Teorema de Bolzano-Weierstrass - Bolzano–Weierstrass theorem

En matemáticas , específicamente en el análisis real , el teorema de Bolzano-Weierstrass , llamado así por Bernard Bolzano y Karl Weierstrass , es un resultado fundamental sobre la convergencia en un espacio euclidiano de dimensión finita R ⁿ . El teorema establece que cada secuencia acotada en R ⁿ tiene una subsecuencia convergente . Una formulación equivalente es que un subconjunto de R ⁿ es secuencialmente compacto si y solo si está cerrado y acotado . El teorema a veces se denomina teorema de compacidad secuencial .

Historia y significado

El teorema de Bolzano-Weierstrass lleva el nombre de los matemáticos Bernard Bolzano y Karl Weierstrass . En realidad, Bolzano lo demostró por primera vez en 1817 como un lema en la demostración del teorema del valor intermedio . Unos cincuenta años después, el resultado fue identificado como significativo por derecho propio, y Weierstrass lo demostró nuevamente. Desde entonces se ha convertido en un teorema esencial de análisis .

Prueba

Primero demostramos el teorema para (conjunto de todos los números reales ), en cuyo caso se puede hacer un buen uso del ordenamiento . De hecho, tenemos el siguiente resultado: ${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {1}}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {1}}$

Lema : Cada secuencia infinita en tiene una subsecuencia monótona . ${\ Displaystyle (x_ {n})}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {1}}$

Prueba : Llamemos a un índice de valor entero positivo de una secuencia un "pico" de la secuencia cuando para cada . Supongamos primero que la secuencia tiene infinitos picos, lo que significa que hay una subsecuencia con los siguientes índices y los siguientes términos . Entonces, la secuencia infinita en tiene una subsecuencia monótona, que es . Pero suponga ahora que solo hay un número finito de picos, sea el pico final y deje que el primer índice de una nueva subsecuencia se establezca en . Entonces no es un pico, ya que viene después del pico final, lo que implica la existencia de con y . Una vez más, viene después del pico final, por lo tanto, hay un lugar con . La repetición de este proceso conduce a una subsecuencia infinita no decreciente , lo que demuestra que cada secuencia infinita en tiene una subsecuencia monótona. ${\ Displaystyle n}$ ${\ Displaystyle x_ {m} <x_ {n}}$ ${\ Displaystyle m> n}$ ${\ Displaystyle n_ {1} <n_ {2} <n_ {3} <\ dots <n_ {j} <\ dots}$ ${\ Displaystyle x_ {n_ {1}}> x_ {n_ {2}}> x_ {n_ {3}}> \ puntos> x_ {n_ {j}}> \ puntos}$ ${\ Displaystyle (x_ {n})}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {1}}$ ${\ Displaystyle (x_ {n_ {j}})}$ ${\ Displaystyle N}$ ${\ Displaystyle (x_ {n_ {j}})}$ ${\ Displaystyle n_ {1} = N + 1}$ ${\ Displaystyle n_ {1}}$ ${\ Displaystyle n_ {1}}$ ${\ Displaystyle n_ {2}}$ ${\ Displaystyle n_ {1} <n_ {2}}$ ${\ Displaystyle x_ {n_ {1}} \ leq x_ {n_ {2}}}$ ${\ Displaystyle n_ {2}}$ ${\ Displaystyle n_ {3}}$ ${\ Displaystyle n_ {2} <n_ {3}}$ ${\ Displaystyle x_ {n_ {2}} \ leq x_ {n_ {3}}}$ ${\ Displaystyle x_ {n_ {1}} \ leq x_ {n_ {2}} \ leq x_ {n_ {3}} \ leq \ ldots}$ ${\ Displaystyle (x_ {n})}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {1}}$

Ahora suponga que uno tiene una secuencia acotada en ; por el lema probado anteriormente existe una subsecuencia monótona, igualmente también acotada. Se deduce del teorema de la convergencia monótona que esta subsecuencia converge. ${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {1}}$

Finalmente, el caso general ( ), se puede reducir al caso de lo siguiente: dada una secuencia acotada en , la secuencia de primeras coordenadas es una secuencia real acotada, por lo tanto tiene una subsecuencia convergente. Luego, se puede extraer una subsecuencia en la que convergen las segundas coordenadas, y así sucesivamente, hasta que al final hayamos pasado de la secuencia original a una subsecuencia veces, que sigue siendo una subsecuencia de la secuencia original, en la que cada secuencia de coordenadas converge, por lo tanto, la subsecuencia en sí es convergente. ${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {1}}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$ ${\ Displaystyle n}$

Prueba alternativa

También hay una prueba alternativa del teorema de Bolzano-Weierstrass usando intervalos anidados . Comenzamos con una secuencia acotada : ${\ Displaystyle (x_ {n})}$

Como está acotada, esta secuencia tiene un límite inferior y un límite superior . ${\ Displaystyle (x_ {n}) _ {n \ in \ mathbb {N}}}$ ${\ Displaystyle s}$ ${\ Displaystyle S}$
Tomamos como primer intervalo para la secuencia de intervalos anidados. ${\ Displaystyle I_ {1} = [s, S]}$
Luego, dividimos en la mitad en dos subintervalos de igual tamaño. ${\ Displaystyle I_ {1}}$
Debido a que cada secuencia tiene un número infinito de miembros, debe haber (al menos) uno de estos subintervalos que contenga un número infinito de miembros de . Tomamos este subintervalo como el segundo intervalo de la secuencia de intervalos anidados. ${\ Displaystyle (x_ {n}) _ {n \ in \ mathbb {N}}}$ ${\ Displaystyle I_ {2}}$
Luego volvemos a dividir en la mitad en dos subintervalos de igual tamaño. ${\ Displaystyle I_ {2}}$
Una vez más, uno de estos subintervalos contiene un número infinito de miembros de . Tomamos este subintervalo como el tercer subintervalo de la secuencia de intervalos anidados. ${\ Displaystyle (x_ {n}) _ {n \ in \ mathbb {N}}}$ ${\ Displaystyle I_ {3}}$
Continuamos este proceso infinitas veces. Así obtenemos una secuencia de intervalos anidados.

Debido a que dividimos a la mitad la longitud de un intervalo en cada paso, el límite de la longitud del intervalo es cero. Además, por el teorema de intervalos anidados , que establece que si cada I _n es un intervalo cerrado y acotado, digamos

Yo _n = [a _n , b _n ]

con

a _n ≤ b _n

luego, bajo el supuesto de anidamiento, la intersección de I _n no está vacía. Por tanto, hay un número que está en cada intervalo . Ahora mostramos, ese es un punto de acumulación de . ${\ Displaystyle x}$ ${\ Displaystyle I_ {n}}$ ${\ Displaystyle x}$ ${\ Displaystyle (x_ {n})}$

Tome un vecindario de . Debido a que la longitud de los intervalos converge a cero, hay un intervalo que es un subconjunto de . Porque contiene por construcción un número infinito de miembros de y , también contiene un número infinito de miembros de . Esto prueba que es un punto de acumulación de . Por lo tanto, hay una subsecuencia de que converge a . ${\ Displaystyle U}$ ${\ Displaystyle x}$ ${\ Displaystyle I_ {N}}$ ${\ Displaystyle U}$ ${\ Displaystyle I_ {N}}$ ${\ Displaystyle (x_ {n})}$ ${\ Displaystyle I_ {N} \ subseteq U}$ ${\ Displaystyle U}$ ${\ Displaystyle (x_ {n})}$ ${\ Displaystyle x}$ ${\ Displaystyle (x_ {n})}$ ${\ Displaystyle (x_ {n})}$ ${\ Displaystyle x}$

Compacidad secuencial en espacios euclidianos

Supongamos que A es un subconjunto de R ⁿ con la propiedad de que cada secuencia en A tiene una subsecuencia convergente a un elemento de A . Entonces A debe estar acotada, ya que de lo contrario existe una secuencia x _m en A con || x _m || ≥ m para todo m , y luego cada subsecuencia es ilimitada y por lo tanto no convergente. Además, A debe estar cerrado, ya que a partir de un punto no interior x en el complemento de A , se puede construir una secuencia valorada por A que converja ax . Así, los subconjuntos A de R ⁿ para los cuales cada secuencia en A tiene una subsecuencia que converge a un elemento de A , es decir, los subconjuntos que son secuencialmente compactos en la topología del subespacio , son precisamente los subconjuntos cerrados y acotados.

Esta forma del teorema aclara especialmente la analogía con el teorema de Heine-Borel , que afirma que un subconjunto de R ⁿ es compacto si y sólo si es cerrado y acotado. De hecho, la topología general nos dice que un espacio metrizable es compacto si y solo si es secuencialmente compacto, de modo que los teoremas de Bolzano-Weierstrass y Heine-Borel son esencialmente los mismos.

Aplicación a la economía

Hay diferentes conceptos de equilibrio importantes en economía, cuyas pruebas de existencia a menudo requieren variaciones del teorema de Bolzano-Weierstrass. Un ejemplo es la existencia de una asignación Pareto eficiente . Una asignación es una matriz de paquetes de consumo para agentes en una economía, y una asignación es Pareto eficiente si no se le puede hacer ningún cambio que empeore a ningún agente y al menos a un agente en mejor situación (aquí las filas de la matriz de asignación deben ser clasificable por una relación de preferencia ). El teorema de Bolzano-Weierstrass permite probar que si el conjunto de asignaciones es compacto y no está vacío , entonces el sistema tiene una asignación Pareto-eficiente.

Ver también

Notas

Referencias

Bartle, Robert G .; Sherbert, Donald R. (2000). Introducción al análisis real (3ª ed.). Nueva York: J. Wiley.
Fitzpatrick, Patrick M. (2006). Cálculo avanzado (2ª ed.). Belmont, CA: Thomson Brooks / Cole. ISBN 0-534-37603-7.

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