Grado de un polinomio - Degree of a polynomial

En matemáticas , el grado de un polinomio es el más alto de los grados de los monomios del polinomio (términos individuales) con coeficientes distintos de cero. El grado de un término es la suma de los exponentes de las variables que aparecen en él, por lo que es un número entero no negativo . Para un polinomio univariado , el grado del polinomio es simplemente el exponente más alto que ocurre en el polinomio. El término orden se ha utilizado como sinónimo de grado pero, hoy en día, puede referirse a varios otros conceptos (ver orden de un polinomio (desambiguación) ).

Por ejemplo, el polinomio que también se puede escribir tiene tres términos. El primer término tiene un grado de 5 (la suma de las potencias 2 y 3), el segundo término tiene un grado de 1 y el último término tiene un grado de 0. Por lo tanto, el polinomio tiene un grado de 5, que es el grado más alto de cualquier término.

Para determinar el grado de un polinomio que no está en forma estándar, como , uno puede ponerlo en forma estándar expandiendo los productos (por distributividad ) y combinando los términos similares; por ejemplo, es de grado 1, aunque cada sumando tiene grado 2. Sin embargo, esto no es necesario cuando el polinomio se escribe como un producto de polinomios en forma estándar, porque el grado de un producto es la suma de los grados del factores.

Nombres de polinomios por grado

Los siguientes nombres se asignan a los polinomios según su grado:

Para grados superiores, a veces se han propuesto nombres, pero rara vez se usan:

  • Grado 8 - óctica
  • Grado 9 - nonic
  • Grado 10 - decic

Los nombres para grados superiores a tres se basan en números ordinales latinos y terminan en -ic . Esto debe distinguirse de los nombres utilizados para el número de variables, el arity , que se basan en números distributivos latinos y terminan en -ary . Por ejemplo, un polinomio de grado dos en dos variables, como , se denomina "cuadrático binario": binario debido a dos variables, cuadrático debido al grado dos. También hay nombres para el número de términos, que también se basan en números distributivos latinos, que terminan en -nomial ; los comunes son monomial , binomial y (con menos frecuencia) trinomial ; por tanto, es un "binomio cuadrático binario".

Ejemplos de

El polinomio es un polinomio cúbico: después de multiplicar y recopilar términos del mismo grado, se convierte , con el exponente más alto, 3.

El polinomio es un polinomio quíntico: al combinar términos semejantes, los dos términos de grado 8 se cancelan, quedando , con el máximo exponente 5.

Comportamiento en operaciones polinomiales

El grado de la suma, el producto o la composición de dos polinomios está fuertemente relacionado con el grado de los polinomios de entrada.

Adición

El grado de la suma (o diferencia) de dos polinomios es menor o igual al mayor de sus grados; es decir,

y .

Por ejemplo, el grado de es 2 y 2 ≤ max {3, 3}.

La igualdad siempre se cumple cuando los grados de los polinomios son diferentes. Por ejemplo, el grado de es 3 y 3 = max {3, 2}.

Multiplicación

El grado del producto de un polinomio por un escalar distinto de cero es igual al grado del polinomio; es decir,

.

Por ejemplo, el grado de es 2, que es igual al grado de .

Así, el conjunto de polinomios (con coeficientes de un campo dado F ) cuyos grados son menores o iguales a un número dado n forma un espacio vectorial ; para obtener más información, consulte Ejemplos de espacios vectoriales .

De manera más general, el grado del producto de dos polinomios sobre un campo o un dominio integral es la suma de sus grados:

.

Por ejemplo, el grado de es 5 = 3 + 2.

Para polinomios sobre un anillo arbitrario , las reglas anteriores pueden no ser válidas debido a la cancelación que puede ocurrir al multiplicar dos constantes distintas de cero. Por ejemplo, en el anillo de números enteros módulo 4 , uno tiene eso , pero , que no es igual a la suma de los grados de los factores.

Composición

El grado de composición de dos polinomios no constantes y sobre un campo o dominio integral es el producto de sus grados:

.

Por ejemplo:

  • Si , entonces , que tiene grado 6.

Tenga en cuenta que para polinomios sobre un anillo arbitrario, esto no es necesariamente cierto. Por ejemplo, en , , pero .

Grado del polinomio cero

El grado del polinomio cero se deja indefinido o se define como negativo (generalmente -1 o ).

Como cualquier valor constante, el valor 0 se puede considerar como un polinomio (constante), llamado polinomio cero . No tiene términos distintos de cero, por lo que, estrictamente hablando, tampoco tiene grado. Como tal, su grado suele ser indefinido. Las proposiciones para el grado de sumas y productos de polinomios en la sección anterior no se aplican, si alguno de los polinomios involucrados es el polinomio cero.

Es conveniente, sin embargo, para definir el grado del polinomio cero a ser infinito negativo , y para introducir las reglas aritméticas

y

Estos ejemplos ilustran cómo esta extensión satisface las reglas de comportamiento anteriores:

  • El grado de la suma es 3. Esto satisface el comportamiento esperado, que es ese .
  • El grado de diferencia es . Esto satisface el comportamiento esperado, que es eso .
  • El grado del producto es . Esto satisface el comportamiento esperado, que es ese .

Calculado a partir de los valores de la función

Existen varias fórmulas que evaluarán el grado de una función polinomial f . Uno basado en el análisis asintótico es

;

esta es la contraparte exacta del método de estimación de la pendiente en una gráfica logarítmica .

Esta fórmula generaliza el concepto de grado a algunas funciones que no son polinomios. Por ejemplo:

La fórmula también da resultados sensibles para muchas combinaciones de tales funciones, por ejemplo, el grado de es .

Otra fórmula para calcular el grado de f a partir de sus valores es

;

esta segunda fórmula se sigue de aplicar la regla de L'Hôpital a la primera fórmula. Sin embargo, intuitivamente, se trata más de exhibir el grado d como el factor constante extra en la derivada de .

Se puede obtener una descripción más detallada (que un simple grado numérico) de las asintóticas de una función utilizando la notación O grande . En el análisis de algoritmos , por ejemplo, a menudo es relevante distinguir entre las tasas de crecimiento de y , que resultarían ambas con el mismo grado de acuerdo con las fórmulas anteriores.

Extensión a polinomios con dos o más variables

Para polinomios en dos o más variables, el grado de un término es la suma de los exponentes de las variables en el término; el grado (a veces llamado grado total ) del polinomio es nuevamente el máximo de los grados de todos los términos del polinomio. Por ejemplo, el polinomio x 2 y 2 + 3 x 3 + 4 y tiene grado 4, el mismo grado que el término x 2 y 2 .

Sin embargo, un polinomio en las variables x e y , es un polinomio en x con coeficientes que son polinomios en Y , y también un polinomio en y con coeficientes que son polinomios en x . El polinomio

tiene grado 3 en x y grado 2 en y .

Función de grado en álgebra abstracta

Dado un anillo R , el anillo de polinomios R [ x ] es el conjunto de todos los polinomios en x que tienen coeficientes en R . En el caso especial de que R también sea un campo , el anillo polinomial R [ x ] es un dominio ideal principal y, lo que es más importante para nuestra discusión aquí, un dominio euclidiano .

Se puede demostrar que el grado de un polinomio sobre un campo satisface todos los requisitos de la función norma en el dominio euclidiano. Es decir, dados dos polinomios f ( x ) y g ( x ), el grado del producto f ( x ) g ( x ) debe ser mayor que los grados de f y g individualmente. De hecho, algo más fuerte tiene:

Para ver un ejemplo de por qué la función de grado puede fallar en un anillo que no es un campo, tome el siguiente ejemplo. Sea R = , el anillo de números enteros módulo 4. Este anillo no es un campo (y ni siquiera es un dominio integral ) porque 2 × 2 = 4 ≡ 0 (mod 4). Por lo tanto, sea f ( x ) = g ( x ) = 2 x + 1. Entonces, f ( x ) g ( x ) = 4 x 2 + 4 x + 1 = 1. Por lo tanto, deg ( fg ) = 0 que no es mayor que los grados de f y g (que tenían cada uno un grado 1).

Dado que la función norma no está definida para el elemento cero del anillo, consideramos que el grado del polinomio f ( x ) = 0 también es indefinido, de modo que sigue las reglas de una norma en un dominio euclidiano.

Ver también

Notas

Referencias

enlaces externos