Descomposición de fracción parcial - Partial fraction decomposition

En álgebra , la descomposición de la fracción parcial o la expansión de la fracción parcial de una fracción racional (es decir, una fracción tal que el numerador y el denominador son polinomios ) es una operación que consiste en expresar la fracción como una suma de un polinomio (posiblemente cero ) y una o varias fracciones con un denominador más simple.

La importancia de las mentiras descomposición en fracciones parciales en el hecho de que proporciona algoritmos para varios cálculos con funciones racionales , incluyendo el cálculo explícito de primitivas , desarrollos en serie de Taylor , inversa transformadas z , y transformadas inversas de Laplace . El concepto fue descubierto de forma independiente en 1702 por Johann Bernoulli y Gottfried Leibniz .

En símbolos, la descomposición en fracción parcial de una fracción racional de la forma donde f y g son polinomios, es su expresión como ${\ Displaystyle \ textstyle {\ frac {f (x)} {g (x)}},}$

${\ Displaystyle {\ frac {f (x)} {g (x)}} = p (x) + \ sum _ {j} {\ frac {f_ {j} (x)} {g_ {j} (x )}}}$

donde p ( x ) es un polinomio y, para cada j , el denominador g _j ( x ) es una potencia de un polinomio irreducible (que no se puede factorizar en polinomios de grados positivos), y el numerador f _j ( x ) es un polinomio de grado menor que el grado de este polinomio irreducible.

Cuando se trata de un cálculo explícito, a menudo se prefiere una descomposición más burda, que consiste en reemplazar "polinomio irreducible" por " polinomio libre de cuadrados " en la descripción del resultado. Esto permite reemplazar la factorización polinómica por la factorización libre de cuadrados mucho más fácil de calcular . Esto es suficiente para la mayoría de las aplicaciones y evita la introducción de coeficientes irracionales cuando los coeficientes de los polinomios de entrada son números enteros o racionales .

Principios básicos

Dejar

${\ Displaystyle R (x) = {\ frac {F} {G}}}$

ser una fracción racional , donde F y G son polinomios univariados en la x indeterminada . La existencia de la fracción parcial se puede demostrar aplicando inductivamente los siguientes pasos de reducción.

Parte polinomial

Existen dos polinomios E y F ₁ tales que

${\ Displaystyle {\ frac {F} {G}} = E + {\ frac {F_ {1}} {G}},}$

y

${\ Displaystyle \ deg F_ {1} <\ deg G,}$

donde denota el grado del polinomio P . ${\ Displaystyle \ deg P}$

Esto resulta inmediatamente de la división euclidiana de F por G , que afirma la existencia de E y F ₁ tal que y${\ Displaystyle F = EG + F_ {1}}$${\ Displaystyle \ deg F_ {1} <\ deg G.}$

Esto permite suponer en los siguientes pasos que ${\ Displaystyle \ deg F <\ deg G.}$

Factores del denominador

Si y ${\ Displaystyle \ deg F <\ deg G,}$

${\ Displaystyle G = G_ {1} G_ {2},}$

donde G ₁ y G ₂ son polinomios coprimos , entonces existen polinomios y tales que ${\ Displaystyle F_ {1}}$${\ Displaystyle F_ {2}}$

${\ Displaystyle {\ frac {F} {G}} = {\ frac {F_ {1}} {G_ {1}}} + {\ frac {F_ {2}} {G_ {2}}},}$

y

${\ Displaystyle \ deg F_ {1} <\ deg G_ {1} \ quad {\ text {y}} \ quad \ deg F_ {2} <\ deg G_ {2}.}$

Esto se puede probar de la siguiente manera. La identidad de Bézout afirma la existencia de polinomios C y D tales que

${\ displaystyle CG_ {1} + DG_ {2} = 1}$

(por hipótesis, 1 es el máximo común divisor de G ₁ y G ₂ ).

Sea con la división euclidiana de DF al establecer uno se obtiene ${\ Displaystyle DF = G_ {1} Q + F_ {1}}$${\ Displaystyle \ deg F_ {1} <\ deg G_ {1}}$${\ Displaystyle G_ {1}.}$${\ Displaystyle F_ {2} = CF + QG_ {2},}$

${\ Displaystyle {\ begin {alineado} {\ frac {F} {G}} & = {\ frac {F (CG_ {1} + DG_ {2})} {G_ {1} G_ {2}}} = {\ frac {DF} {G_ {1}}} + {\ frac {CF} {G_ {2}}} \\ & = {\ frac {F_ {1} + G_ {1} Q} {G_ {1 }}} + {\ frac {F_ {2} -G_ {2} Q} {G_ {2}}} \\ & = {\ frac {F_ {1}} {G_ {1}}} + {\ frac {F_ {2}} {G_ {2}}}. \ End {alineado}}}$

Queda por mostrar que al reducir al mismo denominador la última suma de fracciones, se obtiene y así ${\ Displaystyle \ deg F_ {2} <\ deg G_ {2}.}$${\ Displaystyle F = F_ {2} G_ {1} + F_ {1} G_ {2},}$

${\ Displaystyle {\ begin {alineado} \ deg F_ {2} & = \ deg (F-F_ {1} G_ {2}) - \ deg G_ {1} \ leq \ max (\ deg F, \ deg ( F_ {1} G_ {2})) - \ deg G_ {1} \\ & <\ max (\ deg G, \ deg (G_ {1} G_ {2})) - \ deg G_ {1} = \ deg G_ {2} \ end {alineado}}}$

Potencias en el denominador

El uso de la descomposición anterior inductivamente uno obtiene fracciones de la forma con donde G es un polinomio irreducible . Si k > 1 , se puede descomponer aún más, usando que un polinomio irreducible es un polinomio libre de cuadrados , es decir, es un máximo común divisor del polinomio y su derivada . Si es la derivada de G , la identidad de Bézout proporciona polinomios C y D tales que y, por lo tanto, La división euclidiana de `por da polinomios y tal que y Ajuste uno obtiene ${\ Displaystyle {\ frac {F} {G ^ {k}}},}$${\ Displaystyle \ deg F <\ deg G ^ {k} = k \ deg G,}$${\ Displaystyle 1}$${\ Displaystyle G '}$${\ Displaystyle CG + DG '= 1}$${\ Displaystyle F = FCG + FDG '.}$${\ displaystyle FDG '}$${\ Displaystyle G}$${\ Displaystyle H_ {k}}$${\ displaystyle Q}$${\ Displaystyle FDG '= QG + H_ {k}}$${\ Displaystyle \ deg H_ {k} <\ deg G.}$${\ Displaystyle F_ {k-1} = FC + Q,}$

${\ Displaystyle {\ frac {F} {G ^ {k}}} = {\ frac {H_ {k}} {G ^ {k}}} + {\ frac {F_ {k-1}} {G ^ {k-1}}},}$

con ${\ Displaystyle \ deg H_ {k} <\ deg G.}$

Iterar este proceso con en lugar de conduce eventualmente al siguiente teorema. ${\ Displaystyle {\ frac {F_ {k-1}} {G ^ {k-1}}}}$${\ Displaystyle {\ frac {F} {G ^ {k}}}}$

Declaración

La unicidad se puede demostrar de la siguiente manera. Sea d = max (1 + grados f , grados g ) . Todos juntos, by el a _ij tienen d coeficientes. La forma de la descomposición define un mapa lineal de vectores de coeficientes a polinomios f de grado menor que d . La prueba de existencia significa que este mapa es sobreyectivo . Como los dos espacios vectoriales tienen la misma dimensión, el mapa también es inyectivo , lo que significa unicidad de la descomposición. Por cierto, esta prueba induce un algoritmo para calcular la descomposición mediante álgebra lineal .

Si K es un campo de números complejos , el teorema fundamental del álgebra implica que todo p _i tiene grado uno y todos los numeradores son constantes. Cuando K es el campo de números reales , algunos de los p _i pueden ser cuadráticos, por lo que, en la descomposición de fracciones parciales, también pueden ocurrir cocientes de polinomios lineales por potencias de polinomios cuadráticos. ${\ Displaystyle a_ {ij}}$

En el teorema anterior, uno puede reemplazar "polinomios irreductibles distintos" por " polinomios coprimos por pares que son coprimos con su derivada". Por ejemplo, p _i pueden ser los factores de la factorización libre de cuadrados de g . Cuando K es el campo de los números racionales , como suele ser el caso en el álgebra computacional , esto permite reemplazar la factorización por el cálculo del máximo común divisor para calcular una descomposición de fracciones parciales.

Aplicación a la integración simbólica

Para el propósito de la integración simbólica , el resultado anterior puede refinarse en

Esto reduce el cálculo de la antiderivada de una función racional a la integración de la última suma, que se llama parte logarítmica , porque su antiderivada es una combinación lineal de logaritmos. De hecho, tenemos

${\ Displaystyle {\ frac {c_ {i1}} {p_ {i}}} = \ sum _ {\ alpha _ {j}: p_ {i} (\ alpha _ {j}) = 0} {\ frac { c_ {i1} (\ alpha _ {j})} {p '_ ​​{i} (\ alpha _ {j})}} {\ frac {1} {x- \ alpha _ {j}}}.}$

Hay varios métodos para calcular la descomposición anterior. El que es más simple de describir es probablemente el llamado método de Hermite . Como el grado de c _ij está limitado por el grado de p _i , y el grado de b es la diferencia de los grados de f y g (si esta diferencia no es negativa; de lo contrario, b = 0), se pueden escribir estas incógnitas polinomios como polinomios con coeficientes desconocidos. Reduciendo los dos miembros de la fórmula anterior al mismo denominador y escribiendo que los coeficientes de cada potencia de x son los mismos en los dos numeradores, se obtiene un sistema de ecuaciones lineales que se pueden resolver para obtener los valores deseados para los coeficientes desconocidos.

Procedimiento

Dados dos polinomios y , donde α _i son constantes distintas y grados  P  <  n , las fracciones parciales generalmente se obtienen suponiendo que ${\ Displaystyle P (x)}$${\ Displaystyle Q (x) = (x- \ alpha _ {1}) (x- \ alpha _ {2}) \ cdots (x- \ alpha _ {n})}$

${\ Displaystyle {\ frac {P (x)} {Q (x)}} = {\ frac {c_ {1}} {x- \ alpha _ {1}}} + {\ frac {c_ {2}} {x- \ alpha _ {2}}} + \ cdots + {\ frac {c_ {n}} {x- \ alpha _ {n}}}}$

y resolver las constantes c _i , por sustitución, igualando los coeficientes de términos que involucran las potencias de x , o de otra manera. (Esta es una variante del método de coeficientes indeterminados ).

Un cálculo más directo, que está fuertemente relacionado con la interpolación de Lagrange, consiste en escribir

${\ Displaystyle {\ frac {P (x)} {Q (x)}} = \ sum _ {i = 1} ^ {n} {\ frac {P (\ alpha _ {i})} {Q '( \ alpha _ {i})}} {\ frac {1} {(x- \ alpha _ {i})}}}$

donde es la derivada del polinomio . ${\ Displaystyle Q '}$${\ displaystyle Q}$

Este enfoque no tiene en cuenta varios otros casos, pero se puede modificar en consecuencia:

• Si entonces es necesario realizar la división euclidiana de P por Q , usando división polinomial larga , dando P ( x ) = E ( x ) Q ( x ) + R ( x ) con grados  R  <  n . Dividiendo por Q ( x ) esto da${\ Displaystyle \ deg P \ geqslant \ deg Q,}$

${\ Displaystyle {\ frac {P (x)} {Q (x)}} = E (x) + {\ frac {R (x)} {Q (x)}},}$

y luego busque fracciones parciales para la fracción restante (que por definición satisface grados  R  <grados  Q ).

• Si Q ( x ) contiene factores que son irreducibles en el campo dado, entonces el numerador N ( x ) de cada fracción parcial con tal factor F ( x ) en el denominador debe buscarse como un polinomio con grados  N  <grados  F , más que como una constante. Por ejemplo, tome la siguiente descomposición sobre R :

${\ displaystyle {\ frac {x ^ {2} +1} {(x + 2) (x-1) \ color {Blue} (x ^ {2} + x + 1)}} = {\ frac {a } {x + 2}} + {\ frac {b} {x-1}} + {\ frac {\ color {Verde oliva} cx + d} {\ color {Azul} x ^ {2} + x + 1} }.}$

• Suponga que Q ( x ) = ( x - α ) ^r S ( x ) y S ( α ) ≠ 0 , es decir, α es una raíz de Q ( x ) de multiplicidad r . En la descomposición de fracciones parciales, las r primeras potencias de ( x - α ) ocurrirán como denominadores de las fracciones parciales (posiblemente con un numerador cero). Por ejemplo, si S ( x ) = 1, la descomposición de la fracción parcial tiene la forma

${\ Displaystyle {\ frac {P (x)} {Q (x)}} = {\ frac {P (x)} {(x- \ alpha) ^ {r}}} = {\ frac {c_ {1 }} {x- \ alpha}} + {\ frac {c_ {2}} {(x- \ alpha) ^ {2}}} + \ cdots + {\ frac {c_ {r}} {(x- \ alpha) ^ {r}}}.}$

Ilustración

En una aplicación de ejemplo de este procedimiento, (3 x + 5) / (1 - 2 x ) ² se puede descomponer en la forma

${\ Displaystyle {\ frac {3x + 5} {(1-2x) ^ {2}}} = {\ frac {A} {(1-2x) ^ {2}}} + {\ frac {B} { (1-2x)}}.}$

Borrar denominadores muestra que 3 x + 5 = A + B (1 - 2 x ) . Al expandir e igualar los coeficientes de potencias de x se obtiene

5 = A + B y 3 x = –2 Bx

Al resolver este sistema de ecuaciones lineales para A y B se obtiene A = 13/2 y B = –3/2 . Por eso,

${\ displaystyle {\ frac {3x + 5} {(1-2x) ^ {2}}} = {\ frac {13/2} {(1-2x) ^ {2}}} + {\ frac {- 3/2} {(1-2x)}}.}$

Método de residuos

Sobre los números complejos, suponga que f ( x ) es una fracción racional propia y se puede descomponer en

${\ Displaystyle f (x) = \ sum _ {i} \ left ({\ frac {a_ {i1}} {x-x_ {i}}} + {\ frac {a_ {i2}} {(x-x_ {i}) ^ {2}}} + \ cdots + {\ frac {a_ {ik_ {i}}} {(x-x_ {i}) ^ {k_ {i}}}} \ derecha).}$

Dejar

${\ Displaystyle g_ {ij} (x) = (x-x_ {i}) ^ {j-1} f (x),}$

entonces, de acuerdo con la unicidad de la serie de Laurent , a _ij es el coeficiente del término ( x  -  x _i ) ⁻¹ en la expansión de Laurent de g _ij ( x ) sobre el punto x _i , es decir, su residuo

${\ Displaystyle a_ {ij} = \ operatorname {Res} (g_ {ij}, x_ {i}).}$

Esto viene dado directamente por la fórmula

${\ Displaystyle a_ {ij} = {\ frac {1} {(k_ {i} -j)!}} \ lim _ {x \ to x_ {i}} {\ frac {d ^ {k_ {i} - j}} {dx ^ {k_ {i} -j}}} \ left ((x-x_ {i}) ^ {k_ {i}} f (x) \ right),}$

o en el caso especial cuando x _i es una raíz simple,

${\ Displaystyle a_ {i1} = {\ frac {P (x_ {i})} {Q '(x_ {i})}},}$

cuando

${\ Displaystyle f (x) = {\ frac {P (x)} {Q (x)}}.}$

Sobre los reales

Las fracciones parciales se utilizan en el cálculo integral de variables reales para encontrar antiderivadas con valores reales de funciones racionales . La descomposición en fracciones parciales de funciones racionales reales también se usa para encontrar sus transformadas inversas de Laplace . Para aplicaciones de descomposición de fracciones parciales sobre los reales , consulte

• Aplicación a la integración simbólica , arriba
• Fracciones parciales en transformadas de Laplace

Resultado general

Sea f ( x ) cualquier función racional sobre los números reales . En otras palabras, suponga que existen funciones polinomiales reales p ( x ) yq ( x ) ≠ 0, tales que

${\ Displaystyle f (x) = {\ frac {p (x)} {q (x)}}}$

Al dividir tanto el numerador como el denominador por el coeficiente principal de q ( x ), podemos suponer sin pérdida de generalidad que q ( x ) es mónico . Por el teorema fundamental del álgebra , podemos escribir

${\ Displaystyle q (x) = (x-a_ {1}) ^ {j_ {1}} \ cdots (x-a_ {m}) ^ {j_ {m}} (x ^ {2} + b_ {1 } x + c_ {1}) ^ {k_ {1}} \ cdots (x ^ {2} + b_ {n} x + c_ {n}) ^ {k_ {n}}}$

donde a ₁ , ..., a _m , b ₁ , ..., b _n , c ₁ , ..., c _n son números reales con b _i ² - 4 c _i <0, y j ₁ , .. ., j _m , k ₁ , ..., k _n son números enteros positivos. Los términos ( x - a _i ) son los factores lineales de q ( x ) que corresponden a las raíces reales de q ( x ), y los términos ( x _i ² + b _i x + c _i ) son los factores cuadráticos irreductibles de q ( x ) que corresponden a pares de raíces conjugadas complejas de q ( x ).

Entonces, la descomposición de la fracción parcial de f ( x ) es la siguiente:

${\ Displaystyle f (x) = {\ frac {p (x)} {q (x)}} = P (x) + \ sum _ {i = 1} ^ {m} \ sum _ {r = 1} ^ {j_ {i}} {\ frac {A_ {ir}} {(x-a_ {i}) ^ {r}}} + \ sum _ {i = 1} ^ {n} \ sum _ {r = 1} ^ {k_ {i}} {\ frac {B_ {ir} x + C_ {ir}} {(x ^ {2} + b_ {i} x + c_ {i}) ^ {r}}}}$

Aquí, P ( x ) es un polinomio (posiblemente cero), y A _ir , B _ir y C _ir son constantes reales. Hay varias formas de encontrar las constantes.

El método más sencillo es multiplicar por el denominador común q ( x ). Entonces obtenemos una ecuación de polinomios cuyo lado izquierdo es simplemente p ( x ) y cuyo lado derecho tiene coeficientes que son expresiones lineales de las constantes A _ir , B _ir y C _ir . Dado que dos polinomios son iguales si y solo si sus coeficientes correspondientes son iguales, podemos igualar los coeficientes de términos semejantes. De esta forma se obtiene un sistema de ecuaciones lineales que siempre tiene una solución única. Esta solución se puede encontrar utilizando cualquiera de los métodos estándar de álgebra lineal . También se puede encontrar con límites (ver Ejemplo 5 ).

Ejemplos de

Ejemplo 1

${\ Displaystyle f (x) = {\ frac {1} {x ^ {2} + 2x-3}}}$

Aquí, el denominador se divide en dos factores lineales distintos:

${\ Displaystyle q (x) = x ^ {2} + 2x-3 = (x + 3) (x-1)}$

entonces tenemos la descomposición de la fracción parcial

${\ Displaystyle f (x) = {\ frac {1} {x ^ {2} + 2x-3}} = {\ frac {A} {x + 3}} + {\ frac {B} {x-1 }}}$

Multiplicar por el denominador en el lado izquierdo nos da la identidad polinomial

${\ Displaystyle 1 = A (x-1) + B (x + 3)}$

Sustituyendo x = −3 en esta ecuación da A = −1/4, y sustituyendo x = 1 da B = 1/4, de modo que

${\ Displaystyle f (x) = {\ frac {1} {x ^ {2} + 2x-3}} = {\ frac {1} {4}} \ left ({\ frac {-1} {x + 3}} + {\ frac {1} {x-1}} \ right)}$

Ejemplo 2

${\ Displaystyle f (x) = {\ frac {x ^ {3} +16} {x ^ {3} -4x ^ {2} + 8x}}}$

Después de una división larga , tenemos

${\ displaystyle f (x) = 1 + {\ frac {4x ^ {2} -8x + 16} {x ^ {3} -4x ^ {2} + 8x}} = 1 + {\ frac {4x ^ { 2} -8x + 16} {x (x ^ {2} -4x + 8)}}}$

El factor x ² - 4 x + 8 es irreducible sobre los reales, ya que su discriminante (−4) ²  - 4 × 8 = - 16 es negativo. Así, la descomposición de la fracción parcial sobre los reales tiene la forma

${\ displaystyle {\ frac {4x ^ {2} -8x + 16} {x (x ^ {2} -4x + 8)}} = {\ frac {A} {x}} + {\ frac {Bx + C} {x ^ {2} -4x + 8}}}$

Multiplicando a través de por x ³ - 4 x ² + 8 x , tenemos la identidad polinomio

${\ Displaystyle 4x ^ {2} -8x + 16 = A (x ^ {2} -4x + 8) + (Bx + C) x}$

Tomando x = 0, vemos que 16 = 8 A , entonces A = 2. Comparando los coeficientes x ² , vemos que 4 = A + B = 2 + B , entonces B = 2. Comparando coeficientes lineales, vemos que - 8 = −4 A + C = −8 + C , entonces C = 0. En total,

${\ Displaystyle f (x) = 1 + 2 \ left ({\ frac {1} {x}} + {\ frac {x} {x ^ {2} -4x + 8}} \ right)}$

La fracción se puede descomponer completamente usando números complejos . Según el teorema fundamental del álgebra, todo polinomio complejo de grado n tiene n raíces (complejas) (algunas de las cuales pueden repetirse). La segunda fracción se puede descomponer en:

${\ Displaystyle {\ frac {x} {x ^ {2} -4x + 8}} = {\ frac {D} {x- (2 + 2i)}} + {\ frac {E} {x- (2 -2i)}}}$

Multiplicar por el denominador da:

${\ Displaystyle x = D (x- (2-2i)) + E (x- (2 + 2i))}$

Al igualar los coeficientes de xy los coeficientes constantes (con respecto a x ) de ambos lados de esta ecuación, se obtiene un sistema de dos ecuaciones lineales en D y E , cuya solución es

${\ Displaystyle D = {\ frac {1 + i} {2i}} = {\ frac {1-i} {2}}, \ qquad E = {\ frac {1-i} {- 2i}} = { \ frac {1 + i} {2}}.}$

Así tenemos una descomposición completa:

${\ Displaystyle f (x) = {\ frac {x ^ {3} +16} {x ^ {3} -4x ^ {2} + 8x}} = 1 + {\ frac {2} {x}} + {\ frac {1-i} {x- (2 + 2i)}} + {\ frac {1 + i} {x- (2-2i)}}}$

También se pueden calcular directamente A , D y E con el método del residuo (ver también el ejemplo 4 a continuación).

Ejemplo 3

Este ejemplo ilustra casi todos los "trucos" que podríamos necesitar utilizar, salvo consultar un sistema de álgebra de computadora .

${\ Displaystyle f (x) = {\ frac {x ^ {9} -2x ^ {6} + 2x ^ {5} -7x ^ {4} + 13x ^ {3} -11x ^ {2} + 12x- 4} {x ^ {7} -3x ^ {6} + 5x ^ {5} -7x ^ {4} + 7x ^ {3} -5x ^ {2} + 3x-1}}}$

Después de una división larga y factorizar el denominador, tenemos

${\ displaystyle f (x) = x ^ {2} + 3x + 4 + {\ frac {2x ^ {6} -4x ^ {5} + 5x ^ {4} -3x ^ {3} + x ^ {2 } + 3x} {(x-1) ^ {3} (x ^ {2} +1) ^ {2}}}}$

La descomposición de la fracción parcial toma la forma

${\ Displaystyle {\ frac {2x ^ {6} -4x ^ {5} + 5x ^ {4} -3x ^ {3} + x ^ {2} + 3x} {(x-1) ^ {3} ( x ^ {2} +1) ^ {2}}} = {\ frac {A} {x-1}} + {\ frac {B} {(x-1) ^ {2}}} + {\ frac {C} {(x-1) ^ {3}}} + {\ frac {Dx + E} {x ^ {2} +1}} + {\ frac {Fx + G} {(x ^ {2} +1) ^ {2}}}.}$

Multiplicando por el denominador en el lado izquierdo tenemos la identidad polinomial

${\ displaystyle {\ begin {alineado} 2x ^ {6} -4x ^ {5} y + 5x ^ {4} -3x ^ {3} + x ^ {2} + 3x = \\ [4pt] & = A (x-1) ^ {2} (x ^ {2} +1) ^ {2} + B (x-1) (x ^ {2} +1) ^ {2} + C (x ^ {2} +1) ^ {2} + (Dx + E) (x-1) ^ {3} (x ^ {2} +1) + (Fx + G) (x-1) ^ {3} \ end {alineado }}}$

Ahora usamos diferentes valores de x para calcular los coeficientes:

${\ displaystyle {\ begin {cases} 4 = 4C & x = 1 \\ 2 + 2i = (Fi + G) (2 + 2i) & x = i \\ 0 = A-B + CEG & x = 0 \ end {cases}} }$

Resolviendo esto tenemos:

${\ displaystyle {\ begin {cases} C = 1 \\ F = 0, G = 1 \\ E = AB \ end {cases}}}$

Usando estos valores podemos escribir:

${\ displaystyle {\ begin {alineado} 2x ^ {6} -4x ^ {5} y + 5x ^ {4} -3x ^ {3} + x ^ {2} + 3x = \\ [4pt] & = A (x-1) ^ {2} (x ^ {2} +1) ^ {2} + B (x-1) (x ^ {2} +1) ^ {2} + (x ^ {2} + 1) ^ {2} + (Dx + (AB)) (x-1) ^ {3} (x ^ {2} +1) + (x-1) ^ {3} \\ [4pt] & = (A + D) x ^ {6} + (- A-3D) x ^ {5} + (2B + 4D + 1) x ^ {4} + (- 2B-4D + 1) x ^ {3} + (- A + 2B + 3D-1) x ^ {2} + (A-2B-D + 3) x \ end {alineado}}}$

Comparamos los coeficientes de x ⁶ y x ⁵ en ambos lados y tenemos:

${\ displaystyle {\ begin {cases} A + D = 2 \\ - A-3D = -4 \ end {cases}} \ quad \ Rightarrow \ quad A = D = 1.}$

Por lo tanto:

${\ Displaystyle 2x ^ {6} -4x ^ {5} + 5x ^ {4} -3x ^ {3} + x ^ {2} + 3x = 2x ^ {6} -4x ^ {5} + (2B + 5) x ^ {4} + (- 2B-3) x ^ {3} + (2B + 1) x ^ {2} + (- 2B + 3) x}$

lo que nos da B = 0. Por lo tanto, la descomposición de la fracción parcial está dada por:

${\ Displaystyle f (x) = x ^ {2} + 3x + 4 + {\ frac {1} {(x-1)}} + {\ frac {1} {(x-1) ^ {3}} } + {\ frac {x + 1} {x ^ {2} +1}} + {\ frac {1} {(x ^ {2} +1) ^ {2}}}.}$

Alternativamente, en lugar de expandirse, se pueden obtener otras dependencias lineales de los coeficientes calculando algunas derivadas en la identidad polinomial anterior. (Con este fin, recuerde que la derivada en x = a de ( x - a ) ^m p ( x ) desaparece si m > 1 y es solo p ( a ) para m = 1.) Por ejemplo, la primera derivada en x = 1 da ${\ Displaystyle x = 1, \ imath}$

${\ Displaystyle 2 \ cdot 6-4 \ cdot 5 + 5 \ cdot 4-3 \ cdot 3 + 2 + 3 = A \ cdot (0 + 0) + B \ cdot (4 + 0) + 8 + D \ cdot 0}$

eso es 8 = 4 B + 8 entonces B = 0.

Ejemplo 4 (método de residuos)

${\ Displaystyle f (z) = {\ frac {z ^ {2} -5} {(z ^ {2} -1) (z ^ {2} +1)}} = {\ frac {z ^ {2 } -5} {(z + 1) (z-1) (z + i) (zi)}}}$

Por tanto, f ( z ) se puede descomponer en funciones racionales cuyos denominadores son z +1, z −1, z + i, z −i. Como cada término es de potencia uno, −1, 1, - i y i son polos simples.

Por lo tanto, los residuos asociados con cada polo, dados por

${\ Displaystyle {\ frac {P (z_ {i})} {Q '(z_ {i})}} = {\ frac {z_ {i} ^ {2} -5} {4z_ {i} ^ {3 }}},}$

están

${\ Displaystyle 1, -1, {\ tfrac {3i} {2}}, - {\ tfrac {3i} {2}},}$

respectivamente, y

${\ Displaystyle f (z) = {\ frac {1} {z + 1}} - {\ frac {1} {z-1}} + {\ frac {3i} {2}} {\ frac {1} {z + i}} - {\ frac {3i} {2}} {\ frac {1} {zi}}.}$

Ejemplo 5 (método de límite)

Los límites se pueden usar para encontrar una descomposición de fracciones parciales. Considere el siguiente ejemplo:

${\ Displaystyle {\ frac {1} {x ^ {3} -1}}}$

Primero, factoriza el denominador que determina la descomposición:

${\ Displaystyle {\ frac {1} {x ^ {3} -1}} = {\ frac {1} {(x-1) (x ^ {2} + x + 1)}} = {\ frac { A} {x-1}} + {\ frac {Bx + C} {x ^ {2} + x + 1}}.}$

Multiplicando todo por , y tomando el límite cuando , obtenemos ${\ Displaystyle x-1}$${\ Displaystyle x \ to 1}$

${\ Displaystyle \ lim _ {x \ to 1} \ left ((x-1) \ left ({\ frac {A} {x-1}} + {\ frac {Bx + C} {x ^ {2} + x + 1}} \ right) \ right) = \ lim _ {x \ to 1} A + \ lim _ {x \ to 1} {\ frac {(x-1) (Bx + C)} {x ^ {2} + x + 1}} = A.}$

Por otra parte,

${\ Displaystyle \ lim _ {x \ to 1} {\ frac {(x-1)} {(x-1) (x ^ {2} + x + 1)}} = \ lim _ {x \ to 1 } {\ frac {1} {x ^ {2} + x + 1}} = {\ frac {1} {3}},}$

y por lo tanto:

${\ Displaystyle A = {\ frac {1} {3}}.}$

Multiplicando por xy tomando el límite cuando , tenemos ${\ Displaystyle x \ to \ infty}$

${\ Displaystyle \ lim _ {x \ to \ infty} x \ left ({\ frac {A} {x-1}} + {\ frac {Bx + C} {x ^ {2} + x + 1}} \ right) = \ lim _ {x \ to \ infty} {\ frac {Ax} {x-1}} + \ lim _ {x \ to \ infty} {\ frac {Bx ^ {2} + Cx} { x ^ {2} + x + 1}} = A + B,}$

y

${\ Displaystyle \ lim _ {x \ to \ infty} {\ frac {x} {(x-1) (x ^ {2} + x + 1)}} = 0.}$

Esto implica A + B = 0 y así . ${\ Displaystyle B = - {\ frac {1} {3}}}$

Para x = 0 , obtenemos y así . ${\ Displaystyle -1 = -A + C,}$${\ Displaystyle C = - {\ tfrac {2} {3}}}$

Poniendo todo junto, obtenemos la descomposición

${\ Displaystyle {\ frac {1} {x ^ {3} -1}} = {\ frac {1} {3}} \ left ({\ frac {1} {x-1}} + {\ frac { -x-2} {x ^ {2} + x + 1}} \ derecha).}$

Ejemplo 6 (integral)

Supongamos que tenemos la integral indefinida :

${\ Displaystyle \ int {\ frac {x ^ {4} + x ^ {3} + x ^ {2} +1} {x ^ {2} + x-2}} \, dx}$

Antes de realizar la descomposición, es obvio que debemos realizar la división larga polinomial y factorizar el denominador. Hacer esto resultaría en:

${\ Displaystyle \ int x ^ {2} +3 + {\ frac {-3x + 7} {(x + 2) (x-1)}} \, dx}$

Sobre esto, ahora podemos realizar una descomposición de fracciones parciales.

${\ Displaystyle \ int x ^ {2} +3 + {\ frac {-3x + 7} {(x + 2) (x-1)}} \, dx = \ int x ^ {2} +3+ { \ frac {A} {(x + 2)}} + {\ frac {B} {(x-1)}} \, dx}$

asi que:

${\ Displaystyle A (x-1) + B (x + 2) = - 3x + 7}$.

Al sustituir nuestros valores, en este caso, donde x = 1 para resolver B y x = -2 para resolver A, obtendremos:

${\ Displaystyle A = {\ frac {-13} {3}} \, B = {\ frac {4} {3}}}$

Conectar todo esto nuevamente a nuestra integral nos permite encontrar la respuesta:

${\ Displaystyle \ int x ^ {2} +3 + {\ frac {-13/3} {(x + 2)}} + {\ frac {4/3} {(x-1)}} \, dx = {\ frac {x ^ {3}} {3}} \ + 3x - {\ frac {13} {3}} \ ln (| x + 2 |) + {\ frac {4} {3}} \ ln (| x-1 |) + C}$

El papel del polinomio de Taylor

La descomposición en fracciones parciales de una función racional se puede relacionar con el teorema de Taylor de la siguiente manera. Dejar

${\ Displaystyle P (x), Q (x), A_ {1} (x), \ ldots, A_ {r} (x)}$

ser polinomios reales o complejos suponga que

${\ Displaystyle Q = \ prod _ {j = 1} ^ {r} (x- \ lambda _ {j}) ^ {\ nu _ {j}},}$

satisface

${\ Displaystyle \ deg A_ {1} <\ nu _ {1}, \ ldots, \ deg A_ {r} <\ nu _ {r}, \ quad {\ text {y}} \ quad \ deg (P) <\ deg (Q) = \ sum _ {j = 1} ^ {r} \ nu _ {j}.}$

También defina

${\ Displaystyle Q_ {i} = \ prod _ {j \ neq i} (x- \ lambda _ {j}) ^ {\ nu _ {j}} = {\ frac {Q} {(x- \ lambda _ {i}) ^ {\ nu _ {i}}}}, \ qquad 1 \ leqslant i \ leqslant r.}$

Entonces tenemos

${\ Displaystyle {\ frac {P} {Q}} = \ sum _ {j = 1} ^ {r} {\ frac {A_ {j}} {(x- \ lambda _ {j}) ^ {\ nu _ {j}}}}}$

si, y solo si, cada polinomio es el polinomio de Taylor de orden en el punto : ${\ Displaystyle A_ {i} (x)}$${\ Displaystyle {\ tfrac {P} {Q_ {i}}}}$${\ Displaystyle \ nu _ {i} -1}$${\ Displaystyle \ lambda _ {i}}$

${\ Displaystyle A_ {i} (x): = \ sum _ {k = 0} ^ {\ nu _ {i} -1} {\ frac {1} {k!}} \ left ({\ frac {P } {Q_ {i}}} \ right) ^ {(k)} (\ lambda _ {i}) \ (x- \ lambda _ {i}) ^ {k}.}$

El teorema de Taylor (en el caso real o complejo) proporciona una prueba de la existencia y unicidad de la descomposición de fracciones parciales y una caracterización de los coeficientes.

Bosquejo de la prueba

La descomposición de la fracción parcial anterior implica, para cada 1 ≤  i  ≤  r , una expansión polinomial

${\ Displaystyle {\ frac {P} {Q_ {i}}} = A_ {i} + O ((x- \ lambda _ {i}) ^ {\ nu _ {i}}), \ qquad {\ text {para}} x \ a \ lambda _ {i},}$

también lo es el polinomio de Taylor de , debido a la unicidad de la expansión polinomial de orden , y por suposición . ${\ Displaystyle A_ {i}}$${\ Displaystyle {\ tfrac {P} {Q_ {i}}}}$${\ Displaystyle \ nu _ {i} -1}$${\ Displaystyle \ deg A_ {i} <\ nu _ {i}}$

Por el contrario, si son los polinomios de Taylor, las expansiones anteriores en cada lugar , por lo tanto, también tenemos ${\ Displaystyle A_ {i}}$${\ Displaystyle \ lambda _ {i}}$

${\ Displaystyle P-Q_ {i} A_ {i} = O ((x- \ lambda _ {i}) ^ {\ nu _ {i}}), \ qquad {\ text {para}} x \ a \ lambda _ {i},}$

lo que implica que el polinomio es divisible por${\ Displaystyle P-Q_ {i} A_ {i}}$${\ Displaystyle (x- \ lambda _ {i}) ^ {\ nu _ {i}}.}$

Porque también es divisible por , por lo que ${\ Displaystyle j \ neq i, Q_ {j} A_ {j}}$${\ Displaystyle (x- \ lambda _ {i}) ^ {\ nu _ {i}}}$

${\ Displaystyle P- \ sum _ {j = 1} ^ {r} Q_ {j} A_ {j}}$

es divisible por . Ya que ${\ displaystyle Q}$

${\ Displaystyle \ deg \ left (P- \ sum _ {j = 1} ^ {r} Q_ {j} A_ {j} \ right) <\ deg (Q)}$

entonces tenemos

${\ Displaystyle P- \ sum _ {j = 1} ^ {r} Q_ {j} A_ {j} = 0,}$

y encontramos la descomposición de la fracción parcial dividiendo por . ${\ displaystyle Q}$

Fracciones de enteros

La idea de fracciones parciales se puede generalizar a otros dominios integrales , por ejemplo, el anillo de números enteros donde los números primos toman el papel de denominadores irreducibles. Por ejemplo:

${\ Displaystyle {\ frac {1} {18}} = {\ frac {1} {2}} - {\ frac {1} {3}} - {\ frac {1} {3 ^ {2}}} .}$

Notas

Referencias

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enlaces externos

• Weisstein, Eric W. "Descomposición de fracciones parciales" . MathWorld .
• Blake, Sam. "Fracciones parciales paso a paso" .
• Realiza descomposiciones de fracciones parciales con Scilab .