Campo ordenado no arquimediano - Non-Archimedean ordered field
En matemáticas, un campo ordenado que no es de Arquímedes es un campo ordenado que no satisface la propiedad de Arquímedes . Ejemplos son el campo Levi-Civita , los números hiperreales , los números surrealistas , el campo Dehn y el campo de funciones racionales con coeficientes reales con un orden adecuado.
Definición
La propiedad de Arquímedes es una propiedad de ciertos campos ordenados, como los números racionales o los números reales , indicando que cada dos elementos están dentro de un múltiplo entero entre sí. Si un campo contiene dos elementos positivos x < y para los cuales esto no es cierto, entonces x / y debe ser infinitesimal , mayor que cero pero menor que cualquier fracción unitaria entera . Por tanto, la negación de la propiedad de Arquímedes equivale a la existencia de infinitesimales.
Aplicaciones
Los campos hiperrealistas , campos ordenados no arquimedianos que contienen los números reales como subcampo, pueden usarse para proporcionar una base matemática para análisis no estándar .
Max Dehn usó el campo de Dehn, un ejemplo de un campo ordenado que no es de Arquímedes, para construir geometrías no euclidianas en las que el postulado paralelo no es verdadero pero, sin embargo, los triángulos tienen ángulos que suman π .
El campo de funciones racionales over puede usarse para construir un campo ordenado que es completo (en el sentido de convergencia de secuencias de Cauchy) pero que no son los números reales. Esta finalización se puede describir como el campo de la serie formal de Laurent terminado . A veces, el término completo se utiliza para indicar que se cumple la propiedad del límite superior mínimo . Con este significado de completo, no hay campos completos ordenados que no sean de Arquímedes. La sutil distinción entre estos dos usos de la palabra completo es ocasionalmente una fuente de confusión.
