algebraicamente cerrado - Algebraically closed field


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En álgebra abstracta , un cuerpo algebraicamente cerrado F contiene una raíz para cada polinomio no constante en F [ x ], el anillo de polinomios en la variable x con coeficientes en F .

Ejemplos

Como un ejemplo, el campo de los números reales no es algebraicamente cerrado, debido a que la ecuación polinómica x 2  + 1 = 0 no tiene solución en números reales, a pesar de todos sus coeficientes (1 y 0) son real. El mismo argumento demuestra que ningún subcampo del campo real es algebraicamente cerrado; en particular, el campo de los números racionales no es algebraicamente cerrado. Además, no hay campo finito F es algebraicamente cerrado, porque si un 1 , un 2 , ..., un n son los elementos de F , entonces el polinomio ( x  -  un 1 ) ( x  -  un 2 ) · ( x  -  una n ) + 1 no tiene cero en F . Por el contrario, el teorema fundamental del álgebra establece que el campo de los números complejos es algebraicamente cerrado. Otro ejemplo de un cuerpo algebraicamente cerrado es el campo de la (complejo) números algebraicos .

propiedades equivalentes

Dado un campo F , la afirmación " F está cerrada algebraicamente" es equivalente a otras afirmaciones:

Los únicos polinomio irreducible son las de un grado

El campo F está cerrada algebraicamente si y sólo si los únicos polinomio irreducible en el anillo de polinomios F [ x ] son aquellos de grado uno.

La afirmación "los polinomios de grado uno son irreducible" es trivialmente cierto para cualquier campo. Si F es algebraicamente cerrado y p ( x ) es un polinomio irreducible de F [ x ], entonces tiene alguna raíz una y por lo tanto p ( x ) es un múltiplo de x  -  una . Desde p ( x ) es irreducible, esto significa que p ( x ) =  k ( x  -  una ), para algunos k  ∈  F  \ {0}. Por otro lado, si F no está cerrada algebraicamente, entonces hay algún no constante polinomio p ( x ) en F [ x ] sin raíces en F . Deje que q ( x ) sea un factor irreducible de p ( x ). Desde p ( x ) no tiene raíces en F , q ( x ) también no tiene raíces en F . Por lo tanto, q ( x ) tiene un grado mayor que uno, ya que cada primer polinomio grado tiene una raíz en F .

Cada polinomio es un producto de primera polinomios grado

El campo F está cerrada algebraicamente si y sólo si cada polinomio p ( x ) de grado n  ≥ 1, con coeficientes en F , se divide en factores lineales . En otras palabras, hay elementos kx 1x 2 , ...,  x n del campo F de tal manera que p ( x ) =  k ( x  -  x 1 ) ( x  -  x 2 ) · ( x  -  x n ).

Si F tiene esta propiedad, entonces es claro que todo polinomio no constante en F [ x ] tiene alguna raíz en F ; en otras palabras, F es algebraicamente cerrado. Por otro lado, que la propiedad indicada aquí es válido para F si F es algebraicamente cerrado se deduce de la propiedad anterior junto con el hecho de que, para cualquier campo K , cualquier polinomio en K [ x ] puede escribirse como producto de polinomios irreducibles .

Polinomios de grado prime tienen raíces

J. Shipman demostró en 2007 que si cada polinomio sobre F de grado privilegiada tiene una raíz en F , entonces todo polinomio no constante tiene una raíz en F , por lo tanto F es algebraicamente cerrado.

El campo no tiene extensión algebraica adecuada

El campo F es algebraicamente cerrado si y sólo si no tiene una adecuada extensión algebraica .

Si F no tiene extensión algebraica adecuada, dejar que p ( x ) sea cierta polinomio irreducible en F [ x ]. A continuación, el cociente de F [ x ] modulo la ideales generado por p ( x ) es una extensión algebraica de F cuyo grado es igual al grado de p ( x ). Dado que no es una extensión apropiada, su grado es 1 y por lo tanto el grado de p ( x ) es 1.

Por otro lado, si F tiene cierta extensión algebraica adecuada K , entonces el polinomio mínimo de un elemento en K  \  F es irreducible y su grado es mayor que 1.

El campo no tiene extensión finita adecuada

El campo F es algebraicamente cerrado si y sólo si no tiene finita extensión algebraica porque si, dentro de la prueba anterior , la palabra "algebraica" se sustituye por la palabra "finito", entonces la prueba sigue siendo válida.

Cada endomorphism de F n tiene algunas vector propio

El campo F es algebraicamente cerrado si y sólo si, para cada número natural n , cada mapa lineal de F n en sí mismo tiene algunas vector propio .

Un endomorfismo de F n tiene un vector propio si y sólo si su polinomio característico tiene alguna raíz. Por lo tanto, cuando F se cierra algebraicamente, cada endomorphism de F n tiene algunas vector propio. Por otro lado, si cada endomorphism de F n tiene un vector propio, dejar que p ( x ) sea un elemento de F [ x ]. Dividiendo por su coeficiente principal, tenemos otro polinomio q ( x ) que tiene raíces si y sólo si p ( x ) tiene raíces. Pero si q ( x ) =  x n  +  a n  - 1 x n  - 1 + ··· +  un 0 , entonces q ( x ) es el polinomio característico de la n × n matriz compañera

La descomposición de las expresiones racionales

El campo F está cerrada algebraicamente si y sólo si cada función racional en una variable x , con coeficientes en F , puede escribirse como la suma de una función polinómica con funciones racionales de la forma de un / ( x  -  b ) n , donde n es un número natural, y un y b son elementos de F .

Si F es algebraicamente cerrado a continuación, ya que los polinomio irreducible en F [ x ] son todos de grado 1, la propiedad se ha indicado anteriormente sostiene por el teorema de descomposición en fracciones parciales .

Por otro lado, supongamos que la propiedad se ha dicho es válido para el campo F . Deje que p ( x ) sea un elemento irreducible en F [ x ]. Entonces el racional función 1 / p puede escribirse como la suma de una función polinómica q con funciones racionales de la forma de un / ( x  -  b ) n . Por lo tanto, la expresión racional

puede escribirse como un cociente de dos polinomios en la que el denominador es un producto de polinomios de primer grado. Desde p ( x ) es irreducible, debe dividir este producto y, por lo tanto, también debe ser un primer polinomio grado.

polinomios primos entre sí y raíces

Para cualquier campo F , si dos polinomios p ( x ), q ( x ) ∈  F [ x ] son relativamente primos entonces ellos no tienen una raíz común, porque si un  ∈  F era una raíz común, entonces  p ( x ) y   q ( x ) sería tanto ser múltiplos de x  -  una y por lo tanto no sería primos entre sí. Los campos para los que sostiene la implicación inversa (es decir, los campos de tal manera que cada vez que dos polinomios no tienen raíces comunes entonces son primos entre sí) son precisamente los cuerpos algebraicamente cerrados.

Si el campo F está cerrada algebraicamente, dejar que p ( x ) y q ( x ) dos polinomios que no son relativamente primos y deje r ( x ) sea su máximo común divisor . Entonces, puesto que r ( x ) no es constante, se tiene alguna raíz una , que será entonces una raíz común de p ( x ) y q ( x ).

Si F no es algebraicamente cerrado, dejar que p ( x ) un polinomio cuyo grado es al menos 1 y sin raíces. Entonces p ( x ) y P ( x ) no son primos entre sí, pero no tienen raíces comunes (ya que ninguno de ellos tiene sus raíces).

Otras propiedades

Si F es un cuerpo algebraicamente cerrado y n es un número natural, entonces F contiene toda n º raíces de la unidad, ya que estos son (por definición) el n (no necesariamente distintos) ceros del polinomio x n  - 1. Una extensión de campo que está contenido en una extensión generada por las raíces de la unidad es una extensión ciclotómico , y la extensión de un campo generado por todas las raíces de la unidad a veces se denomina su cierre ciclotómico . Así campos algebraicamente cerrados están cerrados cyclotomically. Lo contrario no es cierto. Incluso suponiendo que cada polinomio de la forma x n  -  a se divide en factores lineales no es suficiente para asegurar que el campo es algebraicamente cerrado.

Si una proposición que puede ser expresada en el lenguaje de la lógica de primer orden es cierto para un cuerpo algebraicamente cerrado, entonces es cierto para cada campo algebraicamente cerrado con la misma característica . Además, si tal proposición es válida para un campo algebraicamente cerrado con característica 0, entonces no sólo es válido para todos los otros campos algebraicamente cerrados con característica 0, pero hay algún número natural N tal que la proposición es válida para cada algebraicamente cerrado campo con característica  p cuando p  >  N .

Cada campo F tiene alguna extensión que está cerrado en forma algebraica. Tal extensión se denomina una extensión algebraicamente cerrado . Entre todas estas extensiones hay uno y sólo uno ( hasta el isomorfismo , pero no isomorfismo único ) que es una extensión algebraica de F ; se llama la clausura algebraica de F .

La teoría de los campos algebraico cerrado tiene eliminación de cuantificadores .

notas

referencias

  • Barwise, Jon (1978), "Una introducción a la lógica de primer orden", en Barwise, Jon, Handbook of lógica matemática , Estudios en la lógica y los Fundamentos de Matemáticas, Holanda del Norte, ISBN  0-7204-2285-X
  • Lang, Serge (2002), Álgebra , Graduados Textos en Matemáticas , 211 (revisado tercera ed.), Nueva York: Springer-Verlag, ISBN  978-0-387-95385-4 , MR  1878556
  • Shipman, Joseph (2007), "Mejora de la teorema fundamental del álgebra", Mathematical Intelligencer , 29 (4), pp 9-14,. Doi : 10.1007 / BF02986170 , ISSN  0343-6.993
  • van der Waerden, Bartel Leendert (2003), Algebra , I (7ª ed.), Springer-Verlag, ISBN  0-387-40624-7