Polinomio mónico - Monic polynomial

En álgebra , un polinomio mónico es un polinomio de una sola variable (es decir, un polinomio univariante ) en el que el coeficiente principal (el coeficiente distinto de cero del grado más alto) es igual a 1. Por lo tanto, un polinomio mónico tiene la forma:

${\ Displaystyle x ^ {n} + c_ {n-1} x ^ {n-1} + \ cdots + c_ {2} x ^ {2} + c_ {1} x + c_ {0}}$

Polinomios univariados

Si un polinomio tiene solo un indeterminado ( polinomio univariante ), entonces los términos generalmente se escriben de mayor a menor grado ("potencias descendentes") o de menor a mayor grado ("potencias ascendentes"). Un polinomio univariado en x de grado n toma la forma general mostrada arriba, donde

c _n ≠ 0, c _{n −1} , ..., c ₂ , c ₁ y c ₀

son constantes, los coeficientes del polinomio.

Aquí el término c _n x ⁿ se denomina término principal y su coeficiente c _n el coeficiente principal ; si el coeficiente principal es 1 , el polinomio univariado se llama monico .

Propiedades

Multiplicativamente cerrado

El conjunto de todos los polinomios monicos (sobre un anillo A dado (unitario) y para una variable dada x ) se cierra mediante la multiplicación, ya que el producto de los términos principales de dos polinomios monicos es el término principal de su producto. Por lo tanto, los polinomios monicos forman un semigrupo multiplicativo del anillo polinomial A [ x ]. En realidad, dado que el polinomio constante 1 es monico, este semigrupo es incluso un monoide .

Parcialmente ordenado

La restricción de la relación de divisibilidad al conjunto de todos los polinomios monicos (sobre el anillo dado) es un orden parcial y, por lo tanto, convierte este conjunto en un poset . La razón es que si p ( x ) divide q ( x ) y q ( x ) divide p ( x ) para dos polinomios monic p y q , entonces p y q deben ser iguales. La propiedad correspondiente no es cierta para los polinomios en general, si el anillo contiene elementos invertibles distintos de 1.

Soluciones de ecuaciones polinomiales

En otros aspectos, las propiedades de los polinomios monic y de sus correspondientes monic ecuaciones polinómicas dependen crucialmente del anillo de coeficiente A . Si A es un campo , entonces cada polinomio p distinto de cero tiene exactamente un polinomio mónico asociado q : p dividido por su coeficiente principal. De esta manera, entonces, cualquier ecuación polinomial no trivial p ( x ) = 0 puede ser reemplazada por una ecuación mónica equivalente q ( x ) = 0. Por ejemplo, la ecuación general de segundo grado real

${\ Displaystyle \ ax ^ {2} + bx + c = 0}$(donde )${\ Displaystyle a \ neq 0}$

puede ser reemplazado por

${\ Displaystyle \ x ^ {2} + px + q = 0}$,

sustituyendo   p  =  b / a   y   q  =  c / a . Por tanto, la ecuación

${\ Displaystyle 2x ^ {2} + 3x + 1 = 0}$

es equivalente a la ecuación mónica

${\ displaystyle x ^ {2} + {\ frac {3} {2}} x + {\ frac {1} {2}} = 0.}$

La fórmula general de la solución cuadrática es entonces la forma ligeramente más simplificada de:

${\ Displaystyle x = {\ frac {1} {2}} \ left (-p \ pm {\ sqrt {p ^ {2} -4q}} \ right).}$

Integridad

Por otro lado, si el anillo de coeficientes no es un campo, existen diferencias más esenciales. Por ejemplo, una ecuación polinomial monica con coeficientes enteros no puede tener soluciones racionales que no sean números enteros. Por tanto, la ecuación

${\ Displaystyle \ 2x ^ {2} + 3x + 1 = 0}$

posiblemente podría tener alguna raíz racional, que no es un número entero (y, de paso, una de sus raíces es −1/2); mientras que las ecuaciones

${\ Displaystyle \ x ^ {2} + 5x + 6 = 0}$

y

${\ Displaystyle \ x ^ {2} + 7x + 8 = 0}$

solo puede tener soluciones enteras o soluciones irracionales .

Las raíces de polinomios mónicos con coeficientes enteros se llaman enteros algebraicos .

Las soluciones de ecuaciones polinomiales mónicas sobre un dominio integral son importantes en la teoría de extensiones integrales y dominios integralmente cerrados y, por tanto, para la teoría algebraica de números . En general, se supone que A es un dominio de integridad, y también un subanillo del dominio integral B . Considere el subconjunto C de B , que consta de esos elementos B , que satisfacen ecuaciones polinomiales mónicas sobre A :

${\ Displaystyle C: = \ {b \ en B: \ existe \, p (x) \ en A [x] \ ,, {\ hbox {que es monica y tal que}} p (b) = 0 \} \ ,.}$

El conjunto C contiene A , ya que cualquier a  ∈  A satisface la ecuación x  -  a  = 0. Además, es posible demostrar que C es cerrado bajo suma y multiplicación. Por lo tanto, C es un subanillo de B . El anillo C se llama [[cierre integral] de A en B ; o simplemente el cierre integral de A , si B es el campo de fracción de A ; y los elementos de C se dice que son integral sobre A . Si aquí (el anillo de los números enteros ) y (el campo de los números complejos ), entonces C es el anillo de los números enteros algebraicos . ${\ Displaystyle A = \ mathbb {Z}}$${\ Displaystyle B = \ mathbb {C}}$

Irreducibilidad

Si p es un número primo , el número de polinomios mónicos irreducibles de grado n sobre un campo finito con p elementos es igual a la función de conteo del collar . ${\ Displaystyle \ mathrm {GF} (p)}$ ${\ Displaystyle N_ {p} (n)}$

Si uno elimina la restricción de ser monic, este número se convierte en . ${\ Displaystyle (p-1) N_ {p} (n)}$

El número total de raíces de estos polinomios mónicos irreducibles es . Este es el número de elementos del campo (con elementos) que no pertenecen a ningún campo más pequeño. ${\ Displaystyle nN_ {p} (n)}$${\ Displaystyle \ mathrm {GF} (p ^ {n})}$${\ Displaystyle p ^ {n}}$

Para p = 2 , tales polinomios se usan comúnmente para generar secuencias binarias pseudoaleatorias .

Polinomios multivariados

Por lo general, el término mónica no se emplea para polinomios de varias variables. Sin embargo, un polinomio en varias variables puede considerarse como un polinomio solo en "la última" variable, pero los coeficientes son polinomios en las demás. Esto se puede hacer de varias formas, dependiendo de cuál de las variables se elija como "la última". Por ejemplo, el polinomio real

${\ Displaystyle \ p (x, y) = 2xy ^ {2} + x ^ {2} -y ^ {2} + 3x + 5y-8}$

es monica, considerada como un elemento en R [ y ] [ x ], es decir, como un polinomio univariante en la variable x , con coeficientes que a su vez son polinomios univariantes en y :

${\ Displaystyle p (x, y) = 1 \ cdot x ^ {2} + (2y ^ {2} +3) \ cdot x + (- y ^ {2} + 5y-8)}$;

pero p ( x , y ) no es monico como elemento en R [ x ] [ y ], ya que entonces el coeficiente de grado más alto (es decir, el coeficiente y ² ) es 2 x  - 1.

Existe una convención alternativa, que puede ser útil, por ejemplo, en contextos de base de Gröbner : un polinomio se llama monico, si su coeficiente principal (como polinomio multivariado) es 1. En otras palabras, suponga que p = p ( x ₁ , .. ., x _n ) es un polinomio distinto de cero en n variables, y que hay un orden monomial dado en el conjunto de todos los monomios ("monic") en estas variables, es decir, un orden total del monoide conmutativo libre generado por x ₁ , ..., x _n , con la unidad como elemento más bajo y respetando la multiplicación. En ese caso, este orden define un término más alto que no desaparece en p , y p puede llamarse mónico, si ese término tiene coeficiente uno.

Los "polinomios mónicos multivariados" según cualquiera de las definiciones comparten algunas propiedades con los polinomios mónicos "ordinarios" (univariados). En particular, el producto de polinomios monicos es nuevamente monico.

Ver también

• Polinomio cuadrático complejo

Citas

Referencias