Grupo cociente - Quotient group

Un grupo de cocientes o grupo de factores es un grupo matemático que se obtiene agregando elementos similares de un grupo más grande usando una relación de equivalencia que conserva parte de la estructura del grupo (el resto de la estructura se "factoriza"). Por ejemplo, el grupo cíclico de suma módulo n puede obtenerse del grupo de enteros bajo suma identificando elementos que difieren en un múltiplo de n y definiendo una estructura de grupo que opera en cada una de esas clases (conocida como clase de congruencia ) como un entidad única. Forma parte del campo matemático conocido como teoría de grupos .

En un cociente de un grupo, la clase de equivalencia del elemento de identidad es siempre un subgrupo normal del grupo original, y las otras clases de equivalencia son precisamente las clases laterales de ese subgrupo normal. El cociente resultante se escribe G / N , donde G es el grupo original y N es el subgrupo normal. (Esto se pronuncia " G mod N ", donde "mod" es la abreviatura de módulo ).

Gran parte de la importancia de los grupos de cocientes se deriva de su relación con los homomorfismos . La primera isomorfismo teorema afirma que la imagen de cualquier grupo G bajo un homomorfismo es siempre isomorfo a un cociente de G . Específicamente, la imagen de G bajo un homomorfismo φ : G → H es isomorfa a G / ker ( φ ) donde ker ( φ ) denota el kernel de φ .

La noción dual de un grupo cociente es un subgrupo , siendo estas las dos formas principales de formar un grupo más pequeño a partir de uno más grande. Cualquier subgrupo normal tiene un grupo de cociente correspondiente, formado a partir del grupo más grande al eliminar la distinción entre los elementos del subgrupo. En la teoría de categorías , los grupos de cocientes son ejemplos de objetos cocientes , que son duales a los subobjetos . Para ver otros ejemplos de objetos de cociente, consulte anillo de cociente , espacio de cociente (álgebra lineal) , espacio de cociente (topología) y conjunto de cociente .

Definición e ilustración

Dados un grupo G y un subgrupo H , y un elemento a ∈ G , se puede considerar la clase lateral izquierda correspondiente : aH : = { ah : h ∈ H }. Los Cosets son una clase natural de subconjuntos de un grupo; por ejemplo, considere el grupo abeliano G de enteros , con la operación definida por la adición habitual, y el subgrupo H de enteros pares. Entonces hay exactamente dos clases laterales: 0 + H , que son los enteros pares, y 1 + H , que son los enteros impares (aquí estamos usando notación aditiva para la operación binaria en lugar de notación multiplicativa).

Para un subgrupo general H , es deseable definir una operación de grupo compatible en el conjunto de todas las clases laterales posibles, { aH : a ∈ G }. Esto es posible exactamente cuando H es un subgrupo normal, ver más abajo. Un subgrupo N de un grupo G es normal si y sólo si la igualdad clase lateral aN = Na mantiene para todos un ∈ G . Un subgrupo normal de G se denota N ◁ G .

Definición

Deje que N sea un subgrupo normal de un grupo G . Definir el conjunto G / N para ser el conjunto de todas las clases laterales izquierdos de N en G . Es decir, G / N = { aN : a ∈ G } . Dado que el elemento de identidad e ∈ N , a ∈ aN . Defina una operación binaria en el conjunto de clases laterales, G / N , de la siguiente manera. Para cada aN y bN en G / N , el producto de aN y bN , ( aN ) ( bN ), es ( ab ) N . Esto funciona sólo por ( ab ) N no depende de la elección de los representantes, un y b , de cada clase lateral izquierda, aN y bN . Para probar esto, supongamos xN = aN y yN = bN para algunos x , y , un , b ∈ G . Entonces

( ab ) N = a ( bN ) = a ( yN ) = a ( Ny ) = ( aN ) y = ( xN ) y = x ( Ny ) = x ( yN ) = ( xy ) N.

Esto depende del hecho de que N es un subgrupo normal. Todavía queda por demostrar que esta condición no sólo es suficiente pero necesaria para definir la operación en G / N .

Para demostrar que es necesario, considere que para un subgrupo N de G , se nos ha dado que la operación está bien definida. Es decir, para todo xN = aN e yN = bN, para x , y , a , b ∈ G , ( ab ) N = ( xy ) N.

Deje n ∈ N y g ∈ G . Como eN = nN, tenemos, gN = ( p . Ej. ) N = ( ng ) N.

Ahora, gN = ( ng ) N ⇔ N = g ^-1 ( ng ) N ⇔ g ^-1 ng ∈ N ∀ n ∈ N y g ∈ G .

Por lo tanto N es un subgrupo normal de G .

También se puede comprobar que esta operación en G / N sea siempre asociativa. G / N tiene elemento de identidad N y la inversa de elemento aN siempre pueden ser representadas por un ^-1 N . Por lo tanto, el conjunto G / N junto con la operación definida por ( aN ) ( bN ) = ( ab ) N forma un grupo, el grupo cociente de G por N .

Debido a la normalidad de N , las clases laterales izquierda y clases laterales derechas de N en G son los mismos, y así, G / N podrían se han definido para ser el conjunto de clases laterales derechas de N en G .

Ejemplo: módulo de adición 6

Por ejemplo, considere el grupo con módulo de suma 6: G = {0, 1, 2, 3, 4, 5}. Considere el subgrupo N = {0, 3}, que es normal porque G es abeliano . Entonces el conjunto de clases laterales (izquierda) es de tamaño tres:

G / N = { a + N : a ∈ G } = {{0, 3}, {1, 4}, {2, 5}} = {0+ N , 1+ N , 2+ N }.

La operación binaria definida anteriormente convierte a este conjunto en un grupo, conocido como grupo cociente, que en este caso es isomorfo al grupo cíclico de orden 3.

Motivación para el nombre "cociente"

La razón por la que G / N se llama grupo cociente proviene de la división de números enteros . Al dividir 12 entre 3 se obtiene la respuesta 4 porque se pueden reagrupar 12 objetos en 4 subcolecciones de 3 objetos. El grupo de cociente es la misma idea, aunque terminamos con un grupo para una respuesta final en lugar de un número porque los grupos tienen más estructura que una colección arbitraria de objetos.

Para elaborar, cuando se mira a G / N con N un subgrupo normal de G , la estructura del grupo se usa para formar un "reagrupamiento" natural. Estas son las clases laterales de N en G . Debido a que comenzamos con un grupo y un subgrupo normal, el cociente final contiene más información que solo el número de clases laterales (que es lo que produce la división regular), pero en cambio tiene una estructura de grupo en sí misma.

Ejemplos

Enteros pares e impares

Considere el grupo de números enteros Z (debajo de la suma) y el subgrupo 2 Z que consta de todos los números enteros pares. Este es un subgrupo normal, porque Z es abeliano . Solo hay dos clases laterales: el conjunto de enteros pares y el conjunto de enteros impares, y por lo tanto el grupo cociente Z / 2 Z es el grupo cíclico con dos elementos. Este grupo de cocientes es isomorfo con el conjunto {0,1} con módulo de adición 2; informalmente, a veces se dice que Z / 2 Z es igual al conjunto {0,1} con adición módulo 2.

Ejemplo explicado con más detalle ...

Deje los restos de al dividir por .

{\ Displaystyle \ gamma (m) =}

{\ Displaystyle m \ in \ mathbb {Z}}

{\ Displaystyle 2}

Entonces, cuando es par y cuando es impar.

{\ Displaystyle \ gamma (m) = 0}

{\ Displaystyle m}

{\ Displaystyle \ gamma (m) = 1}

{\ Displaystyle m}

Por definición de , el núcleo de ,

{\ Displaystyle \ gamma}

{\ Displaystyle \ gamma}

ker ( ) , es el conjunto de todos los enteros pares.

{\ Displaystyle \ gamma}

{\ Displaystyle = \ {m \ in \ mathbb {Z}: \ gamma (m) = 0 \}}

Deje ker ( ).

{\ Displaystyle H =}

{\ Displaystyle \ gamma}

Entonces es un subgrupo, porque la identidad en , que es , está en ,

{\ Displaystyle H}

{\ Displaystyle \ mathbb {Z}}

{\ displaystyle 0}

{\ Displaystyle H}

la suma de dos enteros pares es par y, por lo tanto, si y están en , está en (cierre)

{\ Displaystyle m}

{\ Displaystyle n}

{\ Displaystyle H}

{\ Displaystyle m + n}

{\ Displaystyle H}

y si es par, también es par y, por lo tanto, contiene sus inversos.

{\ Displaystyle m}

{\ Displaystyle -m}

{\ Displaystyle H}

Definir

/ H

como para

{\ Displaystyle \ mu:}

{\ Displaystyle \ mathbb {Z}}

{\ Displaystyle \ to \ mathbb {Z} _ {2}}

{\ Displaystyle \ mu (aH) = \ gamma (a)}

{\ Displaystyle a \ in \ mathbb {Z}}

y

/ H

es el grupo cociente de clases laterales izquierdas;

/ H

.

{\ Displaystyle \ mathbb {Z}}

{\ Displaystyle \ mathbb {Z}}

{\ Displaystyle = \ {H, 1 + H \}}

Por cierto que hemos definido , es si es impar y si es par.

{\ Displaystyle \ mu}

{\ Displaystyle \ mu (aH)}

{\ Displaystyle 1}

{\ Displaystyle a}

{\ displaystyle 0}

{\ Displaystyle a}

Por tanto, es un isomorfismo de

/ H

a .

{\ Displaystyle \ mu}

{\ Displaystyle \ mathbb {Z}}

{\ Displaystyle \ mathbb {Z} _ {2}}

Restos de la división de enteros

Una ligera generalización del último ejemplo. Una vez más, considere el grupo de números enteros Z bajo suma. Sea n cualquier número entero positivo. Consideraremos el subgrupo n Z de Z que consta de todos los múltiplos de n . Una vez más, n Z es normal en Z porque Z es abeliano. Las clases laterales son la colección { n Z , 1+ n Z , ..., ( n −2) + n Z , ( n −1) + n Z }. Un entero k pertenece a la clase lateral r + n Z , donde r es el resto cuando se divide k entre n . El cociente Z / n Z se puede considerar como el grupo de "residuos" módulo n . Este es un grupo cíclico de orden n .

Raíces enteras complejas de 1

Las clases laterales de las cuartas raíces de la unidad N en las raíces duodécimo de la unidad G .

Las duodécimas raíces de la unidad , que son puntos en el círculo unitario complejo , forman un grupo abeliano multiplicativo G , que se muestra en la imagen de la derecha como bolas de colores con el número en cada punto dando su argumento complejo. Considere su subgrupo N formado por las cuartas raíces de la unidad, que se muestran como bolas rojas. Este subgrupo normal divide al grupo en tres clases sociales, que se muestran en rojo, verde y azul. Se puede comprobar que las clases laterales forman un grupo de tres elementos (el producto de un elemento rojo con un elemento azul es azul, la inversa de un elemento azul es verde, etc.). Así, el grupo cociente G / N es el grupo de tres colores, que resulta ser el grupo cíclico con tres elementos.

Los números reales modulo los enteros

Considere el grupo de números reales R bajo la suma y el subgrupo Z de números enteros. Cada clase lateral de Z en R es un conjunto de la forma a + Z , donde a es un número real. Dado que a ₁ + Z y a ₂ + Z son conjuntos idénticos cuando las partes no enteras de a ₁ y a ₂ son iguales, se puede imponer la restricción 0 ≤ a <1 sin cambio de significado. La suma de dichas clases laterales se realiza sumando los números reales correspondientes y restando 1 si el resultado es mayor o igual a 1. El grupo de cocientes R / Z es isomorfo al grupo circular , el grupo de números complejos de valor absoluto 1 bajo multiplicación , o correspondientemente, el grupo de rotaciones en 2D alrededor del origen, es decir, el grupo ortogonal especial SO (2). Un isomorfismo viene dado por f ( a + Z ) = exp (2 πia ) (ver identidad de Euler ).

Matrices de números reales

Si G es el grupo de matrices reales invertibles 3 × 3 , y N es el subgrupo de matrices reales 3 × 3 con determinante 1, entonces N es normal en G (ya que es el núcleo del homomorfismo determinante ). Las clases laterales de N son los conjuntos de matrices con un determinante dado y, por lo tanto, G / N es isomorfo al grupo multiplicativo de números reales distintos de cero. El grupo N se conoce como grupo lineal especial SL (3).

Aritmética modular entera

Considere el grupo abeliano Z ₄ = Z / 4 Z (es decir, el conjunto {0, 1, 2, 3} con módulo de adición 4) y su subgrupo {0, 2} . El grupo de cocientes Z ₄ / {0, 2} es {{0, 2}, {1, 3}} . Este es un grupo con el elemento de identidad {0, 2} y operaciones de grupo como {0, 2} + {1, 3} = {1, 3} . Tanto el subgrupo {0, 2} como el grupo cociente {{0, 2}, {1, 3}} son isomorfos con Z ₂ .

Multiplicación de enteros

Considere el grupo multiplicativo . El conjunto N de n- ésimo residuos es un subgrupo multiplicativo isomorfo a . Entonces N es normal en G y el grupo de factores G / N tiene las clases laterales N , (1+ n ) N , (1+ n ) ² N, ..., (1+ n ) ⁿ⁻¹ N. El criptosistema Paillier se basa en la conjetura de que es difícil determinar la clase lateral de un elemento aleatorio de G sin conocer la factorización de n . ${\ Displaystyle G = \ mathbf {Z} _ {n ^ {2}} ^ {*}}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {Z} _ {n} ^ {*}}$

Propiedades

El grupo cociente G / G es isomorfo al grupo trivial (el grupo con un elemento), y G / { e } es isomorfo a G .

El orden de G / N , por definición el número de elementos, es igual a | G : N | , El índice de N en G . Si G es finito, el índice también es igual a la orden de G dividido por el orden de N . El conjunto G / N puede ser finito, aunque tanto G como N son infinitos (por ejemplo, Z / 2 Z ).

Hay un homomorfismo de grupo sobreyectivo "natural" π : G → G / N , enviando cada elemento g de G a la clase lateral de N a la que pertenece g , es decir: π ( g ) = gN . El mapeo π a veces se llama la proyección canónica de G a G / N . Su núcleo es N .

Existe una correspondencia biyectiva entre los subgrupos de G que contienen N y los subgrupos de G / N ; si H es un subgrupo de G que contiene N , entonces el subgrupo correspondiente de G / N es π ( H ). Esta correspondencia también es válida para subgrupos normales de G y G / N , y se formaliza en el teorema de la red .

Varias propiedades importantes de los grupos de cocientes se registran en el teorema fundamental de los homomorfismos y los teoremas de isomorfismo .

Si G es abeliano , nilpotent , resoluble , cíclico o de tipo finito , entonces también lo es G / N .

Si H es un subgrupo en un grupo finito G , y el orden de H es la mitad del orden de G , entonces se garantiza que H es un subgrupo normal, por lo que G / H existe y es isomorfo a C ₂ . Este resultado también puede expresarse como "cualquier subgrupo del índice 2 es normal", y de esta forma se aplica también a grupos infinitos. Además, si p es el número primo más pequeño que divide el orden de un grupo finito, G , entonces si G / H es de orden p , H debe ser un subgrupo normal de G .

Dada G y un subgrupo normal N , entonces G es una extensión de grupo de G / N por N . Cabría preguntarse si esta extensión es trivial o dividida; en otras palabras, se podría preguntar si G es un producto directo o producto semidirecto de N y G / N . Este es un caso especial del problema de la extensión . Un ejemplo en el que la extensión no se divide es el siguiente: Sea G = Z ₄ = {0, 1, 2, 3} y N = {0, 2}, que es isomorfo a Z ₂ . Entonces G / N también es isomorfo a Z ₂ . Pero Z ₂ solo tiene el automorfismo trivial , por lo que el único producto semidirecto de N y G / N es el producto directo. Desde Z ₄ es diferente de Z ₂ × Z ₂ , se concluye que G no es un producto semi-directa de N y G / N .

Cocientes de grupos de Lie

Si es un grupo de Lie y es un subgrupo de Lie normal y cerrado (en el sentido topológico más que algebraico de la palabra) , el cociente / es también un grupo de Lie. En este caso, el grupo original tiene la estructura de un haz de fibras (específicamente, un haz principal ), con espacio base / y fibra . La dimensión de / es igual a . ${\ Displaystyle G}$ ${\ Displaystyle N}$ ${\ Displaystyle G}$ ${\ Displaystyle G}$ ${\ Displaystyle N}$ ${\ Displaystyle G}$ ${\ Displaystyle N}$ ${\ Displaystyle G}$ ${\ Displaystyle N}$ ${\ Displaystyle N}$ ${\ Displaystyle G}$ ${\ Displaystyle N}$ ${\ Displaystyle \ mathrm {dim} \ G- \ mathrm {dim} \ N}$

Tenga en cuenta que la condición de que está cerrado es necesaria. De hecho, si no está cerrado, el espacio del cociente no es un espacio T1 (ya que hay una clase lateral en el cociente que no puede separarse de la identidad por un conjunto abierto) y, por lo tanto, no es un espacio de Hausdorff . ${\ Displaystyle N}$ ${\ Displaystyle N}$

Para un subgrupo de Lie no normal , el espacio / de las clases laterales izquierdas no es un grupo, sino simplemente una variedad diferenciable sobre la que actúa. El resultado se conoce como espacio homogéneo . ${\ Displaystyle N}$ ${\ Displaystyle G}$ ${\ Displaystyle N}$ ${\ Displaystyle G}$

Ver también

Notas

Referencias

Dummit, David S .; Foote, Richard M. (2003), Álgebra abstracta (3.a ed.), Nueva York: Wiley , ISBN 978-0-471-43334-7
Herstein, IN (1975), Temas de álgebra (2a ed.), Nueva York: Wiley , ISBN 0-471-02371-X

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