Módulo (matemáticas) - Module (mathematics)

En matemáticas , un módulo es una de las estructuras algebraicas fundamentales que se utilizan en el álgebra abstracta . Un módulo sobre un anillo es una generalización de la noción de espacio vectorial sobre un campo , donde los escalares son elementos de un anillo dado , y una operación llamada multiplicación escalar se define entre elementos del anillo y elementos del módulo. Un módulo que toma sus escalares de un anillo R se llama módulo R.

Como un espacio vectorial, un módulo es un grupo abeliano aditivo , y la multiplicación escalar es distributiva sobre la operación de suma entre elementos del anillo o módulo y es compatible con la multiplicación del anillo.

Los módulos están muy relacionados con la teoría de la representación de grupos . También son una de las nociones centrales del álgebra conmutativa y el álgebra homológica , y se utilizan ampliamente en geometría algebraica y topología algebraica .

Introducción y definición

Motivación

En un espacio vectorial, el conjunto de escalares es un campo y actúa sobre los vectores por multiplicación escalar, sujeto a ciertos axiomas como la ley distributiva . En un módulo, los escalares solo necesitan ser un anillo , por lo que el concepto de módulo representa una generalización significativa. En álgebra conmutativa, tanto los ideales como los anillos de cociente son módulos, por lo que muchos argumentos sobre ideales o anillos de cociente pueden combinarse en un solo argumento sobre módulos. En álgebra no conmutativa, la distinción entre ideales de izquierda, ideales y módulos se vuelve más pronunciada, aunque algunas condiciones de la teoría del anillo se pueden expresar sobre ideales de izquierda o módulos de izquierda.

Gran parte de la teoría de los módulos consiste en extender tantas propiedades deseables de los espacios vectoriales como sea posible al reino de los módulos sobre un anillo de " buen comportamiento ", como un dominio ideal principal . Sin embargo, los módulos pueden ser un poco más complicados que los espacios vectoriales; por ejemplo, no todos los módulos tienen una base , e incluso aquellos que la tienen, los módulos libres , no necesitan tener un rango único si el anillo subyacente no satisface la condición de número base invariante , a diferencia de los espacios vectoriales, que siempre tienen un (posiblemente infinito) base cuya cardinalidad es entonces única. (Estas dos últimas afirmaciones requieren el axioma de elección en general, pero no en el caso de espacios de dimensión finita, o ciertos espacios de dimensión infinita de buen comportamiento, como los espacios L ^p ).

Definicion formal

Suponga que R es un anillo y 1 es su identidad multiplicativa. Un módulo R izquierdo M consiste en un grupo abeliano ( M , +) y una operación ⋅: R × M → M tal que para todo r , s en R y x , y en M , tenemos

${\ Displaystyle r \ cdot (x + y) = r \ cdot x + r \ cdot y}$
${\ Displaystyle (r + s) \ cdot x = r \ cdot x + s \ cdot x}$
${\ Displaystyle (rs) \ cdot x = r \ cdot (s \ cdot x)}$
${\ Displaystyle 1 \ cdot x = x.}$

La operación ⋅ se llama multiplicación escalar . A menudo se omite el símbolo ⋅, pero en este artículo la usamos y la yuxtaposición de reserva para la multiplicación en R . Se puede escribir _R M para enfatizar que M es un módulo R izquierdo . A la derecha R -módulo M _R se define de manera similar en términos de una operación ⋅: M × R → M .

Los autores que no exigen que los anillos sean unitarios omiten la condición 4 en la definición anterior; llamarían a las estructuras definidas anteriormente " módulos R izquierdos unitales". En este artículo, de acuerdo con el glosario de teoría de anillos, se supone que todos los anillos y módulos son unitales.

Un (R, S) - bimodule es un grupo abeliano junto con una multiplicación escalar izquierda ⋅ por elementos de R y una multiplicación escalar derecha * por elementos de S , lo que lo convierte simultáneamente en un módulo R izquierdo y un módulo S derecho , que satisface la condición adicional para todo r en R , x en M , y s en S . ${\ Displaystyle (r \ cdot x) \ ast s = r \ cdot (x \ ast s)}$

Si R es conmutativo , entonces los módulos R izquierdos son los mismos que los módulos R derechos y simplemente se llaman módulos R.

Ejemplos de

Si K es un campo , entonces K - espacios vectoriales (espacios vectoriales sobre K ) y K -modules son idénticos.
Si K es un campo, y K [ x ] una univariado anillo de polinomios , entonces un K [ x ] -module M es un K -módulo con una acción adicional de x en M que conmuta con la acción de K en M . En otras palabras, un K [ x ] -module es un K espacio-vector M combinado con un mapa lineal de M a M . La aplicación del teorema de estructura para módulos generados finitamente sobre un dominio ideal principal a este ejemplo muestra la existencia de las formas racional y canónica de Jordan .
El concepto de módulo Z concuerda con la noción de grupo abeliano. Es decir, cada grupo abeliano es un módulo sobre el anillo de enteros Z de una manera única. Para n > 0 , sea n ⋅ x = x + x + ... + x ( n sumandos), 0 ⋅ x = 0 y (- n ) ⋅ x = - ( n ⋅ x ) . Un módulo de este tipo no necesita tener una base; los grupos que contienen elementos de torsión no la tienen. (Por ejemplo, en el grupo de números enteros módulo 3, no se puede encontrar ni siquiera un elemento que satisfaga la definición de un conjunto linealmente independiente, ya que cuando un número entero como 3 o 6 multiplica un elemento, el resultado es 0. Sin embargo, si un conjunto finito field se considera como un módulo sobre el mismo campo finito tomado como un anillo, es un espacio vectorial y tiene una base).
Las fracciones decimales (incluidas las negativas) forman un módulo sobre los números enteros. Solo los singleton son conjuntos linealmente independientes, pero no hay singleton que pueda servir como base, por lo que el módulo no tiene base ni rango.
Si R es cualquier anillo yn un número natural , entonces el producto cartesiano R ⁿ es un módulo R izquierdo y derecho sobre R si usamos las operaciones de componentes. Por lo tanto, cuando n = 1 , R es un módulo R , donde la multiplicación escalar es solo una multiplicación de anillos. El caso n = 0 produce el módulo R trivial {0} que consta solo de su elemento de identidad. Los módulos de este tipo se denominan libres y si R tiene un número base invariante (por ejemplo, cualquier anillo o campo conmutativo), el número n es entonces el rango del módulo libre.
Si M _n ( R ) es el anillo de n × n matrices sobre un anillo R , M es un M _n ( R ) -module, y ae _i es el n × n matriz con 1 en el ( i , i ) -entry (y ceros en el resto), a continuación, e _i M es un R -módulo, ya que re _i m = e _i rm ∈ e _i M . Así M rompe como la suma directa de R -modules, M = e ₁M ⊕ ... ⊕ e _n M . Por el contrario, dado un módulo R M ₀ , entonces M ₀^{⊕ n} es un módulo M _n ( R ). De hecho, la categoría de módulos R y la categoría de módulos M _n ( R ) son equivalentes . El caso especial es que el módulo M es solo R como un módulo sobre sí mismo, entonces R ⁿ es un módulo M _n ( R ).
Si S es un conjunto no vacío , M es un módulo R izquierdo y M ^S es la colección de todas las funciones f : S → M , entonces con la suma y la multiplicación escalar en M ^{S se} define puntualmente por ( f + g ) ( s ) = f ( s ) + g ( s ) y ( rf ) ( s ) = rf ( s ) , M ^S es un módulo R izquierdo . El caso del módulo R derecho es análogo. En particular, si R es conmutativo, entonces la colección de homomorfismos del módulo R h : M → N (ver más abajo) es un módulo R (y de hecho un submódulo de N ^M ).
Si X es una variedad suave , entonces las funciones suaves de X a los números reales forman un anillo C ^∞ ( X ). El conjunto de todos lisas campos de vectores definidos en X forman un módulo sobre C ^∞ ( X ), y también lo hacen los campos tensoriales y las formas diferenciales en X . De manera más general, las secciones de cualquier paquete de vectores forman un módulo proyectivo sobre C ^∞ ( X ), y según el teorema de Swan , cada módulo proyectivo es isomorfo al módulo de secciones de algún paquete; la categoría de módulos C ^∞ ( X ) y la categoría de paquetes vectoriales sobre X son equivalentes .
Si R es cualquier anillo e I es cualquier ideal izquierdo en R , entonces I es un módulo R izquierdo , y análogamente los ideales derechos en R son módulos R derechos.
Si R es un anillo, podemos definir el anillo opuesto R ^op que tiene el mismo conjunto subyacente y la misma operación de suma, pero la multiplicación opuesta: si ab = c en R , entonces ba = c en R ^op . Cualquier módulo R izquierdo M puede verse entonces como un módulo derecho sobre R ^op , y cualquier módulo derecho sobre R puede considerarse un módulo izquierdo sobre R ^op .
Los módulos sobre un álgebra de Lie son módulos (álgebra asociativa) sobre su álgebra envolvente universal .
Si R y S son anillos con un homomorfismo de anillo φ : R → S , entonces cada módulo S M es un módulo R definiendo rm = φ ( r ) m . En particular, S en sí mismo es un módulo R.

Submódulos y homomorfismos

Supongamos que M es un izquierda R -módulo y N es un subgrupo de M . Entonces N es un submódulo (o más explícitamente un R -submodule) si por cualquier n en N y cualquier r en R , el producto r ⋅ n (o n ⋅ r para un derecho R -módulo) está en N .

Si X es cualquier subconjunto de un módulo R , entonces el submódulo generado por X se define como donde N se ejecuta sobre los submódulos de M que contienen X , o explícitamente , lo cual es importante en la definición de productos tensoriales. ${\ textstyle \ langle X \ rangle = \, \ bigcap _ {N \ supseteq X} N}$ ${\ textstyle \ left \ {\ sum _ {i = 1} ^ {k} r_ {i} x_ {i} \ mid r_ {i} \ in R, x_ {i} \ in X \ right \}}$

El conjunto de submódulos de un módulo M dado , junto con las dos operaciones binarias + y ∩, forma un retículo que satisface la ley modular : Dados los submódulos U , N ₁ , N ₂ de M tales que N ₁ ⊂ N ₂ , entonces el Los siguientes dos submódulos son iguales: ( N ₁ + U ) ∩ N ₂ = N ₁ + ( U ∩ N ₂ ) .

Si M y N se dejan R -modules, entonces un mapa f : M → N es un homomorfismo de R -modules si por cualquier m , n en M y r , s en R ,

{\ Displaystyle f (r \ cdot m + s \ cdot n) = r \ cdot f (m) + s \ cdot f (n)}

.

Esto, como cualquier homomorfismo de objetos matemáticos, es solo un mapeo que preserva la estructura de los objetos. Otro nombre para un homomorfismo de R -modules es un R - aplicación lineal .

Un homomorfismo de módulo biyectivo f : M → N se denomina isomorfismo de módulo , y los dos módulos M y N se denominan isomorfismo . Dos módulos isomorfos son idénticos para todos los propósitos prácticos, difiriendo únicamente en la notación de sus elementos.

El núcleo de un homomorfismo de módulo f : M → N es el submódulo de M que consta de todos los elementos que son enviados a cero por f , y la imagen de f es el submódulo de N que consta de valores f ( m ) para todos los elementos m de M . Los teoremas de isomorfismo familiares de grupos y espacios vectoriales también son válidos para módulos R.

Dado un anillo R , el conjunto de todos los módulos R izquierdos junto con sus homomorfismos de módulo forma una categoría abeliana , denotada por R - Mod (ver categoría de módulos ).

Tipos de módulos

Finamente generado: Un R -módulo M es de generación finita si existen un número finito de elementos x ₁ , ..., x _n en M tal que cada elemento de M es una combinación lineal de esos elementos con coeficientes de anillo R .
Cíclico: Un módulo se denomina módulo cíclico si es generado por un elemento.
Libre: Un libre de R -módulo es un módulo que tiene una base, o equivalentemente, una que es isomorfo a una suma directa de copias del anillo R . Estos son los módulos que se comportan de manera muy similar a los espacios vectoriales.
Descriptivo: Los módulos proyectivos son sumandos directos de módulos libres y comparten muchas de sus propiedades deseables.
Inyectable: Los módulos inyectivos se definen dualmente a los módulos proyectivos.
Plano: Un módulo se llama plano si tomar el producto tensorial del mismo con cualquier secuencia exacta de módulos R preserva la exactitud.
Sin torsión: Un módulo se denomina sin torsión si se integra en su dual algebraico.
Sencillo: Un simple módulo S es un módulo que no es {0} y cuyo único submódulos son {0} y S . Los módulos simples a veces se denominan irreductibles .
Semisimple: Un módulo semisimple es una suma directa (finita o no) de módulos simples. Históricamente, estos módulos también se denominan completamente reducibles .
Indecomponible: Un módulo indecomponible es un módulo distinto de cero que no se puede escribir como una suma directa de dos submódulos distintos de cero. Cada módulo simple es indecomponible, pero hay módulos indecomponibles que no son simples (por ejemplo , módulos uniformes ).
Fiel: Un módulo fiel M es aquel en el que la acción de cada r ≠ 0 en R sobre M no es trivial (es decir, r ⋅ x ≠ 0 para alguna x en M ). De manera equivalente, el aniquilador de M es el ideal cero .
Sin torsión: Un módulo libre de torsión es un módulo sobre un anillo de modo que 0 es el único elemento aniquilado por un elemento regular ( divisor no cero ) del anillo, lo que equivale a implicar o . ${\ Displaystyle rm = 0}$ ${\ Displaystyle r = 0}$ ${\ Displaystyle m = 0}$
Noetherian: Un módulo Noetheriano es un módulo que satisface la condición de cadena ascendente en submódulos, es decir, cada cadena creciente de submódulos se vuelve estacionaria después de un número finito de pasos. De manera equivalente, cada submódulo se genera de forma finita.
Artiniano: Un módulo Artinian es un módulo que satisface la condición de cadena descendente en submódulos, es decir, cada cadena decreciente de submódulos se vuelve estacionaria después de un número finito de pasos.
Calificado: Un módulo graduado es un módulo con una descomposición como una suma directa M = ⨁ _x M _x sobre un anillo graduado R = ⨁ _x R _x tal que R _x M _y ⊂ M _{x + y} para todo x e y .
Uniforme: Un módulo uniforme es un módulo en el que todos los pares de submódulos distintos de cero tienen una intersección distinta de cero.

Nociones adicionales

Relación con la teoría de la representación

Una representación de un grupo G sobre un campo k es un módulo sobre el anillo de grupo k [ G ].

Si M es un módulo R izquierdo , entonces la acción de un elemento r en R se define como el mapa M → M que envía cada x a rx (o xr en el caso de un módulo derecho), y es necesariamente un grupo endomorfismo del grupo abeliano ( M , +) . El conjunto de todos los endomorfismos de grupo de M se denota Extremo _Z ( M ) y forma un anillo bajo adición y composición , y enviar un elemento de anillo r de R a su acción realmente define un homomorfismo de anillo desde R hasta el Extremo _Z ( M ).

Tal homomorfismo de anillo R → Extremo _Z ( M ) se llama una representación de R sobre el grupo abeliano M ; una forma alternativa y equivalente de definir módulos R izquierdos es decir que un módulo R izquierdo es un grupo abeliano M junto con una representación de R sobre él. Tal representación $R \to End Z (M)$ también puede ser llamado un acción del anillo de $R$ en $M$ .

Una representación se llama fiel si y solo si el mapa R → Fin _Z ( M ) es inyectivo . En términos de módulos, esto significa que si r es un elemento de R tal que rx = 0 para todo x en M , entonces r = 0 . Cada grupo abeliano es un módulo fiel sobre los números enteros o sobre algún aritmética modular Z / n Z .

Generalizaciones

Un anillo R corresponde a una categoría preaditiva R con un solo objeto . Con este entendimiento, un módulo R izquierdo es solo un funtor aditivo covariante de R a la categoría Ab de grupos abelianos , y los módulos R derechos son functores aditivos contravariantes. Esto sugiere que, si C es cualquier categoría preaditiva, un funtor aditivo covariante de C a Ab debe considerarse como un módulo de izquierda generalizada sobre C . Estos functores forman una categoría de functor C - Mod que es la generalización natural de la categoría de módulo R - Mod .

Los módulos sobre anillos conmutativos se pueden generalizar en una dirección diferente: tome un espacio anillado ( X , O _X ) y considere las poleas de los módulos O _X (ver haz de módulos ). Estos forman una categoría O _X - Mod y juegan un papel importante en la geometría algebraica moderna . Si X tiene un solo punto, entonces esta es una categoría de módulo en el sentido antiguo sobre el anillo conmutativo O _X ( X ).

También se pueden considerar módulos en lugar de un semirremolque . Los módulos sobre anillos son grupos abelianos, pero los módulos sobre semiconductores son solo monoides conmutativos . La mayoría de las aplicaciones de módulos aún son posibles. En particular, para cualquier semiring S , las matrices sobre S forman un semiring sobre el cual las tuplas de elementos de S son un módulo (sólo en este sentido generalizado). Esto permite una mayor generalización del concepto de espacio vectorial incorporando los semirings de la informática teórica.

Sobre los anillos cercanos , se pueden considerar módulos de anillo cercano, una generalización no beliana de módulos.

Ver también

Notas

Referencias

FW Anderson y KR Fuller: anillos y categorías de módulos , textos de posgrado en matemáticas, vol. 13, 2a ed., Springer-Verlag, Nueva York, 1992, ISBN 0-387-97845-3 , ISBN 3-540-97845-3
Nathan Jacobson . Estructura de anillos . Publicaciones del coloquio, vol. 37, 2.a edición, Librería AMS, 1964, ISBN 978-0-8218-1037-8

enlaces externos

"Módulo" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
¿Por qué es buena idea estudiar los módulos de un anillo? en MathOverflow
módulo en nLab

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