Imagen (matemáticas) - Image (mathematics)

es una función de dominio a codominio El óvalo amarillo en el interior es la imagen de

En matemáticas , la imagen de una función es el conjunto de todos los valores de salida que puede producir.

De manera más general, la evaluación de una función dada en cada elemento de un subconjunto dado de su dominio produce un conjunto, llamado la " imagen de debajo (o por) ". De manera similar, la imagen inversa (o preimagen ) de un subconjunto dado del codominio de es el conjunto de todos los elementos del dominio que se asignan a los miembros de

La imagen y la imagen inversa también se pueden definir para relaciones binarias generales , no solo funciones.

Definición

La palabra "imagen" se utiliza de tres formas relacionadas. En estas definiciones, es una función del conjunto al conjunto

Imagen de un elemento

Si es miembro de, entonces la imagen de sub denotado es el valor de cuando se aplica a se conoce alternativamente como la salida de para argumento

Dado que se dice que la función " toma el valor " o " toma como un valor " si existe algo en el dominio de la función, de manera similar, se dice que un conjunto dado " toma un valor en " si existe algo en el dominio de la función tal que Sin embargo, " toma [todos] los valores en " y " se valora en " significa que para cada punto en el dominio.

Imagen de un subconjunto

La imagen de un subconjunto debajo indicado es el subconjunto del cual se puede definir usando la notación del generador de conjuntos de la siguiente manera:

Cuando no hay riesgo de confusión, simplemente se escribe como Esta convención es común; el significado pretendido debe inferirse del contexto. Esto crea una función cuyo dominio es el conjunto de potencias de (el conjunto de todos los subconjuntos de ), y cuyo codominio es el conjunto de potencias de. Consulte § Notación a continuación para obtener más información.

Imagen de una función

La imagen de una función es la imagen de todo su dominio , también conocido como rango de la función. Este uso debe evitarse porque la palabra "rango" también se usa comúnmente para referirse al codominio de

Generalización a relaciones binarias

Si es un arbitraria relación binaria sobre entonces el conjunto se llama la imagen, o la gama, de Dually, el conjunto se denomina el dominio de

Imagen inversa

Sea una función desde hasta La preimagen o imagen inversa de un conjunto bajo denotado por es el subconjunto de definido por

Otras notaciones incluyen y La imagen inversa de un conjunto singleton , denotado por o por también se llama fibra o fibra sobre o el conjunto de nivel de El conjunto de todas las fibras sobre los elementos de es una familia de conjuntos indexados por

Por ejemplo, para la función, la imagen inversa de sería Nuevamente, si no hay riesgo de confusión, se puede denotar y también se puede pensar como una función del conjunto de potencias de al conjunto de potencias de La notación no debe ser confundido con el de la función inversa , aunque coincide con el habitual para las biyecciones en que la imagen inversa de under es la imagen de under

Notación para imagen e imagen inversa

Las notaciones tradicionales utilizadas en la sección anterior pueden resultar confusas. Una alternativa es dar nombres explícitos para la imagen y la preimagen como funciones entre conjuntos de potencias:

Notación de flecha

  • con
  • con

Notación de estrella

  • en lugar de
  • en lugar de

Otra terminología

  • Una notación alternativa para usarse en lógica matemática y teoría de conjuntos es
  • Algunos textos se refieren a la imagen de como el rango de, pero este uso debe evitarse porque la palabra "rango" también se usa comúnmente para referirse al codominio de

Ejemplos de

  1. definido por
    La imagen del conjunto debajo es La imagen de la función es La preimagen de es La preimagen de es también La preimagen de es el conjunto vacío
  2. definido por
    La imagen de bajo es y la imagen de es (el conjunto de todos los números reales positivos y cero). La preimagen de bajo es La preimagen del conjunto bajo es el conjunto vacío, porque los números negativos no tienen raíces cuadradas en el conjunto de reales.
  3. definido por
    Las fibras son círculos concéntricos sobre el origen , el origen en sí y el conjunto vacío , dependiendo de si respectivamente. (si entonces la fibra es el conjunto de todos que satisfacen la ecuación del anillo concéntrico de origen )
  4. Si es una variedad y es la proyección canónica desde el haz tangente hasta, entonces las fibras de son los espacios tangentes. Este también es un ejemplo de un haz de fibras .
  5. Un grupo de cocientes es una imagen homomórfica.

Propiedades

Contraejemplos basados ​​en los números reales definidos al mostrar que la igualdad generalmente no tiene por qué ser válida para algunas leyes:


Imagen que muestra conjuntos no iguales: los conjuntos y se muestran en azul inmediatamente debajo del eje-mientras que su intersección se muestra en verde .

General

Para cada función y todos los subconjuntos y las siguientes propiedades se mantienen:

Imagen Preimagen

(igual si, por ejemplo, si es sobreyectiva)

(igual si es inyectivo)

También:

Múltiples funciones

Para funciones y con subconjuntos y las siguientes propiedades se mantienen:

Múltiples subconjuntos de dominio o codominio

Para función y subconjuntos y las siguientes propiedades se mantienen:

Imagen Preimagen

(igual si es inyectivo)

(igual si es inyectivo)

(igual si es inyectivo)

Los resultados que relacionan imágenes y preimágenes con el álgebra ( booleana ) de intersección y unión funcionan para cualquier colección de subconjuntos, no solo para pares de subconjuntos:

(Aquí, puede ser infinito, incluso incontablemente infinito ).

Con respecto al álgebra de subconjuntos descrita anteriormente, la función de imagen inversa es un homomorfismo de celosía , mientras que la función de imagen es solo un homomorfismo de semirreticulado (es decir, no siempre conserva las intersecciones).

Ver también

Notas

Referencias

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