Isomorfismo - Isomorphism

Quintas raíces de la unidad
Rotaciones de un pentágono
El grupo de quintas raíces de la unidad bajo multiplicación es isomorfo al grupo de rotaciones del pentágono regular bajo composición.

En matemáticas , un isomorfismo es un mapeo que preserva la estructura entre dos estructuras del mismo tipo que puede revertirse mediante un mapeo inverso . Dos estructuras matemáticas son isomorfas si existe un isomorfismo entre ellas. La palabra isomorfismo se deriva del griego antiguo : ἴσος isos "igual" y μορφή morphe "forma" o "forma".

El interés por los isomorfismos radica en el hecho de que dos objetos isomorfos tienen las mismas propiedades (excluyendo información adicional como estructura adicional o nombres de objetos). Por tanto, las estructuras isomorfas no pueden distinguirse desde el punto de vista de la estructura únicamente y pueden identificarse. En jerga matemática, se dice que dos objetos son iguales hasta un isomorfismo .

Un automorfismo es un isomorfismo de una estructura a sí mismo. Un isomorfismo entre dos estructuras es un isomorfismo canónico (un mapa canónico que es un isomorfismo) si solo hay un isomorfismo entre las dos estructuras (como es el caso de las soluciones de una propiedad universal ), o si el isomorfismo es mucho más natural (en cierto sentido) que otros isomorfismos. Por ejemplo, para cada número primo p , todos los campos con p elementos son canónicamente isomorfos, con un isomorfismo único. Los teoremas del isomorfismo proporcionan isomorfismos canónicos que no son únicos.

El término isomorfismo se usa principalmente para estructuras algebraicas . En este caso, las asignaciones se denominan homomorfismos , y un homomorfismo es un isomorfismo si y solo si es biyectivo .

En diversas áreas de las matemáticas, los isomorfismos han recibido nombres especializados, según el tipo de estructura que se considere. Por ejemplo:

La teoría de categorías , que puede verse como una formalización del concepto de mapeo entre estructuras, proporciona un lenguaje que puede usarse para unificar el enfoque de estos diferentes aspectos de la idea básica.

Ejemplos de

Logaritmo y exponencial

Sea el grupo multiplicativo de números reales positivos y sea ​​el grupo aditivo de números reales.

La función de logaritmo satisface para todos, por lo que es un homomorfismo de grupo . La función exponencial satisface para todos, por lo que también es un homomorfismo.

Las identidades y muestran eso y son inversas entre sí. Dado que es un homomorfismo que tiene una inversa que también es un homomorfismo, es un isomorfismo de grupos.

La función es un isomorfismo que traduce la multiplicación de números reales positivos en la suma de números reales. Esta función permite multiplicar números reales usando una regla y una tabla de logaritmos , o usando una regla de cálculo con una escala logarítmica.

Enteros módulo 6

Considere el grupo de números enteros de 0 a 5 con suma módulo  6. También considere el grupo de pares ordenados donde las coordenadas x pueden ser 0 o 1, y las coordenadas y pueden ser 0, 1 o 2, donde la suma en x - la coordenada es módulo 2 y la suma en la coordenada y es módulo 3.

Estas estructuras son isomorfas bajo adición, bajo el siguiente esquema:

o en general

Por ejemplo, que se traduce en el otro sistema como

Aunque estos dos grupos "parecen" diferentes en el sentido de que los conjuntos contienen elementos diferentes, son de hecho isomorfos : sus estructuras son exactamente las mismas. Más generalmente, el producto directo de dos grupos cíclicos y es isomorfo a si y sólo si m y n son primos entre sí , por el teorema chino del resto .

Isomorfismo que preserva la relación

Si un objeto consta de un conjunto X con una relación binaria R y el otro objeto consta de un conjunto Y con una relación binaria S, entonces un isomorfismo de X a Y es una función biyectiva tal que:

S es reflexiva , irreflexive , simétrica , antisimétrica , asimétrica , transitiva , total de , tricotómica , un orden parcial , orden total , así orden , estricto orden débil , preorden total de (orden débil), una relación de equivalencia , o una relación con cualquier otra propiedades especiales, si y solo si R es.

Por ejemplo, R es un ordenamiento ≤ y S un ordenamiento, entonces un isomorfismo de X a Y es una función biyectiva tal que

Este isomorfismo se denomina isomorfismo de orden o (con menos frecuencia) isomorfismo de isótonos .

Si entonces este es un automorfismo que preserva la relación .

Aplicaciones

En álgebra , los isomorfismos se definen para todas las estructuras algebraicas . Algunos se estudian más específicamente; por ejemplo:

Así como los automorfismos de una estructura algebraica forman un grupo , los isomorfismos entre dos álgebras que comparten una estructura común forman un montón . Dejar que un isomorfismo particular identifique las dos estructuras convierte este montón en un grupo.

En análisis matemático , la transformada de Laplace es un isomorfismo que mapea ecuaciones diferenciales rígidas en ecuaciones algebraicas más fáciles .

En teoría de grafos , un isomorfismo entre dos grafos G y H es un mapa biyectivo f desde los vértices de G a los vértices de H que conserva la "estructura de aristas" en el sentido de que hay una arista desde el vértice u hasta el vértice v en G si y sólo si hay un borde de a en H . Ver isomorfismo gráfico .

En análisis matemático, un isomorfismo entre dos espacios de Hilbert es una biyección que conserva la suma, la multiplicación escalar y el producto interno.

En las primeras teorías del atomismo lógico , Bertrand Russell y Ludwig Wittgenstein teorizaron que la relación formal entre hechos y proposiciones verdaderas era isomórfica. Un ejemplo de esta línea de pensamiento se puede encontrar en la Introducción a la Filosofía Matemática de Russell .

En cibernética , el buen regulador o teorema de Conant-Ashby se establece "Todo buen regulador de un sistema debe ser un modelo de ese sistema". Ya sea regulado o autorregulado, se requiere un isomorfismo entre el regulador y las partes de procesamiento del sistema.

Vista teórica de la categoría

En la teoría de categorías , dada una categoría C , un isomorfismo es un morfismo que tiene un morfismo inverso que es, y Por ejemplo, un mapa lineal biyectivo es un isomorfismo entre espacios vectoriales , y una función continua biyectiva cuya inversa también es continua es un isomorfismo entre espacios topológicos , llamado homeomorfismo .

Dos categorías C y D son isomorfas si existen functores y que son mutuamente inversos entre sí, es decir, (el funtor de identidad en D ) y (el funtor de identidad en C ).

Isomorfismo versus morfismo biyectivo

En una categoría concreta (es decir, una categoría cuyos objetos son conjuntos (quizás con estructura extra) y cuyos morfismos son funciones que preservan la estructura), como la categoría de espacios topológicos o categorías de objetos algebraicos (como la categoría de grupos , la categoría de anillos y categoría de módulos ), un isomorfismo debe ser biyectivo en los conjuntos subyacentes . En categorías algebraicas (específicamente, categorías de variedades en el sentido del álgebra universal ), un isomorfismo es lo mismo que un homomorfismo que es biyectivo en conjuntos subyacentes. Sin embargo, hay categorías concretas en las que los morfismos biyectivos no son necesariamente isomorfismos (como la categoría de espacios topológicos).

Relación con la igualdad

En ciertas áreas de las matemáticas, en particular la teoría de categorías, es valioso distinguir entre igualdad, por un lado, e isomorfismo, por otro. La igualdad es cuando dos objetos son exactamente iguales, y todo lo que es cierto acerca de un objeto es verdadero acerca del otro, mientras que un isomorfismo implica que todo lo que es cierto acerca de una parte designada de la estructura de un objeto es verdadero acerca de la del otro. Por ejemplo, los conjuntos

son iguales ; son simplemente representaciones diferentes —la primera intensional (en notación de constructor de conjuntos ) y la segunda extensional (por enumeración explícita) - del mismo subconjunto de números enteros. Por el contrario, los conjuntos y no son iguales: el primero tiene elementos que son letras, mientras que el segundo tiene elementos que son números. Estos son isomorfos como conjuntos, ya que los conjuntos finitos están determinados hasta el isomorfismo por su cardinalidad (número de elementos) y ambos tienen tres elementos, pero hay muchas opciones de isomorfismo: un isomorfismo es
mientras que otro es

y ningún isomorfismo es intrínsecamente mejor que otro. Desde este punto de vista y en este sentido, estos dos conjuntos no son iguales porque no se pueden considerar idénticos : se puede elegir un isomorfismo entre ellos, pero esa es una afirmación más débil que la identidad, y válida sólo en el contexto del isomorfismo elegido.

A veces, los isomorfismos pueden parecer obvios y convincentes, pero aún no son iguales. Como ejemplo simple, las relaciones genealógicas entre Joe , John y Bobby Kennedy son, en un sentido real, las mismas que las de los

mariscales de campo de fútbol americano de la familia Manning : Archie , Peyton y Eli . Los emparejamientos padre-hijo y los emparejamientos mayor-hermano-menor-hermano se corresponden perfectamente. Esa similitud entre las dos estructuras familiares ilustra el origen de la palabra isomorfismo (del griego iso -, "mismo", y - morph , "forma" o "forma"). Pero debido a que los Kennedy no son las mismas personas que los Manning, las dos estructuras genealógicas son simplemente isomorfas y no iguales.

Otro ejemplo es más formal e ilustra más directamente la motivación para distinguir la igualdad del isomorfismo: la distinción entre un espacio vectorial de dimensión finita V y su espacio dual de mapas lineales de V a su campo de escalares Estos espacios tienen la misma dimensión, y por lo tanto son isomorfos como espacios vectoriales abstractos (ya que algebraicamente, los espacios vectoriales se clasifican por dimensión, al igual que los conjuntos se clasifican por cardinalidad), pero no hay una elección "natural" de isomorfismo. Si uno elige una base para V , entonces esto produce un isomorfismo: Para todos

Esto corresponde a transformar un vector columna (elemento de V ) en un vector fila (elemento de V *) por transposición , pero una elección diferente de base da un isomorfismo diferente: el isomorfismo "depende de la elección de la base". De manera más sutil, no es un mapa de un espacio vectorial V a su doble dual que no depende de la elección de la base: Para todos

Esto conduce a una tercera noción, la de un isomorfismo natural : si bien y son conjuntos diferentes, existe una elección "natural" de isomorfismo entre ellos. Esta noción intuitiva de "un isomorfismo que no depende de una elección arbitraria" se formaliza en la noción de transformación natural ; brevemente, que uno puede identificar consistentemente , o más generalmente mapear desde un espacio vectorial de dimensión finita a su doble dual, para cualquier espacio vectorial de una manera consistente. Formalizar esta intuición es una motivación para el desarrollo de la teoría de categorías.

Sin embargo, hay un caso en el que generalmente no se hace la distinción entre isomorfismo natural e igualdad. Eso es para los objetos que pueden caracterizarse por una propiedad universal . De hecho, existe un isomorfismo único, necesariamente natural, entre dos objetos que comparten la misma propiedad universal. Un ejemplo típico es el conjunto de números reales , que puede definirse mediante expansión decimal infinita, expansión binaria infinita, secuencias de Cauchy , cortes de Dedekind y muchas otras formas. Formalmente, estas construcciones definen diferentes objetos que son todas soluciones con la misma propiedad universal. Como estos objetos tienen exactamente las mismas propiedades, uno puede olvidar el método de construcción y considerarlos iguales. Esto es lo que hace todo el mundo cuando se hace referencia a " el conjunto de los números reales". Lo mismo ocurre con los espacios de cociente : comúnmente se construyen como conjuntos de clases de equivalencia . Sin embargo, referirse a un conjunto de conjuntos puede ser contrario a la intuición, por lo que los espacios de cociente se consideran comúnmente como un par de un conjunto de objetos indeterminados, a menudo llamados "puntos", y un mapa sobreyectivo de este conjunto.

Si uno desea distinguir entre un isomorfismo arbitrario (uno que depende de una elección) y un isomorfismo natural (uno que se puede hacer de manera consistente), se puede escribir para un isomorfismo no natural y para un isomorfismo natural, como en y Esta convención es no se sigue universalmente, y los autores que deseen distinguir entre isomorfismos no naturales e isomorfismos naturales generalmente declararán explícitamente la distinción.

Generalmente, decir que dos objetos son iguales se reserva para cuando existe la noción de un espacio (ambiente) más grande en el que viven estos objetos. La mayoría de las veces, se habla de igualdad de dos subconjuntos de un conjunto dado (como en el ejemplo de conjunto de enteros arriba), pero no de dos objetos presentados de forma abstracta. Por ejemplo, la esfera unitaria bidimensional en un espacio tridimensional

y la esfera de Riemann que se puede presentar como la compactificación de un punto del plano complejo o como la línea proyectiva compleja (un espacio cociente)
Hay tres descripciones diferentes para un objeto matemático, todos los cuales son isomórficos, pero no iguales porque no son todos subconjuntos de un solo espacio: el primero es un subconjunto del segundo es más un punto adicional, y el tercero es un
subcociente de

En el contexto de la teoría de categorías, los objetos suelen ser, como mucho, isomórficos; de hecho, una motivación para el desarrollo de la teoría de categorías fue mostrar que las diferentes construcciones en la teoría de la homología producían grupos equivalentes (isomórficos). Sin embargo, dados los mapas entre dos objetos X e Y , uno se pregunta si son iguales o no (ambos son elementos del conjunto, por lo tanto, la igualdad es la relación adecuada), particularmente en los

diagramas conmutativos .

Ver también

Notas

Referencias

Otras lecturas

enlaces externos