Función racional - Rational function

En matemáticas , una función racional es cualquier función que pueda definirse mediante una fracción racional , que es una fracción algebraica de manera que tanto el numerador como el denominador son polinomios . Los coeficientes de los polinomios no necesitan ser números racionales ; se pueden tomar en cualquier campo K . En este caso, se habla de una función racional y una fracción racional sobre K . Los valores de las variables de pueden ser tomadas en cualquier campo L que contiene K . A continuación, el dominio de la función es el conjunto de los valores de las variables para las que el denominador no es cero, y la codomain es L .

El conjunto de funciones racionales más de un campo K es un campo, el campo de las fracciones del anillo de las funciones polinómicas más de K .

Definiciones

Una función se llama función racional si y solo si se puede escribir en la forma ${\ Displaystyle f (x)}$

${\ Displaystyle f (x) = {\ frac {P (x)} {Q (x)}}}$

donde y son funciones polinomiales de y no es la función cero . El dominio de es el conjunto de todos los valores de para los cuales el denominador no es cero. ${\ Displaystyle P \,}$${\ Displaystyle Q \,}$${\ Displaystyle x \,}$${\ Displaystyle Q \,}$${\ Displaystyle f \,}$${\ Displaystyle x \,}$${\ Displaystyle Q (x) \,}$

Sin embargo, si y tienen un máximo común divisor polinomial no constante , entonces establecer y produce una función racional ${\ Displaystyle \ textstyle P}$${\ Displaystyle \ textstyle Q}$ ${\ Displaystyle \ textstyle R}$${\ Displaystyle \ textstyle P = P_ {1} R}$${\ Displaystyle \ textstyle Q = Q_ {1} R}$

${\ Displaystyle f_ {1} (x) = {\ frac {P_ {1} (x)} {Q_ {1} (x)}},}$

que puede tener un dominio mayor que , y es igual a en el dominio de Es un uso común para identificar y , es decir, extender "por continuidad" el dominio de al de De hecho, se puede definir una fracción racional como una equivalencia clase de fracciones de polinomios, donde dos fracciones y se consideran equivalentes si . En este caso es equivalente a . ${\ Displaystyle f (x)}$${\ Displaystyle f (x)}$${\ Displaystyle f (x).}$${\ Displaystyle f (x)}$${\ Displaystyle f_ {1} (x)}$${\ Displaystyle f (x)}$${\ Displaystyle f_ {1} (x).}$${\ Displaystyle {\ frac {A (x)} {B (x)}}}$${\ Displaystyle {\ frac {C (x)} {D (x)}}}$${\ Displaystyle A (x) D (x) = B (x) C (x)}$${\ Displaystyle {\ frac {P (x)} {Q (x)}}}$${\ Displaystyle {\ frac {P_ {1} (x)} {Q_ {1} (x)}}}$

Una función racional propia es una función racional en la que el grado de es menor que el grado de y ambos son polinomios reales , nombrados por analogía con una fracción propia en . ${\ Displaystyle P (x)}$${\ Displaystyle Q (x)}$${\ Displaystyle \ mathbb {Q}}$

La licenciatura

Hay varias definiciones no equivalentes del grado de una función racional.

Más comúnmente, el grado de una función racional es el máximo de los grados de sus polinomios constituyentes P y Q , cuando la fracción se reduce a los términos más bajos . Si el grado de f es d , entonces la ecuación

${\ Displaystyle f (z) = w \,}$

tiene d soluciones distintas en z excepto para ciertos valores de w , llamados valores críticos , donde dos o más soluciones coinciden o donde alguna solución es rechazada en el infinito (es decir, cuando el grado de la ecuación disminuye después de haber borrado el denominador ).

En el caso de coeficientes complejos , una función racional con grado uno es una transformación de Möbius .

El grado de la gráfica de una función racional no es el grado definido anteriormente: es el máximo del grado del numerador y uno más el grado del denominador.

En algunos contextos, como en el análisis asintótico , el grado de una función racional es la diferencia entre los grados del numerador y el denominador.

En la síntesis de redes y el análisis de redes , una función racional de grado dos (es decir, la relación de dos polinomios de grado como máximo dos) a menudo se denomina una función bicuadrática .

Ejemplos de

Ejemplos de funciones racionales

Función racional de grado 3, con gráfica de grado 3:${\ Displaystyle y = {\ frac {x ^ {3} -2x} {2 (x ^ {2} -5)}}}$

Función racional de grado 2, con gráfica de grado 3:${\ displaystyle y = {\ frac {x ^ {2} -3x-2} {x ^ {2} -4}}}$

La función racional

${\ Displaystyle f (x) = {\ frac {x ^ {3} -2x} {2 (x ^ {2} -5)}}}$

no está definido en

${\ Displaystyle x ^ {2} = 5 \ Leftrightarrow x = \ pm {\ sqrt {5}}.}$

Es asintótico como${\ Displaystyle {\ tfrac {x} {2}}}$${\ Displaystyle x \ to \ infty.}$

La función racional

${\ Displaystyle f (x) = {\ frac {x ^ {2} +2} {x ^ {2} +1}}}$

se define para todos los números reales , pero no para todos los números complejos , ya que si x fuera una raíz cuadrada de (es decir, la unidad imaginaria o su negativo), la evaluación formal conduciría a la división por cero: ${\ Displaystyle -1}$

${\ Displaystyle f (i) = {\ frac {i ^ {2} +2} {i ^ {2} +1}} = {\ frac {-1 + 2} {- 1 + 1}} = {\ frac {1} {0}},}$

que no está definido.

Una función constante como f ( x ) = π es una función racional ya que las constantes son polinomios. La función en sí es racional, aunque el valor de f ( x ) es irracional para todo x .

Cada función polinomial es una función racional con una función A que no se puede escribir en esta forma, como no es una función racional. Sin embargo, el adjetivo "irracional" no se usa generalmente para funciones. ${\ Displaystyle f (x) = P (x)}$${\ Displaystyle Q (x) = 1.}$${\ Displaystyle f (x) = \ sin (x),}$

La función racional es igual a 1 para todo x excepto 0, donde hay una singularidad removible . La suma, el producto o el cociente (excepto la división por el polinomio cero) de dos funciones racionales es en sí misma una función racional. Sin embargo, el proceso de reducción a la forma estándar puede resultar inadvertidamente en la eliminación de tales singularidades a menos que se tenga cuidado. Usar la definición de funciones racionales como clases de equivalencia evita esto, ya que x / x es equivalente a 1/1. ${\ Displaystyle f (x) = {\ tfrac {x} {x}}}$

Serie de taylor

Los coeficientes de una serie de Taylor de cualquier función racional satisfacen una relación de recurrencia lineal , que se puede encontrar equiparando la función racional a una serie de Taylor con coeficientes indeterminados y recolectando términos semejantes después de borrar el denominador.

Por ejemplo,

${\ Displaystyle {\ frac {1} {x ^ {2} -x + 2}} = \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} a_ {k} x ^ {k}.}$

Multiplicando por el denominador y distribuyendo,

${\ Displaystyle 1 = (x ^ {2} -x + 2) \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} a_ {k} x ^ {k}}$

${\ Displaystyle 1 = \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} a_ {k} x ^ {k + 2} - \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} a_ {k} x ^ { k + 1} +2 \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} a_ {k} x ^ {k}.}$

Después de ajustar los índices de las sumas para obtener las mismas potencias de x , obtenemos

${\ Displaystyle 1 = \ sum _ {k = 2} ^ {\ infty} a_ {k-2} x ^ {k} - \ sum _ {k = 1} ^ {\ infty} a_ {k-1} x ^ {k} +2 \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} a_ {k} x ^ {k}.}$

La combinación de términos semejantes da

${\ Displaystyle 1 = 2a_ {0} + (2a_ {1} -a_ {0}) x + \ sum _ {k = 2} ^ {\ infty} (a_ {k-2} -a_ {k-1} + 2a_ {k}) x ^ {k}.}$

Dado que esto es cierto para todo x en el radio de convergencia de la serie de Taylor original, podemos calcular de la siguiente manera. Dado que el término constante de la izquierda debe ser igual al término constante de la derecha, se deduce que

${\ displaystyle a_ {0} = {\ frac {1} {2}}.}$

Entonces, dado que no hay potencias de x a la izquierda, todos los coeficientes de la derecha deben ser cero, de lo cual se sigue que

${\ Displaystyle a_ {1} = {\ frac {1} {4}}}$

${\ Displaystyle a_ {k} = {\ frac {1} {2}} (a_ {k-1} -a_ {k-2}) \ quad {\ text {para}} \ k \ geq 2.}$

Por el contrario, cualquier secuencia que satisfaga una recurrencia lineal determina una función racional cuando se usa como coeficientes de una serie de Taylor. Esto es útil para resolver tales recurrencias, ya que al usar la descomposición de fracciones parciales podemos escribir cualquier función racional propia como una suma de factores de la forma 1 / ( ax + b ) y expandirlos como series geométricas , dando una fórmula explícita para Taylor coeficientes; este es el método de generar funciones .

Álgebra abstracta y noción geométrica

En álgebra abstracta, el concepto de polinomio se amplía para incluir expresiones formales en las que los coeficientes del polinomio se pueden tomar de cualquier campo . En esta configuración, dado un campo F y un X indeterminado , una expresión racional es cualquier elemento del campo de fracciones del anillo polinomial F [ X ]. Cualquier expresión racional se puede escribir como el cociente de dos polinomios P / Q con Q ≠ 0, aunque esta representación no es única. P / Q es equivalente a R / S , para polinomios P , Q , R y S , cuando PS = QR . Sin embargo, dado que F [ X ] es un dominio de factorización único , existe una representación única para cualquier expresión racional P / Q con polinomios P y Q de menor grado y Q elegido como mónico . Esto es similar a cómo una fracción de números enteros siempre se puede escribir de forma única en los términos más bajos cancelando los factores comunes.

El campo de expresiones racionales se denota F ( X ). Este campo se dice que es generado (como un campo) sobre F por (a elemento trascendental ) X , porque F ( X ) no contiene ningún subcampo adecuada que contiene tanto F y el elemento de X .

Funciones racionales complejas

• Julia establece para mapas racionales
• 

  ${\ Displaystyle {\ frac {1} {az ^ {5} + z ^ {3} + bz}}}$

• 

  ${\ Displaystyle {\ frac {1} {z ^ {3} + z (-3-3i)}}}$

• 

  ${\ Displaystyle {\ frac {z ^ {2} -0,2 + 0,7i} {z ^ {2} +0,917}}}$

• 

  ${\ Displaystyle {\ frac {z ^ {2}} {z ^ {9} -z + 0.025}}}$

En el análisis complejo , una función racional

${\ Displaystyle f (z) = {\ frac {P (z)} {Q (z)}}}$

es la razón de dos polinomios con coeficientes complejos, donde Q no es el polinomio cero y P y Q no tienen un factor común (esto evita que f tome el valor indeterminado 0/0).

El dominio de f es el conjunto de números complejos tal que y su rango es el conjunto de números complejos w tal que${\ Displaystyle Q (z) \ neq 0,}$${\ Displaystyle P (z) \ neq wQ (z).}$

Toda función racional puede extenderse naturalmente a una función cuyo dominio y rango son la esfera de Riemann completa ( línea proyectiva compleja ).

Las funciones racionales son ejemplos representativos de funciones meromórficas .

La iteración de funciones racionales (mapas) en la esfera de Riemann crea sistemas dinámicos discretos .

Noción de función racional en una variedad algebraica

Al igual que los polinomios , las expresiones racionales también se pueden generalizar en n indeterminados X ₁ , ..., X _n , tomando el campo de fracciones de F [ X ₁ , ..., X _n ], que se denota por F ( X ₁ , ..., X _n ).

En geometría algebraica se utiliza una versión ampliada de la idea abstracta de función racional. Allí, el campo de función de una variedad algebraica V se forma como el campo de fracciones del anillo de coordenadas de V (dicho más exactamente, de un conjunto abierto afín denso de Zariski en V ). Sus elementos f se consideran funciones regulares en el sentido de la geometría algebraica en conjuntos abiertos no vacíos U , y también pueden verse como morfismos de la línea proyectiva .

Aplicaciones

Las funciones racionales se utilizan en el análisis numérico para la interpolación y aproximación de funciones, por ejemplo, las aproximaciones de Padé introducidas por Henri Padé . Las aproximaciones en términos de funciones racionales son adecuadas para sistemas de álgebra computarizada y otro software numérico . Al igual que los polinomios, pueden evaluarse directamente y, al mismo tiempo, expresan un comportamiento más diverso que los polinomios.

Las funciones racionales se utilizan para aproximar o modelar ecuaciones más complejas en ciencia e ingeniería, incluidos campos y fuerzas en física, espectroscopia en química analítica, cinética enzimática en bioquímica, circuitos electrónicos, aerodinámica, concentraciones de medicamentos in vivo, funciones de onda para átomos y moléculas, óptica y fotografía para mejorar la resolución de la imagen, la acústica y el sonido.

En el procesamiento de señales , la transformada de Laplace (para sistemas continuos) o la transformada z (para sistemas de tiempo discreto) de la respuesta de impulso de sistemas lineales invariantes en el tiempo (filtros) de uso común con respuesta de impulso infinita son funciones racionales sobre números complejos .

Ver también

• Campo de fracciones
• Descomposición de fracción parcial
• Fracciones parciales en integración
• Campo funcional de una variedad algebraica
• Fracciones algebraicas  : una generalización de funciones racionales que permite tomar raíces enteras.

Referencias

• "Función racional" , Enciclopedia de las matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
• Presione, WH; Teukolsky, SA; Vetterling, WT; Flannery, BP (2007), "Sección 3.4. Interpolación y extrapolación de funciones racionales" , Recetas numéricas: El arte de la informática científica (3ª ed.), Nueva York: Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-88068-8

enlaces externos

• Visualización dinámica de funciones racionales con JSXGraph