axioma - Axiom


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Un axioma o postulado es una declaración que se toma para ser verdad , para servir como una premisa de punto o de partida para seguir el razonamiento y argumentos. La palabra viene del griego Axioma ( ἀξίωμα ) 'lo que es más digno o ajuste' o "lo que recomienda a sí misma, como es evidente.

El término tiene diferencias sutiles en la definición cuando se utiliza en el contexto de los diferentes campos de estudio. Como se define en la filosofía clásica , un axioma es una afirmación que es tan evidente o bien establecida, que es aceptado sin controversia o pregunta. Tal como se utiliza en la moderna lógica , un axioma es una premisa o punto de partida para el razonamiento.

Tal como se utiliza en las matemáticas , el término axioma se utiliza en dos sentidos relacionadas pero distinguibles: "axiomas lógicos" y "axiomas no lógicos" . Axiomas lógicos son por lo general las declaraciones que se toman para ser verdad dentro del sistema de la lógica que definen (por ejemplo, ( A y B ) implica A ), a menudo muestran en forma simbólica, mientras axiomas no lógicos (por ejemplo, un + b = b + una ) son en realidad afirmaciones sustantivas sobre los elementos del dominio de una teoría matemática específica (tales como aritmética ). Cuando se usa en este último sentido, "axioma", "postulado", y "suposición" se pueden usar indistintamente. En general, un axioma no lógico no es una verdad evidente por sí misma, sino más bien una expresión lógica formal utilizado en la deducción de construir una teoría matemática. Para axiomatizar un sistema de conocimiento es mostrar que sus reivindicaciones se pueden derivar de un pequeño conjunto, bien entendido de frases (los axiomas). En general, existen múltiples formas de axiomatizar un dominio matemática dada.

Cualquier axioma es una declaración que sirve como punto de partida a partir del cual se derivan otras declaraciones lógicamente. Si tiene sentido (y, si es así, lo que significa) para un axioma a ser "verdadero" es un tema de debate en la filosofía de las matemáticas .

Etimología

La palabra axioma viene del griego palabra ἀξίωμα ( Axioma ), un sustantivo verbal del verbo ἀξιόειν ( axioein ), que significa "para considerar digna", sino también "para exigir", que a su vez proviene de ἄξιος ( Axios ), que significa " estar en equilibrio", y por lo tanto 'que tiene (la misma) valor (como)', 'digno', 'correcto'. Entre los antiguos griegos filósofos un axioma era una demanda que podría ser visto para ser verdad, sin necesidad de prueba.

El significado de la raíz de la palabra postulado es que la "demanda"; por ejemplo, Euclides exige que uno de acuerdo en que algunas cosas se pueden hacer, por ejemplo, dos puntos cualesquiera pueden estar unidos por una línea recta, etc.

Geómetras antiguos mantienen alguna distinción entre axiomas y postulados. Al comentar sobre los libros de Euclides, Proclo observa que, " Geminus sostuvo que esta [cuarto] postulado no debe ser clasificado como un postulado, sino como un axioma, ya que no lo hace, al igual que los tres primeros postulados, afirmar la posibilidad de alguna construcción, pero expresa una propiedad esencial ". Boecio tradujo 'postulado' como petitio y llamó a los axiomas notiones comunas pero en manuscritos posteriores este uso no siempre se mantuvo estrictamente.

Desarrollo historico

griegos temprana

El método lógico-deductivo mediante el cual las conclusiones (nuevo conocimiento) se derivan de los locales (conocimientos de edad) a través de la aplicación de argumentos sólidos ( silogismos , reglas de inferencia), fue desarrollado por los antiguos griegos, y se ha convertido en el principio fundamental de la matemática moderna. Tautologías excluidos, nada se puede deducir si nada se asume. Axiomas y postulados son los supuestos básicos que subyacen a una determinada masa de conocimiento deductivo. Ellos son aceptados sin demostración. Todas las demás afirmaciones ( teoremas , si estamos hablando de matemáticas) se deben probar con la ayuda de estos supuestos básicos. Sin embargo, la interpretación de los conocimientos matemáticos ha cambiado desde la antigüedad hasta la moderna, y en consecuencia los términos axioma y postulado mantener un significado ligeramente diferente para el día de hoy matemático, lo que lo hacían para Aristóteles y Euclides .

Los antiguos griegos consideraban la geometría tan sólo una de varias ciencias , y limitaron a los teoremas de la geometría a la par con los hechos científicos. Como tales, se desarrollan y utilizan el método lógico-deductivo como un medio de evitar el error, y para la estructuración y el conocimiento de comunicación. De Aristóteles análisis posterior es una exposición definitiva de la visión clásica.

Un "axioma", en la terminología clásica, se refiere a un supuesto evidente común a muchas ramas de la ciencia. Un buen ejemplo sería la afirmación de que

Cuando una cantidad igual se toma de iguales, da como resultado una cantidad igual.

En la base de las diversas ciencias sentar ciertas hipótesis adicionales que fueron aceptadas sin pruebas. Tal hipótesis se denomina postulado . Mientras que los axiomas eran comunes a muchas ciencias, los postulados de cada ciencia particular, eran diferentes. Su validez tuvo que ser establecida por medio de la experiencia del mundo real. De hecho, Aristóteles advierte que el contenido de una ciencia no se puede comunicar con éxito, si el alumno está en duda sobre la verdad de los postulados.

El enfoque clásico es bien ilustrado por los Elementos de Euclides , donde se da una lista de postulados (hechos geométricas de sentido común extraídas de nuestra experiencia), seguido de una lista de "nociones comunes" (, afirmaciones muy básicas evidentes por sí mismas).

postulados
  1. Es posible trazar una línea recta desde cualquier punto a cualquier otro punto.
  2. Es posible extender un segmento de línea continua en ambas direcciones.
  3. Es posible describir un círculo con cualquier centro y cualquier radio.
  4. Es cierto que todos los ángulos rectos son iguales entre sí.
  5. ( " Postulado paralelo ") Es cierto que, si una línea recta que cae sobre dos líneas rectas hacer que los ángulos interiores en el mismo lado menos de dos ángulos rectos, las dos líneas rectas, si se produce de forma indefinida, se cruzan en el lado en que están los ángulos inferiores a los dos ángulos rectos.
nociones comunes
  1. Cosas que son iguales a la misma cosa son también iguales entre sí.
  2. Si se añaden iguales a iguales, los son iguales.
  3. Si los iguales se restan de iguales, los restos son iguales.
  4. Cosas que coinciden con uno de otro son iguales entre sí.
  5. El todo es mayor que la parte.

El desarrollo moderno

Una lección aprendida por las matemáticas en los últimos 150 años es que es útil para pelar el significado lejos de las afirmaciones matemáticas (axiomas, postulados, proposiciones , teoremas y definiciones). Hay que reconocer la necesidad de nociones primitivas , o términos o conceptos no definidos, en ningún estudio. Tal abstracción o la formalización hace que el conocimiento matemático más general, capaz de múltiples significados diferentes, y por lo tanto útil en varios contextos. Alessandro Padoa , Mario Pieri , y Giuseppe Peano fueron pioneros en este movimiento.

Matemáticas estructuralistas va más allá y desarrolla teorías y axiomas (por ejemplo, la teoría de campos , la teoría de grupos , topología , espacios vectoriales ) sin cualquier aplicación particular en mente. La distinción entre un "axioma" y un "postulado" desaparece. Los postulados de Euclides están motivados de manera rentable diciendo que conducen a una gran cantidad de datos geométricos. La verdad de estos hechos complicados se basa en la aceptación de las hipótesis básicas. Sin embargo, al tirar el quinto postulado de Euclides obtenemos teorías que tienen significado en contextos más amplios, la geometría hiperbólica , por ejemplo. Simplemente hay que estar preparado para usar etiquetas como "línea" y "paralelo" con mayor flexibilidad. El desarrollo de los matemáticos de la geometría hiperbólica enseñó que los postulados deben ser considerados como puramente declaraciones formales, y no como hechos basados en la experiencia.

Cuando los matemáticos emplean los campos axiomas, las intenciones son aún más abstracto. Las proposiciones de la teoría de campo no se refieren a cualquier aplicación particular; el matemático ahora trabaja en la abstracción completa. Hay muchos ejemplos de campos; la teoría del campo da el conocimiento correcto sobre todos ellos.

No es correcto decir que los axiomas de la teoría de campo son "proposiciones que son consideradas como verdadera sin pruebas." Por el contrario, los axiomas de campo son un conjunto de restricciones. Si cualquier sistema dado de la suma y la multiplicación satisface estas limitaciones, entonces uno está en condiciones de conocer al instante una gran cantidad de información adicional sobre este sistema.

Las matemáticas modernas formaliza sus cimientos hasta el punto de que las teorías matemáticas pueden ser considerados como objetos matemáticos, y las matemáticas en sí puede considerarse como una rama de la lógica . Frege , Russell , Poincaré , Hilbert y Gödel son algunas de las figuras clave en este desarrollo.

En la comprensión moderna, un conjunto de axiomas es cualquier colección de afirmaciones expresadas formalmente a partir del cual otras afirmaciones formalmente indicadas a continuación por la aplicación de ciertas reglas bien definidas. En este punto de vista, la lógica se convierte en otro sistema formal. Un conjunto de axiomas debe ser coherente ; que debería ser imposible deducir una contradicción del axioma. Un conjunto de axiomas también debe ser no redundante; una afirmación que puede deducirse de otros axiomas no tiene por qué ser considerado como un axioma.

Fue a principios de los lógicos modernos esperanza de que diversas ramas de las matemáticas, tal vez todas las matemáticas, se podría derivar de una colección consistente de axiomas básicos. Un éxito inicial del programa formalista de Hilbert era la formalización de la geometría euclidiana , y la demostración relacionados con la consistencia de los axiomas.

En un contexto más amplio, hubo un intento de basar todas las matemáticas en la de Cantor teoría de conjuntos . Aquí la aparición de la paradoja de Russell , y antinomias similares de la teoría de conjuntos ingenua planteó la posibilidad de que tal sistema podría llegar a ser inconsistente.

El proyecto formalista sufrió un revés decisivo, cuando en 1931 Gödel demostró que es posible, por cualquier suficientemente grande conjunto de axiomas ( axiomas de Peano , por ejemplo) para construir una instrucción cuya verdad es independiente de que el conjunto de axiomas. Como corolario , Gödel demostró que la consistencia de una teoría como la aritmética de Peano es una afirmación indemostrable dentro del alcance de esa teoría.

Es razonable creer en la consistencia de la aritmética de Peano, ya que es satisfecha por el sistema de números naturales , una infinita sistema formal, pero intuitivamente accesible. Sin embargo, en la actualidad, no se conoce ninguna manera de demostrar la consistencia de los modernos axiomas Zermelo-Fraenkel para la teoría de conjuntos. Además, el uso de técnicas de forzamiento ( Cohen ) se puede demostrar que la hipótesis del continuo (Cantor) es independiente de los axiomas de Zermelo-Fraenkel. Por lo tanto, incluso este conjunto muy general de axiomas no puede considerarse como la base definitiva para las matemáticas.

otras ciencias

Axiomas juegan un papel fundamental no sólo en matemáticas, sino también en otras ciencias, sobre todo en la física teórica . En particular, el trabajo monumental de Isaac Newton se basa esencialmente en Euclides axiomas 's, aumentados por un postulado relativo a la no relación de espacio-tiempo y la física que tienen lugar en él en cualquier momento.

En 1905, los axiomas de Newton fueron sustituidos por los de Albert Einstein 's la relatividad especial , y más tarde por los de la relatividad general .

Otro artículo de Albert Einstein y compañeros de trabajo (véase la Paradoja EPR ), casi contradicho inmediatamente por Niels Bohr , se refería a la interpretación de la mecánica cuántica . Esto fue en 1935. De acuerdo con Bohr, esta nueva teoría debe ser probabilística , mientras que, según Einstein debe ser determinista . En particular, la teoría de la mecánica cuántica subyacente, es decir, el conjunto de "teoremas" derivados por ella, parecía ser idénticos. Einstein incluso asumió que sería suficiente para añadir a la mecánica cuántica "variables ocultas" para hacer cumplir el determinismo. Sin embargo, treinta años más tarde, en 1964, John Bell encontró un teorema, que implica correlaciones ópticos complicados (ver desigualdades de Bell ), que produjo mensurable diferentes resultados usando los axiomas de Einstein en comparación con el uso de axiomas de Bohr. Y tardó unos veinte años, hasta que un experimento de Alain Aspect obtuvo resultados en favor de los axiomas de Bohr, no la de Einstein. (Axiomas de Bohr son simplemente: La teoría debe ser probabilística en el sentido de la interpretación de Copenhague ).

Como consecuencia, no es necesario citar expresamente axiomas de Einstein, tanto más cuanto que se refieren a los puntos sutiles en la "realidad" y "localidad" de experimentos.

Independientemente, el papel de axiomas en matemáticas y en las ciencias mencionados anteriormente es diferente. En matemáticas uno ni "prueba" ni "refuta" un axioma para un conjunto de teoremas; El punto es simplemente que en el ámbito conceptual identificado por los axiomas, los teoremas siguen lógicamente. Por el contrario, en la física una comparación con los experimentos siempre tiene sentido, ya que una falsa teoría física necesita modificación.

La lógica matemática

En el campo de la lógica matemática , una distinción clara entre dos nociones de axiomas: lógico y no lógico (algo similar a la antigua distinción entre "axiomas" y "postulados", respectivamente).

axiomas lógicos

Estos son ciertas fórmulas en un lenguaje formal que son universalmente válidos , es decir, fórmulas que son satisfechas por cada asignación de valores. Por lo general se toma como axiomas lógicos al menos un conjunto mínimo de tautologías que es suficiente para probar todas las tautologías en el idioma; en el caso de la lógica de predicados se requieren axiomas lógicos más que eso, con el fin de demostrar las verdades lógicas que no son tautologías en el sentido estricto.

Ejemplos

Lógica proposicional

En la lógica de proposiciones es común para tomar axiomas lógicos todas las fórmulas de las formas siguientes, donde , y puede ser cualquier fórmula de la lengua y donde los incluidos conectivas primitivos son sólo " " para la negación de la inmediatamente siguiente proposición y " " para implicación de antecedente a consecuente proposiciones:

Cada uno de estos patrones es un esquema del axioma , una regla para generar un número infinito de axiomas. Por ejemplo, si , y son variables proposicionales , a continuación, y son las dos instancias de esquema del axioma 1, y por lo tanto son axiomas. Se puede demostrar que, con sólo estos tres esquemas axioma y el modus ponens , se puede probar todas las tautologías del cálculo proposicional. También puede demostrarse que ningún par de estos esquemas es suficiente para probar todas las tautologías con modus ponens .

Otros esquemas axioma que implican los mismos o diferentes conjuntos de conectivas primitivas pueden ser alternativamente construidos.

Estos esquemas axioma también se utilizan en el cálculo de predicados , pero se necesitan axiomas lógicos adicionales para incluir un cuantificador en el cálculo.

La lógica de primer orden

Axioma de Igualdad. Dejar que sea un lenguaje de primer orden . Para cada variable , la fórmula

es universalmente válido.

Esto significa que, para cualquier símbolo de la variable la fórmula puede ser considerado como un axioma. Además, en este ejemplo, para que esto no caer en la vaguedad y una serie interminable de "nociones primitivas", bien una idea precisa de lo que entendemos por (o, para el caso, "a ser igual") tiene que ser así estableció por primera vez, o un uso puramente formal y sintáctico del símbolo tiene que ser forzada, sólo en cuanto a como una cadena y sólo una cadena de símbolos, y la lógica matemática en efecto hacer eso.

Otro ejemplo, más interesante esquema de axioma , es la que nos proporciona lo que se conoce como universal de instancias :

Esquema de axioma para Universal de instancias. Dada una fórmula en un lenguaje de primer orden , una variable y un término que es sustituible para en , la fórmula

es universalmente válido.

Donde el símbolo representa la fórmula con el término sustituido para . (Véase Sustitución de variables .) En términos informales, este ejemplo nos permite afirmar que, si sabemos que una determinada propiedad se cumple para todos los y que representa un objeto en particular en nuestra estructura, entonces deberíamos ser capaces de reclamar . Una vez más, estamos reclamando que la fórmula es válida , es decir, debemos ser capaces de dar una "prueba" de este hecho, o más propiamente hablando, un metaproof . En realidad, estos ejemplos son metatheorems de nuestra teoría de la lógica matemática ya que estamos tratando con el mismo concepto de la prueba en sí. Aparte de esto, también podemos tener generalización existencial :

Esquema de axioma para existencial generalización. Dada una fórmula en un lenguaje de primer orden , una variable y un término que es sustituible para en , la fórmula

es universalmente válido.

axiomas no lógicos

Axiomas no-lógicos son fórmulas que desempeñan el papel de los supuestos de la teoría específica. Razonamiento acerca de dos estructuras diferentes, por ejemplo los números naturales y los números enteros , puede implicar los mismos axiomas lógicos; los axiomas no lógicos tienen como objetivo captar lo que es especial acerca de una estructura particular (o un conjunto de estructuras, tales como grupos ). Axiomas lo tanto no lógicos, a diferencia de axiomas lógicos, no son tautologías . Otro nombre para un axioma no lógico es postulado .

Casi todos los modernos teoría matemática comienza a partir de un conjunto dado de axiomas no-lógicos, y se pensó que, en principio, toda teoría podría axiomatizada de esta manera y formalizado hasta el lenguaje desnudo de fórmulas lógicas.

Axiomas no-lógicos a menudo se refieren simplemente como axiomas en matemática discurso . Esto no quiere decir que se afirma que son verdaderas en un sentido absoluto. Por ejemplo, en algunos grupos, la operación del grupo es conmutativo , y esto se puede afirmar con la introducción de un axioma adicional, pero sin este axioma podemos hacer bastante bien en desarrollo (el más general) la teoría de grupos, y que incluso puede tomar su negación como un axioma para el estudio de los grupos no conmutativos.

Por lo tanto, un axioma es una base elemental para un sistema de lógica formal que, junto con las reglas de inferencia definen un sistema deductivo .

Ejemplos

Esta sección proporciona ejemplos de teorías matemáticas que se desarrollan por completo de un conjunto de axiomas no lógicos (axiomas, de ahora en adelante). Un tratamiento riguroso de cualquiera de estos temas comienza con una especificación de estos axiomas.

Teorías básicas, tales como aritmética , análisis real y complejo análisis se introducen a menudo no axiomáticamente, pero implícita o explícitamente no es generalmente una suposición de que los axiomas que se utilizan son los axiomas de Zermelo-Fraenkel la teoría de conjuntos con la elección, abreviado ZFC, o algún sistema muy similar de la teoría de conjuntos axiomático como Von Neumann-Bernays-Gödel la teoría de conjuntos , una extensión conservadora de ZFC. Teorías veces un poco más fuertes como Morse-Kelley la teoría de conjuntos o de la teoría de conjuntos con un cardenal fuertemente inaccesible lo que permite el uso de un universo de Grothendieck se utilizan, pero en realidad la mayoría de los matemáticos pueden probar en realidad todo lo que necesitan en los sistemas más débiles que ZFC, como segunda ordenar la aritmética .

El estudio de la topología en matemáticas se extiende por todo a través de la topología de punto de ajuste , la topología algebraica , topología diferencial , y toda la parafernalia relacionada, como teoría de la homología , la teoría homotopy . El desarrollo del álgebra abstracta trajo consigo misma teoría de grupos , anillos , campos , y la teoría de Galois .

Esta lista podría ampliarse para incluir la mayoría de los campos de las matemáticas, incluyendo teoría de la medida , la teoría ergódica , probabilidad , teoría de la representación , y la geometría diferencial .

Aritmética

Los axiomas de Peano son los más ampliamente utilizado axiomatización de la aritmética de primer orden . Son un conjunto de axiomas lo suficientemente fuertes para probar muchos hechos importantes acerca de la teoría de números y permitieron Gödel para establecer su famoso segundo teorema de incompletitud .

Tenemos una lengua donde es un símbolo constante y es una función unaria y los siguientes axiomas:

  1. para cualquier fórmula con una variable libre.

La estructura estándar es de donde es el conjunto de números naturales, es la función sucesor y se interpreta de forma natural como el número 0.

Geometría euclidiana

Probablemente el más antiguo, y el más famoso, lista de axiomas son los 4 + 1 postulados de Euclides de geometría plana . Los axiomas se denominan como "4 + 1", porque durante casi dos milenios la quinta (paralelo) postulan ( "a través de un punto fuera de una línea hay exactamente un paralelo") fue sospechoso de ser derivable de la primera de cuatro. En última instancia, se encontró que el quinto postulado para ser independiente de los cuatro primeros. De hecho, se puede suponer que exactamente un paralelo a través de un punto exterior existe una línea, o que un número infinito de existir. Esta elección nos da dos formas alternativas de la geometría en la que el interior ángulos de un triángulo suman exactamente 180 grados o menos, respectivamente, y se conocen como euclidiana y hiperbólicas geometrías. Si uno también elimina el segundo postulado ( "una línea se puede extender indefinidamente"), entonces la geometría elíptica surge, donde no hay paralelo a través de un punto fuera de una línea, y en la que los ángulos interiores de un triángulo suman más de 180 grados .

análisis real

Los objetivos del estudio son dentro del dominio de los números reales . Los números reales son recogidos de forma única a cabo (hasta isomorfismo ) por las propiedades de un campo Dedekind complete Se ordenada , lo que significa que cualquier conjunto no vacío de números reales con una cota superior tiene un extremo superior. Sin embargo, expresando estas propiedades como axiomas requiere el uso de lógica de segundo orden . Los teoremas Löwenheim-Skolem nos dicen que si nos limitamos a la lógica de primer orden , cualquier sistema de axiomas de los números reales admite otros modelos, incluyendo los dos modelos que son menores que los reales y los modelos que son más grandes. Algunos de estos últimos se estudian en análisis no estándar .

Papel en la lógica matemática

sistemas deductivos y exhaustividad

A deductivo sistema consiste en un conjunto de axiomas lógicos, un conjunto de axiomas no lógicos, y un conjunto de reglas de inferencia . Una propiedad deseable de un sistema deductivo es que sea completa . Un sistema se dice que es completo si, para todas las fórmulas ,

es decir, para cualquier afirmación de que es una consecuencia lógica de que hay realmente existe una deducción de la declaración . Esto se expresa a veces como "todo lo que es verdad es demostrable", pero debe entenderse que la "verdadera" aquí significa "hecho cierto por el conjunto de axiomas", y no, por ejemplo, "verdad en la interpretación pretendida". Teorema de completitud de Gödel establece la integridad de un cierto tipo de uso común del sistema deductivo.

Tenga en cuenta que "integridad" tiene un significado diferente aquí que lo hace en el contexto del primer teorema de incompletitud de Gödel , que establece que no recursivo , consistente conjunto de axiomas no-lógicos de la teoría de la aritmética es completa , en el sentido de que siempre habrá existir una declaración aritmética tal que ni tampoco se puede probar desde el conjunto dado de axiomas.

Existe por tanto, por una parte, la noción de integridad de un sistema deductivo y por otra parte la de integridad de un conjunto de axiomas no-lógicos . El teorema de completitud y el teorema de incompletitud, a pesar de su nombre, no se contradicen entre sí.

Más discusión

Los primeros matemáticos consideran la geometría axiomática como un modelo de espacio físico , y, obviamente, sólo puede haber uno de estos modelos. La idea de que los sistemas matemáticos alternativos pudieran existir era muy preocupante para los matemáticos del siglo 19 y los desarrolladores de sistemas tales como el álgebra de Boole hizo esfuerzos elaborados para derivarlos de la aritmética tradicional. Galois mostró poco antes de su muerte prematura que estos esfuerzos fueron en vano en gran medida. En última instancia, se observaron los paralelos abstractos entre los sistemas algebraicos a ser más importante que los detalles y álgebra moderna nació. En la visión moderna axiomas puede ser cualquier conjunto de fórmulas, siempre y cuando ellos no son conocidos por ser inconsistente.

Ver también

referencias

Otras lecturas

enlaces externos