Plimpton 322 - Plimpton 322

La tablilla de arcilla Plimpton 322, con números escritos en escritura cuneiforme.

Plimpton 322 es una tablilla de arcilla babilónica , notable por contener un ejemplo de las matemáticas babilónicas . Tiene el número 322 en la Colección GA Plimpton de la Universidad de Columbia . Esta tablilla, que se cree que fue escrita alrededor del 1800 aC, tiene una tabla de cuatro columnas y 15 filas de números en la escritura cuneiforme del período.

Esta tabla lista dos de los tres números en lo que ahora se llama triples pitagóricos , es decir, números enteros un , b , y c satisfacer un ² + b ² = c ² . Desde una perspectiva moderna, un método para construir tales triples es un logro temprano significativo, conocido mucho antes de que los matemáticos griegos e indios descubrieran soluciones a este problema. Al mismo tiempo, uno debería recordar que el autor de la tablilla era un escriba, más que un matemático profesional; se ha sugerido que una de sus metas pudo haber sido producir ejemplos de problemas escolares.

Ha habido un importante debate académico sobre la naturaleza y el propósito de la tableta. Para tratamientos populares legibles de esta tableta, véase Robson (2002), ganador del Premio Lester R. Ford por excelencia expositiva en matemáticas o, más brevemente, Conway y Guy (1996) . Robson (2001) es una discusión más detallada y técnica de la interpretación de los números de la tablilla, con una extensa bibliografía.

Procedencia y datación

Plimpton 322 está parcialmente roto, aproximadamente 13 cm de ancho, 9 cm de alto y 2 cm de grosor. El editor de Nueva York, George Arthur Plimpton, compró la tablilla a un comerciante arqueológico, Edgar J. Banks , aproximadamente en 1922, y la legó con el resto de su colección a la Universidad de Columbia a mediados de la década de 1930. Según Banks, la tableta provino de Senkereh, un sitio en el sur de Irak correspondiente a la antigua ciudad de Larsa .

Se cree que la tablilla se escribió alrededor del 1800 a. C., utilizando la cronología media , basada en parte en el estilo de escritura utilizado para su escritura cuneiforme : Robson (2002) escribe que esta escritura "es típica de los documentos del sur de Irak de 4000 a. Hace 3500 años ". Más específicamente, basado en similitudes de formato con otras tablillas de Larsa que tienen fechas explícitas escritas en ellas, Plimpton 322 bien podría ser del período 1822-1784 AC. Robson señala que Plimpton 322 se escribió en el mismo formato que otros documentos administrativos, en lugar de matemáticos, del período.

Contenido

El contenido principal de Plimpton 322 es una tabla de números, con cuatro columnas y quince filas, en notación sexagesimal babilónica . La cuarta columna es solo un número de fila, en orden del 1 al 15. La segunda y tercera columnas son completamente visibles en la tableta superviviente. Sin embargo, el borde de la primera columna se ha roto y hay dos extrapolaciones consistentes de cuáles podrían ser los dígitos faltantes; Estas interpretaciones difieren solo en si cada número comienza o no con un dígito adicional igual a 1. Con las diferentes extrapolaciones que se muestran entre paréntesis, las porciones dañadas de la primera y cuarta columnas cuyo contenido se supone se muestran en cursiva y seis supuestos errores se muestran en negrita junto con las correcciones generalmente propuestas entre corchetes debajo, estos números son

Tenga en cuenta que se muestran dos posibles alternativas para la corrección en la Fila 15: o 53 en la tercera columna debe reemplazarse con el doble de su valor, 1 46, o 56 en la segunda columna debe reemplazarse con la mitad de su valor, 28.

Es posible que haya columnas adicionales en la parte cortada de la tablilla a la izquierda de estas columnas. La notación sexagesimal babilónica no especificó la potencia de 60 multiplicando cada número, lo que hace que la interpretación de estos números sea ambigua. Los números de la segunda y tercera columnas generalmente se toman como números enteros. Los números de la primera columna solo pueden entenderse como fracciones, y todos sus valores se encuentran entre 1 y 2 (asumiendo que el 1 inicial está presente; se encuentran entre 0 y 1 si está ausente). Estas fracciones son exactas, no truncamientos ni aproximaciones redondeadas. La traducción decimal de la tableta bajo estos supuestos se muestra a continuación. La mayoría de las fracciones sexagesimales exactas de la primera columna no tienen expansiones decimales terminales y se han redondeado a siete lugares decimales.

${\ Displaystyle d ^ {2} / \ ell ^ {2}}$ o ${\ Displaystyle s ^ {2} / \ ell ^ {2}}$	Lado corto ${\ Displaystyle s}$	Diagonal ${\ Displaystyle d}$	Hilera #
(1) .9834028	119	169	1
(1) .9491586	3.367	4.825	2
(1) .9188021	4.601	6.649	3
(1) .8862479	12,709	18,541	4
(1) .8150077	sesenta y cinco	97	5
(1) .7851929	319	481	6
(1) .7199837	2,291	3,541	7
(1) .6927094	799	1.249	8
(1) .6426694	481	769	9
(1) .5861226	4.961	8.161	10
(1) .5625	45 *	75 *	11
(1) .4894168	1,679	2,929	12
(1) .4500174	161	289	13
(1) .4302388	1,771	3,229	14
(1) .3871605	56 *	106 *	15

^* Como antes, una posible corrección alternativa a la Fila 15 tiene 28 en la segunda columna y 53 en la tercera columna. Las entradas en la segunda y tercera columnas de la Fila 11, a diferencia de las de todas las demás filas, excepto posiblemente la Fila 15, contienen un factor común. Es posible que 45 y 1 15 deban entenderse como 3/4 y 5/4, lo cual es consistente con la escala estándar (0.75,1,1.25) del conocido triángulo rectángulo (3,4,5) en las matemáticas babilónicas. .

En cada fila, el número de la segunda columna se puede interpretar como el lado más corto de un triángulo rectángulo y el número de la tercera columna se puede interpretar como la hipotenusa del triángulo. En todos los casos, el lado más largo también es un número entero, haciendo y dos elementos de un triple pitagórico . El número de la primera columna es la fracción (si no se incluye el "1") o (si se incluye el "1"). En todos los casos, el lado largo es un número regular , es decir, un divisor entero de una potencia de 60 o, de manera equivalente, un producto de potencias de 2, 3 y 5. Es por esta razón que los números en el primer columnas son exactas, ya que dividir un número entero por un número regular produce un número sexagesimal de terminación. Por ejemplo, la línea 1 de la tabla se puede interpretar como la descripción de un triángulo con el lado corto 119 y la hipotenusa 169, lo que implica el lado largo , que es un número regular (2 ³ · 3 · 5). El número en la columna 1 es (169/120) ² o (119/120) ² . ${\ Displaystyle s}$ ${\ Displaystyle d}$${\ Displaystyle \ ell}$${\ Displaystyle s}$${\ Displaystyle d}$${\ textstyle s ^ {2} / \ ell ^ {2}}$${\ textstyle {\ tfrac {d ^ {2}} {\ ell ^ {2}}} \, = \, 1 + {\ tfrac {s ^ {2}} {\ ell ^ {2}}}}$${\ Displaystyle \ ell}$${\ Displaystyle {\ sqrt {169 ^ {2} -119 ^ {2}}} = 120}$

Encabezados de columnas

Cada columna tiene un encabezado, escrito en idioma acadio . Algunas palabras son logogramas sumerios , que los lectores habrían entendido como representaciones de palabras acadias. Estos incluyen ÍB.SI ₈ , para acadio mithartum ("cuadrado"), MU.BI.IM, para acadio šumšu ("su línea"), y SAG, para acadio pūtum ("ancho"). Cada número de la cuarta columna está precedido por el Sumerograma KI, que, según Neugebauer & Sachs (1945) , "les da el carácter de números ordinales". En la tabla sexagesimal anterior, las palabras en cursiva y partes de palabras representan partes del texto que son ilegibles debido a daños en la tablilla o ilegibilidad, y que han sido reconstruidas por estudiosos modernos. Los términos ÍB.SI ₈ y takiltum no se han traducido ya que existe un debate en curso sobre su significado preciso.

Los títulos de las Columnas 2 y 3 podrían traducirse como "cuadrado de la anchura" y "cuadrado de la diagonal", pero Robson (2001) (págs. 173-174) sostiene que el término ÍB.SI ₈ puede referirse a la área del cuadrado o el lado del cuadrado, y que en este caso debe entenderse como "'lado cuadrado' o quizás 'raíz cuadrada'". De manera similar Britton, Proust y Shnider (2011) (p. 526) observan que el término aparece a menudo en los problemas donde se usa completar el cuadrado para resolver lo que ahora se entendería como ecuaciones cuadráticas, en cuyo contexto se refiere al lado del cuadrado. cuadrado completo, pero que también podría servir para indicar "que se trata de una dimensión lineal o segmento de línea". Neugebauer y Sachs (1945) (págs. 35, 39), por otro lado, exhiben casos en los que el término se refiere a resultados de una amplia variedad de operaciones matemáticas diferentes y proponen la traducción "" número de resolución del ancho (o la diagonal ). '”De manera similar, Friberg (1981) (p. 300) propone la traducción" raíz ".

En la Columna 1, las primeras partes de ambas líneas del encabezado están dañadas. Neugebauer & Sachs (1945) reconstruyeron la primera palabra como takilti (una forma de takiltum ), una lectura que ha sido aceptada por la mayoría de los investigadores posteriores. El encabezado se consideró generalmente intraducible hasta que Robson (2001) propuso insertar un 1 en la parte interrumpida de la línea 2 y logró descifrar la última palabra ilegible, produciendo la lectura dada en la tabla anterior. Basado en un análisis lingüístico detallado, Robson propone traducir takiltum como "mantener cuadrado". Britton, Proust y Shnider (2011) examinan las relativamente pocas apariciones conocidas de la palabra en las matemáticas de la Antigua Babilonia. Si bien señalan que, en casi todos los casos, se refiere a la dimensión lineal del cuadrado auxiliar que se suma a una figura en el proceso de completar el cuadrado, y es la cantidad que se resta en el último paso para resolver una cuadrática, coinciden con Robson que en este caso debe entenderse que se refiere al área de un cuadrado. Friberg (2007) , por otro lado, propone que en la parte cortada del título takiltum puede haber estado precedida por a-ša ("área"). En la actualidad, existe un acuerdo generalizado de que el título describe la relación entre los cuadrados del ancho (lado corto) y la diagonal de un rectángulo de largo (lado largo) 1: restando ("arrancando") el área 1 del cuadrado de las hojas diagonales. el área del cuadrado en el ancho.

Errores

Como se indica en la tabla anterior, la mayoría de los estudiosos creen que la tableta contiene seis errores y, con la excepción de las dos posibles correcciones en la Fila 15, existe un acuerdo generalizado sobre cuáles deberían ser los valores correctos. Hay menos acuerdo sobre cómo ocurrieron los errores y qué implican con respecto al método de cálculo de la tableta. A continuación, se incluye un resumen de los errores.

Los errores en la Fila 2, Columna 1 (no dejar espacios entre 50 y 6 para los 1 y 10 ausentes) y la Fila 9, Columna 2 (escribir 9 para 8) se consideran universalmente como errores menores al copiar de una tableta de trabajo (o posiblemente de una copia anterior de la tabla). El error en la Fila 8, Columna 1 (reemplazando los dos dígitos sexagesimales 45 14 por su suma, 59) parece no haberse notado en algunos de los primeros artículos de la tableta. A veces se ha considerado (por ejemplo en Robson (2001) ) como un simple error cometido por el escriba en el proceso de copiar de una tableta de trabajo. Sin embargo, como se discutió en Britton, Proust y Shnider (2011) , varios académicos han propuesto que este error se explica de manera mucho más plausible como un error en el cálculo que conduce al número, por ejemplo, el escriba pasa por alto un cero medio ( espacio en blanco que representa un dígito cero) al realizar una multiplicación. Esta explicación del error es compatible con las dos propuestas principales para el método de construcción de la tabla. (Vea abajo.)

Los tres errores restantes tienen implicaciones en la forma en que se calculó la tableta. El número 7 12 1 en la Fila 13, Columna 2, es el cuadrado del valor correcto, 2 41. Suponiendo que las longitudes en la Columna 2 se calcularon tomando la raíz cuadrada del área del cuadrado correspondiente, o que la longitud y el área se calcularon juntos, este error podría explicarse por no tomar la raíz cuadrada o por copiar el número incorrecto de una tableta de trabajo.

Si se entiende que el error en la Fila 15 ha escrito 56 en lugar de 28 en la Columna 2, entonces el error se puede explicar como resultado de una aplicación incorrecta del algoritmo de la parte final, que es necesario si la tabla se calculó mediante pares recíprocos. como se describe abajo. Este error equivale a aplicar un procedimiento iterativo para eliminar los factores regulares comunes a los números de las Columnas 2 y 3 un número incorrecto de veces en una de las columnas.

El número en la Fila 2, Columna 3 no tiene una relación obvia con el número correcto, y todas las explicaciones de cómo se obtuvo este número postulan múltiples errores. Bruins (1957) observó que 3 12 01 podría haber sido una simple copia errónea de 3 13. Si este fuera el caso, entonces la explicación del número incorrecto 3 13 es similar a la explicación del error en la Fila 15.

Una excepción al consenso general es Friberg (2007) , donde, en una desviación del análisis anterior del mismo autor ( Friberg (1981) ), se hipotetiza que los números en la Fila 15 no son erróneos, sino que se escribieron como pretendía, y que el único error en la Fila 2, Columna 3 fue escribir mal 3 13 como 3 12 01. Bajo esta hipótesis, es necesario reinterpretar las Columnas 2 y 3 como "los núcleos reducidos en factor del frente y la diagonal". El núcleo de factor reducido de un número es el número al que se han eliminado los factores regulares cuadrados perfectos; calcular el núcleo de factor reducido era parte del proceso de cálculo de raíces cuadradas en las matemáticas de la Antigua Babilonia. Según Friberg, "nunca fue la intención del autor de Plimpton 322 reducir su serie de triples diagonales normalizados (con longitud igual a 1 en cada triple) a una serie correspondiente de triples diagonales primitivos (con el frente, longitud y la diagonal es igual a números enteros sin factores comunes) ".

Construcción de la mesa

Los académicos aún difieren sobre cómo se generaron estos números. Buck (1980) y Robson (2001) identifican dos propuestas principales para el método de construcción de la tabla: el método de generación de pares, propuesto en Neugebauer & Sachs (1945) , y el método de pares recíprocos, propuesto por Bruins y elaborado en Voils, Schmidt (1980) y Friberg.

Generando pares

Para usar la terminología moderna, si p y q son números naturales tales que p > q entonces ( p ² - q ² , 2 pq , p ² + q ² ) forma una terna pitagórica. El triple es primitivo, es decir los tres lados del triángulo tienen ningún factor común, si p y q son primos entre sí , y no tanto extraño. Neugebauer y Sachs proponen la tableta fue generado por la elección de p y q para ser coprimos números regulares (pero ambos pueden ser impar-véase la Fila 15) y el cálculo de d = p ² + q ² , s = p ² - q ² , y l = 2 pq (de modo que l también es un número regular). Por ejemplo, la línea 1 se generaría estableciendo p = 12 yq = 5. Tanto Buck como Robson señalan que la presencia de la Columna 1 es misteriosa en esta propuesta, ya que no juega ningún papel en la construcción y que la propuesta no explique por qué las filas de la tabla están ordenadas como están, en lugar de, digamos, de acuerdo con el valor de o , que, según esta hipótesis, podría haberse enumerado en las columnas de la izquierda en la parte dividida de la tableta. Robson también argumenta que la propuesta no explica cómo los errores en la tabla podrían haber surgido de manera plausible y no está en consonancia con la cultura matemática de la época. ${\ Displaystyle p}$${\ Displaystyle q}$

Pares recíprocos

En la propuesta de par recíproco, el punto de partida es una única fracción sexagesimal regular x junto con su recíproco, 1 / x . "Fracción sexagesimal regular" significa que x es un producto de potencias (posiblemente negativas) de 2, 3 y 5. Las cantidades ( x −1 / x ) / 2, 1 y ( x + 1 / x ) / 2 entonces forman lo que ahora se llamaría un triple pitagórico racional. Además, los tres lados tienen representaciones sexagesimales finitas.

Los defensores de esta propuesta señalan que los pares recíprocos regulares ( x , 1 / x ) aparecen en un problema diferente de aproximadamente el mismo tiempo y lugar que Plimpton 322, a saber, el problema de encontrar los lados de un rectángulo del área 1 cuyo lado largo excede su lado corto en una longitud c dada (que hoy en día podría calcularse como las soluciones de la ecuación cuadrática ). Robson (2002) analiza la tableta, YBC 6967, en la que dicho problema se resuelve calculando una secuencia de valores intermedios v ₁ = c / 2, v ₂ = v ₁ ² , v ₃ = 1 + v ₂ y v ₄ = v ₃ ^1/2 , a partir del cual se puede calcular x = v ₄ + v ₁ y 1 / x = v ₄ - v ₁ . Si bien la necesidad de calcular la raíz cuadrada de v ₃ , en general dará como resultado respuestas que no tienen representaciones sexagesimales finitas, el problema en YBC 6967 se estableció, lo que significa que el valor de c se eligió adecuadamente, para dar una buena respuesta. Este es, de hecho, el origen de la especificación anterior de que x sea ​​una fracción sexagesimal regular: elegir x de esta manera asegura que tanto x como 1 / x tengan representaciones sexagesimales finitas. Para diseñar un problema con una buena respuesta, el creador de problemas simplemente necesitaría elegir tal x y dejar que el dato inicial c sea igual a x - 1 / x . Como efecto secundario, esto produce un triple pitagórico racional, con catetos v ₁ y 1 e hipotenusa v ₄ . ${\ textstyle x - {\ tfrac {1} {x}} = c}$

Cabe señalar que el problema en YBC 6967 en realidad resuelve la ecuación , lo que implica reemplazar la expresión de v ₃ anterior con v ₃ = 60 + v ₂ . El efecto secundario de la obtención de un triple racional se pierde de este modo que los lados se vuelven v ₁ , y v ₄ . En esta propuesta debe asumirse que los babilonios estaban familiarizados con ambas variantes del problema. ${\ textstyle x - {\ tfrac {1 \ 00} {x}} = x - {\ tfrac {60} {x}} = c}$${\ Displaystyle {\ sqrt {60}}}$

Robson sostiene que las columnas de Plimpton 322 se pueden interpretar como:

v ₃ = (( x + 1 / x ) / 2) ² = 1 + ( c / 2) ² en la primera columna,

a · v ₁ = a · ( x - 1 / x ) / 2 para un multiplicador adecuado a en la segunda columna, y

a · v ₄ = a · ( x + 1 / x ) / 2 en la tercera columna.

En esta interpretación, x y 1 / x (o posiblemente v ₁ y v ₄ ) habrían aparecido en la tablilla en la parte cortada a la izquierda de la primera columna. Por lo tanto, la presencia de la Columna 1 se explica como un paso intermedio en el cálculo, y el orden de las filas se realiza mediante valores descendentes de x ( ov ₁ ). El multiplicador a utilizado para calcular los valores en las columnas 2 y 3, que se puede considerar como un cambio de escala de las longitudes de los lados, surge de la aplicación del "algoritmo de la parte final", en el que ambos valores se multiplican repetidamente por el recíproco de cualquier factor regular común a los últimos dígitos sexagesimales de ambos, hasta que no quede tal factor común. Como se discutió anteriormente, todos los errores en la tableta tienen explicaciones naturales en la propuesta de par recíproco. Por otro lado, Robson señala que el papel de las Columnas 2 y 3 y la necesidad del multiplicador a permanecen sin explicar en esta propuesta, y sugiere que el objetivo del autor de la tableta era proporcionar parámetros no para problemas cuadráticos del tipo resuelto en YBC 6967, sino más bien "para algún tipo de problemas de triángulos rectángulos". También señala que el método utilizado para generar la tabla y el uso para el que se diseñó no tiene por qué ser el mismo.

Un fuerte apoyo adicional a la idea de que los números en la tableta se generaron usando pares recíprocos proviene de dos tabletas, MS 3052 y MS 3971, de la Colección Schøyen . Jöran Friberg tradujo y analizó las dos tablillas y descubrió que ambas contienen ejemplos del cálculo de las longitudes diagonales y laterales de un rectángulo utilizando pares recíprocos como punto de partida. Las dos tablas son antiguas de Babilonia, de aproximadamente la misma edad que Plimpton 322, y se cree que ambas provienen de Uruk, cerca de Larsa. En Britton, Proust & Shnider (2011) se llevó a cabo un análisis adicional de los dos comprimidos . MS 3971 contiene una lista de cinco problemas, el tercero de los cuales comienza con "Para que pueda ver cinco diagonales" y concluye con "cinco diagonales". Los datos dados para cada una de las cinco partes del problema consisten en un par recíproco. Para cada parte se calculan las longitudes tanto de la diagonal como del ancho (lado corto) de un rectángulo. No se indica la longitud (lado largo) pero el cálculo implica que se toma como 1. En términos modernos, el cálculo procede de la siguiente manera: dados x y 1 / x , primero calcule ( x + 1 / x ) / 2, la diagonal. Entonces calcula

${\ Displaystyle {\ sqrt {\ left [{\ frac {1} {2}} \ left (x + {\ frac {1} {x}} \ right) \ right] ^ {2} -1}},}$

la anchura. Debido al daño de la parte de la tableta que contiene la primera de las cinco partes, se ha perdido el planteamiento del problema de esta parte, además de los rastros de los datos iniciales, y la solución. Las otras cuatro partes están, en su mayor parte, intactas y todas contienen texto muy similar. La razón para tomar la diagonal como la mitad de la suma del par recíproco no se indica en el texto intacto. Tenga en cuenta que el cálculo del ancho es equivalente a ( x −1 / x ) / 2, pero que este método de cálculo más directo no se ha utilizado, la regla que relaciona el cuadrado de la diagonal con la suma de los cuadrados de los lados habiendo sido preferido.

El texto del segundo problema de MS 3052 también ha sido muy dañado, pero lo que queda está estructurado de manera similar a las cinco partes de MS 3971, Problema 3. El problema contiene una figura que, según Friberg, es probablemente un "rectángulo sin cualquier diagonal ". Britton, Proust y Shnider (2011) enfatizan que las partes preservadas del texto establecen explícitamente que la longitud es 1 y calculan explícitamente el 1 que se resta del cuadrado de la diagonal en el proceso de calcular el ancho como el cuadrado de la longitud. . Los datos iniciales y el ancho y la diagonal calculados para los seis problemas en las dos tabletas se dan en la siguiente tabla.

Los parámetros de MS 3971 § 3a son inciertos debido al daño de la tableta. Tenga en cuenta que los parámetros del problema de MS 3052 corresponden a un cambio de escala del triángulo rectángulo estándar (3, 4, 5), que aparece como Fila 11 de Plimpton 322. Ninguno de los parámetros en los problemas de MS 3971 coincide con ninguno de los filas de Plimpton 322. Como se analiza a continuación, todas las filas de Plimpton 322 tienen x ≥9 / 5, mientras que todos los problemas en MS 3971 tienen x <9/5. Sin embargo, todos los parámetros de MS 3971 corresponden a filas de la extensión propuesta por De Solla Price de la tabla de Plimpton 322, que también se analiza a continuación.

Debe enfatizarse que el papel del par recíproco es diferente en el problema en YBC 6967 que en MS 3052 y MS 3971 (y por extensión, en Plimpton 322). En el problema de YBC 6967, los miembros del par recíproco son las longitudes de los lados de un rectángulo de área 1. El significado geométrico de x y 1 / x no se indica en el texto superviviente de los problemas de MS 3052 y MS 3971. El objetivo parece haber sido aplicar un procedimiento conocido para producir rectángulos con un ancho y una diagonal sexagesimales finitos. También debe señalarse que el algoritmo de punto final no se utilizó para cambiar la escala de las longitudes de los lados en estos problemas.

Comparación de las propuestas

La cantidad x en la propuesta de par recíproco corresponde a la relación p  /  q en la propuesta de par generador. De hecho, mientras que las dos propuestas difieren en el método de cálculo, hay diferencia poco matemática entre los resultados como ambos producen los mismos triples, aparte de un factor global de 2 en el caso en que p y q son ambos impares. (Desafortunadamente, el único lugar donde esto ocurre en la tableta es en la Fila 15, que contiene un error y, por lo tanto, no se puede usar para distinguir entre las propuestas). Los defensores de la propuesta de par recíproco difieren en si x se calculó a partir de una p subyacente. y q , pero con sólo las combinaciones de p  /  q y q  /  p utilizado en los cálculos de la tableta o si x se obtuvieron directamente a partir de otras fuentes, tales como tablas recíprocas. Una dificultad con la última hipótesis es que algunos de los valores necesarios de x o 1 / x son números sexagesimales de cuatro lugares y no se conocen tablas recíprocas de cuatro lugares. Neugebauer y Sachs habían notado, de hecho, la posibilidad de utilizar pares recíprocos en su obra original y la rechazaron por esta razón. Robson, sin embargo, sostiene que las fuentes conocidas y los métodos computacionales del período de la Antigua Babilonia pueden dar cuenta de todos los valores de x utilizados.

Selección de parejas

Neugebauer y Sachs señalan que las dimensiones del triángulo en la tableta van desde las de un triángulo rectángulo casi isósceles (con un lado corto, 119, casi igual a un lado largo, 120) a las de un triángulo rectángulo con ángulos agudos cercanos a 30 ° y 60 °. °, y que el ángulo disminuye de manera bastante uniforme en pasos de aproximadamente 1 °. Sugieren que los pares p , q se eligieron deliberadamente con este objetivo en mente.

De Solla Price (1964) observó , trabajando dentro del marco de pares generadores, que cada fila de la tabla es generada por un q que satisface 1 ≤  q <60, es decir, que q es siempre un sexagesimal de un solo dígito número. La razón p / q toma su mayor valor, 12/5 = 2.4, en la Fila 1 de la tabla, y por lo tanto es siempre menor que , una condición que garantiza que p ²  -  q ² es el cateto largo y 2 pq es el corto. cateto del triángulo y que, en términos modernos, implica que el ángulo opuesto al cateto de longitud p ²  -  q ² es menor que 45 °. La relación es mínima en la fila 15, donde p / q = 9/5 para un ángulo de aproximadamente 31,9 °. Además, hay exactamente 15 proporciones regulares entre 9/5 y 12/5 inclusive para las cuales q es un número sexagesimal de un solo dígito, y están en correspondencia uno a uno con las filas de la tableta. También señala que el espaciado uniforme de los números podría no haber sido por diseño: también podría haber surgido simplemente de la densidad de las proporciones de números regulares en el rango de números considerados en la tabla. ${\ Displaystyle {\ sqrt {2}} + 1 \ approx 2.414}$

De Solla Price argumentó que el límite inferior natural de la relación sería 1, que corresponde a un ángulo de 0 °. Encontró que, manteniendo el requisito de que q sea ​​un número sexagesimal de un solo dígito, hay 23 pares además de los representados por la tablilla, para un total de 38 pares. Señala que la marcación vertical entre las columnas de la tabla se ha continuado en la parte posterior, lo que sugiere que el escriba podría haber tenido la intención de extender la tabla. Afirma que el espacio disponible acomodaría correctamente 23 filas adicionales. Los defensores de la propuesta del par recíproco también han abogado por este esquema.

Robson (2001) no aborda directamente esta propuesta, pero está de acuerdo en que la tabla no estaba "llena". Ella observa que en la propuesta del par recíproco, cada x representada en la tablilla es como máximo un número sexagesimal de cuatro lugares con un recíproco de cuatro lugares como máximo, y que el número total de lugares en xy 1 / x juntos nunca es más de 7. Si estas propiedades se toman como requisitos, hay exactamente tres valores de x "faltantes" en la tableta, que, según ella, podrían haberse omitido porque no son atractivos en varios sentidos. Admite la naturaleza "sorprendentemente ad hoc " de este esquema, que sirve principalmente como un dispositivo retórico para criticar todos los intentos de adivinar los criterios de selección del autor de la tableta.

Objeto y autoría

Otto E. Neugebauer  ( 1957 ) defendió una interpretación de la teoría de los números , pero también creía que las entradas en la tabla eran el resultado de un proceso de selección deliberado destinado a lograr la disminución bastante regular de los valores en la Columna 1 dentro de algunos límites especificados.

Buck (1980) y Robson (2002) mencionan la existencia de una explicación trigonométrica , que Robson atribuye a los autores de varias historias generales y trabajos inéditos, pero que puede derivar de la observación de Neugebauer & Sachs (1945) de que los valores de la primera columna se puede interpretar como la secante al cuadrado o la tangente (dependiendo del dígito que falta) del ángulo opuesto al lado corto del triángulo rectángulo descrito por cada fila, y las filas se ordenan por estos ángulos en incrementos de aproximadamente un grado. En otras palabras, si toma el número en la primera columna, descontando el (1), y deriva su raíz cuadrada, y luego divide esto por el número en la columna dos, el resultado será la longitud del lado largo del triángulo. . En consecuencia, la raíz cuadrada del número (menos el uno) de la primera columna es lo que hoy llamaríamos la tangente del ángulo opuesto al lado corto. Si se incluye (1), la raíz cuadrada de ese número es la secante .

En contraposición con estas explicaciones anteriores de la tablilla, Robson (2002) afirma que todas las pruebas históricas, culturales y lingüísticas revelan que es más probable que la tablilla se construya a partir de "una lista de pares recíprocos regulares ". Robson argumenta sobre bases lingüísticas que la teoría trigonométrica es "conceptualmente anacrónica": depende de muchas otras ideas que no están presentes en el registro de las matemáticas babilónicas de esa época. En 2003, la MAA otorgó a Robson el premio Lester R. Ford por su trabajo, afirmando que es "poco probable que el autor de Plimpton 322 fuera un matemático profesional o aficionado. Es más probable que haya sido profesor y Plimpton 322 un matemático aficionado. conjunto de ejercicios ". Robson adopta un enfoque que en términos modernos se caracterizaría como algebraico , aunque lo describe en términos geométricos concretos y argumenta que los babilonios también habrían interpretado este enfoque geométricamente.

Por lo tanto, la tableta puede interpretarse como una secuencia de ejercicios resueltos. Utiliza métodos matemáticos típicos de las escuelas de escribas de la época, y está escrito en un formato de documento utilizado por los administradores en ese período. Por lo tanto, Robson sostiene que el autor probablemente fue un escriba, un burócrata de Larsa. La configuración matemática repetitiva de la tableta, y de tabletas similares como BM 80209, habría sido útil para permitir que un maestro planteara problemas en el mismo formato pero con datos diferentes.

Ver también

• IM 67118
• Papiro matemático de Moscú
• Papiro matemático de Rhind
• YBC 7289
• Si.427

Notas

Referencias

enlaces externos

• Entradas en el catálogo de Cuneiform Digital Library Initiative (CDLI), incluidas imágenes digitales de alta calidad:
  • Plimpton 322 , artículo de wiki de CDLI
  • YBC 6967
  • MS 3052
  • MS 3971

Otras lecturas

• Abdulaziz, Abdulrahman Ali (2010), The Plimpton 322 Tablet and the Babylonian Method of Generating Pythagorean Triples , arXiv : 1004.0025 , Bibcode : 2010arXiv1004.0025A.
• Casselman, Bill (2003), The Babylonian tablet Plimpton 322 , Universidad de Columbia Británica.
• Kirby, Laurence (2011), Plimpton 322: The Ancient Roots of Modern Mathematics (documental en video de media hora) , Baruch College , City University of New York.

Exposiciones

• "Antes de Pitágoras: La cultura de las matemáticas de la antigua Babilonia" , Instituto para el Estudio del Mundo Antiguo , Universidad de Nueva York , 12 de noviembre - 17 de diciembre de 2010. Incluye foto y descripción de Plimpton 322 ).
• Rothstein, Edward (27 de noviembre de 2010). "Maestros de las matemáticas, de la vieja Babilonia" . New York Times . Consultado el 28 de noviembre de 2010 .. Revisión de la exhibición "Antes de Pitágoras", mencionando la controversia sobre Plimpton 322.
• "Joyas en su corona: tesoros de las colecciones especiales de las bibliotecas de Columbia" , Biblioteca de libros y manuscritos raros, Universidad de Columbia , 8 de octubre de 2004 - 28 de enero de 2005. de la fotografía y descripción del artículo 158: Plimpton Cuneiform 322.