Hipotenusa - Hypotenuse

Un triángulo rectángulo y su hipotenusa.

En geometría , una hipotenusa es el lado más largo de un triángulo rectángulo , el lado opuesto al ángulo recto . La longitud de la hipotenusa se puede encontrar usando el teorema de Pitágoras , que establece que el cuadrado de la longitud de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de las longitudes de los otros dos lados. Por ejemplo, si uno de los otros lados tiene una longitud de 3 (cuando está al cuadrado, 9) y el otro tiene una longitud de 4 (cuando está al cuadrado, 16), entonces sus cuadrados suman 25. La longitud de la hipotenusa es la raíz cuadrada de 25, es decir, 5.

Etimología

La palabra hipotenusa se deriva de griego eta τὴν ὀρθὴν γωνίαν ὑποτείνουσα (sc. Γραμμή o πλευρά ), que significa "[lado] que subtiende el ángulo derecho" ( Apolodoro ), ὑποτείνουσα hupoteinousa siendo el femenino participio presente activo del verbo ὑποτείνω hupo-Teino " estirar abajo, subtender ", de τείνω teinō " estirar, extender ". El participio nominalizado, ἡ ὑποτείνουσα , se usó para la hipotenusa de un triángulo en el siglo IV a. C. (atestiguado en Platón , Timeo 54d). El término griego se prestó al latín tardío , como hypotēnūsa . La ortografía en -e , como hipotenusa , es de origen francés ( Estienne de La Roche 1520).

Calcular la hipotenusa

La longitud de la hipotenusa se puede calcular utilizando la función de raíz cuadrada implícita en el teorema de Pitágoras . Usando la notación común que la longitud de las dos patas del triángulo (los lados perpendiculares entre sí) son una y b y la de la hipotenusa es c , tenemos

El teorema de Pitágoras, y por lo tanto esta longitud, también se puede derivar de la ley de los cosenos al observar que el ángulo opuesto a la hipotenusa es de 90 ° y observar que su coseno es 0:

Muchos lenguajes informáticos admiten la función estándar ISO C hypot ( x , y ), que devuelve el valor anterior. La función está diseñada para no fallar donde el cálculo sencillo puede desbordar o subdesbordar y puede ser un poco más preciso y, a veces, significativamente más lento.

Algunas calculadoras científicas proporcionan una función para convertir de coordenadas rectangulares a coordenadas polares . Esto da tanto la longitud de la hipotenusa como el ángulo que forma la hipotenusa con la línea base ( c 1 arriba) al mismo tiempo cuando se dan x e y . El ángulo devuelto normalmente viene dado por atan2 ( y , x ).

Propiedades

En la figura, una es la hipotenusa y b y c son los catetos. La proyección ortográfica de b es my de c es n .

Proyecciones ortográficas :

  • La longitud de la hipotenusa es igual a la suma de las longitudes de las proyecciones ortográficas de ambos catetos.
  • El cuadrado de la longitud de un cateto es igual al producto de las longitudes de su proyección ortográfica en la hipotenusa por la longitud de este.
b² = a · m
c² = a · n
  • Además, la longitud de un cateto b es la media proporcional entre las longitudes de su proyección my la hipotenusa a .
a / b = b / m
a / c = c / n

Relaciones trigonométricas

Por medio de razones trigonométricas , se puede obtener el valor de dos ángulos agudos y del triángulo rectángulo.

Dada la longitud de la hipotenusa y de un cateto , la relación es:

Euklidova veta.svg

La función inversa trigonométrica es:

en el cual es el ángulo opuesto al cateto .

El ángulo adyacente del cateti es = 90 ° -

También se puede obtener el valor del ángulo mediante la ecuación:

en el que se encuentra el otro cateto.

Ver también

Notas

Referencias