Paquete canónico - Canonical bundle

En matemáticas , el haz canónica de un no singular variedad algebraica de dimensión sobre un campo es la línea paquete , que es el n º potencia exterior de la cotangente haz Ω en V . ${\ Displaystyle V}$ ${\ Displaystyle n}$ ${\ Displaystyle \, \! \ Omega ^ {n} = \ omega}$

A través de los números complejos , es el paquete determinante de holomórficas n -formas en V . Este es el objeto dualising para Serre dualidad en V . También puede considerarse como una gavilla invertible .

La clase canónica es la clase de divisor de un divisor de Cartier K en V que da lugar al paquete canónico; es una clase de equivalencia para la equivalencia lineal en V , y cualquier divisor en ella puede llamarse divisor canónico . Un divisor anticanónico es cualquier divisor: K con K canónico.

El paquete anticanónico es el paquete inverso correspondiente ω ⁻¹ . Cuando el paquete anticanónico de V es amplio , V se denomina variedad Fano .

La fórmula adjunta

Supongamos que X es una variedad lisa y que D es un divisor suave en X . La fórmula adjunción relaciona los haces canónicas de X y D . Es un isomorfismo natural.

{\ Displaystyle \ omega _ {D} = i ^ {*} (\ omega _ {X} \ otimes {\ mathcal {O}} (D)).}

En términos de clases canónicas, es

{\ Displaystyle K_ {D} = (K_ {X} + D) | _ {D}.}

Esta fórmula es una de las fórmulas más poderosas de la geometría algebraica. Una herramienta importante de la geometría birracional moderna es la inversión de adjunción , que le permite a uno resultados Deducir sobre las singularidades de X de las singularidades de D .

Caso singular

En una variedad singular , hay varias formas de definir el divisor canónico. Si la variedad es normal, es suave en la codimensión uno. En particular, podemos definir el divisor canónico en el lugar liso. Esto nos da una clase única de divisor de Weil . Es esta clase, denotada por la que se conoce como el divisor canónico en ${\ Displaystyle X}$ ${\ Displaystyle X}$ ${\ Displaystyle K_ {X}}$ ${\ Displaystyle X.}$

Alternativamente, de nuevo en una variedad normal , se puede considerar la cohomología del complejo dualizador normalizado de . Esta gavilla corresponde a una clase de divisor de Weil , que es igual a la clase de divisor definida anteriormente. En ausencia de la hipótesis de normalidad, el mismo resultado es válido si es S2 y Gorenstein en la dimensión uno. ${\ Displaystyle X}$ ${\ Displaystyle h ^ {- d} (\ omega _ {X} ^ {.})}$ ${\ Displaystyle -d}$ ${\ Displaystyle X}$ ${\ Displaystyle K_ {X}}$ ${\ Displaystyle X}$

Mapas canónicos

Si la clase canónica es efectiva , entonces determina un mapa racional de V al espacio proyectivo. Este mapa se llama mapa canónico . El mapa racional determinado por el n- ésimo múltiplo de la clase canónica es el mapa n- canónico . El mapa canónico n envía V a un espacio proyectivo de dimensión uno menos que la dimensión de las secciones globales del múltiplo n- ésimo de la clase canónica. Los mapas n- canónicos pueden tener puntos base, lo que significa que no están definidos en todas partes (es decir, pueden no ser un morfismo de variedades). Pueden tener fibras de dimensión positiva, e incluso si tienen fibras de dimensión cero, no es necesario que sean isomorfismos analíticos locales.

Curvas canónicas

El caso mejor estudiado es el de las curvas. Aquí, el paquete canónico es el mismo que el paquete cotangente (holomórfico) . Por tanto, una sección global del paquete canónico es lo mismo que una forma diferencial regular en todas partes. Clásicamente, estos se llamaron diferenciales del primer tipo . El grado de la clase canónica es 2 g - 2 para una curva del género g .

Género bajo

Suponga que C es una curva algebraica suave del género g . Si g es cero, entonces C es P ¹ , y la clase canónica es la clase de -2 P , donde P es cualquier punto de C . Esto se sigue de la fórmula de cálculo d (1 / t ) = - dt / t ² , por ejemplo, un diferencial meromórfico con doble polo en el punto en el infinito de la esfera de Riemann . En particular, K _C y sus múltiplos no son efectivos. Si g es uno, entonces C es una curva elíptica y K _C es el paquete trivial. Las secciones globales del paquete trivial forman un espacio vectorial unidimensional, por lo que el mapa canónico n para cualquier n es el mapa de un punto.

Caso hiperelíptico

Si C tiene un género dos o más, entonces la clase canónica es grande , por lo que la imagen de cualquier mapa n- canónico es una curva. La imagen del mapa 1-canónico se llama curva canónica . Una curva canónica de género g siempre se encuentra en un espacio proyectivo de dimensión g - 1 . Cuando C es una curva hiperelíptica , la curva canónica es una curva normal racional y C una doble cobertura de su curva canónica. Por ejemplo, si P es un polinomio de grado 6 (sin raíces repetidas) entonces

y ² = P ( x )

es una representación de curva afín de una curva de género 2, necesariamente hiperelíptica, y una base de los diferenciales del primer tipo viene dada en la misma notación por

dx / √ P ( x ) , x dx / √ P ( x ) .

Esto significa que el mapa canónico viene dado por coordenadas homogéneas [1: x ] como un morfismo de la línea proyectiva. La curva normal racional para curvas hiperelípticas de género superior surge de la misma manera con monomios de mayor potencia en x .

Caso general

De lo contrario, para C no hiperelíptico, lo que significa que g es al menos 3, el morfismo es un isomorfismo de C con su imagen, que tiene un grado 2 g - 2. Por lo tanto, para g = 3 las curvas canónicas (caso no hiperelíptico) son cuarticas. curvas planas . Todos los cuarticos planos no singulares surgen de esta manera. Existe información explícita para el caso g = 4, cuando una curva canónica es una intersección de una superficie cuádrica y cúbica ; y para g = 5 cuando es una intersección de tres cuadrículas. Hay un inverso, que es un corolario del teorema de Riemann-Roch : una curva C no singular del género g incrustada en el espacio proyectivo de dimensión g - 1 como una curva linealmente normal de grado 2 g - 2 es una curva canónica, siempre que su tramo lineal sea todo el espacio. De hecho, la relación entre las curvas canónicas C (en el caso no hiperelíptico de g al menos 3), Riemann-Roch y la teoría de los divisores especiales es bastante estrecha. Los divisores efectivos D sobre C que constan de puntos distintos tienen un tramo lineal en la incrustación canónica con una dimensión directamente relacionada con la del sistema lineal en el que se mueven; y con un poco más de discusión, esto se aplica también al caso de puntos con multiplicidades.

Se dispone de información más refinada, para valores mayores de g , pero en estos casos las curvas canónicas no son generalmente intersecciones completas , y la descripción requiere más consideración del álgebra conmutativa . El campo comenzó con el teorema de Max Noether : la dimensión del espacio de los cuadrículas que pasan por C tan incrustada como la curva canónica es ( g - 2) ( g - 3) / 2. El teorema de Petri , frecuentemente citado con este nombre y publicado en 1923 por Karl Petri (1881-1955), establece que para g al menos 4 el ideal homogéneo que define la curva canónica es generado por sus elementos de grado 2, excepto en los casos de ( a) curvas trigonales y (b) quínticas planas no singulares cuando g = 6. En los casos excepcionales, el ideal es generado por los elementos de los grados 2 y 3. Históricamente hablando, este resultado era ampliamente conocido antes de Petri, y ha sido llamado el teorema de Babbage-Chisini-Enriques (por Dennis Babbage que completó la demostración, Oscar Chisini y Federigo Enriques ). La terminología es confusa, ya que el resultado también se denomina teorema de Noether-Enriques . Fuera de los casos hiperelípticos, Noether demostró que (en el lenguaje moderno) el paquete canónico se genera normalmente : los poderes simétricos del espacio de secciones del paquete canónico se asignan a las secciones de sus poderes tensoriales. Esto implica, por ejemplo, la generación de diferenciales cuadráticos en tales curvas por los diferenciales del primer tipo; y esto tiene consecuencias para el teorema local de Torelli . El trabajo de Petri en realidad proporcionó generadores cuadráticos y cúbicos explícitos del ideal, mostrando que, aparte de las excepciones, los cúbicos podrían expresarse en términos de cuadráticos. En casos excepcionales, la intersección de los cuadrículas a través de la curva canónica es, respectivamente, una superficie reglada y una superficie veronesa .

Estos resultados clásicos se probaron sobre los números complejos, pero la discusión moderna muestra que las técnicas funcionan sobre campos de cualquier característica.

Anillos canónicos

El anillo canónico de V es el anillo graduado

{\ displaystyle R = \ bigoplus _ {d = 0} ^ {\ infty} H ^ {0} (V, K_ {V} ^ {d}).}

Si la clase canónica de V es un conjunto de líneas amplio , entonces el anillo canónico es el anillo de coordenadas homogéneo de la imagen del mapa canónico. Esto puede ser cierto incluso cuando la clase canónica de V no es amplia. Por ejemplo, si V es una curva hiperelíptica, entonces el anillo canónico es nuevamente el anillo de coordenadas homogéneo de la imagen del mapa canónico. En general, si el anillo de arriba se genera finitamente, entonces es elemental ver que es el anillo de coordenadas homogéneo de la imagen de un mapa k- canónico, donde k es cualquier número entero positivo suficientemente divisible.

El programa modelo mínimo proponía que el anillo canónico de cada variedad proyectiva suave o levemente singular se generara de manera finita. En particular, esto se sabe que implica la existencia de un modelo canónico , un modelo birracional particular de V con singularidades leves que podría construirse mediante soplado hacia abajo V . Cuando el anillo canónico se genera finitamente, el modelo canónico es Proj del anillo canónico. Si el anillo canónico no se genera de forma finita, entonces Proj R no es una variedad, por lo que no puede ser biracional a V ; en particular, V no admite ningún modelo canónico.

Un teorema fundamental de Birkar-Cascini-Hacon-McKernan de 2006 es que el anillo canónico de una variedad algebraica proyectiva suave o levemente singular se genera de forma finita.

La dimensión de Kodaira de V es la dimensión del anillo canónico menos uno. Aquí, la dimensión del anillo canónico puede tomarse como la dimensión de Krull o el grado de trascendencia .

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