Anillo de coordenadas homogéneo - Homogeneous coordinate ring

En geometría algebraica , el anillo de coordenadas homogéneo R de una variedad algebraica V dado como una subvariedad del espacio proyectivo de una dimensión dada N es por definición el anillo del cociente

R = K [ X 0 , X 1 , X 2 , ..., X N ] /  I

donde I es el ideal homogéneo que define a V , K es el campo algebraicamente cerrado sobre el que se define V , y

K [ X 0 , X 1 , X 2 , ..., X N ]

es el anillo polinomial en N + 1 variables X i . El anillo polinomial es, por tanto, el anillo de coordenadas homogéneo del propio espacio proyectivo, y las variables son las coordenadas homogéneas , para una elección de base dada (en el espacio vectorial subyacente al espacio proyectivo). La elección de la base significa que esta definición no es intrínseca, pero puede hacerse mediante el uso del álgebra simétrica .

Formulación

Dado que se supone que V es una variedad y, por tanto, un conjunto algebraico irreducible , el ideal I puede elegirse como un ideal primo y, por tanto, R es un dominio integral . Se puede usar la misma definición para ideales generales homogéneos, pero los anillos de coordenadas resultantes pueden contener elementos nilpotentes distintos de cero y otros divisores de cero . Desde el punto de vista de la teoría de esquemas, estos casos pueden tratarse en pie de igualdad mediante la construcción Proj .

El ideal irrelevante J generado por todos los X i corresponde al conjunto vacío, ya que no todas las coordenadas homogéneas pueden desaparecer en un punto del espacio proyectivo.

El Nullstellensatz proyectiva da una correspondencia biyectiva entre variedades proyectivas e ideales homogéneos I no contienen J .

Resoluciones y sicigias

En la aplicación de técnicas de álgebra homológica a la geometría algebraica, ha sido tradicional desde David Hilbert (aunque la terminología moderna es diferente) aplicar resoluciones libres de R , consideradas como un módulo graduado sobre el anillo polinomial. Esto proporciona información sobre las sicigias , es decir, las relaciones entre los generadores del yo ideal . En una perspectiva clásica, estos generadores son simplemente las ecuaciones uno escribe para definir V . Si V es una hipersuperficie, solo es necesario que haya una ecuación, y para las intersecciones completas, el número de ecuaciones puede tomarse como codimensión; pero la variedad proyectiva general no tiene un conjunto definido de ecuaciones que sea tan transparente. Estudios detallados, por ejemplo, de curvas canónicas y las ecuaciones que definen las variedades abelianas , muestran el interés geométrico de las técnicas sistemáticas para manejar estos casos. El tema también surgió de la teoría de la eliminación en su forma clásica, en la que se supone que el módulo de reducción I se convierte en un proceso algorítmico (ahora manejado por las bases de Gröbner en la práctica).

Existen, por razones generales, resoluciones libres de R como módulo graduado sobre K [ X 0 , X 1 , X 2 , ..., X N ]. Una resolución se define como mínima si la imagen en cada módulo morfismo de módulos libres

φ: F i → F i - 1

en la resolución se encuentra en JF i - 1, donde J es el ideal irrelevante. Como consecuencia del lema de Nakayama , φ toma una base dada en F i a un conjunto mínimo de generadores en F i - 1 . El concepto de resolución libre mínima está bien definido en un sentido fuerte: único hasta el isomorfismo de los complejos de cadenas y que se presenta como un resumen directo en cualquier resolución libre. Dado que este complejo es intrínseco a R , se pueden definir los números de Betti graduados β i, j como el número de imágenes de grado j que provienen de F i (más precisamente, pensando en φ como una matriz de polinomios homogéneos, el recuento de entradas de ese grado homogéneo incrementado por las graduaciones adquiridas inductivamente desde la derecha). En otras palabras, los pesos en todos los módulos libres pueden inferirse de la resolución, y los números Betti graduados cuentan el número de generadores de un peso dado en un módulo dado de la resolución. Las propiedades de estos invariantes de V en una incrustación proyectiva dada plantean preguntas de investigación activas, incluso en el caso de curvas.

Hay ejemplos en los que la resolución libre mínima se conoce explícitamente. Para una curva normal racional , es un complejo de Eagon-Northcott . Para curvas elípticas en el espacio proyectivo, la resolución puede construirse como un cono de mapeo de los complejos Eagon-Northcott.

Regularidad

La regularidad Castelnuovo-Mumford puede leerse a partir de la resolución mínima del I ideal que define la variedad proyectiva. En términos de los "desplazamientos" imputados a i , j en el i -ésimo módulo F i , es el máximo sobre i de a i , j - i ; por lo tanto, es pequeño cuando los cambios aumentan solo en incrementos de 1 a medida que nos movemos hacia la izquierda en la resolución (solo sicigias lineales).

Normalidad proyectiva

La variedad V en su incrustación proyectiva es proyectivamente normal si R está integralmente cerrado . Esta condición implica que V es una variedad normal , pero no a la inversa: la propiedad de la normalidad proyectiva no es independiente de la incrustación proyectiva, como lo muestra el ejemplo de una curva cuártica racional en tres dimensiones. Otra condición equivalente es en términos del sistema lineal de divisores en V cortado por el dual del haz de líneas tautológicas en el espacio proyectivo, y sus d -ésimas potencias para d = 1, 2, 3, ...; cuando V no es singular , es proyectivamente normal si y solo si cada uno de estos sistemas lineales es un sistema lineal completo . Alternativamente, se puede pensar en el doble del haz de líneas tautológicas como el haz de torsión de Serre O (1) en el espacio proyectivo, y usarlo para torcer el haz de estructura O V cualquier número de veces, digamos k veces, obteniendo un haz O V ( k ). Entonces, V se llama k -normal si las secciones globales de O ( k ) se mapean de forma sobreyectiva con las de O V ( k ), para un k dado , y si V es 1-normal, se llama linealmente normal . Una variedad no singular es proyectivamente normal si y solo si es k -normal para todo k ≥ 1. La normalidad lineal también puede expresarse geométricamente: V como variedad proyectiva no puede obtenerse mediante una proyección lineal isomórfica desde un espacio proyectivo de dimensión superior , excepto en la forma trivial de estar en un subespacio lineal adecuado. La normalidad proyectiva puede traducirse de manera similar, utilizando suficientes mapeos de Veronese para reducirla a condiciones de normalidad lineal.

Mirando el problema desde el punto de vista de un haz de líneas muy amplio dado que da lugar a la incrustación proyectiva de V , se dice que dicha agrupación de líneas (haz invertible ) se genera normalmente si V como incrustado es proyectivamente normal. La normalidad proyectiva es la primera condición N 0 de una secuencia de condiciones definidas por Green y Lazarsfeld. Para esto

se considera módulo graduado sobre el anillo de coordenadas homogéneo del espacio proyectivo, y se toma una resolución libre mínima. La condición N p se aplicó a los primeros p números de Betti calificados, requiriendo que desaparezcan cuando j > i + 1. Para las curvas, Green mostró que la condición N p se cumple cuando deg ( L ) ≥ 2 g + 1 + p , que para p = 0 fue un resultado clásico de Guido Castelnuovo .

Ver también

Notas

Referencias