Coset - Coset

G es el grupo ( Z / 8 Z , +) , los enteros mod 8 bajo la suma. El subgrupo H contiene solo 0 y 4. Hay cuatro clases laterales izquierdas de H : H en sí, 1 + H , 2 + H y 3 + H (escrito usando notación aditiva ya que este es el grupo aditivo ). Juntos, dividen todo el grupo G en conjuntos de igual tamaño que no se superponen. El índice [ G  : H ] es 4 .

En matemáticas , específicamente en la teoría de grupos, se puede usar un subgrupo H de un grupo G para descomponer el conjunto subyacente de G en subconjuntos disjuntos de igual tamaño llamados clases laterales . Hay clases laterales izquierdas y derechas . Clases laterales (izquierda y derecha) tienen el mismo número de elementos ( cardinalidad ) como lo hace H . Además, H es a la vez una clase lateral izquierda y una clase lateral derecha. El número de clases laterales izquierdos de H en G es igual al número de clases laterales derechas de H en G . Este valor común se llama índice de H en G y generalmente se denota por [ G  : H ] .

Los Cosets son una herramienta básica en el estudio de grupos; por ejemplo, juegan un papel central en el teorema de Lagrange que los estados que para cualquier grupo finito G , el número de elementos de cada subgrupo H de G divide el número de elementos de G . Los conjuntos de cocientes de un tipo particular de subgrupo (un subgrupo normal ) se pueden utilizar como elementos de otro grupo llamado grupo cociente o grupo de factores . Los Cosets también aparecen en otras áreas de las matemáticas, como los espacios vectoriales y los códigos de corrección de errores .

Definición

Sea H un subgrupo del grupo G cuya operación se escribe multiplicativamente (yuxtaposición denota la operación de grupo). Dado un elemento g de G , las clases laterales izquierdas de H en G son los conjuntos obtenidos al multiplicar cada elemento de H por un elemento fijo g de G (donde g es el factor izquierdo). En símbolos estos son,

gH = { gh  : h un elemento de H } para cada g en G .

Las clases laterales derechas se definen de manera similar, excepto que el elemento g ahora es un factor recto, es decir,

Hg = { hg  : h un elemento de H } para g en G .

A medida que g varía a través del grupo, parecería que se generarían muchas clases sociales (derecha o izquierda). Sin embargo, resulta que cualesquiera dos clases laterales izquierdas (respectivamente, clases laterales derechas) son disjuntos o son idénticos como conjuntos.

Si la operación de grupo se escribe de forma aditiva, como suele ser el caso cuando el grupo es abeliano , la notación utilizada cambia a g + H o H + g , respectivamente.

Primer ejemplo

Sea G el grupo diedro de orden seis . Sus elementos pueden estar representados por { I , a , a 2 , b , ab , a 2 b }. En este grupo, a 3 = b 2 = I y ba = a −1 b . Ésta es información suficiente para completar toda la tabla de Cayley :

I a un 2 B ab a 2 b
I I a un 2 B ab a 2 b
a a un 2 I ab a 2 b B
un 2 un 2 I a a 2 b B ab
B B a 2 b ab I un 2 a
ab ab B a 2 b a I un 2
a 2 b a 2 b ab B un 2 a I

Sea T el subgrupo { I , b }. Las clases laterales izquierdas (distintas) de T son:

IT = T = { I , b } ,
aT = { a , ab } y
a 2 T = { a 2 , a 2 b } .

Dado que todos los elementos de G han aparecido ahora en una de estas clases laterales, al generar más no se pueden producir nuevas clases laterales, ya que una nueva clase debería tener un elemento en común con una de estas y, por lo tanto, ser idéntica a una de estas clases. Por ejemplo, abT = { ab , a } = aT .

Las clases laterales derechas de T son:

TI = T = { I , b } ,
Ta = { a , ba } = { a , a 2 b } y
Ta 2 = { a 2 , ba 2 } = { a 2 , ab } .

En este ejemplo, a excepción de T , ninguna clase lateral izquierda también es una clase lateral derecha.

Sea H el subgrupo { I , a , a 2 } . Las clases laterales izquierdas de H son IH = H y bH = { b , ba , ba 2 } . Las clases laterales derechas de H son HI = H y Hb = { b , ab , a 2 b } = { b , ba 2 , ba } . En este caso, cada clase lateral izquierda de H es también una clase lateral derecha de H .

Deje H un subgrupo de un grupo G y supongamos que g 1 , g 2G . Las siguientes declaraciones son equivalentes:

  • g 1 H = g 2 H
  • Hg 1 −1 = Hg 2 −1
  • g 1 Hg 2 H
  • g 2g 1 H
  • g 1 −1 g 2H

Propiedades

La disyunción de las clases laterales no idénticas es el resultado del hecho de que si x pertenece a gH, entonces gH = xH . Porque si xgH entonces debe existir un aH tal que ga = x . Por tanto, xH = ( ga ) H = g ( aH ) . Además desde H es un grupo, izquierda multiplicación por una es una biyección, y aH = H .

Por tanto, cada elemento de G pertenece exactamente a una clase lateral izquierda del subgrupo H , y H es en sí misma una clase lateral izquierda (y la que contiene la identidad).

Dos elementos que están en la misma clase lateral izquierda también proporcionan una relación de equivalencia natural . Definir dos elementos de G , x y y , para ser equivalente con respecto al subgrupo H si xH = yH (o de manera equivalente si x -1 y pertenece a H ). Las clases de equivalencia de esta relación son las clases laterales izquierdos de H . Como ocurre con cualquier conjunto de clases de equivalencia, forman una partición del conjunto subyacente. Un representante de clase es un representante en el sentido de clase de equivalencia. Un conjunto de representantes de todas las clases laterales se llama transversal . Hay otros tipos de relaciones de equivalencia en un grupo, como la conjugación, que forman diferentes clases que no tienen las propiedades discutidas aquí.

Se aplican declaraciones similares a las clases laterales derechas.

Si G es un grupo abeliano , entonces g + H = H + g para cada subgrupo H de G y cada elemento g de G . Para grupos generales, dado un elemento gy un subgrupo H de un grupo G , la clase lateral derecha de H con respecto a g es también la clase lateral izquierda del subgrupo conjugado g −1 Hg con respecto a g , es decir, Hg = g ( g -1 Hg ) .

Subgrupos normales

Un subgrupo N de un grupo G es un subgrupo normal de G si y solo si para todos los elementos g de G las correspondientes clases laterales izquierda y derecha son iguales, es decir, gN = Ng . Este es el caso del subgrupo H en el primer ejemplo anterior. Además, las clases sociales de N en G forman un grupo llamado grupo cociente o grupo de factores .

Si H no es normal en G , entonces sus clases laterales izquierdas son diferentes de sus clases laterales derechas. Es decir, hay un a en G tal que ningún elemento b satisface aH = Hb . Esto significa que la partición de G en las clases laterales izquierdos de H es una partición diferente de la partición de G en clases laterales derechas de H . Esto se ilustra con el subgrupo T en el primer ejemplo anterior. ( Algunas clases laterales pueden coincidir. Por ejemplo, si a está en el centro de G , entonces aH = Ha .)

Por otro lado, si el subgrupo N es normal, el conjunto de todas las clases laterales forman un grupo llamado grupo cociente G / N con la operación ∗ definida por ( aN  ) ∗ ( bN  ) = abN . Dado que cada clase lateral derecha es una clase lateral izquierda, no es necesario distinguir entre las "clases laterales izquierdas" de las "clases laterales derechas".

Índice de un subgrupo

Cada clase lateral izquierda o derecha de H tiene el mismo número de elementos (o cardinalidad en el caso de una H infinita ) que la propia H. Además, el número de clases laterales izquierdas es igual al número de clases laterales derechas y se conoce como el índice de H en G , escrito como [ G  : H ] . El teorema de Lagrange nos permite calcular el índice en el caso de que G y H sean finitos:

.

Esta ecuación también es válida en el caso de que los grupos sean infinitos, aunque el significado puede ser menos claro.

Más ejemplos

Enteros

Sea G el grupo aditivo de los enteros, Z = ({..., −2, −1, 0, 1, 2, ...}, +) y H el subgrupo (3 Z , +) = ({ ..., −6, −3, 0, 3, 6, ...}, +) . Entonces las clases laterales de H en G son los tres conjuntos 3 Z , 3 Z + 1 y 3 Z + 2 , donde 3 Z + a = {..., −6 + a , −3 + a , a , 3 + a , 6 + a , ... }. Estos tres conjuntos dividen el conjunto Z , por lo que no hay otras clases laterales derechas de H . Debido a la commutivity de adición H + 1 = 1 + H y H + 2 = 2 + H . Es decir, cada clase lateral izquierda de H también es una clase lateral derecha, por lo que H es un subgrupo normal. (El mismo argumento muestra que cada subgrupo de un grupo abeliano es normal).

Este ejemplo puede generalizarse. De nuevo, sea G el grupo aditivo de los enteros, Z = ({..., −2, −1, 0, 1, 2, ...}, +) , y ahora sea H el subgrupo ( m Z , + ) = ({..., −2 m , - m , 0, m , 2 m , ...}, +) , donde m es un número entero positivo. Entonces las clases laterales de H en G son los m conjuntos m Z , m Z + 1 , ..., m Z + ( m - 1) , donde m Z + a = {..., −2 m + a , - m + a , a , m + a , 2 m + a , ... }. Hay no más de son m clases laterales, porque m Z + m = m ( Z + 1) = m Z . La clase lateral ( m Z + a , +) es la clase de congruencia de un módulo m . El subgrupo m Z es normal en Z , por lo que puede usarse para formar el grupo cociente Z / m Z el grupo de números enteros mod m .

Vectores

Otro ejemplo de clase lateral proviene de la teoría de los espacios vectoriales . Los elementos (vectores) de un espacio vectorial forman un grupo abeliano bajo la suma de vectores . Los subespacios del espacio vectorial son subgrupos de este grupo. Para un espacio vectorial V , un subespacio W y un vector fijo a en V , los conjuntos

se denominan subespacios afines y son clases laterales (tanto a la izquierda como a la derecha, ya que el grupo es abeliano). En términos de vectores geométricos tridimensionales , estos subespacios afines son todas las "líneas" o "planos" paralelos al subespacio, que es una línea o plano que pasa por el origen. Por ejemplo, considere el plano R 2 . Si m es una línea que pasa por el origen O , entonces m es un subgrupo del grupo abeliano R 2 . Si P es en R 2 , entonces la clase lateral P + m es una línea m ' paralela a m y que pasa por P .

Matrices

Sea G el grupo multiplicativo de matrices,

y el subgrupo H de G ,

Para un elemento fijo de G, considere la clase lateral izquierda

Es decir, las clases laterales izquierdas consisten en todas las matrices en G que tienen la misma entrada superior izquierda. Este subgrupo H es normal en G , pero el subgrupo

no es normal en G .

Como órbitas de una acción grupal

Un subgrupo H de un grupo G se puede utilizar para definir una acción de H sobre G de dos formas naturales. Una acción derecha , G × HG dada por ( g , h ) → gh o una acción izquierda , H × GG dada por ( h , g ) → hg . La órbita de g debajo de la acción derecha es la clase lateral izquierda gH , mientras que la órbita debajo de la acción izquierda es la clase lateral derecha Hg .

Historia

El concepto de una clase lateral se remonta al trabajo de Galois de 1830-1831. Introdujo una notación pero no proporcionó un nombre para el concepto. El término "co-set" aparece por primera vez en 1910 en un artículo de GA Miller en el Quarterly Journal of Mathematics (vol. 41, p. 382). Se han utilizado varios otros términos, incluido el alemán Nebengruppen ( Weber ) y el grupo conjugado ( Burnside ).

Galois se ocupa de decidir cuando un determinado ecuación polinómica era resoluble por radicales . Una herramienta que desarrolló fue señalar que un subgrupo H de un grupo de permutaciones G inducía dos descomposiciones de G (lo que ahora llamamos clases laterales izquierdas y derechas). Si estas descomposiciones coincidieron, es decir, si las clases laterales izquierdos son las mismas que las clases laterales derechas, entonces había una manera de reducir el problema a una de trabajo sobre H en lugar de G . Camille Jordan, en sus comentarios sobre el trabajo de Galois en 1865 y 1869, elaboró ​​estas ideas y definió subgrupos normales como hemos mencionado anteriormente, aunque no usó este término.

Llamar a la clase lateral gH la clase lateral izquierda de g con respecto a H , aunque es más común hoy en día, no ha sido universalmente cierto en el pasado. Por ejemplo, Hall (1959) llamaría a gH una clase lateral derecha , enfatizando que el subgrupo está a la derecha.

Una aplicación de la teoría de la codificación

Un código lineal binario es un subespacio n- dimensional C de un espacio vectorial m -dimensional V sobre el campo binario GF (2) . Como V es un grupo abeliano aditivo, C es un subgrupo de este grupo. Los códigos se pueden utilizar para corregir errores que pueden ocurrir en la transmisión. Cuando se transmite una palabra de código (elemento de C ), algunos de sus bits pueden alterarse en el proceso y la tarea del receptor es determinar la palabra de código más probable con la que podría haber comenzado la palabra recibida corrupta . Este procedimiento se llama decodificación y si solo se cometen algunos errores en la transmisión, se puede realizar de manera efectiva con solo unos pocos errores. Un método utilizado para decodificar utiliza una disposición de los elementos de V (una palabra recibida podría ser cualquier elemento de V ) en una matriz estándar . Una matriz estándar es una descomposición de clases laterales de V puesta en forma tabular de cierta manera. Es decir, la fila superior de la matriz consta de los elementos de C , escritos en cualquier orden, excepto que el vector cero debe escribirse primero. Luego, se selecciona un elemento de V con un número mínimo de unos que no aparece ya en la fila superior y la clase lateral de C que contiene este elemento se escribe como la segunda fila (es decir, la fila se forma tomando la suma de este elemento con cada elemento de C directamente encima de él). Este elemento se llama líder de clase lateral y puede haber alguna opción para seleccionarlo. Ahora se repite el proceso, se selecciona un nuevo vector con un número mínimo de unos que aún no aparecen como un nuevo líder de clase lateral y la clase lateral de C que lo contiene es la siguiente fila. El proceso finaliza cuando todos los vectores de V se han clasificado en las clases laterales.

Un ejemplo de una matriz estándar para el código bidimensional C = {00000, 01101, 10110, 11011} en el espacio de 5 dimensiones V (con 32 vectores) es el siguiente:

00000 01101 10110 11011
10000 11101 00110 01011
01000 00101 11110 10011
00100 01001 10010 11111
00010 01111 10100 11001
00001 01100 10111 11010
11000 10101 01110 00011
10001 11100 00111 01010

El procedimiento de decodificación es encontrar la palabra recibida en la tabla a continuación, añadir a ella el líder clase lateral de la fila que se encuentra. Dado que en la aritmética binaria es la adición de la misma operación que resta, este siempre resulta en un elemento de C . En el caso de que los errores de transmisión ocurrieran precisamente en las posiciones distintas de cero del líder de la clase lateral, el resultado será la palabra de código correcta. En este ejemplo, si ocurre un solo error, el método siempre lo corregirá, ya que todos los posibles líderes de clase lateral con uno solo aparecen en la matriz.

La decodificación del síndrome se puede utilizar para mejorar la eficacia de este método. Es un método de cálculo de la clase lateral correcta (fila) de que una palabra recibida estará en Para una. N código -dimensional C en un m espacio vector binario -dimensional, una matriz de comprobación de paridad es un ( m - n ) × m matriz H que tiene la propiedad de que x H T = 0 si y sólo si x es en C . El vector x H T se denomina síndrome de x y, por linealidad , todos los vectores de la misma clase lateral tendrán el mismo síndrome. Para decodificar, la búsqueda ahora se reduce a encontrar el líder de la clase lateral que tiene el mismo síndrome que la palabra recibida.

Cosets dobles

Dados dos subgrupos, H y K (que no necesitan ser distintos) de un grupo G , las clases laterales dobles de H y K en G son los conjuntos de la forma HgK = { hgk  : h un elemento de H , k un elemento de K } . Estas son las clases laterales izquierdas de K y las clases laterales derechas de H cuando H = 1 y K = 1 respectivamente.

Dos clases laterales dobles HxK y HyK son disjuntas o idénticas. El conjunto de todas clases laterales dobles para fijo H y K forman una partición de G .

Un doble clase lateral HXK contiene las clases laterales derecha completa de H (en G ) de la forma HXK , con k un elemento de K y las clases laterales completos izquierdos de K (en G ) de la forma HXK , con h en H .

Notación

Deje que G sea un grupo con subgrupos H y K . Varios autores que trabajan con estos conjuntos han desarrollado una notación especializada para su trabajo, donde

  • G / H denota el conjunto de clases laterales izquierda { gH : g en G } de H en G .
  • H \ G denota el conjunto de clases laterales derechas { Hg  : g en G } de H en G .
  • K \ G / H denota el conjunto de clases laterales dobles { KgH  : g en G } de H y K en G , a veces denominado espacio de clases laterales dobles .
  • G // H denota el espacio de clase lateral doble H \ G / H del subgrupo H en G .

Más aplicaciones

Ver también

Notas

Referencias

Otras lecturas

enlaces externos