Variedad abeliana - Abelian variety

En matemáticas , particularmente en geometría algebraica , análisis complejo y teoría de números algebraicos , una variedad abeliana es una variedad algebraica proyectiva que también es un grupo algebraico , es decir, tiene una ley de grupo que puede ser definida por funciones regulares . Las variedades abelianas se encuentran al mismo tiempo entre los objetos más estudiados en geometría algebraica y herramientas indispensables para mucha investigación sobre otros temas en geometría algebraica y teoría de números.

Una variedad abeliana se puede definir mediante ecuaciones que tienen coeficientes en cualquier campo ; se dice entonces que la variedad se define en ese campo. Históricamente, las primeras variedades abelianas que se estudiaron fueron las definidas en el campo de los números complejos . Tales variedades abelianas resultan ser exactamente esos toros complejos que pueden incrustarse en un espacio proyectivo complejo . Las variedades abelianas definidas sobre campos numéricos algebraicos son un caso especial, que también es importante desde el punto de vista de la teoría de números. Las técnicas de localización conducen naturalmente desde las variedades abelianas definidas sobre campos numéricos hasta las definidas sobre campos finitos y varios campos locales . Dado que un campo numérico es el campo de fracción de un dominio de Dedekind , para cualquier primo distinto de cero de su dominio de Dedekind , existe un mapa desde el dominio de Dedekind al cociente del dominio de Dedekind por el primo, que es un campo finito para todos los primos finitos. . Esto induce un mapa desde el campo de fracción a cualquier campo finito. Dada una curva con ecuación definida sobre el campo numérico, podemos aplicar este mapa a los coeficientes para obtener una curva definida sobre algún campo finito, donde las opciones de campo finito corresponden a los primos finitos del campo numérico.

Las variedades abelianas aparecen naturalmente como variedades jacobianas (los componentes conectados de cero en las variedades Picard ) y variedades albanesas de otras variedades algebraicas. La ley de grupo de una variedad abeliana es necesariamente conmutativa y la variedad no es singular . Una curva elíptica es una variedad abeliana de dimensión 1. Las variedades abelianas tienen una dimensión Kodaira 0.

Historia y motivación

A principios del siglo XIX, la teoría de las funciones elípticas logró proporcionar una base para la teoría de las integrales elípticas , y esto dejó abierta una vía obvia de investigación. Las formas estándar para integrales elípticas involucraban las raíces cuadradas de polinomios cúbicos y cuárticos . Cuando esos fueran reemplazados por polinomios de mayor grado, digamos quínticas , ¿qué pasaría?

En el trabajo de Niels Abel y Carl Jacobi , se formuló la respuesta: esto involucraría funciones de dos variables complejas , que tienen cuatro períodos independientes (es decir, vectores de período). Esto dio el primer vistazo de una variedad abeliana de dimensión 2 (una superficie abeliana ): lo que ahora se llamaría el jacobiano de una curva hiperelíptica del género 2 .

Después de Abel y Jacobi, algunos de los contribuyentes más importantes a la teoría de las funciones abelianas fueron Riemann , Weierstrass , Frobenius , Poincaré y Picard . El tema era muy popular en ese momento, ya que contaba con una gran literatura.

A finales del siglo XIX, los matemáticos habían comenzado a utilizar métodos geométricos en el estudio de las funciones abelianas. Finalmente, en la década de 1920, Lefschetz sentó las bases para el estudio de las funciones abelianas en términos de toros complejos. También parece ser el primero en utilizar el nombre de "variedad abeliana". Fue André Weil en la década de 1940 quien dio al tema sus bases modernas en el lenguaje de la geometría algebraica.

Hoy en día, las variedades abelianas forman una herramienta importante en la teoría de números, en los sistemas dinámicos (más específicamente en el estudio de los sistemas hamiltonianos ) y en la geometría algebraica (especialmente las variedades Picard y las variedades albanesas ).

Teoría analítica

Definición

Un toro complejo de dimensión g es un toro de dimensión real 2 g que lleva la estructura de una variedad compleja . Siempre se puede obtener como el cociente de un espacio vectorial complejo g- dimensional por una red de rango 2 g . Una variedad abeliana compleja de dimensión g es un toro complejo de dimensión g que también es una variedad algebraica proyectiva sobre el campo de los números complejos. Dado que son tori complejos, las variedades abelianas tienen la estructura de un grupo . Un morfismo de variedades abelianas es un morfismo de las variedades algebraicas subyacentes que conserva el elemento de identidad de la estructura del grupo. Una isogenia es un morfismo finito a uno.

Cuando un toro complejo tiene la estructura de una variedad algebraica, esta estructura es necesariamente única. En el caso g = 1, la noción de variedad abeliana es la misma que la de curva elíptica , y todo toro complejo da lugar a dicha curva; para g > 1 se sabe desde Riemann que la condición de variedad algebraica impone restricciones adicionales a un toro complejo.

Condiciones de Riemann

El siguiente criterio de Riemann decide si un toro complejo dado es o no una variedad abeliana, es decir, si se puede incrustar o no en un espacio proyectivo. Deje que X sea un g -dimensional torus dada como X = V / L , donde V es un espacio vectorial complejo de dimensión g y L es un enrejado en V . Entonces X es una variedad abeliano si y sólo si existe una definida positiva forma hermitiana en V cuya parte imaginaria toma integrales valores en L × L . Esta forma en X se suele llamar forma de Riemann (no degenerada) . Al elegir una base para V y L , se puede hacer más explícita esta condición. Hay varias formulaciones equivalentes de esto; todos ellos se conocen como condiciones de Riemann.

El jacobiano de una curva algebraica

Cada curva algebraica C de género g ≥ 1 se asocia con un variedad abelian J de dimensión g , por medio de un mapa analítica de C en J . Como toro, J lleva una estructura de grupo conmutativa y la imagen de C genera a J como grupo. Más exactamente, J está cubierta por C : cualquier punto en J proviene de un g tupla de puntos en C . El estudio de las formas diferenciales en C , que dan lugar a las integrales abelianas con que comenzó la teoría, se puede derivar de la teoría más sencilla, invariante por traslación de los diferenciales en J . La variedad abeliana J se denomina variedad jacobiana de C , para cualquier curva C no singular sobre los números complejos. Desde el punto de vista de la geometría bracional , su campo de función es el campo fijo del grupo simétrico de g letras que actúan sobre el campo de función de C ^g .

Funciones abelianas

Una función abeliana es una función meromórfica en una variedad abeliana, que puede considerarse, por tanto, como una función periódica de n variables complejas, que tienen 2 n períodos independientes; de manera equivalente, es una función en el campo de función de una variedad abeliana. Por ejemplo, en el siglo XIX hubo mucho interés en las integrales hiperelípticas que pueden expresarse en términos de integrales elípticas. Esto se reduce a preguntar que J es un producto de curvas elípticas, hasta una isogenia.

Teoremas importantes

Un teorema de estructura importante de las variedades abelianas es el teorema de Matsusaka . Afirma que sobre un campo algebraicamente cerrado cada variedad abeliana es el cociente del jacobiano de alguna curva; es decir, hay cierta supresión de variedades abelianas donde hay un jacobiano. Este teorema sigue siendo cierto si el campo de tierra es infinito. ${\ Displaystyle A}$ ${\ Displaystyle J \ a A}$ ${\ Displaystyle J}$

Definición algebraica

Dos definiciones equivalentes de variedad abeliana sobre un campo general k se utilizan comúnmente:

un grupo algebraico conectado y completo sobre k
un grupo algebraico proyectivo y conectado sobre k .

Cuando la base es el campo de los números complejos, estas nociones coinciden con la definición anterior. Sobre todas las bases, las curvas elípticas son variedades abelianas de dimensión 1.

A principios de la década de 1940, Weil usó la primera definición (sobre un campo de base arbitrario) pero al principio no pudo probar que implicaba la segunda. Sólo en 1948 demostró que los grupos algebraicos completos se pueden incrustar en el espacio proyectivo. Mientras tanto, para hacer funcionar la prueba de la hipótesis de Riemann para curvas sobre campos finitos que había anunciado en 1940, tuvo que introducir la noción de variedad abstracta y reescribir los fundamentos de la geometría algebraica para trabajar con variedades sin incrustaciones proyectivas. (ver también la sección de historia en el artículo de Geometría Algebraica ).

Estructura del grupo de puntos

Según las definiciones, una variedad abeliana es una variedad grupal. Se puede demostrar que su grupo de puntos es conmutativo .

Para C , y por lo tanto según el principio de Lefschetz para cada campo algebraicamente cerrado de característica cero, el grupo de torsión de una variedad abeliana de dimensión g es isomorfo a ( Q / Z ) ^{2 g} . Por tanto, su parte n- torsión es isomórfica a ( Z / n Z ) ^{2 g} , es decir, el producto de 2 g copias del grupo cíclico de orden n .

Cuando el campo de base es un cuerpo algebraicamente cerrado de característica p , el n -torsion todavía es isomorfo a ( Z / n Z ) ^{2 g} cuando n y p son primos entre sí . Cuando n y p no son primos entre sí, el mismo resultado se puede recuperar proporcionado uno lo interpreta como que indica que el n -torsion define un esquema de grupo plana finito de rango 2 g . Si en lugar de mirar la estructura completa del esquema en la n- torsión, se consideran solo los puntos geométricos, se obtiene un nuevo invariante para las variedades en la característica p (el llamado p -rank cuando n = p ).

El grupo de k -puntos racionales para un campo global k se genera de forma finita mediante el teorema de Mordell-Weil . Por lo tanto, según el teorema de la estructura para grupos abelianos generados finitamente , es isomorfo a un producto de un grupo abeliano libre Z ^r y un grupo conmutativo finito para algún número entero no negativo r llamado rango de la variedad abeliana. Resultados similares son válidos para algunas otras clases de campos k .

Productos

El producto de una variedad abeliana A de dimensión m , y una variedad abeliana B de dimensión n , sobre el mismo campo, es una variedad abeliana de dimensión m + n . Una variedad abeliana es simple si no es isógena a un producto de variedades abelianas de menor dimensión. Cualquier variedad abeliana es isógena a un producto de variedades abelianas simples.

Polarización y variedad abeliana dual

Variedad abeliana dual

A una variedad abeliana A sobre un campo k , se asocia una variedad abeliana dual A ^v (sobre el mismo campo), que es la solución al siguiente problema de módulos . Una familia de haces de líneas de grado 0 parametrizados por una k -variedad T se define como un haz de líneas L en A × T tal que

para todo t en T , la restricción de L a A × { t } es un paquete de líneas de grado 0,
la restricción de L a {0} × T es un paquete de líneas trivial (aquí 0 es la identidad de A ).

Entonces hay una variedad A ^v y una familia de haces de líneas de grado 0 P , el haz de Poincaré, parametrizado por A ^v tal que una familia L sobre T se asocia con un morfismo único f : T → A ^{v de} modo que L es isomorfo al retroceso de P a lo largo del morfismo 1 _A × f : A × T → A × A ^v . Aplicando esto al caso en el que T es un punto, vemos que los puntos de A ^v corresponden a haces de líneas de grado 0 en A , por lo que hay una operación de grupo natural en A ^v dada por el producto tensorial de los haces de líneas, lo que hace que en una variedad abeliana.

Esta asociación es una dualidad en el sentido de que existe un isomorfismo natural entre el doble dual A ^vv y A (definido mediante el paquete de Poincaré) y que es functorial contravariante , es decir, se asocia a todos los morfismos f : A → B morfismos duales f ^v : B ^v → A ^v de forma compatible. La n- torsión de una variedad abeliana y la n- torsión de su dual son duales entre sí cuando n es coprime a la característica de la base. En general, para todos los n , los esquemas de grupos de n- torsión de las variedades abelianas duales son duales Cartier entre sí. Esto generaliza el emparejamiento de Weil para curvas elípticas.

Polarizaciones

Una polarización de una variedad abeliana es una isogenia de una variedad abeliana a su dual que es simétrica con respecto a la doble dualidad para las variedades abelianas y para la cual el retroceso del paquete de Poincaré a lo largo del morfismo gráfico asociado es amplio (por lo que es análogo a una forma cuadrática positiva-definida). Las variedades abelianas polarizadas tienen grupos de automorfismos finitos . Una polarización principal es una polarización que es un isomorfismo. Los jacobianos de curvas están naturalmente equipados con una polarización principal tan pronto como se elige un punto base racional arbitrario en la curva, y la curva puede reconstruirse a partir de su jacobiano polarizado cuando el género es> 1. No todas las variedades abelianas principalmente polarizadas son jacobianos de curvas; vea el problema de Schottky . Una polarización induce una involución Rosati en el anillo endomorphism de A . ${\ Displaystyle \ mathrm {Fin} (A) \ otimes \ mathbb {Q}}$

Polarizaciones sobre los números complejos.

Sobre los números complejos, una variedad abeliana polarizada también se puede definir como una variedad abeliana A junto con la elección de una forma H de Riemann . Dos Riemann forma H ₁ y H ₂ se llaman equivalente si hay números enteros positivos n y m tal que nH ₁ = mH ₂ . Una elección de una clase de equivalencia de las formas de Riemann en A se denomina polarización de una . Un morfismo de variedades abelianas polarizadas es un morfismo A → B de variedades abelianas tal que la retirada de la forma de Riemann en B a A es equivalente a la forma dada en A .

Esquema abeliano

También se puede definir el esquema de variedades abelianas , teóricamente y en relación con una base . Esto permite un tratamiento uniforme de fenómenos como el mod p de reducción de variedades abelianas (ver Aritmética de variedades abelianas ) y familias de parámetros de variedades abelianas. Un esquema abeliano sobre un sistema de base de S de relativa dimensión g es un adecuado , liso esquema de grupo sobre S cuya fibras geométrica están conectados y de dimensión g . Las fibras de un esquema abeliano son variedades abelianas, por lo que se podría pensar en un esquema abeliano más de S como una familia de variedades abelianas parametrizado por S .

Para un esquema abeliano A / S , el grupo de n puntos de torsión forma un esquema de grupo plano finito . La unión de los p ⁿ -puntos de torsión, para todo n , forma un grupo p-divisible . Las deformaciones de los esquemas abelianos están, según el teorema de Serre-Tate , gobernadas por las propiedades de deformación de los grupos p -divisibles asociados .

Ejemplo

Sea tal que no tenga raíces complejas repetidas. Entonces el discriminante es distinto de cero. Vamos , así es un subesquema abierto de . Entonces se acabó un esquema abeliano . Puede extenderse a un modelo de Néron terminado , que es un esquema de grupo suave , pero el modelo de Néron no es adecuado y, por lo tanto, no es un esquema abeliano terminado . ${\ Displaystyle A, B \ in \ mathbb {Z}}$ ${\ displaystyle x ^ {3} + Ax + B}$ ${\ Displaystyle \ Delta = -16 (4A ^ {3} + 27B ^ {2})}$ ${\ Displaystyle R = \ mathbb {Z} [1 / \ Delta]}$ ${\ Displaystyle \ operatorname {Spec} R}$ ${\ Displaystyle \ operatorname {Spec} \ mathbb {Z}}$ ${\ Displaystyle \ operatorname {Proj} R [x, y, z] / (y ^ {2} zx ^ {3} -Axz ^ {2} -Bz ^ {3})}$ ${\ Displaystyle \ operatorname {Spec} R}$ ${\ Displaystyle \ operatorname {Spec} \ mathbb {Z}}$ ${\ Displaystyle \ operatorname {Spec} \ mathbb {Z}}$ ${\ Displaystyle \ operatorname {Spec} \ mathbb {Z}}$

No existencia

VA Abrashkin y Jean-Marc Fontaine demostraron de forma independiente que no hay variedades abelianas distintas de cero sobre Q con una buena reducción en todos los números primos. De manera equivalente, no hay esquemas distintos de cero abelianos más de Spec Z . La prueba implica mostrar que las coordenadas de p ⁿ -puntos de torsión generan campos numéricos con muy poca ramificación y, por tanto, de pequeño discriminante, mientras que, por otro lado, existen límites inferiores en discriminantes de campos numéricos.

Variedad semiabeliana

Una variedad semiabeliana es una variedad de grupo conmutativo que es una extensión de una variedad abeliana por un toro .

Ver también

Referencias

Fuentes

Birkenhake, Christina; Lange, H. (1992), Complex Abelian Varieties , Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-54747-3. Un tratamiento integral de la teoría compleja, con una visión general de la historia del tema.
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Faltings, Gerd ; Chai, Ching-Li (1990), Degeneración de variedades abelianas , Springer Verlag , ISBN 3-540-52015-5
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Venkov, BB; Parshin, AN (2001) [1994], "Abelian_variety" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press
Bruin, N; Flynn, EV, N-CUBIERTAS DE CURVAS HIPERELÍPTICAS (PDF) , Oxford: Mathematical Institute, Universidad de Oxford. Descripción del jacobiano de las curvas de cobertura

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