automorphism - Automorphism


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En las matemáticas , un automorfismo es un isomorfismo de un objeto matemático a sí mismo. Es, en cierto sentido, una simetría del objeto, y una forma de mapear el objeto a sí mismo mientras que preserva la totalidad de su estructura. El conjunto de todos los automorfismos de un objeto forma un grupo , llamado el grupo de automorfismos . Es, hablando sin apretar, el grupo de simetría del objeto.

Definición

En el contexto de álgebra abstracta , un objeto matemático es una estructura algebraica tal como un grupo , de anillo , o espacio vectorial . Un automorfismo es simplemente una biyectiva homomorfismo de un objeto con sí mismo. (La definición de un homomorfismo depende del tipo de estructura algebraica; véase, por ejemplo, homomorfismo de grupos , homomorfismo de anillos , y operador lineal ).

El morfismo identidad ( la correlación de identidad ) se llama el automorfismo trivial en algunos contextos. Respectivamente, otros (no-identidad) automorfismos se denominan automorfismos no triviales .

La definición exacta de un automorfismo depende del tipo de "objeto matemático" en cuestión y lo que, precisamente, constituye un "isomorfismo" de ese objeto. El ajuste más general en el que estas palabras tienen un significado abstracto es una rama de las matemáticas llamada teoría de las categorías . La teoría categoría con objetos abstractos y morfismos entre esos objetos.

En la teoría de categorías, un automorfismo es un endomorphism (es decir, un morfismo de un objeto a sí mismo) que es también un isomorfismo (en el sentido categórico de la palabra).

Esta es una definición muy abstracta, ya que, en la teoría de categorías, morfismos no son necesariamente las funciones y los objetos no son necesariamente conjuntos. En la mayoría de situaciones concretas, sin embargo, los objetos sean conjuntos con alguna estructura adicional y los morfismos serán funciones que preservan esa estructura.

grupo de automorfismos

Si los automorfismos de un objeto X forman un conjunto (en lugar de una apropiada clase ), a continuación, forman un grupo bajo composición de morfismos . Este grupo se llama el grupo de automorfismos de X .

Cierre
Composición de dos automorfismos es otro automorphism.
asociatividad
Es parte de la definición de una categoría que la composición de morfismos es asociativa.
Identidad
La identidad es el morfismo identidad de un objeto a sí mismo, que es un automorfismo.
inversas
Por definición cada isomorfismo tiene una inversa que también es un isomorfismo, y dado que la inversa es también un endomorfismo del mismo objeto que es un automorfismo.

El grupo de automorfismos de un objeto X en una categoría C se denota Aut C ( X ), o simplemente Aut ( X ) si la categoría está claro a partir del contexto.

Ejemplos

Historia

Uno de los primeros grupos de automorfismos (automorfismo de un grupo, no simplemente un grupo de automorfismos de puntos) fue dado por el matemático irlandés William Rowan Hamilton en 1856, en su cálculo icosian , donde descubrió una orden de dos automorfismo, escribiendo:

de manera que es una nueva quinta raíz de la unidad, conectado con la antigua raíz quinta por relaciones de reciprocidad perfecta.

automorfismos interiores y exteriores

En algunas categorías-en particular grupos , anillos y álgebras de Lie -Es posible separar automorfismos en dos tipos, llamados "interior" y automorfismos "externos".

En el caso de grupos, los automorfismos interiores son las conjugaciones de los elementos del grupo mismo. Para cada elemento de una de un grupo G , conjugación por una es la operación φ un  : GG dado por φ una ( g ) = aga -1 (o un -1 ga ; uso varía). Se puede comprobar fácilmente que la conjugación de un es un automorfismo de grupo. Los automorfismos interiores forman un subgrupo normal de Aut ( G ), denotado por Inn ( G ); esto se llama el lema de Goursat .

Los otros automorfismos se denominan automorfismos exteriores . El grupo cociente Aut ( G ) / Inn ( G ) por lo general se denota por Out ( G ); los elementos no triviales son las clases laterales que contienen los automorfismos exteriores.

La misma definición se mantiene en cualquier unital anillo o álgebra donde una es cualquier elemento invertible . Para álgebras de Lie la definición es un poco diferente.

Ver también

referencias

  1. ^ PJ Pahl, R Damrath (2001). "§7.5.5 Automorfismos". Fundamentos matemáticos de la ingeniería computacional (Felix Pahl traducción ed.). Saltador. pag. 376. ISBN  3-540-67995-2 .
  2. ^ Yale, Paul B. (mayo de 1966). "Automorfismos de los números complejos" (PDF) . Revista Matemática . 39 (3): 135-141. doi : 10.2307 / 2689301 . JSTOR  2.689.301 .
  3. ^ Lounesto, Pertti (2001), Álgebra de Clifford y Espinores (2ª ed.), Cambridge University Press, pp. 22-23, ISBN  0-521-00551-5
  4. ^ Manual del álgebra , 3 , Elsevier , 2003, p. 453
  5. ^ Sir William Rowan Hamilton (1856). "Memorando respetando un nuevo sistema de raíces de la unidad" (PDF) . Philosophical Magazine . 12 : 446.

enlaces externos