Teorema de Cauchy (teoría de grupos) - Cauchy's theorem (group theory)

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Grupos discretos Celosías Enteros ( )${\ Displaystyle \ mathbb {Z}}$ Grupo libre Grupos modulares PSL (2, )${\ Displaystyle \ mathbb {Z}}$ SL (2, )${\ Displaystyle \ mathbb {Z}}$ Grupo aritmético Enrejado Grupo hiperbólico
Grupos topológicos y de mentira Solenoide Circulo GL lineal general ( n ) SL lineal especial ( n ) Ortogonal O ( n ) Euclidiana E ( n ) SO ortogonal especial ( n ) Unitario U ( n ) SU unitario especial ( n ) Simpléctica Sp ( n ) G 2 F 4 E 6 E 7 E 8 Lorentz Poincaré Conformal Difeomorfismo Círculo Grupo de mentiras de dimensión infinita O (∞) SU (∞) Sp (∞)
Grupos algebraicos Grupo algebraico lineal Grupo reductor Variedad abeliana Curva elíptica
v t mi

En matemáticas , específicamente la teoría de grupos , el teorema de Cauchy establece que si G es un grupo finito y p es un número primo dividiendo el orden de G (el número de elementos en G ), entonces G contiene un elemento de orden p . Es decir, no es x en G tal que p es el positivo más pequeño número entero con x ^p = e , donde e es el elemento identidad de G . Lleva el nombre de Augustin-Louis Cauchy , quien lo descubrió en 1845.

El teorema se relaciona con el teorema de Lagrange , que establece que el orden de cualquier subgrupo de un grupo finito G divide el orden de G . El teorema de Cauchy implica que para cualquier divisor primo p del orden de G , existe un subgrupo de G cuyo orden es p , el grupo cíclico generado por el elemento en el teorema de Cauchy.

El teorema de Cauchy está generalizado por el primer teorema de Sylow , que implica que si p ⁿ es la potencia máxima de p dividiendo el orden de G , entonces G tiene un subgrupo de orden p ⁿ (y usando el hecho de que un p -grupo es resoluble , uno puede mostrar que G tiene subgrupos de orden p ^r para cualquier r menor o igual an ).

Declaración y prueba

Muchos textos prueban el teorema con el uso de inducción fuerte y la ecuación de clase , aunque se requiere considerablemente menos maquinaria para probar el teorema en el caso abeliano . También se pueden invocar acciones de grupo para la prueba.

Prueba 1

Primero probamos el caso especial donde G es abeliano , y luego el caso general; ambas demostraciones son por inducción en n  = | G |, y tenemos como caso inicial n  =  p, que es trivial porque cualquier elemento no identitario ahora tiene el orden p . Supongamos primero que G es abeliano. Tome cualquier elemento que no sea de identidad a , y sea H el grupo cíclico que genera. Si p divide | H |, luego a ^{| H | / p} es un elemento de orden p . Si p no divide | H |, luego divide el orden [ G : H ] del grupo cociente G / H , que por lo tanto contiene un elemento de orden p por la hipótesis inductiva. Ese elemento es una clase xH para alguna x en G , y si m es el orden de x en G , entonces x ^m  =  e en G da ( xH ) ^m  =  eH en G / H , entonces p divide m ; como antes, x ^{m / p} es ahora un elemento de orden p en G , completando la demostración para el caso abeliano.

En el caso general, sea Z el centro de G , que es un subgrupo abeliano. Si p divide | Z |, entonces Z contiene un elemento de orden p en el caso de grupos abelianos, y este elemento funciona para G también. Por lo tanto podemos suponer que p no divide el orden de Z . Dado que p divide | G |, y G es la unión disjunta de Z y de las clases de conjugación de elementos no centrales, existe una clase de conjugación de un elemento no central a cuyo tamaño no es divisible por p . Pero la ecuación de clase muestra que el tamaño es [ G  : C _G ( a )], por lo que p divide el orden del centralizador C _G ( a ) de a en G , que es un subgrupo adecuado porque a no es central. Este subgrupo contiene un elemento de orden p según la hipótesis inductiva, y hemos terminado.

Prueba 2

Esta demostración utiliza el hecho de que para cualquier acción de un grupo (cíclico) de primer orden p , los únicos tamaños de órbita posibles son 1 y p , que es inmediato del teorema del estabilizador de órbita .

El conjunto sobre el que actuará nuestro grupo cíclico es el conjunto

${\ Displaystyle X = \ {\, (x_ {1}, \ ldots, x_ {p}) \ in G ^ {p}: x_ {1} x_ {2} \ cdots x_ {p} = e \, \ }}$

de p -tuplas de elementos de G cuyo producto (en orden) da la identidad. Tal p -tupla está determinada de forma única por todos sus componentes excepto el último, ya que el último elemento debe ser el inverso del producto de los elementos precedentes. También se ve que esos p - 1 elementos se pueden elegir libremente, por lo que X tiene | G | ^{p −1} elementos, que es divisible por p .

Ahora del hecho de que en un grupo si ab = e entonces también ba = e , se deduce que cualquier permutación cíclica de los componentes de un elemento de X de nuevo da un elemento de X . Por lo tanto, se puede definir una acción del grupo cíclico C _p de orden p sobre X mediante permutaciones cíclicas de componentes, en otras palabras en las que un generador elegido de C _p envía

${\ Displaystyle (x_ {1}, x_ {2}, \ ldots, x_ {p}) \ mapsto (x_ {2}, \ ldots, x_ {p}, x_ {1})}$.

Como se señaló, las órbitas en X bajo esta acción tienen tamaño 1 o tamaño p . Lo primero ocurre precisamente para aquellas tuplas para las que . Contando los elementos de X por órbitas y reduciendo el módulo p , se ve que el número de elementos que satisfacen es divisible por p . Pero x = e es uno de esos elementos, por lo que debe haber al menos p - 1 otras soluciones para x , y estas soluciones son elementos de orden p . Esto completa la prueba. ${\ Displaystyle (x, x, \ ldots, x)}$${\ Displaystyle x ^ {p} = e}$${\ Displaystyle x ^ {p} = e}$

Usos

Una consecuencia prácticamente inmediata del teorema de Cauchy es una caracterización útil de los p -grupos finitos , donde p es un primo. En particular, un grupo finito G es un grupo p (es decir, todos sus elementos tienen orden p ^k para algún número natural k ) si y solo si G tiene orden p ⁿ para algún número natural n . Se puede usar el caso abeliano del teorema de Cauchy en una demostración inductiva del primero de los teoremas de Sylow, similar a la primera demostración anterior, aunque también hay pruebas que evitan hacer este caso especial por separado.

Ejemplo 1

Let G es un grupo finito donde x ² = e para todo elemento x de G . Entonces G tiene el orden 2 ⁿ para algún número entero no negativo n . Let | G | es m . En el caso de m es 1, entonces G = { e } . En el caso de m ≥ 2 , si m tiene el factor primo impar p , G tiene el elemento x donde x ^p = e del teorema de Cauchy. Entra en conflicto con la suposición. Por tanto, m debe ser 2 ⁿ . G es un grupo abeliano y G se llama un grupo 2 abeliano elemental o grupo booleano . El ejemplo más conocido es el de Klein de cuatro grupos .

Ejemplo 2

Un grupo simple abeliano es { e } o el grupo cíclico C _p cuyo orden es un número primo p . Sea G un grupo abeliano, entonces todos los subgrupos de G son subgrupos normales . Por lo tanto, si G es un grupo sencillo, G tiene único subgrupo normal que es o bien { e } o G . Si | G | = 1 , entonces G es { e } . Es adecuado. Si | G | ≥ 2 , sea a ∈ G no e , el grupo cíclico es subgrupo de G y no es { e } , entonces Let n es el orden de . Si n es infinito, entonces ${\ Displaystyle \ langle a \ rangle}$${\ Displaystyle \ langle a \ rangle}$${\ Displaystyle G = \ langle a \ rangle.}$${\ Displaystyle \ langle a \ rangle}$

${\ Displaystyle G = \ langle a \ rangle \ supsetneqq \ langle a ^ {2} \ rangle \ supsetneqq \ {e \}.}$

Entonces, en este caso, no es adecuado. Entonces n es finito. Si n es compuesto, n es divisible por el primo q, que es menor que n . A partir del teorema de Cauchy, existirá el subgrupo H cuyo orden es q , no es adecuado. Por tanto, n debe ser un número primo.

Notas

Referencias

• Cauchy, Augustin-Louis (1845), "Mémoire sur les arreglo que l'on peut anterior avec des lettres données, et sur les permutations ou sustituciones à l'aide desquelles on passe d'un arreglo à un autre" , Ejercicios d ' analyse et de physique mathématique , París, 3 : 151–252
• Cauchy, Augustin-Louis (1932), Oeuvres complètes (PDF) , segunda serie, 13 (ed. Reimpresa), París: Gauthier-Villars, págs. 171–282
• Jacobson, Nathan (2009) [1985], Álgebra básica , Dover Books on Mathematics, I (Segunda ed.), Dover Publications , p. 80, ISBN 978-0-486-47189-1
• McKay, James H. (1959), "Otra prueba del teorema del grupo de Cauchy", American Mathematical Monthly , 66 (2): 119, CiteSeerX  10.1.1.434.3544 , doi : 10.2307 / 2310010 , JSTOR  2310010 , MR  0098777 , Zbl  0082.02601

enlaces externos

• "Teorema de Cauchy" . PlanetMath .
• "Prueba del teorema de Cauchy" . PlanetMath .