Transformación de Moebius - Möbius transformation

En geometría y análisis complejo , una transformación de Möbius del plano complejo es una función racional de la forma

de una variable compleja z ; aquí los coeficientes a , b , c , d son números complejos que satisfacen ad - bc ≠ 0.

Geométricamente, se puede obtener una transformación de Möbius realizando primero una proyección estereográfica desde el plano a la unidad de dos esferas , rotando y moviendo la esfera a una nueva ubicación y orientación en el espacio, y luego realizando una proyección estereográfica (desde la nueva posición de la esfera ) al avión. Estas transformaciones conservan los ángulos, asignan cada línea recta a una línea o círculo y asignan cada círculo a una línea o círculo.

Las transformaciones de Möbius son las transformaciones proyectivas de la compleja línea proyectiva . Forman un grupo llamado grupo de Möbius , que es el grupo lineal proyectivo PGL (2, C ). Junto con sus subgrupos , tiene numerosas aplicaciones en matemáticas y física.

Las transformaciones de Möbius se nombran en honor a August Ferdinand Möbius ; también son llamados diversamente homografías , transformaciones homográficas , lineales transformaciones fraccionarias , transformaciones bilineales , transformaciones lineales fraccionales , o transformaciones de rotación (teoría de la relatividad) .

Visión general

Las transformaciones de Möbius se definen en el plano complejo extendido (es decir, el plano complejo aumentado por el punto en el infinito ).

La proyección estereográfica se identifica con una esfera, que luego se llama esfera de Riemann ; alternativamente, se puede considerar como la línea proyectiva compleja . Las transformaciones de Möbius son exactamente los mapas conformes biyectivos de la esfera de Riemann a sí misma, es decir, los automorfismos de la esfera de Riemann como una variedad compleja ; alternativamente, son los automorfismos de una variedad algebraica. Por tanto, el conjunto de todas las transformaciones de Möbius forma un grupo en composición . Este grupo se llama grupo de Möbius y, a veces, se denota .

El grupo de Möbius es isomorfo al grupo de isometrías que conservan la orientación del espacio 3 hiperbólico y, por lo tanto, juega un papel importante cuando se estudian las variedades 3 hiperbólicas .

En física , el componente de identidad del grupo de Lorentz actúa sobre la esfera celeste de la misma forma que el grupo de Möbius actúa sobre la esfera de Riemann. De hecho, estos dos grupos son isomorfos. Un observador que acelera a velocidades relativistas verá que el patrón de las constelaciones, como se ve cerca de la Tierra, se transforma continuamente de acuerdo con las transformaciones infinitesimales de Möbius. Esta observación se toma a menudo como el punto de partida de la teoría de twistor .

Ciertos subgrupos del grupo de Möbius forman los grupos de automorfismo de las otras superficies de Riemann simplemente conectadas (el plano complejo y el plano hiperbólico ). Como tal, las transformaciones de Möbius juegan un papel importante en la teoría de superficies de Riemann . El grupo fundamental de cada superficie de Riemann es un subgrupo discreto del grupo de Möbius (ver grupo fucsiano y grupo kleiniano ). Un subgrupo discreto particularmente importante del grupo de Möbius es el grupo modular ; es fundamental para la teoría de muchos fractales , formas modulares , curvas elípticas y ecuaciones pellianas .

Las transformaciones de Möbius se pueden definir de forma más general en espacios de dimensión n > 2 como los mapas biyectivos que conservan la orientación conforme a la n- esfera a la n- esfera. Tal transformación es la forma más general de mapeo conforme de un dominio. Según el teorema de Liouville, una transformación de Möbius se puede expresar como una composición de traslaciones, similitudes , transformaciones ortogonales e inversiones.

Definición

La forma general de una transformación de Möbius está dada por

donde a , b , c , d son números complejos que satisfacen ad - bc ≠ 0 . Si ad = bc , la función racional definida anteriormente es una constante ya que
y por lo tanto no se considera una transformación de Möbius.

En el caso c ≠ 0 , esta definición se extiende a toda la esfera de Riemann definiendo

Si c = 0 , definimos

Por tanto, una transformación de Möbius es siempre una función holomórfica biyectiva de la esfera de Riemann a la esfera de Riemann.

El conjunto de todas las transformaciones de Möbius forma un grupo bajo composición . A este grupo se le puede dar la estructura de una variedad compleja de tal manera que la composición y la inversión sean mapas holomórficos . El grupo de Möbius es entonces un grupo de Lie complejo . El grupo de Möbius generalmente se denota ya que es el grupo de automorfismo de la esfera de Riemann.

Puntos fijos

Cada transformación de Möbius sin identidad tiene dos puntos fijos en la esfera de Riemann. Tenga en cuenta que los puntos fijos se cuentan aquí con multiplicidad ; las transformaciones parabólicas son aquellas en las que coinciden los puntos fijos. Cualquiera o ambos de estos puntos fijos pueden ser el punto en el infinito.

Determinando los puntos fijos

Los puntos fijos de la transformación

se obtienen resolviendo la ecuación de coma fija f ( γ ) = γ . Para c ≠ 0, esto tiene dos raíces obtenidas al expandir esta ecuación a
y aplicando la fórmula cuadrática . Las raices son
con discriminante
Las transformadas parabólicas tienen puntos fijos coincidentes debido al discriminante cero. Para c discriminante distinto de cero y distinto de cero, la transformada es elíptica o hiperbólica.

Cuando c = 0, la ecuación cuadrática degenera en una ecuación lineal y la transformada es lineal. Esto corresponde a la situación en la que uno de los puntos fijos es el punto en el infinito. Cuando ad el segundo punto fijo es finito y está dado por

En este caso, la transformación será una transformación simple compuesta de traslaciones , rotaciones y dilataciones :

Si c = 0 y a = d , entonces ambos puntos fijos están en el infinito y la transformación de Möbius corresponde a una traslación pura:

Prueba topológica

Topológicamente, el hecho de que las transformaciones (sin identidad) de Möbius fijen 2 puntos (con multiplicidad) corresponde a la característica de Euler de que la esfera es 2:

En primer lugar, el grupo lineal proyectivo PGL (2, K ) es claramente 3-transitivo  : para dos triples ordenados de puntos distintos, hay un mapa único que lleva un triple al otro, al igual que para las transformadas de Möbius, y por el mismo prueba algebraica (esencialmente recuento de dimensiones , ya que el grupo es tridimensional). Por lo tanto, cualquier mapa que fije al menos 3 puntos es la identidad.

A continuación, se puede ver al identificar el grupo de Möbius con que cualquier función de Möbius es homotópica a la identidad. De hecho, cualquier miembro del grupo lineal general puede reducirse al mapa de identidad mediante la eliminación de Gauss-Jordan, esto muestra que el grupo lineal proyectivo también está conectado con la ruta, lo que proporciona una homotopía al mapa de identidad. El teorema de Lefschetz-Hopf establece que la suma de los índices (en este contexto, multiplicidad) de los puntos fijos de un mapa con un número finito de puntos fijos es igual al número de Lefschetz del mapa, que en este caso es la traza del mapa de identidad. en grupos de homología, que es simplemente la característica de Euler.

Por el contrario, el grupo lineal proyectivo de la línea proyectiva real, PGL (2, R ) no necesita fijar ningún punto; por ejemplo, no tiene puntos fijos (reales): como transformación compleja, fija ± i  , mientras que el mapa fija 2 x los dos puntos de 0 y ∞. Esto corresponde al hecho de que la característica de Euler del círculo (línea proyectiva real) es 0 y, por lo tanto, el teorema del punto fijo de Lefschetz solo dice que debe fijar al menos 0 puntos, pero posiblemente más.

Forma normal

Las transformaciones de Möbius también se escriben a veces en términos de sus puntos fijos en la llamada forma normal . Primero tratamos el caso no parabólico, para el cual hay dos puntos fijos distintos.

Caso no parabólico :

Toda transformación no parabólica se conjuga con una dilatación / rotación, es decir, una transformación de la forma

( k  ∈  C ) con puntos fijos en 0 y ∞. Para ver esto, defina un mapa
que envía los puntos ( γ 1 , γ 2 ) a (0, ∞). Aquí asumimos que γ 1 y γ 2 son distintos y finitos. Si uno de ellos ya está en infinito, entonces g se puede modificar para fijar el infinito y enviar el otro punto a 0.

Si f tiene puntos fijos distintos ( γ 1 , gamma 2 ) a continuación, la transformación ha fijado puntos a 0 y ∞ y por lo tanto es una dilatación: . La ecuación de punto fijo para la transformación f puede entonces escribirse

Resolviendo para f da (en forma de matriz):

o, si uno de los puntos fijos está en infinito:

A partir de las expresiones anteriores, se pueden calcular las derivadas de f en los puntos fijos:

y

Observe que, dado un orden de los puntos fijos, podemos distinguir uno de los multiplicadores ( k ) de f como la constante característica de f . Invertir el orden de los puntos fijos equivale a tomar el multiplicador inverso de la constante característica:

Para transformaciones loxodrómicas, siempre que | k | > 1, se dice que γ 1 es el punto fijo repulsivo y γ 2 es el punto fijo atractivo . Para | k | <1, los roles se invierten.

Caso parabólico :

En el caso parabólico, solo hay un punto fijo γ . La transformación que envía ese punto a ∞ es

o la identidad si γ ya está en infinito. La transformación fija el infinito y, por tanto, es una traducción:

Aquí, β se denomina longitud de traslación . La fórmula de punto fijo para una transformación parabólica es entonces

Resolver para f (en forma de matriz) da

o, si γ = ∞:

Tenga en cuenta que β no es la constante característica de f , que siempre es 1 para una transformación parabólica. A partir de las expresiones anteriores se puede calcular:

Polos de la transformación

El punto se llama polo de ; es ese punto que se transforma al punto en el infinito bajo .

El polo inverso es ese punto en el que se transforma el punto en el infinito. El punto intermedio entre los dos polos es siempre el mismo que el punto intermedio entre los dos puntos fijos:

Estos cuatro puntos son los vértices de un paralelogramo que a veces se denomina paralelogramo característico de la transformación.

Se puede especificar una transformada con dos puntos fijos γ 1 , γ 2 y el polo .

Esto nos permite deducir una fórmula para la conversión entre k y dado :

que se reduce a

La última expresión coincide con una de las razones de valores propios (mutuamente recíprocos) de la matriz

que representa la transformación (compare la discusión en la sección anterior sobre la constante característica de una transformación). Su polinomio característico es igual a
que tiene raíces

Transformaciones y composición simples de Möbius

Una transformación de Möbius se puede componer como una secuencia de transformaciones simples.

Las siguientes transformaciones simples también son transformaciones de Möbius:

  • es una traducción .
  • es una combinación de a ( homotecia y rotación ). Si entonces es una rotación, si entonces es una homotecia.
  • ( inversión y reflexión con respecto al eje real)

Composición de transformaciones simples

Si , deja:

  • ( traducción por d / c )
  • ( inversión y reflexión con respecto al eje real)
  • ( homotecia y rotación )
  • (traducción por a / c )

Entonces estas funciones se pueden componer , dando

Es decir,

con

Esta descomposición hace que muchas propiedades de la transformación de Möbius sean obvias.

Propiedades elementales

Una transformación de Möbius es equivalente a una secuencia de transformaciones más simples. La composición hace obvias muchas propiedades de la transformación de Möbius.

Fórmula para la transformación inversa

La existencia de la transformación inversa de Möbius y su fórmula explícita se derivan fácilmente de la composición de las funciones inversas de las transformaciones más simples. Es decir, defina las funciones g 1 , g 2 , g 3 , g 4 de manera que cada g i sea ​​la inversa de f i . Entonces la composicion

da una fórmula para la inversa.

Conservación de ángulos y círculos generalizados

A partir de esta descomposición, vemos que las transformaciones de Möbius trasladan todas las propiedades no triviales de la inversión circular . Por ejemplo, la preservación de los ángulos se reduce a demostrar que la inversión circular preserva los ángulos ya que los otros tipos de transformaciones son la dilatación y las isometrías (traslación, reflexión, rotación), que conservan trivialmente los ángulos.

Además, las transformaciones de Möbius asignan círculos generalizados a círculos generalizados, ya que la inversión de círculos tiene esta propiedad. Un círculo generalizado es un círculo o una línea, esta última se considera como un círculo que pasa por el punto en el infinito. Tenga en cuenta que una transformación de Möbius no necesariamente asigna círculos a círculos y líneas a líneas: puede mezclar los dos. Incluso si asigna un círculo a otro círculo, no necesariamente asigna el centro del primer círculo al centro del segundo círculo.

Conservación de relación cruzada

Las relaciones cruzadas son invariantes bajo las transformaciones de Möbius. Es decir, si una transformación de Möbius asigna cuatro puntos distintos a cuatro puntos distintos respectivamente, entonces

Si uno de los puntos es el punto en el infinito, entonces la relación cruzada debe definirse tomando el límite apropiado; por ejemplo, la relación cruzada de es

La relación cruzada de cuatro puntos diferentes es real si y solo si hay una línea o un círculo que los atraviesa. Esta es otra forma de mostrar que las transformaciones de Möbius conservan círculos generalizados.

Conjugación

Dos puntos z 1 y z 2 son conjugado con respecto a un círculo generalizada C , si, dada un círculo generalizada D que pasa a través z 1 y z 2 y el corte C en dos puntos una y B , ( z 1 , z 2 ; a , b ) tienen una relación cruzada armónica (es decir, su relación cruzada es -1). Esta propiedad no depende de la elección del círculo D . A veces, esta propiedad también se denomina simétrica con respecto a una línea o un círculo.

Dos puntos z , z se conjugan con respecto a una línea, si son simétricos con respecto a la línea. Dos puntos se conjugan con respecto a un círculo si son intercambiados por la inversión con respecto a este círculo.

El punto z conjugado az cuando L es la línea determinada por el vector basado e en el punto z 0 se puede dar explícitamente como

El punto z conjugado az cuando C es el círculo de radio r centrado z 0 se puede dar explícitamente como

Dado que las transformaciones de Möbius conservan círculos generalizados y relaciones cruzadas, también conservan la conjugación.

Representaciones de matriz proyectiva

La acción natural de PGL (2, C ) sobre la línea proyectiva compleja CP 1 es exactamente la acción natural del grupo de Möbius sobre la esfera de Riemann, donde la línea proyectiva CP 1 y la esfera de Riemann se identifican de la siguiente manera:

Aquí [ z 1 : z 2 ] son coordenadas homogéneas en CP 1 ; el punto [1: 0] corresponde al punto ∞ de la esfera de Riemann. Mediante el uso de coordenadas homogéneas, se pueden simplificar muchos cálculos concretos que involucran transformaciones de Möbius, ya que no se requieren distinciones de casos relacionados con ∞.

Con cada matriz compleja invertible 2 × 2

podemos asociar la transformación de Möbius
La condición ad - bc ≠ 0 es equivalente a la condición de que el determinante de la matriz anterior sea distinto de cero, es decir, que la matriz sea invertible.

Es sencillo comprobar que el producto de dos matrices se asociará con la composición de las dos transformaciones de Möbius correspondientes. En otras palabras, el mapa

del grupo lineal general GL (2, C ) al grupo de Möbius, que envía la matriz a la transformación f , es un homomorfismo de grupo .

Tenga en cuenta que cualquier matriz obtenida al multiplicar por un escalar complejo λ determina la misma transformación, por lo que una transformación de Möbius determina su matriz solo

hasta los múltiplos escalares. En otras palabras: el núcleo de π consta de todos los múltiplos escalares de la matriz identidad I , y el primer teorema de isomorfismo de la teoría de grupos establece que el grupo cociente GL (2, C ) / (( C  \ {0}) I ) es isomorfo al grupo de Möbius. Este grupo de cocientes se conoce como grupo lineal proyectivo y generalmente se denota PGL (2, C ).
La misma identificación de PGL (2, K ) con el grupo de transformaciones lineales fraccionales y con el grupo de automorfismos lineales proyectivos de la línea proyectiva se mantiene sobre cualquier campo K , un hecho de interés algebraico, particularmente para campos finitos, aunque es el caso de los números complejos tienen el mayor interés geométrico.

Si se restringe a matrices de determinante uno, el mapa

π se restringe a un mapa sobreyectivo del grupo lineal especial SL (2, C ) al grupo de Möbius; en la configuración restringida, el núcleo está formado por más y menos la identidad, y el grupo cociente SL (2, C ) / {± I }, denotado por PSL (2, C ), es por lo tanto también isomorfo al grupo de Möbius:
A partir de esto, vemos que el grupo de Möbius es un grupo de Lie complejo tridimensional (o un grupo de Lie real de 6 dimensiones). Es un grupo de Lie semisimple no compacto .

Tenga en cuenta que hay precisamente dos matrices con determinante unitario que se pueden utilizar para representar cualquier transformación de Möbius dada. Es decir, SL (2, C ) es una doble portada de PSL (2, C ). Dado que SL (2, C ) está simplemente conectado , es la cubierta universal del grupo Möbius. Por tanto, el grupo fundamental del grupo de Möbius es Z 2 .

Especificar una transformación por tres puntos

Dado un conjunto de tres puntos distintos z 1 , z 2 , z 3 en la esfera de Riemann y un segundo conjunto de puntos distintos w 1 , w 2 , w 3 , existe precisamente una transformación de Möbius f ( z ) con f ( z i ) = w i para i = 1,2,3. (En otras palabras: la acción del grupo de Möbius sobre la esfera de Riemann es claramente 3-transitiva ). Hay varias formas de determinar f ( z ) a partir de los conjuntos de puntos dados.

Asignación primero a 0, 1, ∞

Es fácil comprobar que la transformación de Möbius

con matriz
asigna z 1 , z 2 , z 3 a 0, 1, ∞, respectivamente. Si una de las z i es ∞, entonces la fórmula adecuada para se obtiene de la anterior dividiendo primero todas las entradas entre
z i y luego tomando el límite z i → ∞.

Si se define de manera similar para mapear

w 1 , w 2 , w 3 a 0, 1, ∞, entonces la matriz que mapea z 1,2,3 a w 1,2,3 se convierte en

El estabilizador de {0, 1, ∞} (como conjunto desordenado) es un subgrupo conocido como grupo anarmónico .

Fórmula determinante explícita

La ecuacion

es equivalente a la ecuación de una
hipérbola estándar
en el plano ( z , w ). El problema de construir una transformación de Möbius mapeando un triple a otro triple es, por tanto, equivalente a encontrar los coeficientes
a , b , c , d de la hipérbola que pasa por los puntos . Se puede encontrar una ecuación explícita evaluando el determinante
mediante una expansión de Laplace a lo largo de la primera fila. Esto da como resultado las fórmulas determinantes
para los coeficientes a, b, c, d de la matriz representativa . La matriz construida tiene un determinante igual al que no desaparece si z i resp. w i son diferentes pairwise lo tanto está bien definido la transformación de Möbius. Si uno de los puntos z i o w i es ∞, primero dividimos los cuatro determinantes por esta variable y luego tomamos el límite cuando la variable se acerca a ∞.

Subgrupos del grupo Möbius

Si requerimos que los coeficientes a , b , c , d de una transformación de Möbius sean números reales con ad - bc = 1 , obtenemos un subgrupo del grupo de Möbius denotado como PSL (2, R ) . Este es el grupo de las transformaciones de Möbius que mapean el semiplano superior H = x + i y  : y > 0 a sí mismo, y es igual al grupo de todos los mapas biholomórficos (o equivalentemente: biyectivos , conformes y de preservación de la orientación). HH . Si se introduce una métrica adecuada , el semiplano superior se convierte en un modelo del plano hiperbólico H 2 , el modelo del semiplano de Poincaré , y PSL (2, R ) es el grupo de todas las isometrías de H 2 que conservan la orientación en este modelo.

El subgrupo de todas las transformaciones de Möbius que mapean el disco abierto D = z  : | z | <1 en sí mismo consta de todas las transformaciones de la forma

con ∈
R , bC y | b | <1. Esto es igual al grupo de todos biholomorphic (o equivalentemente: biyectiva, ángulo-preservar y conserva la orientación) MAPAS DD . Al introducir una métrica adecuada, el disco abierto se convierte en otro modelo del plano hiperbólico, el modelo del disco de Poincaré , y este grupo es el grupo de todas las isometrías de H 2 que conservan la orientación en este modelo.

Dado que ambos subgrupos anteriores sirven como grupos isométricos de H 2 , son isomorfos. Un isomorfismo concreto se da por conjugación con la transformación

que mapea biyectivamente el disco de la unidad abierta al semiplano superior.

Alternativamente, considere un disco abierto con radio r , centrado en r i . El modelo del disco de Poincaré en este disco se vuelve idéntico al modelo del semiplano superior cuando r se acerca a ∞.

Un subgrupo compacto máximo del grupo de Möbius viene dado por (

Tóth 2002 )
y corresponde bajo el isomorfismo al
grupo unitario especial proyectivo PSU (2, C ) que es isomorfo al grupo ortogonal especial SO (3) de rotaciones en tres dimensiones, y puede interpretarse como rotaciones de la esfera de Riemann. Cada subgrupo finito se conjuga en este grupo compacto máximo y, por lo tanto, estos corresponden exactamente a los grupos poliédricos, los grupos de puntos en tres dimensiones .

Felix Klein utilizó

grupos icosaédricos de transformaciones de Möbius para dar una solución analítica a la ecuación quíntica en ( Klein 1888 ); se da una exposición moderna en ( Tóth 2002 ).

Si requerimos que los coeficientes a , b , c , d de una transformación de Möbius sean enteros con ad - bc = 1, obtenemos el grupo modular PSL (2, Z ), un subgrupo discreto de PSL (2, R ) importante en el estudio de celosías en el plano complejo, funciones elípticas y

curvas elípticas . Los subgrupos discretos de PSL (2, R ) se conocen como grupos fucsianos ; son importantes en el estudio de las superficies de Riemann .

Clasificación

Se muestra una transformación hiperbólica. Pre-imágenes de la unidad de círculo son círculos de Apolonio con relación distancia c / una y focos a - b / a y - d / c .
Por la misma focos - b / a y - d / c los círculos rojos se asignan a los rayos a través del origen.

En la siguiente discusión siempre asumiremos que la matriz representativa está normalizada de tal manera que .

Las transformaciones de Möbius sin identidad se clasifican comúnmente en cuatro tipos, parabólicas , elípticas , hiperbólicas y loxodrómicas , siendo las hiperbólicas una subclase de las loxodrómicas. La clasificación tiene un significado tanto algebraico como geométrico. Geométricamente, los diferentes tipos dan como resultado diferentes transformaciones del plano complejo, como ilustran las figuras siguientes.

Los cuatro tipos se pueden distinguir mirando el rastro . Tenga en cuenta que la traza es invariante bajo la

conjugación , es decir,
y así cada miembro de una clase de conjugación tendrá el mismo rastro. Cada transformación de Möbius se puede escribir de manera que su matriz representativa tenga un determinante (multiplicando las entradas con un escalar adecuado). Dos transformaciones de Möbius (ambas no iguales a la transformada de identidad) con se conjugan si y solo si

Transformaciones parabólicas

Una transformación de Möbius sin identidad definida por una matriz de determinante uno se dice que es

parabólica si
(por lo que la traza es más o menos 2; cualquiera puede ocurrir para una transformación dada, ya que se determina solo hasta el signo). De hecho, una de las opciones para tiene el mismo
polinomio característico X 2 −2 X +1 que la matriz identidad y, por lo tanto, es unipotente . Una transformada de Möbius es parabólica si y solo si tiene exactamente un punto fijo en el plano complejo extendido , lo que ocurre si y solo si puede definirse mediante una matriz conjugada a
que describe una traslación en el plano complejo.

El conjunto de todas las transformaciones de Möbius parabólicos con un dado punto fijo en , junto con la identidad, forma un subgrupo isomorfo al grupo de matrices

este es un ejemplo del radical unipotente de un subgrupo de Borel (del grupo de Möbius, o de SL (2, C ) para el grupo de matriz; la noción se define para cualquier grupo de Lie reductivo ).

Constante característica

Todas las transformaciones no parabólicas tienen dos puntos fijos y están definidas por una matriz conjugada a

con el número complejo λ no igual a 0, 1 o −1, correspondiente a una dilatación / rotación mediante multiplicación por el número complejo k = λ 2 , llamada constante característica o multiplicador de la transformación.

Transformaciones elípticas

El gráfico de Smith , utilizado por ingenieros eléctricos para analizar líneas de transmisión , es una representación visual de la transformación elíptica de Möbius Γ = (z-1) / (z + 1). Cada punto en el gráfico de Smith representa simultáneamente un valor de z (abajo a la izquierda) y el valor correspondiente de Γ (abajo a la derecha), para | Γ | <1.

Se dice que la transformación es elíptica si se puede representar mediante una matriz cuya traza es real con

Una transformación es elíptica si y solo si | λ | = 1 y λ ≠ ± 1. Al escribir , una transformada elíptica se conjuga a

con α real.

Tenga en cuenta que para cualquiera con constante característica k , la constante característica de es k n . Por lo tanto, todas las transformaciones de Möbius de orden finito son transformaciones elípticas, es decir, exactamente aquellas en las que λ es una raíz de la unidad o, de manera equivalente, donde α es un múltiplo racional de π . La posibilidad más simple de un múltiplo fraccionario significa α = π / 2, que también es el caso único de , también se denota como un transformación circular ; esto corresponde geométricamente a la rotación de 180 ° alrededor de dos puntos fijos. Esta clase se representa en forma de matriz como:

Hay 3 representantes que fijan {0, 1, ∞}, que son las tres transposiciones en el grupo de simetría de estos 3 puntos: que fija 1 y cambia 0 con (rotación de 180 ° alrededor de los puntos 1 y -1) , que fija e intercambia 0 con 1 (rotación de 180 ° alrededor de los puntos 1/2 y ), y que fija 0 e intercambia 1 con (rotación de 180 ° alrededor de los puntos 0 y 2).

Transformaciones hiperbólicas

Se dice que la transformada es hiperbólica si se puede representar mediante una matriz cuya traza es

real con

Una transformada es hiperbólica si y solo si λ es real y λ ≠ ± 1.

Transformaciones loxodrómicas

Se dice que la transformada es loxodrómica si no está en [0,4]. Una transformación es loxodrómica si y solo si .

Históricamente, la navegación por loxódromo o línea de rumbo se refiere a una trayectoria de rumbo constante ; el camino resultante es una espiral logarítmica , similar en forma a las transformaciones del plano complejo que hace una transformación loxodrómica de Möbius. Vea las figuras geométricas a continuación.

Clasificación general

Transformación Traza al cuadrado Multiplicadores Representante de clase
Circular σ = 0 k = −1 z ↦ - z
Elíptico 0 ≤ σ <4 | k | = 1
ze i θ z
Parabólico σ = 4 k = 1 zz + a
Hiperbólico 4 <σ <∞
ze θ z
Loxodrómico σ ∈ C \ [0,4]
zkz

El caso real y una nota terminológica

Sobre los números reales (si los coeficientes deben ser reales), no existen transformaciones loxodrómicas no hiperbólicas, y la clasificación es en elíptica, parabólica e hiperbólica, como para las cónicas reales . La terminología se debe a considerar la mitad del valor absoluto de la traza, | tr | / 2, ya que la excentricidad de la transformación: la división por 2 corrige la dimensión, por lo que la identidad tiene excentricidad 1 (tr / n a veces se usa como una alternativa para la traza por esta razón), y el valor absoluto corrige para que la traza solo se defina hasta un factor de ± 1 debido al trabajo en PSL. Alternativamente, se puede usar la mitad de la traza al cuadrado como un sustituto de la excentricidad al cuadrado, como se hizo anteriormente; estas clasificaciones (pero no los valores exactos de excentricidad, ya que el cuadrado y los valores absolutos son diferentes) concuerdan para las trazas reales pero no para las trazas complejas. La misma terminología se usa para la clasificación de elementos de SL (2, R ) (la cubierta doble), y clasificaciones análogas se usan en otros lugares. Las transformaciones loxodrómicas son un fenómeno esencialmente complejo y corresponden a excentricidades complejas.

Interpretación geométrica de la constante característica

La siguiente imagen muestra (después de la transformación estereográfica de la esfera al plano) los dos puntos fijos de una transformación de Möbius en el caso no parabólico:

Mobius Identity.jpeg

La constante característica se puede expresar en términos de su logaritmo :

Cuando se expresa de esta manera, el número real ρ se convierte en un factor de expansión. Indica qué tan repulsivo es el punto fijo γ 1 y qué tan atractivo es γ 2 . El número real α es un factor de rotación, que indica en qué medida la transformada gira el plano en sentido antihorario alrededor de γ 1 y en el sentido de las agujas del reloj alrededor de γ 2 .

Transformaciones elípticas

Si ρ = 0, entonces los puntos fijos no son ni atractivos ni repulsivos, sino indiferentes, y se dice que la transformación es elíptica . Estas transformaciones tienden a mover todos los puntos en círculos alrededor de los dos puntos fijos. Si uno de los puntos fijos está en el infinito, esto equivale a hacer una rotación afín alrededor de un punto.

Si tomamos el subgrupo de un parámetro generado por cualquier transformación elíptica de Möbius, obtenemos una transformación continua, de modo que cada transformación en el subgrupo fija los mismos dos puntos. Todos los demás puntos fluyen a lo largo de una familia de círculos que está anidada entre los dos puntos fijos de la esfera de Riemann. En general, los dos puntos fijos pueden ser dos puntos distintos.

Esto tiene una interpretación física importante. Imagine que algún observador gira con velocidad angular constante alrededor de algún eje. Entonces podemos tomar los dos puntos fijos como los polos norte y sur de la esfera celeste. La apariencia del cielo nocturno ahora se transforma continuamente exactamente de la manera descrita por el subgrupo de transformaciones elípticas de un parámetro que comparten los puntos fijos 0, ∞, y con el número α correspondiente a la velocidad angular constante de nuestro observador.

Aquí hay algunas figuras que ilustran el efecto de una transformación elíptica de Möbius en la esfera de Riemann (después de la proyección estereográfica al plano):

Mobius Small Neg Elliptical.jpeg

Mobius Large Pos Elliptical.jpeg

Estas imágenes ilustran el efecto de una sola transformación de Möbius. El subgrupo de un parámetro que genera continuamente mueve puntos a lo largo de la familia de arcos circulares sugeridos por las imágenes.

Transformaciones hiperbólicas

Si α es cero (o un múltiplo de 2 π ), entonces se dice que la transformación es hiperbólica . Estas transformaciones tienden a mover puntos a lo largo de trayectorias circulares desde un punto fijo hacia el otro.

Si tomamos el subgrupo de un parámetro generado por cualquier transformación hiperbólica de Möbius, obtenemos una transformación continua, de modo que cada transformación en el subgrupo fija los mismos dos puntos. Todos los demás puntos fluyen a lo largo de una cierta familia de arcos circulares alejándose del primer punto fijo y hacia el segundo punto fijo. En general, los dos puntos fijos pueden ser dos puntos distintos en la esfera de Riemann.

Esto también tiene una interpretación física importante. Imagine que un observador acelera (con magnitud constante de aceleración) en la dirección del polo norte de su esfera celeste. Luego, la apariencia del cielo nocturno se transforma exactamente de la manera descrita por el subgrupo de transformaciones hiperbólicas de un parámetro que comparten los puntos fijos 0, ∞, con el número real ρ correspondiente a la magnitud de su vector de aceleración. Las estrellas parecen moverse a lo largo de longitudes, alejándose del polo sur hacia el polo norte. (Las longitudes aparecen como arcos circulares bajo proyección estereográfica desde la esfera al plano).

Aquí hay algunas figuras que ilustran el efecto de una transformación hiperbólica de Möbius en la esfera de Riemann (después de la proyección estereográfica al plano):

Mobius Small Neg Hyperbolic.jpeg

Mobius Large Pos Hyperbolic.jpeg

Estas imágenes se asemejan a las líneas de campo de una carga eléctrica positiva y negativa ubicadas en los puntos fijos, porque las líneas de flujo circulares subtienden un ángulo constante entre los dos puntos fijos.

Transformaciones loxodrómicas

Si tanto ρ como α son distintos de cero, entonces se dice que la transformación es loxodrómica . Estas transformaciones tienden a mover todos los puntos en trayectorias en forma de S desde un punto fijo a otro.

La palabra " loxodrome " es del griego: "λοξος (loxos), inclinado + δρόμος (dromos), curso ". Al navegar con un rumbo constante , si mantiene un rumbo de (digamos) noreste, eventualmente terminará navegando alrededor del polo norte en una espiral logarítmica . En la proyección de Mercator, dicho curso es una línea recta, ya que los polos norte y sur se proyectan hacia el infinito. El ángulo que subtiende el loxódromo en relación con las líneas de longitud (es decir, su pendiente, la "tensión" de la espiral) es el argumento de k . Por supuesto, las transformaciones de Möbius pueden tener sus dos puntos fijos en cualquier lugar, no solo en los polos norte y sur. Pero cualquier transformación loxodrómica se conjugará con una transformación que mueva todos los puntos a lo largo de dichos loxódromos.

Si tomamos el subgrupo de un parámetro generado por cualquier transformación loxodrómica de Möbius, obtenemos una transformación continua, de modo que cada transformación en el subgrupo fija los mismos dos puntos. Todos los demás puntos fluyen a lo largo de una cierta familia de curvas, alejándose del primer punto fijo y hacia el segundo punto fijo. A diferencia del caso hiperbólico, estas curvas no son arcos circulares, sino ciertas curvas que bajo la proyección estereográfica de la esfera al plano aparecen como curvas espirales que giran en sentido antihorario infinitamente a menudo alrededor de un punto fijo y giran en sentido horario infinitamente a menudo alrededor del otro punto fijo. En general, los dos puntos fijos pueden ser dos puntos distintos en la esfera de Riemann.

Probablemente pueda adivinar la interpretación física en el caso de que los dos puntos fijos sean 0, ∞: un observador que gira (con velocidad angular constante) alrededor de algún eje y se mueve a lo largo del mismo eje, verá la apariencia del cielo nocturno transformar de acuerdo con el subgrupo de un parámetro de transformaciones loxodrómicas con puntos fijos 0, ∞, y con ρ, α determinados respectivamente por la magnitud de las velocidades reales lineales y angulares.

Proyección estereográfica

Estas imágenes muestran las transformaciones de Möbius proyectadas estereográficamente sobre la esfera de Riemann . Tenga en cuenta en particular que cuando se proyecta sobre una esfera, el caso especial de un punto fijo en el infinito no parece diferente de tener los puntos fijos en una ubicación arbitraria.

Un punto fijo en el infinito
Elíptico
Hiperbólico
Loxodrómico
Puntos fijos diametralmente opuestos
Elíptico
Hiperbólico
Loxodrómico
Puntos fijos en una ubicación arbitraria
Elíptico
Hiperbólico
Loxodrómico

Iterando una transformación

Si una transformación tiene puntos fijos γ

1 , γ 2 y constante característica k , entonces tendrá .

Esto se puede usar para iterar una transformación o para animarla dividiéndola en pasos.

Estas imágenes muestran tres puntos (rojo, azul y negro) iterados continuamente bajo transformaciones con varias constantes características.

Mobius23621.jpeg Mobius23622.jpeg Mobius23623.jpeg

Y estas imágenes demuestran lo que sucede cuando transforma un círculo bajo transformaciones hiperbólicas, elípticas y loxodrómicas. Tenga en cuenta que en las imágenes elípticas y loxodrómicas, el valor α es 1/10.

IteratedHyperbolicTsfm.png IteratedEllipticalTsfm.png IteratedLoxodromicTsfm.png


Mayores dimensiones

En dimensiones superiores, una transformación de Möbius es un homeomorfismo de , la

compactificación de un punto de , que es una composición finita de inversiones en esferas y reflejos en hiperplanos . El teorema de Liouville en geometría conforme establece que en la dimensión al menos tres, todas las transformaciones conformes son transformaciones de Möbius. Cada transformación de Möbius se puede poner en la forma

donde , , es una

matriz ortogonal , y es 0 o 2. El grupo de transformaciones de Möbius también se llama el grupo de Möbius .

Las transformaciones de Möbius que conservan la orientación forman el componente conectado de la identidad en el grupo de Möbius. En la dimensión n = 2 , las transformaciones de Möbius que conservan la orientación son exactamente los mapas de la esfera de Riemann que se cubren aquí. Los que invierten la orientación se obtienen a partir de éstos mediante conjugación compleja.

El dominio de las transformaciones de Möbius, es decir , es homeomórfico a la esfera

n- dimensional . El isomorfismo canónico entre estos dos espacios es la transformada de Cayley , que es en sí misma una transformación de Möbius de . Esta identificación significa que las transformaciones de Möbius también se pueden considerar como isomorfismos conformes de . La n -esfera, junto con la acción del grupo de Möbius, es una estructura geométrica (en el sentido del programa Erlangen de Klein ) llamada geometría de Möbius .

Aplicaciones

Transformación de Lorentz

Varios autores señalaron un isomorfismo del grupo de Möbius con el grupo de Lorentz : Basado en trabajos previos de Felix Klein (1893, 1897) sobre funciones automórficas relacionadas con la geometría hiperbólica y la geometría de Möbius, Gustav Herglotz (1909) mostró que los movimientos hiperbólicos (es decir, Los automorfismos isométricos de un espacio hiperbólico ) que transforman la esfera unitaria en sí misma corresponden a las transformaciones de Lorentz, mediante las cuales Herglotz pudo clasificar las transformaciones de Lorentz de un parámetro en grupos loxodrómicos, elípticos, hiperbólicos y parabólicos. Otros autores incluyen a Emil Artin (1957), HSM Coxeter (1965) y Roger Penrose , Wolfgang Rindler (1984), Tristan Needham (1997) y WM Olivia (2002).

El espacio de Minkowski consiste en el espacio de coordenadas reales de cuatro dimensiones R 4 que consiste en el espacio de cuádruples ordenados ( x 0 , x 1 , x 2 , x 3 ) de números reales, junto con una forma cuadrática

Tomando prestada la terminología de la relatividad especial , los puntos con Q > 0 se consideran temporales ; además, si x 0 > 0 , entonces el punto se llama apuntando hacia el futuro . Los puntos con Q <0 se denominan espaciales . El cono nulo S consiste en aquellos puntos donde Q = 0 ; el futuro cono nulo N + son aquellos puntos en el cono nulo con x 0 > 0 . La esfera celeste se identifica entonces con la colección de rayos en N + cuyo punto inicial es el origen de R 4 . La colección de transformaciones lineales en R 4 con determinante positivo preservando la forma cuadrática Q y preservando la dirección del tiempo forman el grupo de Lorentz restringido SO + (1,3).

En relación con la geometría de la esfera celeste, el grupo de transformaciones SO + (1,3) se identifica con el grupo PSL (2, C ) de las transformaciones de Möbius de la esfera. A cada ( x 0 , x 1 , x 2 , x 3 ) ∈ R 4 , asocie la matriz hermitiana

El determinante de la matriz X es igual a Q ( x 0 , x 1 , x 2 , x 3 ) . El grupo lineal especial actúa sobre el espacio de tales matrices a través de

 

 

 

 

( 1 )

para cada A ∈ SL (2, C ), y esta acción de SL (2, C ) conserva el determinante de X porque det A = 1 . Dado que el determinante de X se identifica con la forma cuadrática Q , SL (2, C ) actúa mediante transformaciones de Lorentz. En términos dimensionales, SL (2, C ) cubre un vecindario de la identidad de SO (1,3). Dado que SL (2, C ) está conectado, cubre todo el grupo de Lorentz restringido SO + (1,3). Además, dado que el núcleo de la acción ( 1 ) es el subgrupo {± I }, pasar al grupo cociente da al grupo isomorfismo

 

 

 

 

( 2 )

Centrándonos ahora en el caso en que ( x 0 , x 1 , x 2 , x 3 ) es nulo, la matriz X tiene un determinante cero y, por lo tanto, se divide como el producto externo de un complejo de dos vectores ξ con su complejo conjugado:

 

 

 

 

( 3 )

SL (2, C ) actúa sobre el vector de dos componentes ξ de una manera compatible con ( 1 ). Ahora está claro que el núcleo de la representación de SL (2, C ) en matrices hermitianas es {± I }.

La acción de PSL (2, C ) sobre la esfera celeste también se puede describir geométricamente usando proyección estereográfica . Considere primero el hiperplano en R 4 dado por x 0  = 1. La esfera celeste puede identificarse con la esfera S + de intersección del hiperplano con el futuro cono nulo N + . La proyección estereográfica del polo norte (1,0,0,1) de esta esfera sobre el plano x 3  = 0 toma un punto con coordenadas (1, x 1 , x 2 , x 3 ) con

al punto

Presentando la coordenada compleja

la proyección estereográfica inversa da la siguiente fórmula para un punto ( x 1 , x 2 , x 3 ) en S + :

 

 

 

 

( 4 )

La acción de SO + (1,3) sobre los puntos de N + no preserva el hiperplano S + , pero actuando sobre puntos en S + y luego reescalando para que el resultado esté nuevamente en S + da una acción de SO + ( 1,3) sobre la esfera que pasa a una acción sobre la variable compleja ζ. De hecho, esta acción es por transformaciones lineales fraccionarias, aunque esto no se ve fácilmente en esta representación de la esfera celeste. Por el contrario, para cualquier transformación lineal fraccionaria de ζ, la variable pasa a una transformación de Lorentz única en N + , posiblemente después de un reajuste adecuado (determinado de forma única).

Una descripción más invariante de la proyección estereográfica que permite ver más claramente la acción es considerar la variable ζ =  z : w como una relación de un par de coordenadas homogéneas para la línea proyectiva compleja CP 1 . La proyección estereográfica pasa a una transformación de C 2  - {0} a N + que es homogénea de grado dos con respecto a escalas reales

 

 

 

 

( 5 )

que concuerda con ( 4 ) al restringirse a escalas en las que los componentes de (

5 ) son precisamente los que se obtienen del producto exterior

En resumen, la acción del grupo restringido de Lorentz SO + (1,3) coincide con la del grupo de Möbius PSL (2, C ). Esto motiva la siguiente definición. En la dimensión n  ≥ 2, el grupo de Möbius Möb ( n ) es el grupo de todas las isometrías conformales que conservan la orientación de la esfera redonda S n a sí misma. Al realizar la esfera conforme como el espacio de rayos que apuntan hacia el futuro del cono nulo en el espacio de Minkowski R 1, n + 1 , hay un isomorfismo de Möb ( n ) con el grupo de Lorentz restringido SO + (1, n +1 ) de las transformaciones de Lorentz con determinante positivo, conservando la dirección del tiempo.

Coxeter comenzó en cambio con la forma cuadrática equivalente

Identificó el grupo de Lorentz con transformaciones para las cuales { x  : Q ( x ) = -1} es estable . Luego interpretó las x como coordenadas homogéneas y { x  : Q ( x ) = 0}, el cono nulo , como el absoluto de Cayley para un espacio hiperbólico de puntos { x  : Q ( x ) <0}. A continuación, Coxeter introdujo las variables

de modo que la cuadrática invariante de Lorentz corresponde a la esfera Coxeter señala que

Felix Klein también escribió sobre esta correspondencia, aplicando proyección estereográfica desde (0, 0, 1) al plano complejo Coxeter usó el hecho de que los círculos del plano inverso representan planos de espacio hiperbólico, y la homografía general es el producto de inversiones en dos o cuatro círculos, correspondiente al desplazamiento hiperbólico general que es el producto de inversiones en dos o cuatro planos.

Espacio hiperbólico

Como se vio anteriormente, el grupo de Möbius PSL (2, C ) actúa sobre el espacio de Minkowski como el grupo de esas isometrías que preservan el origen, la orientación del espacio y la dirección del tiempo. Restringiendo a los puntos donde Q = 1 en el cono de luz positiva, que forman un modelo de

H 3 hiperbólico de 3 espacios , vemos que el grupo de Möbius actúa sobre H 3 como un grupo de isometrías que preservan la orientación. De hecho, el grupo de Möbius es igual al grupo de isometrías que conservan la orientación del 3-espacio hiperbólico.

Si usamos el modelo de bola de Poincaré , identificando la bola unitaria en R 3 con H 3 , entonces podemos pensar en la esfera de Riemann como el "límite conforme" de H 3 . Cada isometría que conserva la orientación de H 3 da lugar a una transformación de Möbius en la esfera de Riemann y viceversa; esta es la primera observación que conduce a las conjeturas de correspondencia AdS / CFT en física.

Ver también

Notas

Referencias

Específico

General

Otras lecturas

enlaces externos