Entero algebraico - Algebraic integer

En la teoría algebraica de números , un entero algebraico es un número complejo que es integral sobre los números enteros. Es decir, un entero algebraico es una raíz compleja de algún polinomio mónico (un polinomio cuyo coeficiente principal es 1) cuyos coeficientes son números enteros. El conjunto de todos los enteros algebraicos se cierra bajo suma, resta y multiplicación y, por lo tanto, es un subanillo conmutativo de los números complejos.

El anillo de los enteros de un campo de número de $K$ , denotado por $O K$ , es la intersección de $K$ y $A$ : también puede ser caracterizado como la máxima orden del campo $K$ . Cada entero algebraico pertenece al anillo de números enteros de algún campo numérico. Un número $α$ es un entero algebraico si y solo si el anillo $[$ $α$ $]$ se genera finitamente como un grupo abeliano , es decir, como un módulo- . ${\ Displaystyle \ mathbb {Z}}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {Z}}$

Definiciones

Las siguientes son definiciones equivalentes de un entero algebraico. Deje que $K$ sea un campo de número (es decir, una extensión finita de , el conjunto de los números racionales ), en otras palabras, $K$ $=$ $($ $θ$ $)$ para algún número algebraico $θ$ $\in$ por el teorema de elemento primitivo . ${\ Displaystyle \ mathbb {Q}}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {Q}}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {C}}$

$α \in K$ es un entero algebraico si existe un polinomio mónico ${\ Displaystyle \ mathbb {Z}}$ tal que $f (α) = 0$ .
$α \in K$ es un entero algebraico si el polinomio mónico mínimo de $α$ overestá en $[$ $x$ $]$ . ${\ Displaystyle \ mathbb {Q}}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {Z}}$
$α \in K$ es un entero algebraico si $[$ $α$ $]$ es un módulo-generado finitamente. ${\ Displaystyle \ mathbb {Z}}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {Z}}$
$alpha \in K$ es un número entero algebraico si existe un no-cero finitamente generado-submodule $M$ $\subset$ tal que $αM$ $\subseteq$ $M$ . ${\ Displaystyle \ mathbb {Z}}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {C}}$

Los enteros algebraicos son un caso especial de elementos integrales de una extensión de anillo. En particular, un entero algebraico es un elemento integral de una extensión finita ${\ Displaystyle \ mathbb {Q}}$ .

Ejemplos de

Los únicos enteros algebraicos que se encuentran en el conjunto de números racionales son los enteros. En otras palabras, la intersección de y $A$ es exactamente . El numero racional ${\ Displaystyle \ mathbb {Q}}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {Z}}$ $.mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output .sfrac.tion,.mw-parser-output .sfrac .tion{display:inline-block;vertical-align:-0.5em;font-size:85%;text-align:center}.mw-parser-output .sfrac .num,.mw-parser-output .sfrac .den{display:block;line-height:1em;margin:0 0.1em}.mw-parser-output .sfrac .den{border-top:1px solid}.mw-parser-output .sr-only{border:0;clip:rect(0,0,0,0);height:1px;margin:-1px;overflow:hidden;padding:0;position:absolute;width:1px} a/B$ no es un entero algebraico a menos que $b$ divida $a$ . Tenga en cuenta que el coeficiente principal del polinomio $bx - a$ es el número entero $b$ . Como otro caso especial, la raíz cuadrada de un entero no negativo $n$ es un entero algebraico, pero es irracional a menos que $n$ sea un cuadrado perfecto . ${\ Displaystyle {\ sqrt {n}}}$
Si $d$ es un número entero libre de cuadrados, entonces la extensión ) es un campo cuadrático de números racionales. El anillo de números enteros algebraicos $O$ $K$ contiene ya que es una raíz del polinomio mónico $x$ $2$ $-$ $d$ . Además, si $d$ $\equiv 1$ $mod$ $4$ , entonces el elemento también es un número entero algebraico. Satisface el polinomio $x$ $2$ $-$ $x$ $+$ ${\ Displaystyle K = \ mathbb {Q} ({\ sqrt {d}}}$ ${\ Displaystyle {\ sqrt {d}}}$ ${\ textstyle {\ frac {1} {2}} (1 + {\ sqrt {d}})}$ $1 / 4 (1 - d)$ donde el término constante $1 / 4 (1 - d)$ es un número entero. El anillo completo de números enteros es generado por o respectivamente. Consulte los números enteros cuadráticos para obtener más información. ${\ Displaystyle {\ sqrt {d}}}$ ${\ textstyle {\ frac {1} {2}} (1 + {\ sqrt {d}})}$
El anillo de enteros del campo ${\ Displaystyle \ mathbb {Q}}$ , $α = 3 \sqrt m$ , tiene la siguiente base integral , escribiendo $m = hk 2$ para dos enteros coprimos libres de cuadrados $h$ y $k$ :

{\ Displaystyle {\ begin {cases} 1, \ alpha, {\ dfrac {\ alpha ^ {2} \ pm k ^ {2} \ alpha + k ^ {2}} {3k}} & m \ equiv \ pm 1 {\ bmod {9}} \\ 1, \ alpha, {\ dfrac {\ alpha ^ {2}} {k}} & {\ text {de otro modo}} \ end {cases}}}

Si $ζ n$ es una raíz $n-$ ésima primitiva de la unidad , entonces el anillo de números enteros del campo ciclotómico $($ $ζ$ $n$ $)$ es precisamente $[$ $ζ$ $n$ $]$ . ${\ Displaystyle \ mathbb {Q}}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {Z}}$
Si $α$ es un entero algebraico, entonces $β = n \sqrt α$ es otro entero algebraico. Se obtiene un polinomio para $β$ sustituyendo $x n$ en el polinomio por $α$ .

No es un ejemplo

Si $P (x)$ es un polinomio primitivo que tiene número entero coeficientes pero no es mónico, y $P$ es irreducible sobre , entonces ninguno de las raíces de $P$ son números enteros algebraicas (pero son números algebraicos ). Aquí se usa primitivo en el sentido de que el factor común más alto del conjunto de coeficientes de $P$ es 1; esto es más débil que exigir que los coeficientes sean primos relativos por pares. ${\ Displaystyle \ mathbb {Q}}$

Hechos

La suma, la diferencia y el producto de dos números enteros algebraicos es un número entero algebraico. En general, su cociente no lo es. El polinomio mónico involucrado es generalmente de mayor grado que los de los enteros algebraicos originales y se puede encontrar tomando resultantes y factorizando. Por ejemplo, si $x 2 - x - 1 = 0$ , $y 3 - y - 1 = 0$ y $z = xy$ , a continuación, la eliminación de $x$ y $y$ de $z - xy = 0$ y los polinomios satisfechas por $x$ y $y$ utilizando el resultante da $z 6 - 3 z 4 - 4 z 3 + z 2 + z - 1 = 0$ , que es irreducible, y es la ecuación mónica satisfecha por el producto. (Para ver que $xy$ es una raíz del resultado $x$ de $z - xy$ y $x 2 - x - 1$ , se podría usar el hecho de que el resultante está contenido en el ideal generado por sus dos polinomios de entrada).
Cualquier número construible a partir de enteros con raíces, suma y multiplicación es, por tanto, un entero algebraico; pero no todos los enteros algebraicos son tan construibles: en un sentido ingenuo, la mayoría de las raíces de las quínticas irreductibles no lo son. Este es el teorema de Abel-Ruffini .
Cada raíz de un polinomio mónico cuyos coeficientes son números enteros algebraicos es en sí misma un entero algebraico. En otras palabras, los enteros algebraicos forman un anillo que está integralmente cerrado en cualquiera de sus extensiones.
El anillo de enteros algebraicos es un dominio de Bézout , como consecuencia del teorema del ideal principal .
Si el polinomio mónico asociado con un entero algebraico tiene un término constante 1 o -1, entonces el recíproco de ese entero algebraico también es un entero algebraico, y es una unidad , un elemento del grupo de unidades del anillo de números enteros algebraicos.

Ver también

Referencias

^ Marcus, Daniel A. (1977). Campos numéricos (3ª ed.). Berlín, Nueva York: Springer-Verlag . ch. 2, pág. 38 y ex. 41. ISBN 978-0-387-90279-1.

Stein, W. Teoría algebraica de números: un enfoque computacional (PDF) .

[1] Marcus, Daniel A. (1977). Campos numéricos (3ª ed.). Berlín, Nueva York: Springer-Verlag . ch. 2, pág. 38 y ex. 41. ISBN 978-0-387-90279-1.

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