldots}

Aquí el n º término de la secuencia es el n º decimal aproximación para pi . Aunque esta es una secuencia de Cauchy de números racionales, no converge a ningún número racional. (En esta recta numérica real, esta secuencia converge a pi).

La completitud de Cauchy está relacionada con la construcción de los números reales usando secuencias de Cauchy. Esencialmente, este método define un número real como el límite de una secuencia de Cauchy de números racionales.

En el análisis matemático , la completitud de Cauchy se puede generalizar a una noción de completitud para cualquier espacio métrico . Ver espacio métrico completo .

Para un campo ordenado , la completitud de Cauchy es más débil que las otras formas de completitud de esta página. Pero la integridad de Cauchy y la propiedad de Arquímedes tomadas juntas son equivalentes a las demás.

Teorema de intervalos anidados

El teorema del intervalo anidado es otra forma de completitud. Sea $I n = [a n, b n]$ una secuencia de intervalos cerrados , y suponga que estos intervalos están anidados en el sentido de que

{\ Displaystyle I_ {1} \; \ supset \; I_ {2} \; \ supset \; I_ {3} \; \ supset \; \ cdots}

Además, suponga que $b n -a n \to 0$ cuando $n \to + \infty$ . El teorema del intervalo anidado establece que la intersección de todos los intervalos $I n$ contiene exactamente un punto.

La recta numérica racional no satisface el teorema del intervalo anidado. Por ejemplo, la secuencia (cuyos términos se derivan de los dígitos de pi de la forma sugerida)

{\ Displaystyle [3,4] \; \ supset \; [3.1,3.2] \; \ supset \; [3.14,3.15] \; \ supset \; [3.141,3.142] \; \ supset \; \ cdots}

es una secuencia anidada de intervalos cerrados en los números racionales cuya intersección está vacía. (En los números reales, la intersección de estos intervalos contiene el número pi ).

El teorema de intervalos anidados comparte el mismo estatus lógico que la completitud de Cauchy en este espectro de expresiones de completitud. En otras palabras, el teorema de intervalos anidados por sí mismo es más débil que otras formas de completitud, aunque tomado junto con la propiedad de Arquímedes , es equivalente a los demás.

Teorema de la convergencia monótona

El teorema de la convergencia monótona (descrito como el axioma fundamental del análisis por Körner establece que toda secuencia acotada y no decreciente de números reales converge. Esto puede verse como un caso especial de la propiedad del límite mínimo superior, pero también se puede usar de manera bastante directa para Demuestre la completitud de Cauchy de los números reales.

Teorema de Bolzano-Weierstrass

El teorema de Bolzano-Weierstrass establece que toda secuencia acotada de números reales tiene una subsecuencia convergente . Nuevamente, este teorema es equivalente a las otras formas de completitud dadas anteriormente.

El teorema del valor intermedio

El teorema del valor intermedio establece que toda función continua que alcanza valores tanto negativos como positivos tiene una raíz. Esto es una consecuencia de la propiedad del límite mínimo superior, pero también se puede utilizar para probar la propiedad del límite mínimo superior si se trata como un axioma. (La definición de continuidad no depende de ninguna forma de integridad, por lo que esto no es circular).

Ver también

Lista de temas de análisis reales

Referencias

Otras lecturas

Aliprantis, Charalambos D .; Burkinshaw, Owen (1998). Principios del análisis real (3ª ed.). Académico. ISBN 0-12-050257-7.
Browder, Andrew (1996). Análisis matemático: una introducción . Textos de Licenciatura en Matemáticas . Ciudad de Nueva York: Springer Verlag. ISBN 0-387-94614-4.
Bartle, Robert G .; Sherbert, Donald R. (2000). Introducción al análisis real (3ª ed.). Ciudad de Nueva York: John Wiley and Sons. ISBN 0-471-32148-6.
Abbott, Stephen (2001). Comprensión del análisis . Textos de Licenciatura en Matemáticas. Nueva York: Springer Verlag. ISBN 0-387-95060-5.
Rudin, Walter (1976). Principios del análisis matemático . Walter Rudin Student Series in Advanced Mathematics (3ª ed.). McGraw-Hill. ISBN 9780070542358.
Dangello, Frank; Seyfried, Michael (1999). Introducción al análisis real . Brooks Cole. ISBN 9780395959336.
Bressoud, David (2007). Un enfoque radical del análisis real . MAA . ISBN 0-88385-747-2.

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