Teoría de los números -Number theory

La distribución de los números primos es un punto central de estudio en la teoría de números. Esta espiral de Ulam sirve para ilustrarlo, insinuando, en particular, la independencia condicional entre ser primo y ser un valor de ciertos polinomios cuadráticos.

La teoría de números (o aritmética o aritmética superior en el uso antiguo) es una rama de las matemáticas puras dedicada principalmente al estudio de los números enteros y las funciones con valores enteros . El matemático alemán Carl Friedrich Gauss (1777–1855) dijo: "Las matemáticas son la reina de las ciencias, y la teoría de números es la reina de las matemáticas". Los teóricos de los números estudian los números primos , así como las propiedades de los objetos matemáticos hechos de números enteros (por ejemplo, números racionales ) o definidos como generalizaciones de los números enteros (por ejemplo, números enteros algebraicos ).

Los números enteros pueden considerarse en sí mismos o como soluciones de ecuaciones ( geometría diofántica ). Las preguntas en teoría de números a menudo se entienden mejor a través del estudio de objetos analíticos (por ejemplo, la función zeta de Riemann ) que codifican propiedades de los números enteros, primos u otros objetos de teoría de números de alguna manera ( teoría analítica de números ). También se pueden estudiar los números reales en relación con los números racionales, por ejemplo, aproximados por estos últimos ( aproximación diofántica ).

El término más antiguo para la teoría de números es aritmética . A principios del siglo XX, había sido reemplazada por la "teoría de números". (El público en general utiliza la palabra " aritmética " para referirse a " cálculos elementales "; también ha adquirido otros significados en lógica matemática , como en la aritmética de Peano , y en informática , como en la aritmética de punto flotante ). El término aritmética para la teoría de números recuperó algo de terreno en la segunda mitad del siglo XX, posiblemente en parte debido a la influencia francesa. En particular, la aritmética se prefiere comúnmente como adjetivo a la teoría de números .

Historia

Orígenes

El amanecer de la aritmética

La tableta Plimpton 322

El hallazgo histórico más antiguo de carácter aritmético es un fragmento de una tabla: la tablilla de arcilla rota Plimpton 322 ( Larsa, Mesopotamia , ca. 1800 a. C.) contiene una lista de " tripas pitagóricas ", es decir, números enteros tales que . Los triples son demasiados y demasiado grandes para haber sido obtenidos por la fuerza bruta . El encabezado sobre la primera columna dice: "El takiltum de la diagonal que se ha restado de tal manera que el ancho..."

El diseño de la mesa sugiere que fue construida por medio de lo que equivale, en lenguaje moderno, a la identidad

que está implícito en los ejercicios rutinarios de la antigua Babilonia . Si se utilizaba algún otro método, los triples se construían primero y luego se reordenaban , presumiblemente para su uso real como una "tabla", por ejemplo, con miras a las aplicaciones.

No se sabe cuáles pueden haber sido estas aplicaciones, o si pudo haber alguna; La astronomía babilónica , por ejemplo, realmente se hizo realidad solo más tarde. En cambio, se ha sugerido que la tabla era una fuente de ejemplos numéricos para problemas escolares.

Mientras que la teoría de los números babilónicos —o lo que sobrevive de las matemáticas babilónicas que pueden llamarse así— consiste en este fragmento único y sorprendente, el álgebra babilónica (en el sentido de " álgebra " de la escuela secundaria) estaba excepcionalmente bien desarrollada. Fuentes neoplatónicas tardías afirman que Pitágoras aprendió matemáticas de los babilonios. Fuentes mucho más antiguas afirman que Tales y Pitágoras viajaron y estudiaron en Egipto .

Euclides IX 21-34 es muy probablemente pitagórico; es un material muy simple ("los tiempos impares son pares", "si un número impar mide [= divide] un número par, entonces también mide [= divide] la mitad de él"), pero es todo lo que se necesita para probar que es irracional . Los místicos pitagóricos dieron gran importancia a los pares e impares. El descubrimiento de lo irracional se atribuye a los primeros pitagóricos (anteriores a Teodoro ). Al revelar (en términos modernos) que los números podían ser irracionales, este descubrimiento parece haber provocado la primera crisis fundamental en la historia de las matemáticas; su prueba o su divulgación se atribuyen a veces a Hipaso , que fue expulsado o escindido de la secta pitagórica. Esto obligó a distinguir entre números (enteros y racionales, los sujetos de la aritmética), por un lado, y longitudes y proporciones (que identificaríamos con números reales, racionales o no), por otro lado.

La tradición pitagórica hablaba también de los llamados números poligonales o figurados . Si bien los números cuadrados , los números cúbicos , etc., se consideran ahora más naturales que los números triangulares , los números pentagonales , etc., el estudio de las sumas de los números triangulares y pentagonales resultaría fructífero a principios del período moderno (siglo XVII a principios del siglo XIX). ).

No conocemos ningún material claramente aritmético en las fuentes egipcias o védicas antiguas, aunque hay algo de álgebra en cada una. El teorema del resto chino aparece como un ejercicio en Sunzi Suanjing (siglos III, IV o V d.C.). (Hay un paso importante que se pasa por alto en la solución de Sunzi: es el problema que luego resolvió el Kuṭṭaka de Āryabhaṭa ; ver más abajo ).

También hay algo de misticismo numérico en las matemáticas chinas, pero, a diferencia de los pitagóricos, parece no haber llevado a ninguna parte. Como los números perfectos de los pitagóricos , los cuadrados mágicos han pasado de la superstición a la recreación .

Grecia clásica y el período helenístico temprano

Aparte de unos pocos fragmentos, conocemos las matemáticas de la Grecia clásica a través de informes de no matemáticos contemporáneos o de obras matemáticas del período helenístico temprano. En el caso de la teoría de números, esto significa, en general, Platón y Euclides , respectivamente.

Si bien las matemáticas asiáticas influyeron en el aprendizaje griego y helenístico, parece ser que las matemáticas griegas también son una tradición indígena.

Eusebio , PE X, capítulo 4 menciona a Pitágoras :

"De hecho, dicho Pitágoras, mientras estudiaba afanosamente la sabiduría de cada nación, visitó Babilonia, Egipto y toda Persia, siendo instruido por los magos y los sacerdotes: y además de estos se dice que estudió con los brahmanes ( estos son filósofos indios); y de unos tomó astrología, de otros geometría, y de otros aritmética y música, y cosas diferentes de diferentes naciones, y sólo de los sabios de Grecia no obtuvo nada, casados ​​como estaban con un pobreza y escasez de sabiduría: por el contrario, él mismo se convirtió en el autor de la instrucción de los griegos en el conocimiento que había obtenido del extranjero".

Aristóteles afirmó que la filosofía de Platón seguía de cerca las enseñanzas de los pitagóricos, y Cicerón repite esta afirmación: Platonem ferunt didicisse Pythagorea omnia ("Dicen que Platón aprendió todo lo pitagórico").

Platón tenía un gran interés por las matemáticas y distinguía claramente entre aritmética y cálculo. (Por aritmética se refería, en parte, a teorizar sobre los números, en lugar de lo que la aritmética o la teoría de los números han llegado a significar). Es a través de uno de los diálogos de Platón, a saber, Teeteto , que sabemos que Teodoro había demostrado que son irracionales. Teeteto fue, como Platón, discípulo de Teodoro; Trabajó en la distinción de diferentes tipos de inconmensurables y, por lo tanto, podría decirse que fue un pionero en el estudio de los sistemas numéricos . ( Papo describe el Libro X de los Elementos de Euclides como basado en gran medida en el trabajo de Teeteto).

Euclides dedicó parte de sus Elementos a los números primos y la divisibilidad, temas que pertenecen inequívocamente a la teoría de números y son básicos para ella (Libros VII a IX de los Elementos de Euclides ). En particular, dio un algoritmo para calcular el máximo común divisor de dos números (el algoritmo de Euclides ; Elementos , Prop. VII.2) y la primera prueba conocida de la infinitud de los números primos ( Elementos , Prop. IX.20).

En 1773, Lessing publicó un epigrama que había encontrado en un manuscrito durante su trabajo como bibliotecario; afirmaba ser una carta enviada por Arquímedes a Eratóstenes . El epigrama proponía lo que se conoce como el problema del ganado de Arquímedes ; su solución (ausente en el manuscrito) requiere resolver una ecuación cuadrática indeterminada (que se reduce a lo que luego sería mal llamada ecuación de Pell ). Por lo que sabemos, tales ecuaciones fueron tratadas con éxito por primera vez por la escuela india . No se sabe si el propio Arquímedes tenía un método de solución.

Diofanto

Portada de la edición de 1621 de la Arithmetica de Diofanto , traducida al latín por Claude Gaspard Bachet de Méziriac .

Se sabe muy poco sobre Diofanto de Alejandría ; probablemente vivió en el siglo III dC, es decir, unos quinientos años después de Euclides. Seis de los trece libros de la Aritmética de Diofanto sobreviven en el griego original y cuatro más sobreviven en una traducción al árabe. La Aritmética es una colección de problemas resueltos donde la tarea es invariablemente encontrar soluciones racionales a un sistema de ecuaciones polinómicas, generalmente de la forma o . Así, hoy en día, hablamos de ecuaciones diofánticas cuando hablamos de ecuaciones polinómicas a las que hay que encontrar soluciones racionales o enteras.

Se puede decir que Diofanto estaba estudiando puntos racionales, es decir, puntos cuyas coordenadas son racionales, en curvas y variedades algebraicas ; sin embargo, a diferencia de los griegos del período clásico, que hicieron lo que ahora llamamos álgebra básica en términos geométricos, Diofanto hizo lo que ahora llamamos geometría algebraica básica en términos puramente algebraicos. En lenguaje moderno, lo que hizo Diofanto fue encontrar parametrizaciones racionales de variedades; es decir, dada una ecuación de la forma (digamos) , su objetivo era encontrar (en esencia) tres funciones racionales tales que, para todos los valores de y , estableciendo para da una solución a

Diofanto también estudió las ecuaciones de algunas curvas no racionales, para las cuales no es posible una parametrización racional. Logró encontrar algunos puntos racionales en estas curvas (curvas elípticas , por cierto, en lo que parece ser su primera ocurrencia conocida) por medio de lo que equivale a una construcción tangente: traducida a geometría de coordenadas (que no existía en la época de Diofanto ), su método se visualizaría dibujando una tangente a una curva en un punto racional conocido y luego encontrando el otro punto de intersección de la tangente con la curva; ese otro punto es un nuevo punto racional. (Diofanto también recurrió a lo que podría llamarse un caso especial de construcción secante).

Si bien Diofanto se preocupó en gran medida por las soluciones racionales, asumió algunos resultados sobre números enteros, en particular, que todo número entero es la suma de cuatro cuadrados (aunque nunca lo dijo tan explícitamente).

Āryabhaṭa, Brahmagupta, Bhāskara

Si bien la astronomía griega probablemente influyó en el aprendizaje indio, hasta el punto de introducir la trigonometría, parece ser que las matemáticas indias son, por lo demás, una tradición indígena; en particular, no hay evidencia de que los Elementos de Euclides llegaran a la India antes del siglo XVIII.

Āryabhaṭa (476–550 d. C.) demostró que los pares de congruencias simultáneas podían resolverse mediante un método que llamó kuṭṭaka , o pulverizador ; este es un procedimiento cercano a (una generalización de) el algoritmo de Euclides , que probablemente fue descubierto de forma independiente en la India. Āryabhaṭa parece haber tenido en mente aplicaciones a los cálculos astronómicos.

Brahmagupta (628 d. C.) inició el estudio sistemático de las ecuaciones cuadráticas indefinidas, en particular, la mal llamada ecuación de Pell , en la que Arquímedes pudo haberse interesado primero, y que no comenzó a resolverse en Occidente hasta la época de Fermat y Euler. Los autores sánscritos posteriores seguirían, utilizando la terminología técnica de Brahmagupta. Un procedimiento general (el chakravala , o "método cíclico") para resolver la ecuación de Pell fue finalmente encontrado por Jayadeva (citado en el siglo XI; por lo demás, su trabajo se ha perdido); la exposición más antigua que se conserva aparece en la Bīja-gaṇita de Bhāskara II (siglo XII).

Las matemáticas indias permanecieron en gran medida desconocidas en Europa hasta finales del siglo XVIII; El trabajo de Brahmagupta y Bhāskara fue traducido al inglés en 1817 por Henry Colebrooke .

La aritmética en la edad de oro islámica

Al-Haytham visto por Occidente: en el frontispicio de Selenographia Alhasen [ sic ] representa el conocimiento a través de la razón y Galileo el conocimiento a través de los sentidos.

A principios del siglo IX, el califa Al-Ma'mun ordenó la traducción de muchas obras matemáticas griegas y al menos una obra sánscrita (el Sindhind , que puede ser o no el Brāhmasphutasiddhānta de Brahmagupta ). La obra principal de Diofanto, la Aritmética , fue traducida al árabe por Qusta ibn Luqa (820–912). Parte del tratado al-Fakhri (de al-Karajī , 953 - ca. 1029) se basa en él hasta cierto punto. Según Rashed Roshdi, el contemporáneo de Al-Karajī, Ibn al-Haytham, sabía lo que más tarde se llamaría el teorema de Wilson .

Europa Occidental en la Edad Media

Aparte de un tratado sobre cuadrados en progresión aritmética de Fibonacci —quien viajó y estudió en el norte de África y Constantinopla— no se hizo ninguna teoría de números en Europa occidental durante la Edad Media. Las cosas empezaron a cambiar en Europa a finales del Renacimiento , gracias a un renovado estudio de las obras de la antigüedad griega. Un catalizador fue la enmienda textual y la traducción al latín de la Aritmética de Diofanto .

Teoría de números moderna temprana

Fermat

Pierre de Fermat (1607-1665) nunca publicó sus escritos; en particular, su trabajo sobre teoría de números está contenido casi en su totalidad en cartas a matemáticos y en notas marginales privadas. En sus notas y cartas apenas escribió pruebas, no tenía modelos en la zona.

Durante su vida, Fermat hizo las siguientes contribuciones al campo:

  • Uno de los primeros intereses de Fermat fueron los números perfectos (que aparecen en Euclides, Elementos IX) y los números amistosos ; estos temas lo llevaron a trabajar sobre los divisores enteros , que estuvieron desde el principio entre los temas de la correspondencia (1636 en adelante) que lo pusieron en contacto con la comunidad matemática de la época.
  • En 1638, Fermat afirmó, sin pruebas, que todos los números enteros pueden expresarse como la suma de cuatro cuadrados o menos.
  • Pequeño teorema de Fermat (1640): si a no es divisible por un primo p , entonces
  • Si ayb son coprimos , entonces no es divisible por ningún primo congruente con −1 módulo 4; y todo primo congruente con 1 módulo 4 se puede escribir en la forma . Estas dos declaraciones también datan de 1640; en 1659, Fermat le dijo a Huygens que había probado la última afirmación por el método del descenso infinito .
  • En 1657, Fermat planteó el problema de resolver como un desafío a los matemáticos ingleses. El problema fue resuelto en pocos meses por Wallis y Brouncker. Fermat consideró que su solución era válida, pero señaló que habían proporcionado un algoritmo sin prueba (al igual que Jayadeva y Bhaskara, aunque Fermat no estaba al tanto de esto). Afirmó que se podía encontrar una prueba por descenso infinito.
  • Fermat afirmó y demostró (por descenso infinito) en el apéndice de las Observaciones sobre Diofanto (Obs. XLV) que no tiene soluciones no triviales en los números enteros. Fermat también mencionó a sus corresponsales que no tiene soluciones no triviales, y que esto también podría probarse por descenso infinito. La primera prueba conocida se debe a Euler (1753; ciertamente por descendencia infinita).
  • Fermat afirmó ( El último teorema de Fermat ) haber demostrado que no hay soluciones para todos ; esta afirmación aparece en sus anotaciones en los márgenes de su copia de Diofanto.

Euler

El interés de Leonhard Euler (1707-1783) por la teoría de los números se estimuló por primera vez en 1729, cuando un amigo suyo, el aficionado Goldbach , le señaló algunos de los trabajos de Fermat sobre el tema. Esto se ha llamado el "renacimiento" de la teoría de números moderna, después de la relativa falta de éxito de Fermat en llamar la atención de sus contemporáneos sobre el tema. El trabajo de Euler sobre teoría de números incluye lo siguiente:

  • Pruebas de las afirmaciones de Fermat. Esto incluye el pequeño teorema de Fermat (generalizado por Euler a módulos no primos); el hecho de que si y sólo si ; trabajo inicial hacia una prueba de que todo número entero es la suma de cuatro cuadrados (la primera prueba completa es de Joseph-Louis Lagrange (1770), pronto mejorada por el propio Euler); la falta de soluciones enteras distintas de cero para (lo que implica el caso n = 4 del último teorema de Fermat, el caso n = 3 del cual Euler también demostró mediante un método relacionado).
  • La ecuación de Pell , mal nombrada por primera vez por Euler. Escribió sobre el vínculo entre las fracciones continuas y la ecuación de Pell.
  • Primeros pasos hacia la teoría analítica de números . En su trabajo de sumas de cuatro cuadrados, particiones , números pentagonales y la distribución de números primos, Euler fue pionero en el uso de lo que puede verse como análisis (en particular, series infinitas) en la teoría de números. Dado que vivió antes del desarrollo del análisis complejo , la mayor parte de su trabajo se restringe a la manipulación formal de series de potencias . Sin embargo, hizo algunos trabajos tempranos muy notables (aunque no del todo rigurosos) sobre lo que más tarde se llamaría la función zeta de Riemann .
  • Formas cuadráticas . Siguiendo el ejemplo de Fermat, Euler investigó más a fondo sobre la cuestión de qué números primos se pueden expresar en la forma , algunos de los cuales prefiguran la reciprocidad cuadrática .
  • Ecuaciones diofánticas . Euler trabajó en algunas ecuaciones de Diofanto de género 0 y 1. En particular, estudió el trabajo de Diofanto ; trató de sistematizarlo, pero aún no había llegado el momento para tal esfuerzo: la geometría algebraica aún estaba en su infancia. Sí notó que había una conexión entre los problemas diofánticos y las integrales elípticas , cuyo estudio él mismo había iniciado.
"Aquí había un problema que yo, un niño de 10 años, podía entender, y supe desde ese momento que nunca lo dejaría pasar. Tenía que resolverlo". – Sir Andrew Wiles sobre su demostración del último teorema de Fermat .

Lagrange, Legendre y Gauss

Joseph-Louis Lagrange (1736-1813) fue el primero en dar pruebas completas de algunos de los trabajos y observaciones de Fermat y Euler, por ejemplo, el teorema de los cuatro cuadrados y la teoría básica de la mal llamada "ecuación de Pell" (para la cual un algoritmo algorítmico La solución fue encontrada por Fermat y sus contemporáneos, y también por Jayadeva y Bhaskara II antes que ellos.) También estudió formas cuadráticas en total generalidad (en oposición a ), definiendo su relación de equivalencia, mostrando cómo ponerlas en forma reducida, etc.

Adrien-Marie Legendre (1752–1833) fue el primero en establecer la ley de reciprocidad cuadrática. También conjeturó lo que equivale al teorema de los números primos y al teorema de Dirichlet sobre las progresiones aritméticas . Dio un tratamiento completo de la ecuación y trabajó en formas cuadráticas a lo largo de las líneas desarrolladas más tarde por Gauss. En su vejez, fue el primero en demostrar el último teorema de Fermat (completando el trabajo de Peter Gustav Lejeune Dirichlet , y acreditándolo tanto a él como a Sophie Germain ).

Carl Friedrich Gauss

En sus Disquisitiones Arithmeticae (1798), Carl Friedrich Gauss (1777-1855) demostró la ley de reciprocidad cuadrática y desarrolló la teoría de las formas cuadráticas (en particular, definiendo su composición). También introdujo algo de notación básica ( congruencias ) y dedicó una sección a cuestiones computacionales, incluidas las pruebas de primalidad. La última sección de Disquisitiones estableció un vínculo entre las raíces de la unidad y la teoría de números:

La teoría de la división del círculo... que se trata en la sec. 7 no pertenece por sí mismo a la aritmética, pero sus principios sólo pueden extraerse de la aritmética superior.

De esta manera, podría decirse que Gauss hizo una primera incursión tanto en el trabajo de Évariste Galois como en la teoría algebraica de números .

Madurez y división en subcampos

A partir de principios del siglo XIX, se produjeron gradualmente los siguientes desarrollos:

  • El surgimiento de la autoconciencia de la teoría de números (o aritmética superior ) como campo de estudio.
  • El desarrollo de gran parte de las matemáticas modernas necesarias para la teoría de números moderna básica: análisis complejo , teoría de grupos, teoría de Galois, acompañada de un mayor rigor en el análisis y abstracción en álgebra.
  • La subdivisión aproximada de la teoría de números en sus subcampos modernos, en particular, la teoría de números analítica y algebraica.

Se puede decir que la teoría algebraica de números comenzó con el estudio de la reciprocidad y la ciclotomía , pero realmente se hizo realidad con el desarrollo del álgebra abstracta y la teoría ideal temprana y la teoría de la valoración ; vea abajo. Un punto de partida convencional para la teoría analítica de números es el teorema de Dirichlet sobre progresiones aritméticas (1837), cuya prueba introdujo funciones L e involucró un análisis asintótico y un proceso de limitación en una variable real. El primer uso de ideas analíticas en teoría de números en realidad se remonta a Euler (década de 1730), quien utilizó series de potencias formales y argumentos limitantes no rigurosos (o implícitos). El uso del análisis complejo en teoría de números viene después: el trabajo de Bernhard Riemann (1859) sobre la función zeta es el punto de partida canónico; El teorema de los cuatro cuadrados de Jacobi (1839), que lo precede, pertenece a una vertiente inicialmente diferente que ahora ha tomado un papel principal en la teoría analítica de números ( formas modulares ).

La historia de cada subcampo se aborda brevemente en su propia sección a continuación; consulte el artículo principal de cada subcampo para tratamientos más completos. Muchas de las preguntas más interesantes en cada área permanecen abiertas y se están trabajando activamente.

Subdivisiones principales

Teoría elemental de números

El término elemental generalmente denota un método que no utiliza un análisis complejo . Por ejemplo, el teorema de los números primos se demostró por primera vez utilizando un análisis complejo en 1896, pero Erdős y Selberg no encontraron una prueba elemental hasta 1949 . El término es algo ambiguo: por ejemplo, las demostraciones basadas en teoremas tauberianos complejos (por ejemplo, Wiener-Ikehara ) a menudo se consideran bastante ilustrativas pero no elementales, a pesar de utilizar el análisis de Fourier, en lugar del análisis complejo como tal. Aquí como en otros lugares, una prueba elemental puede ser más larga y más difícil para la mayoría de los lectores que una no elemental.

Los teóricos de números Paul Erdős y Terence Tao en 1985, cuando Erdős tenía 72 años y Tao 10.

La teoría de los números tiene la reputación de ser un campo cuyos resultados pueden ser expresados ​​al profano. Al mismo tiempo, las pruebas de estos resultados no son particularmente accesibles, en parte porque la gama de herramientas que utilizan es, en todo caso, inusualmente amplia dentro de las matemáticas.

Teoría analítica de números

Función zeta de Riemann ζ( s ) en el plano complejo . El color de un punto s da el valor de ζ( s ): los colores oscuros denotan valores cercanos a cero y el matiz da el argumento del valor .
La acción del grupo modular en el semiplano superior . La región en gris es el dominio fundamental estándar .

La teoría analítica de números puede definirse

  • en cuanto a sus herramientas, como el estudio de los números enteros mediante herramientas de análisis reales y complejas; o
  • en términos de sus preocupaciones, como el estudio dentro de la teoría de números de estimaciones sobre el tamaño y la densidad, en oposición a las identidades.

Algunos temas generalmente considerados como parte de la teoría analítica de números, por ejemplo, la teoría de tamices , están mejor cubiertos por la segunda definición que por la primera: parte de la teoría de tamices, por ejemplo, usa poco análisis, pero pertenece a la teoría analítica de números. .

Los siguientes son ejemplos de problemas en la teoría analítica de números: el teorema de los números primos , la conjetura de Goldbach (o la conjetura de los primos gemelos , o las conjeturas de Hardy-Littlewood ), el problema de Waring y la hipótesis de Riemann . Algunas de las herramientas más importantes de la teoría analítica de números son el método del círculo , los métodos del tamiz y las funciones L (o, más bien, el estudio de sus propiedades). La teoría de las formas modulares (y, más generalmente, las formas automórficas ) también ocupa un lugar cada vez más central en la caja de herramientas de la teoría analítica de números.

Uno puede hacer preguntas analíticas sobre números algebraicos y usar medios analíticos para responder tales preguntas; es así como se cruzan la teoría algebraica y la analítica de números. Por ejemplo, uno puede definir ideales primos (generalizaciones de números primos en el campo de los números algebraicos) y preguntar cuántos ideales primos hay hasta cierto tamaño. Esta pregunta puede responderse mediante un examen de las funciones zeta de Dedekind , que son generalizaciones de la función zeta de Riemann , un objeto analítico clave en las raíces del tema. Este es un ejemplo de un procedimiento general en la teoría analítica de números: derivar información sobre la distribución de una secuencia (aquí, ideales primos o números primos) a partir del comportamiento analítico de una función de valores complejos construida adecuadamente.

teoría de números algebraicos

Un número algebraico es cualquier número complejo que es una solución a alguna ecuación polinomial con coeficientes racionales; por ejemplo, cada solución de (digamos) es un número algebraico. Los campos de números algebraicos también se llaman campos de números algebraicos , o campos de números abreviados . La teoría de números algebraicos estudia los campos numéricos algebraicos. Por lo tanto, la teoría analítica y la teoría algebraica de números pueden y se superponen: la primera se define por sus métodos, la segunda por sus objetos de estudio.

Se podría argumentar que Gauss ya estudió el tipo más simple de campos numéricos (a saber, campos cuadráticos), ya que la discusión de formas cuadráticas en Disquisitiones arithmeticae se puede reformular en términos de ideales y normas en campos cuadráticos. (Un campo cuadrático consta de todos los números de la forma , donde y son números racionales y es un número racional fijo cuya raíz cuadrada no es racional). De hecho, el método chakravala del siglo XI equivale, en términos modernos, a un algoritmo para encontrar las unidades de un cuerpo numérico cuadrático real. Sin embargo, ni Bhāskara ni Gauss conocían los campos numéricos como tales.

Los fundamentos del tema tal como lo conocemos se asentaron a finales del siglo XIX, cuando se desarrollaron los números ideales , la teoría de los ideales y la teoría de la valoración ; estas son tres formas complementarias de lidiar con la falta de factorización única en campos numéricos algebraicos. (Por ejemplo, en el campo generado por los racionales y , el número se puede factorizar como y ; todos los de , y son irreducibles y, por lo tanto, en un sentido ingenuo, análogos a los números primos entre los números enteros). El impulso inicial para el desarrollo de los números ideales (por Kummer ) parece provenir del estudio de leyes de reciprocidad superiores, es decir, generalizaciones de reciprocidad cuadrática .

Los campos numéricos a menudo se estudian como extensiones de campos numéricos más pequeños: se dice que un campo L es una extensión de un campo K si L contiene K. (Por ejemplo, los números complejos C son una extensión de los reales R y los reales R son una extensión de los racionales Q ). Clasificar las posibles extensiones de un cuerpo numérico dado es un problema difícil y parcialmente abierto. Las extensiones abelianas, es decir, las extensiones L de K tales que el grupo de Galois Gal( L / K ) de L sobre K es un grupo abeliano, se entienden relativamente bien. Su clasificación fue el objeto del programa de la teoría del campo de clases , que se inició a fines del siglo XIX (en parte por Kronecker y Eisenstein ) y se llevó a cabo en gran parte entre 1900 y 1950.

Un ejemplo de un área activa de investigación en teoría algebraica de números es la teoría de Iwasawa . El programa Langlands , uno de los principales planes actuales de investigación a gran escala en matemáticas, a veces se describe como un intento de generalizar la teoría de campos de clases a extensiones no abelianas de campos numéricos.

Geometría diofántica

El problema central de la geometría diofántica es determinar cuándo una ecuación diofántica tiene soluciones y, si las tiene, cuántas. El enfoque adoptado es pensar en las soluciones de una ecuación como un objeto geométrico.

Por ejemplo, una ecuación en dos variables define una curva en el plano. Más generalmente, una ecuación, o sistema de ecuaciones, en dos o más variables define una curva , una superficie o algún otro objeto similar en un espacio n -dimensional. En la geometría diofántica, uno pregunta si hay puntos racionales (puntos cuyas coordenadas son todas racionales) o puntos integrales (puntos cuyas coordenadas son números enteros) en la curva o superficie. Si existen tales puntos, el siguiente paso es preguntar cuántos hay y cómo se distribuyen. Una pregunta básica en esta dirección es si hay un número finito o infinito de puntos racionales en una curva (o superficie) dada.

En la ecuación de Pitágoras nos gustaría estudiar sus soluciones racionales, es decir, sus soluciones tales que x e y sean ambas racionales. Esto es lo mismo que pedir todas las soluciones enteras de ; cualquier solución a la última ecuación nos da una solución a la primera. También es lo mismo que preguntar por todos los puntos con coordenadas racionales en la curva descrita por . (Esta curva resulta ser un círculo de radio 1 alrededor del origen).

Dos ejemplos de una curva elíptica , es decir, una curva de género 1 que tiene al menos un punto racional. (Cualquier gráfico se puede ver como una porción de un toro en un espacio de cuatro dimensiones).

La reformulación de preguntas sobre ecuaciones en términos de puntos sobre curvas resulta acertada. La finitud o no del número de puntos racionales o enteros en una curva algebraica, es decir, soluciones racionales o enteras a una ecuación , donde es un polinomio en dos variables, resulta depender crucialmente del género de la curva. El género se puede definir de la siguiente manera: permita que las variables sean números complejos; luego define una superficie bidimensional en un espacio (proyectivo) de 4 dimensiones (ya que dos variables complejas se pueden descomponer en cuatro variables reales, es decir, cuatro dimensiones). Si contamos el número de agujeros (rosquillas) en la superficie; llamamos a este número el género de . Otras nociones geométricas resultan igualmente cruciales.

También está el área estrechamente vinculada de las aproximaciones diofánticas : dado un número , luego encontrar qué tan bien puede ser aproximado por números racionales. (Estamos buscando aproximaciones que sean buenas en relación con la cantidad de espacio que se necesita para escribir el racional: llame (con ) una buena aproximación a si , donde es grande). Esta pregunta es de especial interés si es un número algebraico. Si no se puede aproximar bien, entonces algunas ecuaciones no tienen soluciones enteras o racionales. Además, varios conceptos (especialmente el de altura ) resultan críticos tanto en la geometría diofántica como en el estudio de las aproximaciones diofánticas. Esta pregunta también es de especial interés en la teoría de los números trascendentales : si un número puede aproximarse mejor que cualquier número algebraico, entonces es un número trascendental . Es por este argumento que se ha demostrado que π y e son trascendentales.

La geometría diofántica no debe confundirse con la geometría de los números , que es una colección de métodos gráficos para responder ciertas preguntas en la teoría algebraica de números. La geometría aritmética , sin embargo, es un término contemporáneo para el mismo dominio que el que cubre el término geometría diofántica . Podría decirse que el término geometría aritmética se usa con mayor frecuencia cuando se desea enfatizar las conexiones con la geometría algebraica moderna (como, por ejemplo, en el teorema de Faltings ) en lugar de técnicas en aproximaciones diofánticas.

Otros subcampos

Las áreas a continuación datan de no antes de mediados del siglo XX, incluso si se basan en material más antiguo. Por ejemplo, como se explica más adelante, el tema de los algoritmos en teoría de números es muy antiguo, en cierto sentido más antiguo que el concepto de prueba; al mismo tiempo, el estudio moderno de la computabilidad data solo de las décadas de 1930 y 1940, y la teoría de la complejidad computacional de la década de 1970.

Teoría de números probabilísticos

Gran parte de la teoría de números probabilísticos puede verse como un caso especial importante del estudio de variables que son casi, pero no del todo, independientes entre sí . Por ejemplo, el evento de que un entero aleatorio entre uno y un millón sea divisible por dos y el evento de que sea divisible por tres son casi independientes, pero no del todo.

A veces se dice que la combinatoria probabilística utiliza el hecho de que todo lo que sucede con probabilidad mayor que debe suceder a veces; se puede decir con igual justicia que muchas aplicaciones de la teoría de los números probabilísticos dependen del hecho de que todo lo que es inusual debe ser raro. Si se puede demostrar que ciertos objetos algebraicos (digamos, soluciones racionales o enteras de ciertas ecuaciones) están en la cola de ciertas distribuciones definidas con sensatez, se sigue que debe haber pocos de ellos; esta es una declaración no probabilística muy concreta que sigue a una probabilística.

A veces, un enfoque probabilístico no riguroso conduce a una serie de algoritmos heurísticos y problemas abiertos, en particular la conjetura de Cramér .

Combinatoria aritmética

Si comenzamos con un conjunto infinito bastante "grueso" , ¿contiene muchos elementos en progresión aritmética: , , digamos? ¿Debería ser posible escribir números enteros grandes como sumas de elementos de ?

Estas preguntas son características de la combinatoria aritmética . Este es un campo actualmente fusionado; incluye la teoría de números aditivos (que se ocupa de ciertos conjuntos muy específicos de significado aritmético, como los números primos o los cuadrados) y, posiblemente, algo de la geometría de los números , junto con algún material nuevo que se desarrolla rápidamente. Su enfoque en cuestiones de crecimiento y distribución explica en parte sus vínculos en desarrollo con la teoría ergódica, la teoría de grupos finitos, la teoría de modelos y otros campos. También se utiliza el término combinatoria aditiva ; sin embargo, los conjuntos que se estudian no necesitan ser conjuntos de números enteros, sino más bien subconjuntos de grupos no conmutativos , para los cuales se usa tradicionalmente el símbolo de multiplicación, no el símbolo de suma; también pueden ser subconjuntos de anillos , en cuyo caso se puede comparar el crecimiento de y · .

Teoría de números computacionales

Un tamiz de Lehmer , una computadora digital primitiva utilizada para encontrar números primos y resolver ecuaciones diofánticas simples .

Si bien la palabra algoritmo se remonta solo a ciertos lectores de al-Khwārizmī , las descripciones cuidadosas de los métodos de solución son más antiguas que las pruebas: tales métodos (es decir, algoritmos) son tan antiguos como cualquier matemática reconocible: el antiguo Egipto, Babilonia, Védica, China —mientras que las pruebas aparecieron sólo con los griegos del período clásico.

Un caso temprano es el de lo que ahora llamamos el algoritmo euclidiano . En su forma básica (es decir, como un algoritmo para calcular el máximo común divisor ) aparece como la Proposición 2 del Libro VII en Elementos , junto con una prueba de corrección. Sin embargo, en la forma que se suele utilizar en teoría de números (es decir, como un algoritmo para encontrar soluciones enteras a una ecuación , o, lo que es lo mismo, para encontrar las cantidades cuya existencia está asegurada por el teorema chino del resto ) aparece primero en los trabajos de Āryabhaṭa (siglos V y VI d. C.) como un algoritmo llamado kuṭṭaka ("pulverizador"), sin una prueba de corrección.

Hay dos preguntas principales: "¿Podemos calcular esto?" y "¿Podemos calcularlo rápidamente?" Cualquiera puede probar si un número es primo o, si no lo es, dividirlo en factores primos; hacerlo rápidamente es otro asunto. Ahora conocemos algoritmos rápidos para probar la primalidad , pero, a pesar de mucho trabajo (tanto teórico como práctico), no hay un algoritmo realmente rápido para la factorización.

La dificultad de un cálculo puede ser útil: los protocolos modernos para cifrar mensajes (por ejemplo, RSA ) dependen de funciones que son conocidas por todos, pero cuyas inversas son conocidas solo por unos pocos elegidos, y tomaría demasiado tiempo averiguarlas. salir por cuenta propia. Por ejemplo, estas funciones pueden ser tales que sus inversas solo se pueden calcular si se factorizan ciertos números enteros grandes. Si bien se conocen muchos problemas computacionales difíciles fuera de la teoría de números, la mayoría de los protocolos de cifrado que funcionan hoy en día se basan en la dificultad de algunos problemas de teoría de números.

Algunas cosas pueden no ser computables en absoluto; de hecho, esto se puede probar en algunos casos. Por ejemplo, en 1970 se demostró, como solución al décimo problema de Hilbert , que no existe una máquina de Turing que pueda resolver todas las ecuaciones diofánticas. En particular, esto significa que, dado un conjunto de axiomas enumerables computablemente , hay ecuaciones diofánticas para las que no hay demostración, a partir de los axiomas, de si el conjunto de ecuaciones tiene o no soluciones enteras. (Estaríamos hablando necesariamente de ecuaciones diofánticas para las que no existen soluciones enteras, ya que, dada una ecuación diofántica con al menos una solución, la propia solución proporciona una prueba de que existe una solución. No podemos demostrar que una ecuación diofántica particular ecuación es de este tipo, ya que esto implicaría que no tiene soluciones.)

Aplicaciones

El teórico de números Leonard Dickson (1874-1954) dijo: "Gracias a Dios que la teoría de números no se ve afectada por ninguna aplicación". Tal punto de vista ya no es aplicable a la teoría de números. En 1974, Donald Knuth dijo: "...prácticamente todos los teoremas de la teoría elemental de números surgen de forma natural y motivada en relación con el problema de hacer que las computadoras realicen cálculos numéricos de alta velocidad". La teoría elemental de números se enseña en cursos de matemáticas discretas para informáticos ; por otro lado, la teoría de números también tiene aplicaciones al continuo en el análisis numérico . Además de las conocidas aplicaciones a la criptografía , también existen aplicaciones a muchas otras áreas de las matemáticas.

premios

La American Mathematical Society otorga el Premio Cole en Teoría de Números . Además, la teoría de números es una de las tres subdisciplinas matemáticas premiadas por el Premio Fermat .

Ver también

notas

Referencias

Fuentes

Otras lecturas

Dos de las introducciones más populares al tema son:

El libro de Hardy y Wright es un clásico integral, aunque su claridad a veces sufre debido a la insistencia de los autores en los métodos elementales ( Apostol nd ). El principal atractivo de Vinogradov consiste en su conjunto de problemas, que conducen rápidamente a los propios intereses de investigación de Vinogradov; el texto en sí es muy básico y casi mínimo. Otras primeras presentaciones populares son:

Las opciones populares para un segundo libro de texto incluyen:

enlaces externos