Álgebra simétrica - Symmetric algebra

En matemáticas , el álgebra simétrica $S (V)$ (también denominada $Sym (V))$ en un espacio vectorial $V$ sobre un campo $K$ es un álgebra conmutativa sobre $K$ que contiene $V$ y, en cierto sentido, es mínima para esta propiedad. Aquí, "mínimo" significa que $S (V)$ satisface la siguiente propiedad universal : para cada mapa lineal $f$ de $V$ a un álgebra conmutativa $A$ , hay un homomorfismo de álgebra único $g : S (V) \to A$ tal que $f = g \circ i$ , donde $i$ es el mapa de inclusión de $V$ en $S (V)$ .

Si $B$ es una base de $V$ , el álgebra simétrica $S (V)$ puede identificarse, mediante un isomorfismo canónico , al anillo polinomial $K [B]$ , donde los elementos de $B$ se consideran indeterminados. Por lo tanto, el álgebra simétrica sobre $V$ puede ser visto como un "coordinar libre" anillo de polinomios sobre $V$ .

El álgebra simétrica $S (V)$ se puede construir como el cociente del álgebra tensorial $T (V)$ por el ideal bilateral generado por los elementos de la forma $x \otimes y - y \otimes x$ .

Todas estas definiciones y propiedades se extienden naturalmente al caso donde $V$ es un módulo (no necesariamente uno libre) sobre un anillo conmutativo .

Construcción

Del álgebra tensorial

Es posible utilizar el álgebra tensorial $T (V)$ para describir el álgebra simétrica $S (V)$ . De hecho, $S (V)$ se puede definir como el álgebra del cociente de $T (V)$ por el ideal bilateral generado por los conmutadores ${\ Displaystyle v \ otimes ww \ otimes v.}$

Es sencillo, pero bastante tedioso, verificar que el álgebra resultante satisface la propiedad universal establecida en la introducción.

Esto resulta también directamente de un resultado general de la teoría de categorías , que afirma que la composición de dos functores adjuntos izquierdos también es un functor adjunto izquierdo. Aquí, el functor olvidadizo de álgebras conmutativas a espacios vectoriales o módulos (olvidando la multiplicación) es la composición de los functores olvidadizos desde álgebras conmutativas a álgebras asociativas (olvido de la conmutatividad), y de álgebras asociativas a vectores o módulos (olvido de la multiplicación). Como el álgebra tensorial y el cociente por conmutadores se dejan adjuntos a estos functores olvidadizos, su composición se deja adjunta al functor olvidadizo desde el álgebra conmutativa a los vectores o módulos, y esto prueba la propiedad universal deseada.

Del anillo polinomial

El álgebra simétrica $S (V)$ también se puede construir a partir de anillos polinomiales .

Si $V$ es un espacio de vectores $K$ o un módulo $K$ libre , con una base $B$ , sea $K [B]$ el anillo polinomial que tiene los elementos de $B$ como indeterminados. Los polinomios homogéneos de la forma de un grado un espacio vectorial o un módulo libre que puede ser identificado con $V$ . Es sencillo verificar que esto convierte a $K [B] en$ una solución al problema universal planteado en la introducción. Esto implica que $K [B]$ y $S (V)$ son canónicamente isomorfos y, por lo tanto, pueden identificarse. Esto resulta también inmediatamente de consideraciones generales de la teoría de categorías , ya que los módulos libres y los anillos polinomiales son objetos libres de sus respectivas categorías.

Si $V$ es un módulo que no es libre, se puede escribir donde $L$ es un módulo libre, y $M$ es un submódulo de $L$ . En este caso, uno tiene ${\ Displaystyle V = L / M,}$

{\ Displaystyle S (V) = S (L / M) = S (L) / \ langle M \ rangle,}

donde es el ideal generado por $M$ . (Aquí, los signos iguales significan igualdad hasta un isomorfismo canónico). Nuevamente, esto se puede probar mostrando que se tiene una solución de la propiedad universal, y esto se puede hacer mediante un cálculo sencillo pero aburrido, o mediante el uso de la teoría de categorías, y más específicamente, el hecho de que un cociente es la solución del problema universal de morfismos que mapean a cero un subconjunto dado. (Dependiendo del caso, el núcleo es un subgrupo normal , un submódulo o un ideal, y la definición habitual de cocientes puede verse como una prueba de la existencia de una solución del problema universal). ${\ Displaystyle \ langle M \ rangle}$

Calificación

El álgebra simétrica es un álgebra graduada . Es decir, es una suma directa

{\ Displaystyle S (V) = \ bigoplus _ {n = 0} ^ {\ infty} S ^ {n} (V),}

donde llamado el $n$ º potencia simétrico de $V$ , es el subespacio vectorial o submódulo generado por los productos de $n$ elementos de $V$ . (La segunda potencia simétrica a veces se denomina cuadrado simétrico de $V$ ). ${\ Displaystyle S ^ {n} (V),}$ ${\ Displaystyle S ^ {2} (V)}$

Esto se puede demostrar por varios medios. Uno sigue a partir del tensor-álgebra construcción: desde el álgebra de tensor se clasifica y el álgebra simétrica es su cociente por un ideales homogénea : el ideal generado por todos donde $x$ y $y$ son en $V$ , es decir, homogénea de un grado. ${\ Displaystyle x \ otimes yy \ otimes x,}$

En el caso de un espacio vectorial o un módulo libre, la gradación es la gradación de los polinomios por el grado total . Un módulo no libre se puede escribir como $L / M$ , donde $L$ es un módulo libre de base $B$ ; su álgebra simétrica es el cociente del álgebra simétrica (graduada) de $L$ (un anillo polinomial) por el ideal homogéneo generado por los elementos de $M$ , que son homogéneos de grado uno.

También se puede definir como la solución del problema universal para $n$ funciones simétricas lineales de $V$ en un espacio vectorial o un módulo, y luego verificar que la suma directa de todos satisface el problema universal del álgebra simétrica. ${\ Displaystyle S ^ {n} (V)}$ ${\ Displaystyle S ^ {n} (V)}$

Relación con tensores simétricos

Como el álgebra simétrica de un espacio vectorial es un cociente del álgebra tensorial, un elemento del álgebra simétrica no es un tensor y, en particular, no es un tensor simétrico . Sin embargo, los tensores simétricos están fuertemente relacionados con el álgebra simétrica.

Un tensor simétrico de grado $n$ es un elemento de $T n (V)$ que es invariante bajo la acción del grupo simétrico. Más precisamente, dada la transformación define un endomorfismo lineal de $T$ $n$ $($ $V$ $)$ . Un tensor simétrico es un tensor que es invariante bajo todos estos endomorfismos. Los tensores simétricos de grado $n$ forman un subespacio vectorial (o módulo) $Sym$ $n$ $($ $V$ $) \subset$ $T$ $n$ $($ $V$ $)$ . Los tensores simétricos son los elementos de la suma directa que es un espacio vectorial graduado (o un módulo graduado ). No es un álgebra, ya que el producto tensorial de dos tensores simétricos no es simétrico en general. ${\ Displaystyle {\ mathcal {S}} _ {n}.}$ ${\ Displaystyle \ sigma \ in {\ mathcal {S}} _ {n},}$ ${\ Displaystyle v_ {1} \ otimes \ cdots \ otimes v_ {n} \ mapsto v _ {\ sigma (1)} \ otimes \ cdots \ otimes v _ {\ sigma (k)}}$ ${\ Displaystyle \ textstyle \ bigoplus _ {n = 0} ^ {\ infty} \ operatorname {Sym} ^ {n} (V),}$

Sea la restricción al $Sym$ $n$ $($ $V$ $)$ de la sobreyección canónica Si $n$ $!$ es invertible en el campo de tierra (o anillo), entonces es un isomorfismo . Este es siempre el caso con un campo de tierra de característica cero. El isomorfismo inverso es el mapa lineal definido (sobre productos de $n$ vectores) por la simetrización ${\ Displaystyle \ pi _ {n}}$ ${\ Displaystyle T ^ {n} (V) \ a S ^ {n} (V).}$ ${\ Displaystyle \ pi _ {n}}$

{\ Displaystyle v_ {1} \ cdots v_ {n} \ mapsto {\ frac {1} {n!}} \ sum _ {\ sigma \ in S_ {n}} v _ {\ sigma (1)} \ otimes \ cdots \ otimes v _ {\ sigma (n)}.}

El mapa no es inyectivo si la característica es menor que $n$ +1; por ejemplo, es cero en la característica dos. Sobre un anillo de característica cero, puede ser no sobreyectiva; por ejemplo, sobre los números enteros, si $x$ y $y$ son dos elementos linealmente independientes de $V$ $=$ $S$ $1$ $($ $V$ $)$ que no están en $2$ $V$ , a continuación, desde ${\ Displaystyle \ pi _ {n}}$ ${\ Displaystyle \ pi _ {n} (x \ a veces y + y \ a veces x) = 2xy}$ ${\ Displaystyle \ pi _ {n}}$ ${\ Displaystyle xy \ not \ in \ pi _ {n} (\ operatorname {Sym} ^ {2} (V)),}$ ${\ Displaystyle {\ frac {1} {2}} (x \ otimes y + y \ otimes x) \ not \ in \ operatorname {Sym} ^ {2} (V).}$

En resumen, sobre un campo de característica cero, los tensores simétricos y el álgebra simétrica forman dos espacios vectoriales graduados isomorfos. Por lo tanto, pueden identificarse en lo que respecta solo a la estructura del espacio vectorial, pero no pueden identificarse tan pronto como los productos estén involucrados. Además, este isomorfismo no se extiende a los casos de campos de característica positiva y anillos que no contienen los números racionales .

Propiedades categóricas

Dado un módulo $V$ sobre un anillo conmutativo $K$ , el álgebra simétrica $S (V)$ se puede definir mediante la siguiente propiedad universal :

Para cada mapa lineal

f

de

V

a un álgebra conmutativa

A

, hay un homomorfismo de álgebra único tal que donde

i

es la inclusión de

V

en

S

(

V

)

.

{\ Displaystyle g: S (V) \ a A}

{\ Displaystyle f = g \ circ i,}

Como para toda propiedad universal, tan pronto como existe una solución, ésta define de manera única el álgebra simétrica, hasta un isomorfismo canónico . De ello se deduce que todas las propiedades del álgebra simétrica pueden deducirse de la propiedad universal. Esta sección está dedicada a las principales propiedades que pertenecen a la teoría de categorías .

El álgebra simétrica es un functor de la categoría de $K$ -módulos a la categoría de $K$ -álgebra conmutativa, ya que la propiedad universal implica que cada homomorfismo de módulo puede extenderse únicamente a un homomorfismo de álgebra. ${\ Displaystyle f: V \ a W}$ ${\ Displaystyle S (f): S (V) \ a S (W).}$

La propiedad universal se puede reformular diciendo que el álgebra simétrica es un adjunto izquierdo al functor olvidadizo que envía un álgebra conmutativa a su módulo subyacente.

Álgebra simétrica de un espacio afín

De manera análoga, se puede construir el álgebra simétrica en un espacio afín . La diferencia clave es que el álgebra simétrica de un espacio afín no es un álgebra graduada, sino un álgebra filtrada : se puede determinar el grado de un polinomio en un espacio afín, pero no sus partes homogéneas.

Por ejemplo, dado un polinomio lineal en un espacio vectorial, se puede determinar su parte constante evaluando en 0. En un espacio afín, no hay un punto distinguido, por lo que no se puede hacer esto (elegir un punto convierte un espacio afín en un vector espacio).

Analogía con álgebra exterior

Los S ^k son functores comparables a los poderes exteriores ; aquí, sin embargo, la dimensión crece con k ; es dado por

{\ Displaystyle \ operatorname {dim} (S ^ {k} (V)) = {\ binom {n + k-1} {k}}}

donde n es la dimensión de V . Este coeficiente binomial es el número de n monomios variables de grado k . De hecho, el álgebra simétrica y el álgebra exterior aparecen como los componentes isotípicos de la representación trivial y de signo de la acción de actuar sobre el producto tensorial (por ejemplo, sobre el campo complejo) ${\ Displaystyle S_ {n}}$ ${\ Displaystyle V ^ {\ otimes n}}$

Como álgebra de Hopf

Al álgebra simétrica se le puede dar la estructura de un álgebra de Hopf . Consulte Álgebra tensorial para obtener más detalles.

Como álgebra envolvente universal

El álgebra simétrica S ( V ) es el álgebra envolvente universal de un álgebra de Lie abeliana , es decir, una en la que el corchete de Lie es idénticamente 0.

Ver también

álgebra exterior , el análogo del álgebra alterna
álgebra simétrica graduada , una generalización común de un álgebra simétrica y un álgebra exterior
Álgebra de Weyl , una deformación cuántica del álgebra simétrica por una forma simpléctica
Álgebra de Clifford , una deformación cuántica del álgebra exterior por una forma cuadrática

Referencias

Bourbaki, Nicolas (1989), Elementos de las matemáticas, Álgebra I , Springer-Verlag, ISBN 3-540-64243-9

Languages

In other projects