Función (matemáticas) -Function (mathematics)

En matemáticas , una función de un conjunto X a un conjunto Y asigna a cada elemento de X exactamente un elemento de Y. El conjunto X se llama dominio de la función y el conjunto Y se llama codominio de la función.

Las funciones fueron originalmente la idealización de cómo una cantidad variable depende de otra cantidad. Por ejemplo, la posición de un planeta es una función del tiempo. Históricamente , el concepto se elaboró ​​con el cálculo infinitesimal a finales del siglo XVII y, hasta el siglo XIX, las funciones que se consideraban eran diferenciables (es decir, tenían un alto grado de regularidad). El concepto de función se formalizó a finales del siglo XIX en términos de la teoría de conjuntos , y esto amplió enormemente los dominios de aplicación del concepto.

La mayoría de las veces, una función se denota con letras como f , g y h , y el valor de una función f en un elemento x de su dominio se denota con f ( x ) ; el valor numérico resultante de la evaluación de la función en un valor de entrada particular se denota reemplazando x con este valor; por ejemplo, el valor de f en x = 4 se denota por f (4) . Cuando la función no tiene nombre y está representada por una expresión E , el valor de la función en, digamos, x = 4 puede denotarse por E | x = 4 . Por ejemplo, el valor en 4 de la función que asigna x a puede ser denotado por (lo que da como resultado 25).

Una función está representada únicamente por el conjunto de todos los pares ( x , f  ( x )) , llamado el gráfico de la función , un medio popular para ilustrar la función. Cuando el dominio y el codominio son conjuntos de números reales, cada par puede considerarse como las coordenadas cartesianas de un punto en el plano.

Las funciones se utilizan ampliamente en ciencia , ingeniería y en la mayoría de los campos de las matemáticas. Se ha dicho que las funciones son "los objetos centrales de investigación" en la mayoría de los campos de las matemáticas.

Representación esquemática de una función descrita metafóricamente como una "máquina" o " caja negra " que para cada entrada produce una salida correspondiente
La curva roja es la gráfica de una función , porque cualquier línea vertical tiene exactamente un punto de cruce con la curva.
Una función que asocia cualquiera de las cuatro formas coloreadas a su color.

Definición

Diagrama de una función, con dominio X = {1, 2, 3} y codominio Y = {A, B, C, D} , que está definida por el conjunto de pares ordenados {(1, D), (2, C ), (3, C)} . La imagen/rango es el conjunto {C, D} .



Este diagrama, que representa el conjunto de pares {(1,D), (2,B), (2,C)} , no define una función. Una razón es que 2 es el primer elemento en más de un par ordenado, (2, B) y (2, C) , de este conjunto. Otras dos razones, también suficientes por sí mismas, es que ni 3 ni 4 son primeros elementos (entrada) de ningún par ordenado en ellos.

Una función de un conjunto X a un conjunto Y es una asignación de un elemento de Y a cada elemento de X. El conjunto X se llama dominio de la función y el conjunto Y se llama codominio de la función.

Una función, su dominio y su codominio se declaran mediante la notación f : XY , y el valor de una función f en un elemento x de X , denotado por f(x) , se denomina imagen de x bajo f , o el valor de f aplicado al argumento x .

Las funciones también se denominan mapas o mapeos , aunque algunos autores hacen alguna distinción entre "mapas" y "funciones" (ver § Otros términos ).

Dos funciones f y g son iguales si sus conjuntos de dominio y codominio son iguales y sus valores de salida concuerdan en todo el dominio. Más formalmente, dadas f : XY y g : XY , tenemos f = g si y solo si f ( x ) = g ( x ) para todo xX .

El dominio y el codominio no siempre se dan explícitamente cuando se define una función y, sin algún cálculo (posiblemente difícil), uno solo podría saber que el dominio está contenido en un conjunto más grande. Por lo general, esto ocurre en el análisis matemático , donde "una función de X a Y " a menudo se refiere a una función que puede tener un subconjunto propio de X como dominio. Por ejemplo, una "función de reales a reales" puede referirse a una función de valor real de una variable real . Sin embargo, una "función de los reales a los reales" no significa que el dominio de la función sea el conjunto completo de los números reales , sino que el dominio es un conjunto de números reales que contiene un intervalo abierto no vacío . Tal función se llama entonces función parcial . Por ejemplo, si f es una función que tiene los números reales como dominio y codominio, entonces una función que asigna el valor x al valor g ( x ) = 1/f ( x )es una función g de reales a reales, cuyo dominio es el conjunto de reales x , tal que f ( x ) ≠ 0 .

El rango o imagen de una función es el conjunto de las imágenes de todos los elementos del dominio.

Relación univalente total

Cualquier subconjunto del producto cartesiano de dos conjuntos X e Y define una relación binaria RX × Y entre estos dos conjuntos. Es inmediato que una relación arbitraria puede contener pares que violan las condiciones necesarias para una función dada arriba.

Una relación binaria es univalente (también llamada única por la derecha) si

Una relación binaria es total si

Una función parcial es una relación binaria que es univalente, y una función es una relación binaria que es univalente y total.

Varias propiedades de las funciones y la composición de funciones pueden reformularse en el lenguaje de las relaciones. Por ejemplo, una función es inyectiva si la relación inversa R TY × X es univalente, donde la relación inversa se define como R T = {( y , x ) | ( x , y ) ∈ R }.

Establecer exponenciación

El conjunto de todas las funciones de un conjunto a un conjunto se denota comúnmente como

que se lee en cuanto a la potencia .

Esta notación es la misma que la notación del producto cartesiano de una familia de copias indexadas por :

La identidad de estas dos notaciones está motivada por el hecho de que una función puede identificarse con el elemento del producto cartesiano tal que la componente de índice es .

Cuando tiene dos elementos, se denota comúnmente y se llama el conjunto potencia de X. Se puede identificar con el conjunto de todos los subconjuntos de , a través de la correspondencia biunívoca que asocia a cada subconjunto la función tal que si y en caso contrario.

Notación

Hay varias formas estándar para denotar funciones. La notación más utilizada es la notación funcional, que es la primera notación que se describe a continuación.

notación funcional

En notación funcional, a la función se le da inmediatamente un nombre, como f , y su definición viene dada por lo que f le hace al argumento explícito x , usando una fórmula en términos de x . Por ejemplo, la función que toma un número real como entrada y da salida a ese número más 1 se denota por

.

Si una función se define en esta notación, tanto su dominio como su codominio se toman implícitamente como , el conjunto de números reales. Si la fórmula no se puede evaluar en todos los números reales, implícitamente se considera que el dominio es el subconjunto máximo en el que se puede evaluar la fórmula; ver Dominio de una función .

Un ejemplo más complicado es la función

.

En este ejemplo, la función f toma un número real como entrada, lo eleva al cuadrado, luego suma 1 al resultado, luego toma el seno del resultado y devuelve el resultado final como salida.

Cuando el símbolo que denota la función consta de varios caracteres y no puede surgir ambigüedad, se pueden omitir los paréntesis de la notación funcional. Por ejemplo, es común escribir sin x en lugar de sin( x ) .

La notación funcional fue utilizada por primera vez por Leonhard Euler en 1734. Algunas funciones ampliamente utilizadas están representadas por un símbolo que consta de varias letras (generalmente dos o tres, generalmente una abreviatura de su nombre). En este caso, se suele utilizar un tipo romano , como " sin " para la función seno , en contraste con la fuente en cursiva para los símbolos de una sola letra.

Al usar esta notación, a menudo se encuentra con el abuso de la notación en la que la notación f ( x ) puede referirse al valor de f en x , o a la función misma. Si la variable x fue declarada previamente, entonces la notación f ( x ) sin ambigüedad significa el valor de f en x . De lo contrario, es útil entender la notación como ambas simultáneamente; esto permite denotar la composición de dos funciones f y g de manera sucinta mediante la notación f ( g ( x )) .

Sin embargo, distinguir f y f ( x ) puede volverse importante en los casos en que las propias funciones sirven como entradas para otras funciones. (Una función que toma otra función como entrada se denomina funcional ). Otros enfoques de funciones de notación, que se detallan a continuación, evitan este problema pero se usan con menos frecuencia.

Notación de flecha

La notación de flecha define la regla de una función en línea, sin necesidad de dar un nombre a la función. Por ejemplo, es la función que toma un número real como entrada y da salida a ese número más 1. De nuevo, está implícito un dominio y un codominio de.

El dominio y el codominio también se pueden indicar explícitamente, por ejemplo:

Esto define una función sqr de enteros a enteros que devuelve el cuadrado de su entrada.

Como una aplicación común de la notación de flecha, suponga que es una función de dos variables, y queremos referirnos a una función parcialmente aplicada producida al fijar el segundo argumento en el valor t 0 sin introducir un nuevo nombre de función. El mapa en cuestión se podría denotar usando la notación de flecha. La expresión (léase: "el mapa tomando x a f ( x , t 0 ) ") representa esta nueva función con un solo argumento, mientras que la expresión f ( x 0 , t 0 ) se refiere al valor de la función f en el punto ( x 0 , t 0 ) .

Notación de índice

La notación de índice se usa a menudo en lugar de la notación funcional. Es decir, en lugar de escribir f  ( x ) , uno escribe

Este suele ser el caso de las funciones cuyo dominio es el conjunto de los números naturales . Tal función se llama secuencia y, en este caso, el elemento se llama el n- ésimo elemento de la secuencia.

La notación de índice también se usa a menudo para distinguir algunas variables llamadas parámetros de las "variables verdaderas". De hecho, los parámetros son variables específicas que se consideran fijas durante el estudio de un problema. Por ejemplo, el mapa (ver arriba) se denotaría usando la notación de índice, si definimos la colección de mapas por la fórmula para todos .

notación de puntos

En la notación, el símbolo x no representa ningún valor, es simplemente un marcador de posición , lo que significa que, si x se reemplaza por cualquier valor a la izquierda de la flecha, debe reemplazarse por el mismo valor a la derecha de la flecha. Por lo tanto, x puede reemplazarse por cualquier símbolo, a menudo un interpunto " ". Esto puede ser útil para distinguir la función f  (⋅) de su valor f  ( x ) en x .

Por ejemplo, puede representar la función y puede representar una función definida por una integral con límite superior variable: .

notaciones especializadas

Hay otras notaciones especializadas para funciones en subdisciplinas de las matemáticas. Por ejemplo, en álgebra lineal y análisis funcional , las formas lineales y los vectores sobre los que actúan se denotan mediante un par dual para mostrar la dualidad subyacente . Esto es similar al uso de la notación bra-ket en la mecánica cuántica. En lógica y teoría de la computación , la notación de funciones del cálculo lambda se utiliza para expresar explícitamente las nociones básicas de abstracción y aplicación de funciones . En la teoría de categorías y el álgebra homológica , las redes de funciones se describen en términos de cómo ellas y sus composiciones conmutan entre sí utilizando diagramas conmutativos que amplían y generalizan la notación de flechas para las funciones descritas anteriormente.

Otros terminos

Término Distinción de "función"
Mapa/Mapeo Ninguno; los términos son sinónimos.
Un mapa puede tener cualquier conjunto como su codominio, mientras que, en algunos contextos, generalmente en libros antiguos, el codominio de una función es específicamente el conjunto de números reales o complejos .
Alternativamente, un mapa se asocia con una estructura especial (por ejemplo, especificando explícitamente un codominio estructurado en su definición). Por ejemplo, un mapa lineal .
homomorfismo Una función entre dos estructuras del mismo tipo que conserva las operaciones de la estructura (por ejemplo, un homomorfismo de grupo ).
morfismo Una generalización de homomorfismos a cualquier categoría , incluso cuando los objetos de la categoría no son conjuntos (por ejemplo, un grupo define una categoría con un solo objeto, que tiene los elementos del grupo como morfismos; consulte Categoría (matemáticas) § Ejemplos de este ejemplo y otros similares).

Una función a menudo también se denomina mapa o mapeo , pero algunos autores hacen una distinción entre el término "mapa" y "función". Por ejemplo, el término "mapa" a menudo se reserva para una "función" con algún tipo de estructura especial (por ejemplo, mapas de variedades ). En particular , el mapa se usa a menudo en lugar del homomorfismo en aras de la concisión (p. ej., mapa lineal o mapa de G a H en lugar de homomorfismo de grupo de G a H ). Algunos autores reservan la palabra mapeo para el caso en que la estructura del codominio pertenezca explícitamente a la definición de la función.

Algunos autores, como Serge Lang , usan "función" solo para referirse a mapas para los cuales el codominio es un subconjunto de los números reales o complejos , y usan el término mapeo para funciones más generales.

En la teoría de los sistemas dinámicos , un mapa denota una función de evolución utilizada para crear sistemas dinámicos discretos . Véase también el mapa de Poincaré .

Cualquiera que sea la definición de mapa que se use, los términos relacionados como dominio , codominio , inyectiva , continua tienen el mismo significado que para una función.

Especificación de una función

Dada una función , por definición, a cada elemento del dominio de la función , le está asociado un único elemento, el valor de at . Hay varias formas de especificar o describir cómo se relaciona con , tanto explícita como implícitamente. A veces, un teorema o un axioma afirma la existencia de una función que tiene algunas propiedades, sin describirla con mayor precisión. A menudo, la especificación o descripción se conoce como la definición de la función .

Listando los valores de las funciones

En un conjunto finito, se puede definir una función enumerando los elementos del codominio que están asociados a los elementos del dominio. Por ejemplo, si , entonces se puede definir una función por

por una formula

Las funciones a menudo se definen mediante una fórmula que describe una combinación de operaciones aritméticas y funciones previamente definidas; tal fórmula permite calcular el valor de la función a partir del valor de cualquier elemento del dominio. Por ejemplo, en el ejemplo anterior, se puede definir mediante la fórmula , para .

Cuando una función se define de esta manera, la determinación de su dominio a veces es difícil. Si la fórmula que define la función contiene divisiones, los valores de la variable cuyo denominador es cero deben excluirse del dominio; así, para una función complicada, la determinación del dominio pasa por el cálculo de los ceros de las funciones auxiliares. De manera similar, si aparecen raíces cuadradas en la definición de una función del dominio, se incluye en el conjunto de valores de la variable para la cual los argumentos de las raíces cuadradas no son negativos.

Por ejemplo, define una función cuyo dominio es porque siempre es positivo si x es un número real. Por otro lado, define una función de los reales a los reales cuyo dominio se reduce al intervalo [−1, 1] . (En textos antiguos, dicho dominio se llamaba dominio de definición de la función).

Las funciones a menudo se clasifican por la naturaleza de las fórmulas que las definen:

  • Una función cuadrática es una función que se puede escribir donde a , b , c son constantes .
  • En términos más generales, una función polinomial es una función que se puede definir mediante una fórmula que involucra solo sumas, restas, multiplicaciones y exponenciaciones a números enteros no negativos. Por ejemplo, y
  • Una función racional es la misma, pero también se permiten divisiones, como y
  • Una función algebraica es lo mismo, pero también se permiten raíces enésimas y raíces de polinomios .
  • Una función elemental es lo mismo, con logaritmos y funciones exponenciales permitidas.

Funciones inversas e implícitas

Una función con dominio X y codominio Y , es biyectiva , si para cada y en Y , existe un único elemento x en X tal que y = f ( x ) . En este caso, la función inversa de f es la función que corresponde al elemento tal que y = f ( x ) . Por ejemplo, el logaritmo natural es una función biyectiva de los números reales positivos a los números reales. Por lo tanto, tiene una función inversa, llamada función exponencial , que asigna los números reales a los números positivos.

Si una función no es biyectiva, puede ocurrir que uno pueda seleccionar subconjuntos y tal que la restricción de f a E sea una biyección de E a F y, por lo tanto, tenga una inversa. Las funciones trigonométricas inversas se definen de esta manera. Por ejemplo, la función coseno induce, por restricción, una biyección del intervalo [0, π ] al intervalo [−1, 1] , y su función inversa, llamada arcocoseno , asigna [−1, 1] a [0, π ] . Las otras funciones trigonométricas inversas se definen de manera similar.

De manera más general, dada una relación binaria R entre dos conjuntos X e Y , sea E un subconjunto de X tal que, para todo, hay algo tal que x R y . Si uno tiene un criterio que permite seleccionar tal y para cada esto define una función llamada función implícita , porque está implícitamente definida por la relación R.

Por ejemplo, la ecuación del círculo unitario define una relación sobre números reales. Si −1 < x < 1 hay dos posibles valores de y , uno positivo y otro negativo. Para x = ± 1 , estos dos valores se vuelven ambos iguales a 0. De lo contrario, no hay valor posible de y . Esto significa que la ecuación define dos funciones implícitas con dominio [−1, 1] y codominios respectivos [0, +∞) y (−∞, 0] .

En este ejemplo, la ecuación se puede resolver en y , pero, en ejemplos más complicados, esto es imposible. Por ejemplo, la relación define y como una función implícita de x , llamada radical Bring , que tiene como dominio y rango. El radical Bring no se puede expresar en términos de las cuatro operaciones aritméticas y las raíces enésimas .

El teorema de la función implícita proporciona condiciones leves de diferenciabilidad para la existencia y unicidad de una función implícita en la vecindad de un punto.

Usando cálculo diferencial

Muchas funciones se pueden definir como la antiderivada de otra función. Este es el caso del logaritmo natural , que es la antiderivada de 1/ x que vale 0 para x = 1 . Otro ejemplo común es la función de error .

De manera más general, muchas funciones, incluidas la mayoría de las funciones especiales , se pueden definir como soluciones de ecuaciones diferenciales . El ejemplo más simple es probablemente la función exponencial , que se puede definir como la única función que es igual a su derivada y toma el valor 1 para x = 0 .

Las series de potencias se pueden utilizar para definir funciones en el dominio en el que convergen. Por ejemplo, la función exponencial viene dada por . Sin embargo, como los coeficientes de una serie son bastante arbitrarios, una función que es la suma de una serie convergente generalmente se define de otra manera, y la secuencia de los coeficientes es el resultado de algún cálculo basado en otra definición. Entonces, la serie de potencias se puede utilizar para ampliar el dominio de la función. Normalmente, si una función para una variable real es la suma de su serie de Taylor en algún intervalo, esta serie de potencias permite inmediatamente ampliar el dominio a un subconjunto de los números complejos , el disco de convergencia de la serie. Luego, la continuación analítica permite ampliar aún más el dominio para incluir casi todo el plano complejo . Este proceso es el método que generalmente se usa para definir el logaritmo , la exponencial y las funciones trigonométricas de un número complejo.

Por recurrencia

Las funciones cuyo dominio son los números enteros no negativos, conocidas como secuencias , a menudo se definen mediante relaciones de recurrencia .

La función factorial sobre los enteros no negativos ( ) es un ejemplo básico, ya que puede definirse mediante la relación de recurrencia

y la condición inicial

Representando una función

Un gráfico se usa comúnmente para dar una imagen intuitiva de una función. Como ejemplo de cómo un gráfico ayuda a comprender una función, es fácil ver en su gráfico si una función es creciente o decreciente. Algunas funciones también pueden representarse mediante gráficos de barras .

Gráficas y diagramas

La función que se asigna cada año a su recuento de muertes de vehículos motorizados en EE. UU., que se muestra como un gráfico de líneas
La misma función, mostrada como un gráfico de barras

Dada una función, su gráfica es, formalmente, el conjunto

En el caso frecuente en que X e Y son subconjuntos de los números reales (o pueden identificarse con dichos subconjuntos, por ejemplo, intervalos ), un elemento puede identificarse con un punto que tiene coordenadas x , y en un sistema de coordenadas bidimensional, por ejemplo, el plano cartesiano . Partes de esto pueden crear una gráfica que represente (partes de) la función. El uso de gráficas es tan omnipresente que también se les llama la gráfica de la función . Las representaciones gráficas de funciones también son posibles en otros sistemas de coordenadas. Por ejemplo, la gráfica de la función cuadrada

que consta de todos los puntos con coordenadas para rendimientos, cuando se representa en coordenadas cartesianas, la conocida parábola . Si la misma función cuadrática con el mismo gráfico formal, que consta de pares de números, se representa en coordenadas polares , el gráfico obtenido es la espiral de Fermat .

Mesas

Una función se puede representar como una tabla de valores. Si el dominio de una función es finito, entonces la función puede especificarse completamente de esta manera. Por ejemplo, la función de multiplicación definida como puede representarse mediante la conocida tabla de multiplicar

y
X
1 2 3 4 5
1 1 2 3 4 5
2 2 4 6 8 10
3 3 6 9 12 15
4 4 8 12 dieciséis 20
5 5 10 15 20 25

Por otro lado, si el dominio de una función es continuo, una tabla puede dar los valores de la función en valores específicos del dominio. Si se necesita un valor intermedio, se puede utilizar la interpolación para estimar el valor de la función. Por ejemplo, una parte de una tabla para la función seno se puede dar de la siguiente manera, con valores redondeados a 6 decimales:

X pecado x
1.289 0.960557
1.290 0.960835
1.291 0.961112
1.292 0.961387
1.293 0.961662

Antes de la llegada de las calculadoras portátiles y las computadoras personales, estas tablas a menudo se compilaban y publicaban para funciones como logaritmos y funciones trigonométricas.

Gráfico de barras

Los gráficos de barras se utilizan a menudo para representar funciones cuyo dominio es un conjunto finito, los números naturales o los números enteros . En este caso, un elemento x del dominio está representado por un intervalo del eje x , y el valor correspondiente de la función, f ( x ) , está representado por un rectángulo cuya base es el intervalo correspondiente a x y cuya altura es f ( x ) (posiblemente negativa, en cuyo caso la barra se extiende por debajo del eje x ).

Propiedades generales

Esta sección describe las propiedades generales de las funciones, que son independientes de las propiedades específicas del dominio y el codominio.

Funciones estándar

Hay una serie de funciones estándar que ocurren con frecuencia:

  • Para todo conjunto X , existe una función única, llamada función vacía , omapavacío, delconjunto vacíoaX. La gráfica de una función vacía es el conjunto vacío. La existencia de funciones vacías es necesaria tanto para la coherencia de la teoría como para evitar excepciones relativas al conjunto vacío en muchos enunciados. Según la definición habitual de la teoría de conjuntos de una función como untriplete ordenado(o equivalentes), hay exactamente una función vacía para cada conjunto, por lo que la función vacíano es igual asi y solo si, aunque sus gráficos son ambosvacíosestablecer_
  • Para cada conjunto X y cada conjunto singleton { s } , hay una función única de X a { s } , que mapea cada elemento de X a s . Esta es una sobreyección (ver más abajo) a menos que X sea el conjunto vacío.
  • Dada una función, la sobreyección canónica de f sobre su imagen es la función de X a f ( X ) que mapea x a f ( x ) .
  • Para cada subconjunto A de un conjunto X , el mapa de inclusión de A en X es la función inyectiva (ver más abajo) que mapea cada elemento de A a sí mismo.
  • La función de identidad en un conjunto X , a menudo denotada por id X , es la inclusión de X en sí mismo.

Composición de funciones

Dadas dos funciones y tales que el dominio de g es el codominio de f , su composición es la función definida por

Es decir, el valor de se obtiene aplicando primero f a x para obtener y = f ( x ) y luego aplicando g al resultado y para obtener g ( y ) = g ( f ( x )) . En la notación, la función que se aplica primero siempre se escribe a la derecha.

La composición es una operación sobre funciones que se define sólo si el codominio de la primera función es el dominio de la segunda. Incluso cuando ambas y satisfacen estas condiciones, la composición no es necesariamente conmutativa , es decir, las funciones y no tienen por qué ser iguales, sino que pueden entregar valores diferentes para el mismo argumento. Por ejemplo, sea f ( x ) = x 2 y g ( x ) = x + 1 , luego y de acuerdo solo para

La función composición es asociativa en el sentido de que, si uno de y está definido, entonces el otro también está definido, y son iguales. Así, uno escribe

Las funciones identidad y son respectivamente una identidad por la derecha y una identidad por la izquierda para las funciones de X a Y. Es decir, si f es una función con dominio X y codominio Y , se tiene

Imagen y preimagen

Sea La imagen bajo f de un elemento x del dominio X es f ( x ) . Si A es cualquier subconjunto de X , entonces la imagen de A bajo f , denotada por f ( A ) , es el subconjunto del codominio Y que consta de todas las imágenes de los elementos de A , es decir,

La imagen de f es la imagen de todo el dominio, es decir, f ( X ) . También se le llama rango de f , aunque el término rango también puede referirse al codominio.

Por otro lado, la imagen inversa o preimagen bajo f de un elemento y del codominio Y es el conjunto de todos los elementos del dominio X cuyas imágenes bajo f son iguales a y . En símbolos, la preimagen de y se denota y viene dada por la ecuación

Asimismo, la preimagen de un subconjunto B del codominio Y es el conjunto de las preimágenes de los elementos de B , es decir, es el subconjunto del dominio X formado por todos los elementos de X cuyas imágenes pertenecen a B. Se denota por y viene dada por la ecuación

Por ejemplo, la preimagen de debajo de la función cuadrada es el conjunto .

Por definición de función, la imagen de un elemento x del dominio es siempre un único elemento del codominio. Sin embargo, la preimagen de un elemento y del codominio puede estar vacía o contener cualquier número de elementos. Por ejemplo, si f es la función de los enteros a sí mismos que mapea cada entero a 0, entonces .

Si es una función, A y B son subconjuntos de X , y C y D son subconjuntos de Y , entonces uno tiene las siguientes propiedades:

La preimagen por f de un elemento y del codominio a veces se llama, en algunos contextos, la fibra de y bajo f .

Si una función f tiene una inversa (ver más abajo), esta inversa se denota. En este caso, puede denotar la imagen por o la preimagen por f de C . Esto no es un problema, ya que estos conjuntos son iguales. La notación y puede ser ambigua en el caso de conjuntos que contienen algunos subconjuntos como elementos, como En este caso, puede ser necesario tener cuidado, por ejemplo, usando corchetes para imágenes y preimágenes de subconjuntos y paréntesis ordinarios para imágenes y preimágenes de elementos

Funciones inyectivas, sobreyectivas y biyectivas

Sea una función.

La función f es inyectiva (o uno a uno , o es una inyección ) si f ( a ) ≠ f ( b ) para dos elementos diferentes a y b de X. De manera equivalente, f es inyectiva si y solo si, para cualquiera, la preimagen contiene como máximo un elemento. Una función vacía siempre es inyectiva. Si X no es el conjunto vacío, entonces f es inyectiva si y solo si existe una función tal que es, si f tiene inversa por la izquierda . Prueba : si f es inyectiva, para definir g , uno elige un elemento en X (que existe ya que se supone que X no está vacío), y uno define g por si y si Por el contrario, si y entonces y así

La función f es sobreyectiva (o sobre , o es sobreyectiva ) si su recorrido es igual a su codominio , es decir, si para cada elemento del codominio existe algún elemento del dominio tal que (es decir, la preimagen de cada uno no está vacío). Si, como es habitual en las matemáticas modernas, se asume el axioma de elección , entonces f es sobreyectiva si y sólo si existe una función tal que es decir, si f tiene inversa a la derecha . Se necesita el axioma de elección porque, si f es sobreyectiva, se define g por donde es un elemento elegido arbitrariamente de

La función f es biyectiva (o es una biyección o una correspondencia uno a uno ) si es tanto inyectiva como sobreyectiva. Es decir, f es biyectiva si, para cualquiera, la preimagen contiene exactamente un elemento. La función f es biyectiva si y sólo si admite una función inversa , es decir, una función tal que y (Al contrario que en el caso de las sobreyecciones, esto no requiere el axioma de elección; la demostración es sencilla).

Cada función se puede factorizar como la composición de una sobreyección seguida de una inyección, donde s es la sobreyección canónica de X sobre f ( X ) y i es la inyección canónica de f ( X ) sobre Y. Esta es la factorización canónica de f .

"Uno a uno" y "sobre" son términos que eran más comunes en la literatura inglesa más antigua; "inyectiva", "sobreyectiva" y "biyectiva" fueron acuñadas originalmente como palabras francesas en el segundo cuarto del siglo XX por el grupo Bourbaki e importadas al inglés. Como advertencia, "una función uno a uno" es una que es inyectiva, mientras que una "correspondencia uno a uno" se refiere a una función biyectiva. Además, la declaración " f asigna X a Y " difiere de " f asigna X a B ", en que la primera implica que f es sobreyectiva, mientras que la segunda no hace ninguna afirmación sobre la naturaleza de f . En un razonamiento complicado, la diferencia de una letra puede pasarse por alto fácilmente. Debido a la naturaleza confusa de esta terminología más antigua, estos términos han perdido popularidad en relación con los términos bourbakianos, que también tienen la ventaja de ser más simétricos.

Restricción y extensión

Si es una función y S es un subconjunto de X , entonces la restricción de a S , denotada , es la función de S a Y definida por

para todo x en S . Las restricciones se pueden usar para definir funciones inversas parciales : si hay un subconjunto S del dominio de una función tal que es inyectivo, entonces la sobreyección canónica de sobre su imagen es una biyección y, por lo tanto, tiene una función inversa de a S . Una aplicación es la definición de funciones trigonométricas inversas . Por ejemplo, la función coseno es inyectiva cuando está restringida al intervalo [0, π ] . La imagen de esta restricción es el intervalo [−1, 1] , y por lo tanto la restricción tiene una función inversa de [−1, 1] a [0, π ] , que se llama arcocoseno y se denota arccos .

La restricción de funciones también se puede usar para "pegar" funciones juntas. Sea la descomposición de X como unión de subconjuntos, y supongamos que se define una función sobre cada uno tal que para cada par de índices, las restricciones de y to son iguales. Entonces esto define una función única tal que para todo i . Esta es la forma en que se definen las funciones en variedades .

Una extensión de una función f es una función g tal que f es una restricción de g . Un uso típico de este concepto es el proceso de continuación analítica , que permite extender funciones cuyo dominio es una pequeña parte del plano complejo a funciones cuyo dominio es casi todo el plano complejo.

Aquí hay otro ejemplo clásico de una extensión de función que se encuentra cuando se estudian homografías de la línea real . Una homografía es una función tal que adbc ≠ 0 . Su dominio es el conjunto de todos los números reales diferentes de y su imagen es el conjunto de todos los números reales diferentes de línea a sí misma configurando y .

Función multivariante

Una operación binaria es un ejemplo típico de una función bivariante que asigna a cada par el resultado .

Una función multivariante , o función de varias variables, es una función que depende de varios argumentos. Tales funciones se encuentran comúnmente. Por ejemplo, la posición de un automóvil en una carretera es una función del tiempo recorrido y su velocidad promedio.

Más formalmente, una función de n variables es una función cuyo dominio es un conjunto de n -tuplas. Por ejemplo, la multiplicación de enteros es una función de dos variables, o función bivariada , cuyo dominio es el conjunto de todos los pares (2-tuplas) de enteros, y cuyo codominio es el conjunto de enteros. Lo mismo es cierto para cada operación binaria . De manera más general, cada operación matemática se define como una función multivariante.

El producto cartesiano de n conjuntos es el conjunto de todas las n -tuplas tales que para cada i con . Por tanto, una función de n variables es una función

donde el dominio U tiene la forma

Cuando se usa la notación de función, generalmente se omite los paréntesis que rodean a las tuplas, escribiendo en lugar de

En el caso de que todos sean iguales al conjunto de los números reales , se tiene una función de varias variables reales . Si son iguales al conjunto de números complejos , se tiene una función de varias variables complejas .

Es común considerar también funciones cuyo codominio es un producto de conjuntos. Por ejemplo, la división euclidiana asigna cada par ( a , b ) de números enteros con b ≠ 0 a un par de números enteros llamados cociente y resto :

El codominio también puede ser un espacio vectorial . En este caso, se habla de una función vectorial . Si el dominio está contenido en un espacio euclidiano , o más generalmente en una variedad , una función con valores vectoriales a menudo se denomina campo vectorial .

en calculo

La idea de función, a partir del siglo XVII, fue fundamental para el nuevo cálculo infinitesimal . En ese momento, solo se consideraban las funciones de valor real de una variable real , y se suponía que todas las funciones eran uniformes . Pero la definición pronto se extendió a funciones de varias variables ya funciones de una variable compleja . En la segunda mitad del siglo XIX, se introdujo la definición matemáticamente rigurosa de una función y se definieron funciones con dominios y codominios arbitrarios.

Las funciones ahora se utilizan en todas las áreas de las matemáticas. En cálculo introductorio , cuando la palabra función se usa sin calificación, significa una función de valor real de una sola variable real. La definición más general de una función generalmente se presenta a estudiantes universitarios de segundo o tercer año con especializaciones en STEM , y en su último año se les presenta el cálculo en un entorno más amplio y riguroso en cursos como análisis real y análisis complejo .

Función real

Gráfica de una función lineal
Gráfico de una función polinomial, aquí una función cuadrática.
Gráfico de dos funciones trigonométricas: seno y coseno .

Una función real es una función de valor real de una variable real , es decir, una función cuyo codominio es el campo de los números reales y cuyo dominio es un conjunto de números reales que contiene un intervalo . En esta sección, estas funciones se denominan simplemente funciones .

Las funciones que se consideran más comúnmente en matemáticas y sus aplicaciones tienen cierta regularidad, es decir, son continuas , diferenciables e incluso analíticas . Esta regularidad asegura que estas funciones puedan ser visualizadas por sus gráficos . En esta sección, todas las funciones son diferenciables en algún intervalo.

Las funciones disfrutan de operaciones puntuales , es decir, si f y g son funciones, su suma, diferencia y producto son funciones definidas por

Los dominios de las funciones resultantes son la intersección de los dominios de f y g . El cociente de dos funciones se define de manera similar por

pero el dominio de la función resultante se obtiene quitando los ceros de g de la intersección de los dominios de f y g .

Las funciones polinómicas están definidas por polinomios , y su dominio es todo el conjunto de los números reales. Incluyen funciones constantes , funciones lineales y funciones cuadráticas . Las funciones racionales son cocientes de dos funciones polinómicas, y su dominio son los números reales con un número finito de ellos eliminado para evitar la división por cero . La función racional más simple es la función cuya gráfica es una hipérbola y cuyo dominio es toda la línea real excepto 0.

La derivada de una función diferenciable real es una función real. Una antiderivada de una función real continua es una función real que tiene la función original como derivada. Por ejemplo, la función es continua, e incluso diferenciable, en los números reales positivos. Así, una antiderivada, que toma el valor cero para x = 1 , es una función diferenciable llamada logaritmo natural .

Una función real f es monótona en un intervalo si el signo de no depende de la elección de x e y en el intervalo. Si la función es diferenciable en el intervalo, es monótona si el signo de la derivada es constante en el intervalo. Si una función real f es monótona en un intervalo I , tiene una función inversa , que es una función real con dominio f ( I ) e imagen I. Así es como las funciones trigonométricas inversas se definen en términos de funciones trigonométricas , donde las funciones trigonométricas son monótonas. Otro ejemplo: el logaritmo natural es monótono sobre los números reales positivos, y su imagen es la recta entera; por lo tanto tiene una función inversa que es una biyección entre los números reales y los números reales positivos. Esta inversa es la función exponencial .

Muchas otras funciones reales se definen por el teorema de la función implícita (la función inversa es un caso particular) o como soluciones de ecuaciones diferenciales . Por ejemplo, las funciones seno y coseno son las soluciones de la ecuación diferencial lineal

tal que

Función con valores vectoriales

Cuando los elementos del codominio de una función son vectores , se dice que la función es una función vectorial. Estas funciones son particularmente útiles en aplicaciones, por ejemplo, modelado de propiedades físicas. Por ejemplo, la función que asocia a cada punto de un fluido su vector velocidad es una función vectorial.

Algunas funciones con valores vectoriales se definen en un subconjunto de u otros espacios que comparten propiedades geométricas o topológicas de , como las variedades . Estas funciones con valores vectoriales reciben el nombre de campos vectoriales .

Espacio funcional

En el análisis matemático , y más específicamente en el análisis funcional , un espacio funcional es un conjunto de funciones con valores escalares o vectoriales , que comparten una propiedad específica y forman un espacio vectorial topológico . Por ejemplo, las funciones suaves reales con un soporte compacto (es decir, son cero fuera de algún conjunto compacto ) forman un espacio de funciones que está en la base de la teoría de las distribuciones .

Los espacios de funciones juegan un papel fundamental en el análisis matemático avanzado, al permitir el uso de sus propiedades algebraicas y topológicas para estudiar las propiedades de las funciones. Por ejemplo, todos los teoremas de existencia y unicidad de soluciones de ecuaciones diferenciales ordinarias o parciales resultan del estudio de espacios de funciones.

Funciones multivaluadas

Juntas, las dos raíces cuadradas de todos los números reales no negativos forman una sola curva suave.
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Varios métodos para especificar funciones de variables reales o complejas parten de una definición local de la función en un punto o en la vecindad de un punto, y luego extienden por continuidad la función a un dominio mucho más grande. Con frecuencia, para un punto de partida hay varios valores iniciales posibles para la función.

Por ejemplo, al definir la raíz cuadrada como la función inversa de la función cuadrada, para cualquier número real positivo hay dos opciones para el valor de la raíz cuadrada, una de las cuales es positiva y se denota y otra es negativa y se denota. Estas opciones defina dos funciones continuas, ambas con números reales no negativos como dominio y con números reales no negativos o no positivos como imágenes. Al mirar las gráficas de estas funciones, se puede ver que, juntas, forman una sola curva suave . Por lo tanto, a menudo es útil considerar estas dos funciones de raíz cuadrada como una sola función que tiene dos valores para x positiva, un valor para 0 y ningún valor para x negativa .

En el ejemplo anterior, una opción, la raíz cuadrada positiva, es más natural que la otra. Este no es el caso en general. Por ejemplo, consideremos la función implícita que asigna y a una raíz x de (ver la figura a la derecha). Para y = 0 se puede optar por x . Por el teorema de la función implícita , cada elección define una función; para el primero, el dominio (máximo) es el intervalo [−2, 2] y la imagen es [−1, 1] ; para el segundo, el dominio es [−2, ∞) y la imagen es [1, ∞) ; para el último, el dominio es (−∞, 2] y la imagen es (−∞, −1] . Como las tres gráficas juntas forman una curva suave, y no hay razón para preferir una opción, estas tres funciones son a menudo se considera como una sola función multivaluada de y que tiene tres valores para −2 < y < 2 , y solo un valor para y ≤ −2 y y ≥ −2 .

La utilidad del concepto de funciones multivaluadas es más clara cuando se consideran funciones complejas, típicamente funciones analíticas . El dominio al que puede extenderse una función compleja por continuación analítica consiste generalmente en casi todo el plano complejo . Sin embargo, cuando se extiende el dominio a través de dos rutas diferentes, a menudo se obtienen valores diferentes. Por ejemplo, al extender el dominio de la función raíz cuadrada, a lo largo de un camino de números complejos con partes imaginarias positivas, se obtiene i para la raíz cuadrada de −1; mientras que, al extenderse a través de números complejos con partes imaginarias negativas, se obtiene i . En general, hay dos formas de resolver el problema. Se puede definir una función que no sea continua a lo largo de alguna curva, llamada corte de rama . Tal función se llama el valor principal de la función. La otra forma es considerar que uno tiene una función multivaluada , que es analítica en todas partes excepto en singularidades aisladas, pero cuyo valor puede "saltar" si uno sigue un circuito cerrado alrededor de una singularidad. Este salto se llama monodromía .

En los fundamentos de las matemáticas y la teoría de conjuntos

La definición de función que se da en este artículo requiere del concepto de conjunto , ya que el dominio y el codominio de una función deben ser un conjunto. Esto no es un problema en las matemáticas habituales, ya que generalmente no es difícil considerar solo funciones cuyo dominio y codominio son conjuntos, que están bien definidos, incluso si el dominio no está definido explícitamente. Sin embargo, a veces es útil considerar funciones más generales.

Por ejemplo, el conjunto singleton puede considerarse como una función. Su dominio incluiría todos los conjuntos y, por lo tanto, no sería un conjunto. En las matemáticas habituales, se evita este tipo de problema especificando un dominio, lo que significa que se tienen muchas funciones singleton. Sin embargo, al establecer los fundamentos de las matemáticas, es posible que haya que utilizar funciones cuyo dominio, codominio o ambos no estén especificados, y algunos autores, a menudo lógicos, dan una definición precisa de estas funciones débilmente especificadas.

Estas funciones generalizadas pueden ser críticas en el desarrollo de una formalización de los fundamentos de las matemáticas . Por ejemplo, la teoría de conjuntos de Von Neumann-Bernays-Gödel es una extensión de la teoría de conjuntos en la que el conjunto de todos los conjuntos es una clase . Esta teoría incluye el axioma de reemplazo , que puede enunciarse como: Si X es un conjunto y F es una función, entonces F [ X ] es un conjunto.

en informática

En programación de computadoras , una función es, en general, una parte de un programa de computadora , que implementa el concepto abstracto de función. Es decir, es una unidad de programa que produce una salida para cada entrada. Sin embargo, en muchos lenguajes de programación se llama función a cada subrutina , incluso cuando no hay salida, y cuando la funcionalidad consiste simplemente en modificar algunos datos en la memoria de la computadora .

La programación funcional es el paradigma de programación que consiste en construir programas usando solo subrutinas que se comportan como funciones matemáticas. Por ejemplo, if_then_elsees una función que toma tres funciones como argumentos y, según el resultado de la primera función ( verdadero o falso ), devuelve el resultado de la segunda o la tercera función. Una ventaja importante de la programación funcional es que facilita las pruebas de programas , ya que se basa en una teoría bien fundamentada, el cálculo lambda (ver más abajo).

Excepto por la terminología del lenguaje informático, "función" tiene el significado matemático habitual en informática . En esta área, una propiedad de gran interés es la computabilidad de una función. Para dar un significado preciso a este concepto, y al concepto relacionado de algoritmo , se han introducido varios modelos de computación , siendo los antiguos las funciones recursivas generales , el cálculo lambda y la máquina de Turing . El teorema fundamental de la teoría de la computabilidad es que estos tres modelos de computación definen el mismo conjunto de funciones computables, y que todos los demás modelos de computación que se han propuesto alguna vez definen el mismo conjunto de funciones computables o uno más pequeño. La tesis de Church-Turing es la afirmación de que cada definición filosóficamente aceptable de una función computable define también las mismas funciones.

Las funciones recursivas generales son funciones parciales de enteros a enteros que se pueden definir a partir de

a través de los operadores

Aunque se definen solo para funciones de entero a entero, pueden modelar cualquier función computable como consecuencia de las siguientes propiedades:

  • un cálculo es la manipulación de secuencias finitas de símbolos (dígitos de números, fórmulas, ...),
  • cada secuencia de símbolos puede codificarse como una secuencia de bits ,
  • una secuencia de bits se puede interpretar como la representación binaria de un número entero.

El cálculo lambda es una teoría que define funciones computables sin usar la teoría de conjuntos , y es el trasfondo teórico de la programación funcional. Consiste en términos que son variables, definiciones de funciones ( 𝜆 -términos) o aplicaciones de funciones a términos. Los términos se manipulan a través de algunas reglas (la equivalencia α , la reducción β y la conversión η ), que son los axiomas de la teoría y pueden interpretarse como reglas de cálculo.

En su forma original, el cálculo lambda no incluye los conceptos de dominio y codominio de una función. En términos generales, se han introducido en la teoría bajo el nombre de tipo en cálculo lambda tipado . La mayoría de los tipos de cálculos lambda tipificados pueden definir menos funciones que los cálculos lambda no tipificados.

Ver también

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generalizaciones

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Referencias

Fuentes

Otras lecturas

enlaces externos