Sexagesimal - Sexagesimal

Sexagesimal , también conocido como base 60 o sexagenario , es un sistema numérico con sesenta como base . Se originó con los antiguos sumerios en el tercer milenio antes de Cristo, se transmitió a los antiguos babilonios y todavía se utiliza, en una forma modificada, para medir el tiempo , los ángulos y las coordenadas geográficas .

El número 60, un número superior altamente compuesto , tiene doce factores , a saber, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30 y 60, de los cuales 2, 3 y 5 son primos. números . Con tantos factores, muchas fracciones que involucran números sexagesimales se simplifican. Por ejemplo, una hora se puede dividir uniformemente en secciones de 30 minutos, 20 minutos, 15 minutos, 12 minutos, 10 minutos, 6 minutos, 5 minutos, 4 minutos, 3 minutos, 2 minutos y 1 minuto. 60 es el número más pequeño que es divisible por todos los números del 1 al 6; es decir, es el mínimo común múltiplo de 1, 2, 3, 4, 5 y 6.

En este artículo, todos los dígitos sexagesimales se representan como números decimales, excepto donde se indique lo contrario. Por ejemplo, 10 significa el número diez y 60 significa el número sesenta .

Origen

Usando el pulgar y apuntando a cada uno de los tres huesos de cada dedo por turno, es posible que las personas cuenten con sus dedos hasta 12 en una sola mano. Un sistema de conteo tradicional todavía en uso en muchas regiones de Asia funciona de esta manera y podría ayudar a explicar la ocurrencia de sistemas numéricos basados ​​en 12 y 60 además de aquellos basados ​​en 10, 20 y 5. En este sistema, la otra mano de una persona Contaría el número de veces que se alcanzó el 12 en su primera mano. Los cinco dedos contarían cinco conjuntos de 12, o sesenta. Sin embargo, el sistema sexagesimal babilónico se basaba en seis grupos de diez, no en cinco grupos de doce.

Según Otto Neugebauer , los orígenes del sexagesimal no son tan simples, consistentes o singulares en el tiempo como a menudo se los describe. A lo largo de sus muchos siglos de uso, que continúa en la actualidad para temas especializados como el tiempo, los ángulos y los sistemas de coordenadas astronómicas, las notaciones sexagesimales siempre han contenido una fuerte corriente subyacente de notación decimal, como en cómo se escriben los dígitos sexagesimales. Su uso también siempre ha incluido (y continúa incluyendo) inconsistencias en dónde y cómo las diversas bases deben representar números incluso dentro de un solo texto.

Proto-cuneiformes tempranos (cuarto milenio a. C.) y signos cuneiformes para el sistema sexagesimal (60, 600, 3600, etc.)

El impulsor más poderoso para el uso riguroso y totalmente autoconsistente de sexagesimal siempre ha sido sus ventajas matemáticas para escribir y calcular fracciones. En los textos antiguos, esto se demuestra en el hecho de que sexagesimal se usa de manera más uniforme y consistente en tablas de datos matemáticos. Otro factor práctico que ayudó a expandir el uso de sexagesimal en el pasado, aunque de manera menos consistente que en las tablas matemáticas, fue su decidida ventaja para los comerciantes y compradores al facilitar las transacciones financieras diarias cuando implicaban negociar y dividir grandes cantidades de bienes. El shekel temprano en particular era una sexagésima parte de un maná, aunque los griegos más tarde coaccionaron esta relación en la proporción más compatible de base 10 de un shekel que es una quincuagésima parte de una mina .

Aparte de las tablas matemáticas, las inconsistencias en cómo se representaban los números en la mayoría de los textos se extendían hasta los símbolos cuneiformes más básicos utilizados para representar cantidades numéricas. Por ejemplo, el símbolo cuneiforme para 1 era una elipse hecha aplicando el extremo redondeado del lápiz en ángulo con la arcilla, mientras que el símbolo sexagesimal para 60 era un óvalo más grande o "1 grande". Pero dentro de los mismos textos en los que se usaron estos símbolos, el número 10 se representó como un círculo hecho aplicando el extremo redondo del estilo perpendicular a la arcilla, y se usó un círculo más grande o "10 grande" para representar 100. Tal Los símbolos numéricos de cantidad de bases múltiples se pueden mezclar entre sí y con abreviaturas, incluso dentro de un solo número. Los detalles e incluso las magnitudes implicadas (dado que el cero no se usó de manera consistente) eran idiomáticos para los períodos de tiempo, culturas y cantidades o conceptos particulares que se representan. Si bien estas representaciones de cantidades numéricas dependientes del contexto son fáciles de criticar en retrospectiva, en los tiempos modernos todavía tenemos docenas de ejemplos de mezcla de bases dependientes del tema que se usan regularmente, incluida la reciente innovación de sumar fracciones decimales a coordenadas astronómicas sexagesimales.

Uso

Matemáticas babilónicas

El sistema sexagesimal utilizado en la antigua Mesopotamia no era un sistema de base 60 puro, en el sentido de que no utilizaba 60 símbolos distintos para sus dígitos . En cambio, los cuneiformes dígitos utilizados diez como una sub-base de la forma de un signo-notación de valor : un dígito sexagesimal se compone de un grupo de marcas estrechas, en forma de cuña que representa unidades de hasta nueve ( , , , , ... , ) y un grupo de ancho, marcas en forma de cuña que representa hasta cinco decenas ( , , , , ). El valor del dígito fue la suma de los valores de sus partes componentes:

Los números mayores de 59 se indicaron mediante múltiples bloques de símbolos de esta forma en la notación de valor posicional . Debido a que no había un símbolo para el cero , no siempre es inmediatamente obvio cómo se debe interpretar un número, y su verdadero valor a veces debe haber sido determinado por su contexto. Por ejemplo, los símbolos de 1 y 60 son idénticos. Los textos babilónicos posteriores usaron un marcador de posición ( ) para representar cero, pero solo en las posiciones mediales, y no en el lado derecho del número, como lo hacemos en números como13 200 .

Otros usos históricos

En el calendario chino , se usa comúnmente un ciclo sexagenario , en el que los días o años se nombran por posiciones en una secuencia de diez tallos y en otra secuencia de 12 ramas. El mismo tallo y rama se repiten cada 60 pasos a lo largo de este ciclo.

El libro VIII de la República de Platón implica una alegoría del matrimonio centrada en el número 60 ⁴ =12 960 000 y sus divisores. Este número tiene la representación sexagesimal particularmente simple 1,0,0,0,0. Los eruditos posteriores han invocado tanto las matemáticas babilónicas como la teoría musical en un intento de explicar este pasaje.

Ptolomeo 's Almagesto , un tratado sobre astronomía matemática escrita en el siglo II dC, utiliza la base 60 para expresar las partes fraccionarias de números. En particular, su tabla de acordes , que fue esencialmente la única tabla trigonométrica extensa durante más de un milenio, tiene partes fraccionarias de un grado en base 60.

Los astrónomos medievales también usaron números sexagesimales para anotar el tiempo. Al-Biruni primero subdividió la hora sexagesimalmente en minutos , segundos , tercios y cuartos en 1000 mientras hablaba de los meses judíos. Alrededor de 1235 Juan de Sacrobosco continuó esta tradición, aunque Nothaft pensó que Sacrobosco fue el primero en hacerlo. La versión parisina de las tablas Alfonsine (ca. 1320) usaba el día como la unidad básica de tiempo, registrando múltiplos y fracciones de un día en notación de base 60.

El sistema numérico sexagesimal siguió siendo utilizado con frecuencia por los astrónomos europeos para realizar cálculos hasta 1671. Por ejemplo, Jost Bürgi en Fundamentum Astronomiae (presentado al emperador Rudolf II en 1592), su colega Ursus en Fundamentum Astronomicum , y posiblemente también Henry Briggs , usó tablas de multiplicar basadas en el sistema sexagesimal a fines del siglo XVI, para calcular los senos.

A finales del siglo XVIII y principios del XIX, se descubrió que los astrónomos tamiles realizaban cálculos astronómicos, calculando conchas utilizando una mezcla de notaciones decimales y sexagesimales desarrolladas por astrónomos helenísticos .

Los sistemas numéricos de base 60 también se han utilizado en algunas otras culturas que no están relacionadas con los sumerios, por ejemplo, por el pueblo Ekari del oeste de Nueva Guinea .

Uso moderno

Los usos modernos del sistema sexagesimal incluyen la medición de ángulos , coordenadas geográficas , navegación electrónica y tiempo .

Una hora de tiempo se divide en 60 minutos y un minuto se divide en 60 segundos. Por lo tanto, una medición de tiempo como 3:23:17 (3 horas, 23 minutos y 17 segundos) se puede interpretar como un número sexagesimal completo (sin punto sexagesimal), es decir, 3 × 60 ² + 23 × 60 ¹ + 17 × 60 ⁰ segundos . Sin embargo, cada uno de los tres dígitos sexagesimales de este número (3, 23 y 17) se escribe utilizando el sistema decimal .

De manera similar, la unidad práctica de medida angular es el grado , de los cuales hay 360 (seis sesenta) en un círculo. Hay 60 minutos de arco en un grado y 60 segundos de arco en un minuto.

YAML

En la versión 1.1 del formato de almacenamiento de datos YAML , los sexagesimales son compatibles con escalares simples y se especifican formalmente tanto para números enteros como de coma flotante. Esto ha provocado confusión, ya que, por ejemplo, algunas direcciones MAC se reconocerían como sexagesimales y se cargarían como enteros, mientras que otras no se cargarían como cadenas. En YAML 1.2 se eliminó el soporte para sexagesimales.

Notaciones

En los textos astronómicos griegos helenísticos , como los escritos de Ptolomeo , los números sexagesimales se escribían utilizando números alfabéticos griegos , y cada dígito sexagesimal se trataba como un número distinto. Los astrónomos helenísticos adoptaron un nuevo símbolo para el cero,-°, que se transformó a lo largo de los siglos en otras formas, incluida la letra griega omicron, ο, que normalmente significa 70, pero permisible en un sistema sexagesimal donde el valor máximo en cualquier posición es 59. Los griegos limitaron su uso de números sexagesimales a la parte fraccionaria. de un número.

En los textos latinos medievales, los números sexagesimales se escribían utilizando números arábigos ; los diferentes niveles de fracciones se denotaban minuta (es decir, fracción), minuta secunda , minuta tertia , etc. En el siglo XVII se hizo común denotar la parte entera de los números sexagesimales con un cero en superíndice, y las diversas partes fraccionarias con uno o más marcas de acento. John Wallis , en su Mathesis universalis , generalizó esta notación para incluir múltiplos superiores de 60; dando como ejemplo el número 49 ‵ ‵ ‵ ‵ 36 ‵ ‵ ‵ 25‵‵15‵1 ° 15′2 ″ 36 ‴ 49 ⁗ ; donde los números de la izquierda se multiplican por potencias superiores de 60, los números de la derecha se dividen por potencias de 60 y el número marcado con el cero en superíndice se multiplica por 1. Esta notación conduce a los signos modernos de grados, minutos y segundos. La misma nomenclatura de minutos y segundos también se usa para unidades de tiempo, y la notación moderna para el tiempo con horas, minutos y segundos escritos en decimal y separados entre sí por dos puntos puede interpretarse como una forma de notación sexagesimal.

En algunos sistemas de uso, cada posición más allá del punto sexagesimal fue contado, usando el latín o raíces francesas: primer o primus , seconde o Segundo , tercia , quatre , quinte , etc. Hasta el día que llamamos la parte de segundo orden de una hora o de un grado un "segundo". Hasta al menos el siglo XVIII,1/60 de un segundo se llamaba "tierce" o "tercero".

En la década de 1930, Otto Neugebauer introdujo un sistema de notación moderno para números babilónicos y helenísticos que sustituye la notación decimal moderna de 0 a 59 en cada posición, mientras usa un punto y coma (;) para separar las partes integrales y fraccionarias del número y usa una coma. (,) para separar las posiciones dentro de cada porción. Por ejemplo, el mes sinódico medio utilizado por los astrónomos babilónicos y helenísticos y que todavía se utiliza en el calendario hebreo es 29; 31,50,8,20 días. Esta notación se utiliza en este artículo.

Fracciones y números irracionales

Fracciones

En el sistema sexagesimal, cualquier fracción en la que el denominador sea ​​un número regular (que tenga solo 2, 3 y 5 en su factorización prima ) puede expresarse exactamente. Aquí se muestran todas las fracciones de este tipo en las que el denominador es menor o igual a 60:

Sin embargo, los números que no son regulares forman fracciones repetidas más complicadas . Por ejemplo:

1 ⁄ 7 = 0; 8,34,17 (la barra indica la secuencia de dígitos sexagesimales 8,34,17 se repite infinitamente muchas veces)

1 ⁄ 11 = 0; 5,27,16,21,49

1 ⁄ 13 = 0; 4,36,55,23

1 ⁄ 14 = 0; 4, 17,8,34

1 ⁄ 17 = 0; 3,31,45,52,56,28,14,7

1 ⁄ 19 = 0; 3,9,28,25,15,47,22,6,18,56,50,31,34,44,12,37,53,41

1 ⁄ 59 = 0; 1

1 ⁄ 61 = 0; 0,59

El hecho de que los dos números adyacentes a sesenta, 59 y 61 sean números primos implica que las fracciones que se repiten con un período de uno o dos dígitos sexagesimales solo pueden tener múltiplos de números regulares de 59 o 61 como denominadores, y que otros números no regulares tienen fracciones que se repiten con un período más largo.

Numeros irracionales

Tablilla babilónica YBC 7289 que muestra el número sexagesimal 1; 24,51,10 aproximándose  √ 2

Las representaciones de números irracionales en cualquier sistema numérico posicional (incluidos los decimales y sexagesimales) no terminan ni se repiten .

La raíz cuadrada de 2 , la longitud de la diagonal de una unidad cuadrada , fue aproximada por los babilonios del Antiguo Período Babilónico ( 1900 aC - 1650 aC ) como

${\ Displaystyle 1; 24,51,10 = 1 + {\ frac {24} {60}} + {\ frac {51} {60 ^ {2}}} + {\ frac {10} {60 ^ {3 }}} = {\ frac {30547} {21600}} \ approx 1.41421296 \ ldots}$

Porque √ 2  ≈ 1.414 213 56 ... es un número irracional , no se puede expresar exactamente en sexagesimal (o de hecho en cualquier sistema de base entera), pero su expansión sexagesimal comienza 1; 24,51,10,7,46,6,4, 44 ... ( OEIS :  A070197 )

El valor de π utilizado por el matemático y científico griego Ptolomeo fue 3; 8,30 = 3 +8/60 + 30/60 ² = 377/120 ≈ 3.141 666 .... Jamshīd al-Kāshī , un matemático persa del siglo XV , calculó 2 π como una expresión sexagesimal a su valor correcto cuando se redondea a nueve subdígitos (por lo tanto, a1/60 ⁹); su valor para 2 π fue 6; 16,59,28,1,34,51,46,14,50. Como √ 2 arriba, 2 π es un número irracional y no se puede expresar exactamente en sexagesimal. Comienza su expansión sexagesimal 6; 16,59,28,1,34,51,46,14,49,55,12,35 ... ( OEIS :  A091649 )

Ver también

• Reloj
• Latitud
• Trigonometría

Referencias

Otras lecturas

• Ifrah, Georges (1999), La historia universal de los números: desde la prehistoria hasta la invención de la computadora , Wiley, ISBN 0-471-37568-3.
• Nissen, Hans J .; Damerow, P .; Englund, R. (1993), Contabilidad arcaica , University of Chicago Press, ISBN 0-226-58659-6

enlaces externos

• "Datos sobre el cálculo de grados y minutos" es un libro en árabe de Sibṭ al-Māridīnī, Badr al-Dīn Muḥammad ibn Muḥammad (n. 1423). Este trabajo ofrece un tratamiento muy detallado de las matemáticas sexagesimales e incluye lo que parece ser la primera mención de la periodicidad de las fracciones sexagesimales.