Curva hiperelíptica - Hyperelliptic curve
En geometría algebraica , una curva hiperelíptica es una curva algebraica del género g > 1, dada por una ecuación de la forma
Una función hiperelíptica es un elemento del campo de función de dicha curva, o de la variedad jacobiana en la curva; estos dos conceptos son idénticos para las funciones elípticas , pero diferentes para las funciones hiperelípticas.
La figura 1 es el gráfico de donde
Género de la curva
El grado del polinomio determina el género de la curva: un polinomio de grado 2 g + 1 o 2 g + 2 da una curva del género g . Cuando el grado es igual a 2 g + 1, la curva se denomina curva hiperelíptica imaginaria . Mientras tanto, una curva de grado 2 g + 2 se denomina curva hiperelíptica real . Esta afirmación sobre el género sigue siendo cierta para g = 0 o 1, pero esas curvas no se denominan "hiperelípticas". Más bien, el caso g = 1 (si elegimos un punto distinguido) es una curva elíptica . De ahí la terminología.
Formulación y elección de modelo
Si bien este modelo es la forma más sencilla de describir curvas hiperelípticas, dicha ecuación tendrá un punto singular en el infinito en el plano proyectivo . Esta característica es específica para el caso n > 3. Por lo tanto, al dar tal ecuación para especificar una curva no singular, casi siempre se asume que un modelo no singular (también llamado terminación suave ), equivalente en el sentido de geometría biracional .
Para ser más precisos, la ecuación define una extensión cuadrática de C ( x ), y es ese campo de función a lo que se refiere. El punto singular en el infinito se puede eliminar (ya que es una curva) mediante el proceso de normalización ( cierre integral ). Resulta que después de hacer esto, hay una cubierta abierta de la curva por dos gráficos afines: el ya dado por
Los mapas de pegado entre los dos gráficos vienen dados por
De hecho, se asume la taquigrafía geométrica, con la curva C definida como una doble cobertura ramificada de la línea proyectiva , la ramificación ocurre en las raíces de f , y también para n impar en el punto en el infinito. De esta manera, los casos n = 2 g + 1 y 2 g + 2 pueden unificarse, ya que también podríamos usar un automorfismo de la línea proyectiva para alejar cualquier punto de ramificación del infinito.
Usando la fórmula de Riemann-Hurwitz
Usando la fórmula de Riemann-Hurwitz , la curva hiperelíptica con género g se define mediante una ecuación con grado n = 2 g + 2. Suponga el morfismo biyectivo f : X → P 1 con grado de ramificación 2 , donde X es una curva con género g y P 1 es la esfera de Riemann . Deje g 1 = g y g 0 sea el género de la P 1 (= 0), entonces la fórmula de Riemann-Hurwitz resulta ser
donde s es sobre todos los puntos ramificados en X . El número de puntos ramificados es n , entonces n = 2 g + 2.
Ocurrencia y aplicaciones
Todas las curvas del género 2 son hiperelípticas, pero para el género ≥ 3 la curva genérica no es hiperelíptica. Esto se ve heurísticamente mediante una verificación de dimensión espacial de módulos . Contando constantes, con n = 2 g + 2, la colección de n puntos sujetos a la acción de los automorfismos de la línea proyectiva tiene (2 g + 2) - 3 grados de libertad, que es menor que 3 g - 3, el número de módulos de una curva del género g , a menos que g sea 2. Se sabe mucho más sobre el locus hiperelíptico en el espacio de módulos de curvas o variedades abelianas , aunque es más difícil exhibir curvas generales no hiperelípticas con modelos simples. Una caracterización geométrica de las curvas hiperelípticas es a través de puntos de Weierstrass . La geometría más detallada de las curvas no hiperelípticas se lee a partir de la teoría de las curvas canónicas , el mapeo canónico es 2 a 1 en las curvas hiperelípticas pero 1 a 1 en caso contrario para g > 2. Las curvas trigonales son las que corresponden a tomar un raíz cúbica, en lugar de raíz cuadrada, de un polinomio.
La definición por extensiones cuadráticas del campo de función racional funciona para campos en general excepto en la característica 2; en todos los casos se dispone de la definición geométrica como doble cobertura ramificada de la línea proyectiva, si se supone separable.
Las curvas hiperelípticas se pueden utilizar en la criptografía de curvas hiperelípticas para criptosistemas basados en el problema del logaritmo discreto .
Las curvas hiperelípticas también aparecen componiendo componentes completos conectados de ciertos estratos del espacio modular de los diferenciales abelianos.
Se utilizó la hiperelipticidad de las curvas del género 2 para probar la conjetura del área de llenado de Gromov en el caso de los empastes del género = 1.
Clasificación
Las curvas hiperelípticas del género g dado tienen un espacio de módulos, estrechamente relacionado con el anillo de invariantes de una forma binaria de grado 2 g +2.
Historia
Las funciones hiperelípticas fueron publicadas por primera vez por Adolph Göpel (1812-1847) en su último artículo Abelsche Transcendenten erster Ordnung ( Trascendentes abelianos de primer orden) (en Journal für reine und angewandte Mathematik , vol. 35, 1847). Independientemente, Johann G. Rosenhain trabajó en ese asunto y publicó Umkehrungen ultraelliptischer Integrale erster Gattung (en Mémoires des savants, etc., vol. 11, 1851).
Ver también
Referencias
- "Curva hiperelíptica" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
- Una guía del usuario para la aritmética local de curvas hiperelípticas