Análisis real - Real analysis

Las primeras cuatro sumas parciales de la serie de Fourier para una onda cuadrada . Las series de Fourier son una herramienta importante en el análisis real.

En matemáticas , el análisis real es la rama del análisis matemático que estudia el comportamiento de números reales , secuencias y series de números reales y funciones reales . Algunas propiedades particulares de las secuencias y funciones con valores reales que los estudios de análisis reales incluyen la convergencia , los límites , la continuidad , la suavidad , la diferenciabilidad y la integrabilidad .

El análisis real se distingue del análisis complejo , que se ocupa del estudio de números complejos y sus funciones.

Alcance

Construcción de los números reales

Los teoremas del análisis real se basan en las propiedades del sistema de números reales , que deben establecerse. El sistema de números reales consta de un conjunto incontable ( ), junto con dos operaciones binarias denotadas + y , y un orden denotado < . Las operaciones hacen de los números reales un campo y, junto con el orden, un campo ordenado . El sistema de números reales es el campo ordenado completo único , en el sentido de que cualquier otro campo ordenado completo es isomorfo a él. Intuitivamente, la integridad significa que no hay "huecos" en los números reales. Esta propiedad distingue los números reales de otros campos ordenados (por ejemplo, los números racionales ) y es fundamental para la demostración de varias propiedades clave de las funciones de los números reales. La integridad de los reales a menudo se expresa convenientemente como la propiedad del límite superior mínimo (ver más abajo).

Ordenar propiedades de los números reales

Los números reales tienen varias propiedades teóricas de celosía que están ausentes en los números complejos. Además, los números reales forman un campo ordenado , en el que las sumas y productos de números positivos también son positivos. Además, el orden de los números reales es total , y los números reales tienen la propiedad de límite superior mínimo :

Cada subconjunto no vacío que tiene un límite superior tiene un límite superior mínimo que también es un número real.

Estas propiedades de la teoría del orden conducen a una serie de resultados fundamentales en el análisis real, como el teorema de la convergencia monótona , el teorema del valor intermedio y el teorema del valor medio .

Sin embargo, aunque los resultados del análisis real se expresan para números reales, muchos de estos resultados se pueden generalizar a otros objetos matemáticos. En particular, muchas ideas en el análisis funcional y la teoría de operadores generalizan las propiedades de los números reales; tales generalizaciones incluyen las teorías de los espacios de Riesz y los operadores positivos . Además, los matemáticos consideran partes reales e imaginarias de secuencias complejas, o por evaluación puntual de secuencias de operadores .

Propiedades topológicas de los números reales

Muchos de los teoremas del análisis real son consecuencia de las propiedades topológicas de la recta numérica real. Las propiedades de orden de los números reales descritas anteriormente están estrechamente relacionadas con estas propiedades topológicas. Como espacio topológico , los números reales tienen una topología estándar , que es la topología de orden inducida por orden . Alternativamente, al definir la función métrica o de distancia usando la función de valor absoluto como , los números reales se convierten en el ejemplo prototípico de un espacio métrico . La topología inducida por métrica resulta ser idéntica a la topología estándar inducida por orden . Los teoremas como el teorema del valor intermedio, que son de naturaleza esencialmente topológica, a menudo se pueden demostrar en el marco más general de los espacios métricos o topológicos en lugar de solo. A menudo, tales demostraciones tienden a ser más cortas o más simples en comparación con las pruebas clásicas que aplican métodos directos.

Secuencias

Una secuencia es una función cuyo dominio es un conjunto contable y totalmente ordenado . Por lo general, se considera que el dominio son los números naturales , aunque en ocasiones es conveniente considerar también secuencias bidireccionales indexadas por el conjunto de todos los números enteros, incluidos los índices negativos.

De interés en el análisis real, una secuencia con valores reales , aquí indexada por los números naturales, es un mapa . Cada uno se conoce como un término (o, menos comúnmente, un elemento ) de la secuencia. Una secuencia rara vez se denota explícitamente como una función; en cambio, por convención, casi siempre se anota como si fuera una tupla ∞ ordenada, con términos individuales o un término general entre paréntesis:

Una secuencia que tiende a un límite (es decir, existe) se dice que es convergente ; de lo contrario, es divergente . ( Consulte la sección sobre límites y convergencia para obtener más detalles ) . Una secuencia de valor real está acotada si existe tal que para todos . Una secuencia de valores reales- está aumentando de forma monótona o disminuir si
o
sostiene, respectivamente. Si cualquiera de los dos se cumple, se dice que la secuencia es monótona . La monotonicidad es estricta si las desigualdades encadenadas aún se mantienen o se reemplazan por <o>.

Dada una secuencia , otra secuencia es una

subsecuencia de if para todos los enteros positivos y es una secuencia estrictamente creciente de números naturales.

Límites y convergencia

En términos generales, un límite es el valor al que se "acerca" una función o una secuencia cuando la entrada o el índice se acerca a algún valor. (Este valor puede incluir los símbolos al abordar el comportamiento de una función o secuencia a medida que la variable aumenta o disminuye sin límite). La idea de un límite es fundamental para el

cálculo (y el análisis matemático en general) y su definición formal se utiliza a su vez. para definir nociones como continuidad , derivadas e integrales . (De hecho, el estudio de la conducta limitante se ha utilizado como una característica que distingue el cálculo y el análisis matemático de otras ramas de las matemáticas).

El concepto de límite fue introducido informalmente para funciones por Newton y Leibniz , a finales del siglo XVII, para construir cálculo infinitesimal . Para las secuencias, el concepto fue introducido por Cauchy , y riguroso, a finales del siglo XIX por Bolzano y Weierstrass , quienes dieron la definición moderna de

ε-δ , que sigue.

Definición. Sea una función de valor real definida en

. Decimos que tiende a como enfoques , o que el límite de como enfoques es si, para alguno , existe tal que para todos , implica eso . Escribimos esto simbólicamente como
o como
Intuitivamente, esta definición se puede pensar de la siguiente manera: Se dice que como , cuando, dado cualquier número positivo , por pequeño que sea, siempre podemos encontrar una , de manera que podemos garantizar que y a menos de distancia, siempre ya que (en el dominio de ) es un número real que está a menos de pero es distinto de . El propósito de la última estipulación, que corresponde a la condición en la definición, es asegurar que no implique nada sobre el valor de sí mismo. En realidad, ni siquiera necesita estar en el dominio de para existir.

En un contexto ligeramente diferente pero relacionado, el concepto de límite se aplica al comportamiento de una secuencia cuando se vuelve grande.

Definición. Sea una secuencia de valor real. Decimos que

converge a si, para alguno , existe un número natural tal que implica eso . Escribimos esto simbólicamente como
o como
si no logra converger, decimos que
diverge .

Generalizando a una función de valor real de una variable real, una ligera modificación de esta definición (reemplazo de secuencia y término por función y valor y números naturales y por números reales y , respectivamente) produce la definición del

límite de como incrementos sin límite , anotado . La inversión de la desigualdad para da la definición correspondiente del límite de como disminuciones sin unido , .

A veces, es útil concluir que una secuencia converge, aunque el valor al que converge sea desconocido o irrelevante. En estos casos, el concepto de secuencia de Cauchy es útil.

Definición. Sea una secuencia con valores reales. Decimos que es una secuencia de Cauchy si, para alguna , existe un número natural tal que lo implique .

Se puede demostrar que una secuencia de valor real es Cauchy si y solo si es convergente. Esta propiedad de los números reales se expresa diciendo que los números reales dotados de la métrica estándar`` es un espacio métrico completo . En un espacio métrico general, sin embargo, no es necesario que converja una secuencia de Cauchy.

Además, para las secuencias de valores reales que son monótonas, se puede demostrar que la secuencia está acotada si y solo si es convergente.

Convergencia uniforme y puntual para secuencias de funciones

Además de secuencias de números, también se puede hablar de secuencias de funciones en , es decir, infinitas, familias ordenadas de funciones , denotadas , y sus propiedades de convergencia. Sin embargo, en el caso de secuencias de funciones, hay dos tipos de convergencia, conocidas como convergencia puntual y convergencia uniforme , que deben distinguirse.

En términos generales, la convergencia puntual de funciones a una función limitante , denotada , simplemente significa que dado cualquier , como . Por el contrario, la convergencia uniforme es un tipo de convergencia más fuerte, en el sentido de que una secuencia de funciones uniformemente convergente también converge puntualmente, pero no a la inversa. La convergencia uniforme requiere que los miembros de la familia de funciones, caigan dentro de algún error de para cada valor de , cuando sea , para algún número entero . Para que una familia de funciones converja uniformemente, a veces denotado , debe existir tal valor de para cualquier dato, no importa cuán pequeño sea. Intuitivamente, podemos visualizar esta situación imaginando que, para un tamaño suficientemente grande , todas las funciones están confinadas dentro de un 'tubo' de ancho aproximadamente (es decir, entre y ) para cada valor en su dominio .

La distinción entre convergencia puntual y uniforme es importante cuando se desea intercambiar el orden de dos operaciones limitantes (por ejemplo, tomar un límite, una derivada o integral): para que el intercambio se comporte bien, muchos teoremas del análisis real se llaman para una convergencia uniforme. Por ejemplo, se garantiza que una secuencia de funciones continuas (ver más abajo ) convergerá a una función de limitación continua si la convergencia es uniforme, mientras que la función de limitación puede no ser continua si la convergencia es solo puntual. A Karl Weierstrass se le atribuye generalmente el mérito de definir claramente el concepto de convergencia uniforme e investigar a fondo sus implicaciones.

Compacidad

La compacidad es un concepto de la topología general que juega un papel importante en muchos de los teoremas del análisis real. La propiedad de la compacidad es una generalización de la noción de un conjunto cerrado y acotado . (En el contexto del análisis real, estas nociones son equivalentes: un conjunto en el espacio euclidiano es compacto si y solo si está cerrado y acotado.) Brevemente, un conjunto cerrado contiene todos sus puntos limítrofes , mientras que un conjunto está acotado si hay existe un número real tal que la distancia entre dos puntos cualesquiera del conjunto es menor que ese número. En , los conjuntos cerrados y acotados, y por tanto compactos, incluyen el conjunto vacío, cualquier número finito de puntos, intervalos cerrados y sus uniones finitas. Sin embargo, esta lista no es exhaustiva; por ejemplo, el conjunto es un conjunto compacto; el conjunto ternario de Cantor es otro ejemplo de conjunto compacto. Por otro lado, el conjunto no es compacto porque está acotado pero no cerrado, ya que el punto límite 0 no es miembro del conjunto. El conjunto tampoco es compacto porque está cerrado pero no delimitado.

Para subconjuntos de números reales, existen varias definiciones equivalentes de compacidad.

Definición. Un conjunto es compacto si está cerrado y acotado.

Esta definición también es válida para el espacio euclidiano de cualquier dimensión finita , pero no es válida para los espacios métricos en general. La equivalencia de la definición con la definición de compacidad basada en subcubiertas, dada más adelante en esta sección, se conoce como el teorema de Heine-Borel .

Una definición más general que se aplica a todos los espacios métricos usa la noción de una subsecuencia (ver arriba).

Definición. Un conjunto en un espacio métrico es compacto si cada secuencia en tiene una subsecuencia convergente.

Esta propiedad particular se conoce como compacidad subsecuente . En , un conjunto se compacta posteriormente si y solo si está cerrado y acotado, lo que hace que esta definición sea equivalente a la dada anteriormente. La compacidad subsecuente es equivalente a la definición de compacidad basada en subcubiertas para espacios métricos, pero no para espacios topológicos en general.

La definición más general de compacidad se basa en la noción de cubiertas y subcubiertas abiertas , que es aplicable a los espacios topológicos (y por lo tanto a los espacios métricos y como casos especiales). En resumen, se dice que una colección de conjuntos abiertos es una cubierta abierta de conjunto si la unión de estos conjuntos es un superconjunto de . Se dice que esta cubierta abierta tiene una subcubierta finita si se pudiera encontrar una subcolección finita de la que también cubre .

Definición. Un conjunto en un espacio topológico es compacto si cada cubierta abierta tiene una subcubierta finita.

Los conjuntos compactos se comportan bien con respecto a propiedades como la convergencia y la continuidad. Por ejemplo, cualquier secuencia de Cauchy en un espacio métrico compacto es convergente. Como otro ejemplo, la imagen de un espacio métrico compacto debajo de un mapa continuo también es compacta.

Continuidad

Una función del conjunto de números reales a los números reales se puede representar mediante una gráfica en el plano cartesiano ; dicha función es continua si, en términos generales, el gráfico es una única curva continua sin "huecos" ni "saltos".

Hay varias formas de hacer que esta intuición sea matemáticamente rigurosa. Pueden darse varias definiciones de distintos niveles de generalidad. En los casos en que son aplicables dos o más definiciones, se demuestra fácilmente que son equivalentes entre sí, por lo que se puede utilizar la definición más conveniente para determinar si una función dada es continua o no. En la primera definición dada a continuación, es una función definida en un intervalo no degenerado del conjunto de números reales como su dominio. Algunas posibilidades incluyen , todo el conjunto de números reales, un intervalo abierto o un intervalo cerrado Aquí, y son números reales distintos, y excluimos el caso de estar vacío o que consta de un solo punto, en particular.

Definición. Si es un intervalo no degenerado, decimos que es continuo en si . Decimos que es un mapa continuo si es continuo en todos .

En contraste con los requisitos para tener un límite en un punto , que no restringe el comportamiento de en sí mismo, las dos condiciones siguientes, además de la existencia de , también deben cumplirse para que sea continua en : (i) debe definirse en , es decir, está en el dominio de ; y (ii) como . La definición anterior en realidad se aplica a cualquier dominio que no contenga un punto aislado , o de manera equivalente, donde cada es un punto límite de . Una definición más general que se aplica a un dominio general es la siguiente:

Definición. Si es un subconjunto arbitrario de , decimos que es continuo en si, para cualquiera , existe tal que para todos , implica eso . Decimos que es un mapa continuo si es continuo en todos .

Una consecuencia de esta definición es que es trivialmente continua en cualquier punto aislado . Este tratamiento un tanto poco intuitivo de puntos aislados es necesario para asegurar que nuestra definición de continuidad para funciones en la línea real sea consistente con la definición más general de continuidad para mapas entre espacios topológicos (que incluye espacios métricos y en particular como casos especiales). Esta definición, que se extiende más allá del alcance de nuestra discusión del análisis real, se da a continuación para completar.

Definición. Si y son espacios topológicos, decimos que es continuo en si es un vecindario de en por cada vecindario de en . Decimos que es un mapa continuo si está abierto por cada entrada abierta .

(Aquí, se refiere a la preimagen de under .)

Continuidad uniforme

Definición. Si es un subconjunto de los números reales , decimos que una función es uniformemente continua en si, para cualquiera , existe tal que para todos , implica eso .

Explícitamente, cuando una función es uniformemente continua , la elección de necesaria para cumplir con la definición debe funcionar para todos para un determinado . Por el contrario, cuando una función es continua en todos los puntos (o se dice que es continua ), la elección de puede depender de y . En contraste con la continuidad simple, la continuidad uniforme es una propiedad de una función que solo tiene sentido con un dominio específico; hablar de continuidad uniforme en un solo punto no tiene sentido.

En un conjunto compacto, se muestra fácilmente que todas las funciones continuas son uniformemente continuas. Si es un subconjunto acotado no compacto de , entonces existe que es continuo pero no uniformemente continuo. Como ejemplo simple, considérese definido por . Al elegir puntos cercanos a 0, siempre podemos optar por una sola elección de , para un determinado .

Continuidad absoluta

Definición. Sea un intervalo en la línea real . Una función se dice que es absolutamente continua en si para cada número positivo , hay un número positivo de tal manera que cada vez que una secuencia finita de pairwise disjuntos sub-intervalos de satisface

luego

Las funciones absolutamente continuas son continuas: considere el caso n = 1 en esta definición. La colección de todas las funciones absolutamente continuas en I se denomina AC ( I ). La continuidad absoluta es un concepto fundamental en la teoría de la integración de Lebesgue, permitiendo la formulación de una versión generalizada del teorema fundamental del cálculo que se aplica a la integral de Lebesgue.

Diferenciación

La noción de derivada de una función o diferenciabilidad se origina en el concepto de aproximar una función cerca de un punto dado usando la "mejor" aproximación lineal. Esta aproximación, si existe, es única y está dada por la línea que es tangente a la función en el punto dado , y la pendiente de la línea es la derivada de la función en .

Una función es diferenciable en si el límite

existe. Este límite se conoce como la derivada de at , y la función , posiblemente definida solo en un subconjunto de , es la derivada (o función derivada ) de . Si la derivada existe en todas partes, se dice que la función es diferenciable .

Como simple consecuencia de la definición, es continuo en si es diferenciable allí. Por lo tanto, la diferenciabilidad es una condición de regularidad más fuerte (condición que describe la "suavidad" de una función) que la continuidad, y es posible que una función sea continua en toda la línea real pero no diferenciable en ninguna parte (ver la función continua no diferenciable de Weierstrass ). También es posible discutir la existencia de derivadas de orden superior, encontrando la derivada de una función derivada, y así sucesivamente.

Se pueden clasificar las funciones por su clase de diferenciabilidad . La clase (a veces para indicar el intervalo de aplicabilidad) consta de todas las funciones continuas. La clase consta de todas las funciones diferenciables cuya derivada es continua; tales funciones se denominan continuamente diferenciables . Por tanto, una función es exactamente una función cuya derivada existe y es de clase . En general, las clases se pueden definir de forma recursiva declarando que es el conjunto de todas las funciones continuas y declarando que cualquier entero positivo es el conjunto de todas las funciones diferenciables cuya derivada está en . En particular, está contenido en for every , y hay ejemplos que muestran que esta contención es estricta. La clase es la intersección de los conjuntos que varía sobre los enteros no negativos, y los miembros de esta clase se conocen como funciones suaves . La clase consta de todas las funciones analíticas y está estrictamente contenida en (ver función de relieve para una función suave que no es analítica).

Serie

Una serie formaliza la noción imprecisa de tomar la suma de una secuencia infinita de números. La idea de que tomar la suma de un número "infinito" de términos puede conducir a un resultado finito era contradictoria para los antiguos griegos y llevó a la formulación de una serie de paradojas por Zenón y otros filósofos. La noción moderna de asignar un valor a una serie evita lidiar con la noción mal definida de agregar un número "infinito" de términos. En cambio, se considera la suma finita de los primeros términos de la secuencia, conocida como suma parcial, y el concepto de límite se aplica a la secuencia de sumas parciales a medida que crece sin límite. A la serie se le asigna el valor de este límite, si existe.

Dada una secuencia (infinita) , podemos definir una serie asociada como el objeto matemático formal , a veces simplemente escrito como . Las sumas parciales de una serie son los números . Se dice que una serie es convergente si la secuencia que consta de sus sumas parciales ,, es convergente; de lo contrario, es divergente . La suma de una serie convergente se define como el número .

La palabra "suma" se usa aquí en un sentido metafórico como una abreviatura para tomar el límite de una secuencia de sumas parciales y no debe interpretarse simplemente como "sumar" un número infinito de términos. Por ejemplo, en contraste con el comportamiento de las sumas finitas, reordenar los términos de una serie infinita puede resultar en convergencia a un número diferente (ver el artículo sobre el teorema de reordenamiento de Riemann para mayor discusión).

Un ejemplo de una serie convergente es una serie geométrica que forma la base de una de las famosas paradojas de Zenón :

Por el contrario, la serie armónica se conoce desde la Edad Media como una serie divergente:

(Aquí, " " es simplemente una convención de notación para indicar que las sumas parciales de la serie crecen sin límite).

Se dice que una serie converge absolutamente si es convergente. Se dice que una serie convergente para la que diverge converge de forma no absoluta . Se muestra fácilmente que la convergencia absoluta de una serie implica su convergencia. Por otro lado, un ejemplo de una serie que converge de forma no absoluta es

Serie de taylor

La serie de Taylor de una función real o de valor complejo ƒ ( x ) que es infinitamente diferenciable en un número real o complejo a es la serie de potencias

que se puede escribir en la notación sigma más compacta como

donde n ! denota el factorial de n y ƒ  ( n ) ( un ) denota el n º derivado de ƒ evaluado en el punto de una . La derivada de orden cero ƒ se define como ƒ misma y ( x - a ) 0 y 0! ambos se definen como 1. En el caso de que a = 0 , la serie también se denomina serie de Maclaurin.

Una serie de Taylor de f sobre el punto a puede divergir, converger solo en el punto a , converger para todo x tal que (el R más grande para el que se garantiza la convergencia se llama radio de convergencia ) o converger en toda la línea real. Incluso una serie de Taylor convergente puede converger a un valor diferente del valor de la función en ese punto. Si la serie de Taylor en un punto tiene un radio de convergencia distinto de cero y suma la función en el disco de convergencia , entonces la función es analítica . Las funciones analíticas tienen muchas propiedades fundamentales. En particular, una función analítica de una variable real se extiende naturalmente a una función de una variable compleja. Es así como la función exponencial , el logaritmo , las funciones trigonométricas y sus inversas se extienden a funciones de variable compleja.

series de Fourier

La serie de Fourier descompone funciones periódicas o señales periódicas en la suma de un conjunto (posiblemente infinito) de funciones oscilantes simples, a saber, senos y cosenos (o exponenciales complejas ). El estudio de series de Fourier se produce normalmente y se manipula dentro de la rama matemáticas > análisis matemático > análisis de Fourier .

Integración

La integración es una formalización del problema de encontrar el área limitada por una curva y los problemas relacionados de determinar la longitud de una curva o volumen encerrado por una superficie. La estrategia básica para resolver problemas de este tipo era conocida por los antiguos griegos y chinos, y se conocía como el método del agotamiento . En términos generales, el área deseada está delimitada desde arriba y desde abajo, respectivamente, circunscribiendo e inscribiendo aproximaciones poligonales cada vez más precisas cuyas áreas exactas se pueden calcular. Al considerar aproximaciones que consisten en un número cada vez mayor ("infinito") de piezas cada vez más pequeñas ("infinitesimales"), el área delimitada por la curva se puede deducir, ya que los límites superior e inferior definidos por las aproximaciones convergen alrededor de un común. valor.

El espíritu de esta estrategia básica se puede ver fácilmente en la definición de la integral de Riemann, en la que se dice que la integral existe si las sumas superior e inferior de Riemann (o Darboux) convergen en un valor común como cortes rectangulares cada vez más delgados ("refinamientos ") son considerados. Aunque la maquinaria utilizada para definirla es mucho más elaborada en comparación con la integral de Riemann, la integral de Lebesgue se definió con ideas básicas similares en mente. En comparación con la integral de Riemann, la integral de Lebesgue más sofisticada permite definir y calcular el área (o longitud, volumen, etc .; denominada "medida" en general) para subconjuntos mucho más complicados e irregulares del espacio euclidiano, aunque todavía existen subconjuntos "no medibles" para los que no se puede asignar un área.

Integración de Riemann

La integral de Riemann se define en términos de sumas de funciones de Riemann con respecto a las particiones etiquetadas de un intervalo. Sea un intervalo cerrado de la línea real; entonces una partición etiquetada de es una secuencia finita

Esto divide el intervalo en subintervalos indexados por , cada uno de los cuales está "etiquetado" con un punto distinguido . Para una función acotada , definimos la suma de Riemann de con respecto a la partición etiquetada como

donde es el ancho del subintervalo . Por lo tanto, cada término de la suma es el área de un rectángulo con una altura igual al valor de la función en el punto distinguido del subintervalo dado y un ancho igual al ancho del subintervalo. La malla de tal etiquetada partición es la anchura de la más grande sub-intervalo formado por la partición, . Decimos que la integral de Riemann de on es si existe tal que, para cualquier partición etiquetada con malla , tenemos

Esto a veces se denota . Cuando las etiquetas elegidas dan el valor máximo (respectivamente, mínimo) de cada intervalo, la suma de Riemann se conoce como la suma de Darboux superior (respectivamente, inferior) . Una función es Darboux integrable si las sumas Darboux superior e inferior se pueden hacer para que estén arbitrariamente próximas entre sí para una malla suficientemente pequeña. Aunque esta definición da a la integral de Darboux la apariencia de ser un caso especial de la integral de Riemann, son, de hecho, equivalentes, en el sentido de que una función es integrable en Darboux si y sólo si es integrable de Riemann, y los valores de la las integrales son iguales. De hecho, los libros de texto de cálculo y análisis real a menudo combinan los dos, introduciendo la definición de la integral de Darboux como la de la integral de Riemann, debido a la definición un poco más fácil de aplicar de la primera.

El teorema fundamental del cálculo afirma que la integración y la diferenciación son operaciones inversas en cierto sentido.

Integración y medida de Lebesgue

La integración de Lebesgue es una construcción matemática que extiende la integral a una clase más grande de funciones; también amplía los dominios en los que se pueden definir estas funciones. El concepto de medida , una abstracción de longitud, área o volumen, es fundamental para la teoría de probabilidad integral de Lebesgue .

Distribuciones

Las distribuciones (o funciones generalizadas ) son objetos que generalizan funciones . Las distribuciones permiten diferenciar funciones cuyas derivadas no existen en el sentido clásico. En particular, cualquier función integrable localmente tiene una derivada distributiva.

Relación con el análisis complejo

El análisis real es un área de análisis que estudia conceptos como secuencias y sus límites, continuidad, diferenciación , integración y secuencias de funciones. Por definición, el análisis real se centra en los números reales , que a menudo incluyen infinitos positivos y negativos para formar la línea real extendida . El análisis real está estrechamente relacionado con el análisis complejo , que estudia en general las mismas propiedades de los números complejos . En el análisis complejo, es natural definir la diferenciación a través de funciones holomórficas , que tienen una serie de propiedades útiles, como la diferenciabilidad repetida, la expresibilidad como series de potencias y la satisfacción de la fórmula integral de Cauchy .

En el análisis real, generalmente es más natural considerar funciones diferenciables , suaves o armónicas , que son más ampliamente aplicables, pero pueden carecer de algunas propiedades más poderosas de las funciones holomórficas. Sin embargo, los resultados como el teorema fundamental del álgebra son más simples cuando se expresan en términos de números complejos.

Las técnicas de la teoría de las funciones analíticas de una variable compleja se utilizan a menudo en el análisis real, como la evaluación de integrales reales mediante cálculo de residuos .

Resultados importantes

Los resultados más importantes son las de Bolzano-Weierstrass y teoremas Heine-Borel , el teorema del valor intermedio y el valor medio teorema , el teorema de Taylor , el teorema fundamental del cálculo , el Teorema de Arzelá-Ascoli , el Teorema de aproximación de Weierstrass , el lema de Fatou , y la convergencia monótona y teoremas de convergencia dominados .

Generalizaciones y áreas relacionadas de las matemáticas.

Varias ideas del análisis real pueden generalizarse desde la línea real a contextos más amplios o abstractos. Estas generalizaciones vinculan el análisis real a otras disciplinas y subdisciplinas. Por ejemplo, la generalización de ideas como funciones continuas y compacidad del análisis real a espacios métricos y espacios topológicos conecta el análisis real al campo de la topología general , mientras que la generalización de espacios euclidianos de dimensión finita a análogos de dimensión infinita condujo a los conceptos de espacios de Banach. y espacios de Hilbert y, más en general, al análisis funcional . La investigación de Georg Cantor de conjuntos y secuencias de números reales, las asignaciones entre ellos y las cuestiones fundamentales del análisis real dieron origen a la ingenua teoría de conjuntos . El estudio de cuestiones de convergencia para secuencias de funciones eventualmente dio lugar al análisis de Fourier como una subdisciplina del análisis matemático. La investigación de las consecuencias de generalizar la diferenciabilidad de las funciones de una variable real a las de una variable compleja dio lugar al concepto de funciones holomorfas y al inicio del análisis complejo como otra subdisciplina distinta del análisis. Por otro lado, la generalización de la integración del sentido de Riemann al de Lebesgue llevó a la formulación del concepto de espacios de medida abstractos , concepto fundamental en la teoría de la medida . Finalmente, la generalización de la integración de la línea real a curvas y superficies en un espacio dimensional superior trajo consigo el estudio del cálculo vectorial , cuya mayor generalización y formalización jugó un papel importante en la evolución de los conceptos de formas diferenciales y variedades suaves (diferenciables). en geometría diferencial y otras áreas de geometría y topología estrechamente relacionadas .

Ver también

Referencias

Bibliografía

enlaces externos