Conjunto vacio - Empty set

En matemáticas , el conjunto vacío es el conjunto único que no tiene elementos ; su tamaño o cardinalidad (recuento de elementos en un conjunto) es cero . Algunas teorías de conjuntos axiomáticos aseguran que el conjunto vacío existe al incluir un axioma de conjunto vacío , mientras que en otras teorías se puede deducir su existencia. Muchas propiedades posibles de conjuntos son vacuasmente verdaderas para el conjunto vacío.

Cualquier conjunto que no sea el conjunto vacío se denomina no vacío .

En algunos libros de texto y popularizaciones, el conjunto vacío se denomina "conjunto nulo". Sin embargo, conjunto nulo es una noción distinta dentro del contexto de la teoría de la medida , en la que describe un conjunto de medida cero (que no está necesariamente vacío). El conjunto vacío también se puede llamar conjunto vacío .

Notación

Las notaciones comunes para el conjunto vacío incluyen "{}", " " y "∅". Los dos últimos símbolos fueron introducidos por el grupo Bourbaki (específicamente André Weil ) en 1939, inspirado en la letra Ø en los alfabetos danés y noruego . En el pasado, "0" se usaba ocasionalmente como símbolo del conjunto vacío, pero ahora se considera un uso inadecuado de la notación. ${\ Displaystyle \ emptyset}$

El símbolo ∅ está disponible en el punto Unicode U + 2205. Se puede codificar en HTML como ∅y como ∅. Se puede codificar en LaTeX como \varnothing. El símbolo está codificado en LaTeX como . ${\ Displaystyle \ emptyset}$\emptyset

Al escribir en idiomas como el danés y el noruego, donde el carácter del conjunto vacío puede confundirse con la letra alfabética Ø (como cuando se usa el símbolo en lingüística), se puede utilizar el carácter Unicode U + 29B0 CONJUNTO VACÍO INVERTIDO ⦰ en su lugar.

Propiedades

En la teoría de conjuntos axiomáticos estándar , según el principio de extensionalidad , dos conjuntos son iguales si tienen los mismos elementos. Como resultado, solo puede haber un conjunto sin elementos, de ahí el uso de "el conjunto vacío" en lugar de "un conjunto vacío".

El siguiente documento enumera algunas de las propiedades más notables relacionadas con el conjunto vacío. Para obtener más información sobre los símbolos matemáticos que se utilizan en él, consulte Lista de símbolos matemáticos .

Para cualquier conjunto A :

• El conjunto vacío es un subconjunto de A :

  ${\ Displaystyle \ forall A: \ varnothing \ subseteq A}$

• La unión de A con el conjunto vacío es A :

  ${\ Displaystyle \ forall A: A \ cup \ varnothing = A}$

• La intersección de A con el conjunto vacío es el conjunto vacío:

  ${\ Displaystyle \ forall A: A \ cap \ varnothing = \ varnothing}$

• El producto cartesiano de A y el conjunto vacío es el conjunto vacío:

  ${\ Displaystyle \ forall A: A \ times \ varnothing = \ varnothing}$

El conjunto vacío tiene las siguientes propiedades:

• Su único subconjunto es el conjunto vacío en sí:

  ${\ Displaystyle \ forall A: A \ subseteq \ varnothing \ Rightarrow A = \ varnothing}$

• El conjunto de potencia del conjunto vacío es el conjunto que contiene solo el conjunto vacío:

  ${\ Displaystyle 2 ^ {\ varnothing} = \ {\ varnothing \}}$

• El número de elementos del conjunto vacío (es decir, su cardinalidad ) es cero:

  ${\ Displaystyle \ mathrm {|} \ varnothing \ mathrm {|} = 0}$

Sin embargo, la conexión entre el conjunto vacío y el cero va más allá: en la definición estándar de la teoría de conjuntos de los números naturales , los conjuntos se utilizan para modelar los números naturales. En este contexto, el cero es modelado por el conjunto vacío.

Para cualquier propiedad P :

• Para cada elemento de , se cumple la propiedad P ( verdad vacía ).${\ Displaystyle \ varnothing}$
• No hay ningún elemento de para los que la propiedad P se mantiene.${\ Displaystyle \ varnothing}$

Por el contrario, si para alguna propiedad P y algún conjunto V , se cumplen las siguientes dos afirmaciones:

• Para cada elemento de V se cumple la propiedad P
• No hay ningún elemento de V para el que la propiedad P sostiene

luego ${\ Displaystyle V = \ varnothing.}$

Por la definición de subconjunto , el conjunto vacío es un subconjunto de cualquier conjunto A . Es decir, cada elemento x de pertenece a una . En efecto, si no fuera cierto que cada elemento de está en A , entonces no habría al menos un elemento de que no está presente en A . Puesto que hay no hay elementos de en absoluto, no hay ningún elemento de que no está en A . Cualquier declaración que comience "por cada elemento de " no es una afirmación sustantiva; es una verdad vacía . Esto a menudo se parafrasea como "todo es cierto en los elementos del conjunto vacío". ${\ Displaystyle \ varnothing}$${\ Displaystyle \ varnothing}$${\ Displaystyle \ varnothing}$${\ Displaystyle \ varnothing}$${\ Displaystyle \ varnothing}$${\ Displaystyle \ varnothing}$

Operaciones en el conjunto vacío

Cuando se habla de la suma de los elementos de un conjunto finito, inevitablemente se llega a la convención de que la suma de los elementos del conjunto vacío es cero. La razón de esto es que el cero es el elemento de identidad para la suma. De manera similar, el producto de los elementos del conjunto vacío debe considerarse uno (ver producto vacío ), ya que uno es el elemento de identidad para la multiplicación.

Un trastorno es una permutación de un conjunto sin puntos fijos . El conjunto vacío puede considerarse una alteración en sí mismo, porque tiene solo una permutación ( ), y es vacuosamente cierto que no se puede encontrar ningún elemento (del conjunto vacío) que conserve su posición original. ${\ displaystyle 0! = 1}$

En otras áreas de las matemáticas

Números reales extendidos

Dado que el conjunto vacío no tiene ningún miembro cuando se considera como un subconjunto de cualquier conjunto ordenado , cada miembro de ese conjunto será un límite superior y un límite inferior para el conjunto vacío. Por ejemplo, cuando se considera como un subconjunto de los números reales, con su orden habitual, representado por la recta numérica real , cada número real es un límite superior e inferior para el conjunto vacío. Cuando se considera como un subconjunto de los reales extendidos formados por la suma de dos "números" o "puntos" a los números reales (es decir , infinito negativo , denotado que se define como menor que cualquier otro número real extendido, e infinito positivo , denotado que es definido para ser mayor que cualquier otro número real extendido), tenemos que: ${\ Displaystyle - \ infty \! \ ,,}$${\ Displaystyle + \ infty \! \ ,,}$

y

Es decir, el límite superior mínimo (sup o supremum ) del conjunto vacío es infinito negativo, mientras que el límite inferior mayor (inf o infimum ) es infinito positivo. Por analogía con lo anterior, en el dominio de los reales extendidos, el infinito negativo es el elemento de identidad para los operadores máximo y supremum, mientras que el infinito positivo es el elemento de identidad para los operadores mínimo e mínimo.

Topología

En cualquier espacio topológico X , el conjunto vacío es abierta por definición, al igual que X . Dado que el complemento de un conjunto abierto es cerrado y el conjunto vacío y X son complementarios entre sí, el conjunto vacío también está cerrado, lo que lo convierte en un conjunto cerrado . Además, el conjunto vacío es compacto por el hecho de que todo conjunto finito es compacto.

El cierre del conjunto vacío está vacío. Esto se conoce como "preservación de uniones nulares ".

Teoría de categorías

Si es un conjunto, entonces existe precisamente una función a partir de la función de vacío . Como resultado, el conjunto vacío es el objeto inicial único de la categoría de conjuntos y funciones. ${\ Displaystyle A}$ ${\ Displaystyle f}$${\ Displaystyle \ varnothing}$${\ Displaystyle A,}$

El conjunto vacío se puede convertir en un espacio topológico , llamado espacio vacío, de una sola forma: definiendo el conjunto vacío como abierto . Este espacio topológico vacío es el objeto inicial único en la categoría de espacios topológicos con mapas continuos . De hecho, es un objeto inicial estricto : solo el conjunto vacío tiene una función para el conjunto vacío.

Teoría de conjuntos

En la construcción de von Neumann de los ordinales , 0 se define como el conjunto vacío y el sucesor de un ordinal se define como . Por lo tanto, tenemos , , , y así sucesivamente. La construcción de von Neumann, junto con el axioma del infinito , que garantiza la existencia de al menos un conjunto infinito, se puede utilizar para construir el conjunto de números naturales , de manera que se satisfagan los axiomas de Peano de la aritmética. ${\ Displaystyle S (\ alpha) = \ alpha \ cup \ {\ alpha \}}$${\ Displaystyle 0 = \ varnothing}$${\ Displaystyle 1 = 0 \ cup \ {0 \} = \ {\ varnothing \}}$${\ Displaystyle 2 = 1 \ cup \ {1 \} = \ {\ varnothing, \ {\ varnothing \} \}}$${\ Displaystyle \ mathbb {N} _ {0}}$

Existencia cuestionada

Teoría de conjuntos axiomáticos

En la teoría de conjuntos de Zermelo , la existencia del conjunto vacío está asegurada por el axioma de conjunto vacío , y su unicidad se deriva del axioma de extensionalidad . Sin embargo, el axioma de conjunto vacío puede mostrarse redundante de al menos dos formas:

• La lógica estándar de primer orden implica, simplemente a partir de los axiomas lógicos , que algo existe y, en el lenguaje de la teoría de conjuntos, esa cosa debe ser un conjunto. Ahora bien, la existencia del conjunto vacío se sigue fácilmente del axioma de separación .
• Incluso usando la lógica libre (que no implica lógicamente que algo exista), ya existe un axioma que implica la existencia de al menos un conjunto, a saber, el axioma del infinito .

Problemas filosóficos

Si bien el conjunto vacío es un concepto matemático estándar y ampliamente aceptado, sigue siendo una curiosidad ontológica , cuyo significado y utilidad son debatidos por filósofos y lógicos.

El conjunto vacío no es lo mismo que nada ; más bien, es un conjunto sin nada dentro y un conjunto es siempre algo . Este problema se puede solucionar si se considera un conjunto como una bolsa; sin duda, una bolsa vacía todavía existe. Darling (2004) explica que el conjunto vacío no es nada, sino más bien "el conjunto de todos los triángulos con cuatro lados, el conjunto de todos los números que son mayores que nueve pero menores que ocho, y el conjunto de todos los movimientos de apertura en el ajedrez que involucrar a un rey ".

El silogismo popular

Nada es mejor que la felicidad eterna; un sándwich de jamón es mejor que nada; por tanto, un bocadillo de jamón es mejor que la felicidad eterna

se utiliza a menudo para demostrar la relación filosófica entre el concepto de nada y el conjunto vacío. Darling escribe que el contraste se puede ver reescribiendo las declaraciones "Nada es mejor que la felicidad eterna" y "[Un] sándwich de jamón es mejor que nada" en un tono matemático. Según Darling, el primero equivale a "El conjunto de todas las cosas que son mejores que la felicidad eterna es " y el segundo a "El conjunto {sándwich de jamón} es mejor que el conjunto ". El primero compara elementos de conjuntos, mientras que el segundo compara los conjuntos en sí. ${\ Displaystyle \ varnothing}$${\ Displaystyle \ varnothing}$

Jonathan Lowe sostiene que, si bien el conjunto vacío:

"fue sin duda un hito importante en la historia de las matemáticas ... no deberíamos asumir que su utilidad en el cálculo depende de que realmente denote algún objeto".

también es el caso que:

"Todo lo que se nos informa sobre el conjunto vacío es que (1) es un conjunto, (2) no tiene miembros y (3) es único entre los conjuntos al no tener miembros. Sin embargo, hay muchas cosas que ' no tienen miembros, en el sentido teórico de conjuntos, es decir, todos los no conjuntos. Está perfectamente claro por qué estas cosas no tienen miembros, porque no son conjuntos. Lo que no está claro es cómo puede haber, únicamente entre conjuntos, un conjunto que no tiene miembros. No podemos conjurar tal entidad a la existencia por mera estipulación ".

George Boolos argumentó que mucho de lo que se ha obtenido hasta ahora mediante la teoría de conjuntos se puede obtener con la misma facilidad mediante la cuantificación plural sobre individuos, sin reificar conjuntos como entidades singulares que tienen otras entidades como miembros.

Ver también

• 0  - Número
• Conjunto habitado  : tipo de conjunto en matemáticas constructivas
• Nada  : concepto que denota la ausencia de algo
• Conjunto de potencia: conjunto  matemático que contiene todos los subconjuntos de un conjunto dado.

Referencias

Otras lecturas

• Halmos, Paul , Teoría de conjuntos ingenua . Princeton, Nueva Jersey: D. Van Nostrand Company, 1960. Reimpreso por Springer-Verlag, Nueva York, 1974. ISBN  0-387-90092-6 (edición Springer-Verlag). Reimpreso por Martino Fine Books, 2011. ISBN  978-1-61427-131-4 (edición de bolsillo).
• Jech, Thomas (2002), Teoría de conjuntos , Springer Monographs in Mathematics (tercera edición del milenio), Springer, ISBN 3-540-44085-2
• Graham, Malcolm (1975), Matemáticas elementales modernas (2a ed.), Harcourt Brace Jovanovich , ISBN 0155610392

enlaces externos

• Weisstein, Eric W. "Conjunto vacío" . MathWorld .