Producto cartesiano - Cartesian product

En matemáticas , específicamente conjunto teoría , el producto cartesiano de dos conjuntos A y B , denotado A  ×  B , es el conjunto de todos los pares ordenados ( a , b ) donde una está en A y B está en B . En términos de notación de constructor de conjuntos , eso es

${\ Displaystyle A \ times B = \ {(a, b) \ mid a \ in A \ {\ mbox {y}} \ b \ in B \}.}$

Se puede crear una tabla tomando el producto cartesiano de un conjunto de filas y un conjunto de columnas. Si se toman las filas × columnas del producto cartesiano , las celdas de la tabla contienen pares ordenados del formulario (valor de fila, valor de columna) .

De manera similar, se puede definir el producto cartesiano de n conjuntos, también conocido como un producto cartesiano de n pliegues , que se puede representar mediante una matriz n- dimensional, donde cada elemento es una n - tupla . Un par ordenado es un par o tupla de 2 . De manera más general, se puede definir el producto cartesiano de una familia de conjuntos indexados .

El producto cartesiano lleva el nombre de René Descartes , cuya formulación de la geometría analítica dio lugar al concepto, que se generaliza aún más en términos de producto directo .

Ejemplos de

Una baraja de cartas

Un ejemplo ilustrativo es el mazo estándar de 52 cartas . Los rangos estándar de naipes {A, K, Q, J, 10, 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2} forman un conjunto de 13 elementos. Los palos de cartas {♠, ♥ , ♦ , ♣} forman un conjunto de cuatro elementos. El producto cartesiano de estos conjuntos devuelve un conjunto de 52 elementos que consta de 52 pares ordenados , que corresponden a los 52 naipes posibles.

Rangos × Trajes devuelve un conjunto de la forma {(A, ♠), (A,  ♥ ), (A,  ♦ ), (A, ♣), (K, ♠),…, (3, ♣), (2 , ♠), (2,  ♥ ), (2,  ♦ ), (2, ♣)}.

Suits × Ranks devuelve un conjunto de la forma {(♠, A), (♠, K), (♠, Q), (♠, J), (♠, 10),…, (♣, 6), (♣ , 5), (♣, 4), (♣, 3), (♣, 2)}.

Estos dos conjuntos son distintos, incluso inconexos .

Un sistema de coordenadas bidimensional

El principal ejemplo histórico es el plano cartesiano en geometría analítica . Para representar formas geométricas de forma numérica y extraer información numérica de las representaciones numéricas de las formas, René Descartes asignó a cada punto del plano un par de números reales , llamados sus coordenadas . Por lo general, primero y segundo componentes tales una de par se llaman su x y Y coordenadas, respectivamente (ver foto). El conjunto de todos esos pares (es decir, el producto cartesiano ℝ × ℝ , donde ℝ denota los números reales) se asigna así al conjunto de todos los puntos en el plano.

Implementación más común (teoría de conjuntos)

Una definición formal del producto cartesiano a partir de principios teóricos de conjuntos se deriva de una definición de par ordenado . La definición más común de pares ordenados, la definición de Kuratowski , es . Bajo esta definición, es un elemento y es un subconjunto de ese conjunto, donde representa el operador del conjunto de potencias . Por lo tanto, la existencia del producto cartesiano de dos conjuntos cualesquiera en ZFC se deriva de los axiomas de emparejamiento , unión , conjunto de potencias y especificación . Dado que las funciones generalmente se definen como un caso especial de relaciones , y las relaciones generalmente se definen como subconjuntos del producto cartesiano, la definición del producto cartesiano de dos conjuntos es necesariamente anterior a la mayoría de las otras definiciones. ${\ Displaystyle (x, y) = \ {\ {x \}, \ {x, y \} \}}$${\ Displaystyle (x, y)}$${\ Displaystyle {\ mathcal {P}} ({\ mathcal {P}} (X \ cup Y))}$${\ Displaystyle X \ times Y}$${\ Displaystyle {\ mathcal {P}}}$

No conmutatividad y no asociatividad

Sean A , B , C y D conjuntos.

El producto cartesiano A × B no es conmutativo ,

${\ Displaystyle A \ times B \ neq B \ times A,}$

porque los pares ordenados se invierten a menos que se cumpla al menos una de las siguientes condiciones:

• A es igual a B , o
• A o B es el conjunto vacío .

Por ejemplo:

A = {1,2}; B = {3,4}

A × B = {1,2} × {3,4} = {(1,3), (1,4), (2,3), (2,4)}

B × A = {3,4} × {1,2} = {(3,1), (3,2), (4,1), (4,2)}

A = B = {1,2}

A × B = B × A = {1,2} × {1,2} = {(1,1), (1,2), (2,1), (2,2)}

A = {1,2}; B = ∅

A × B = {1,2} × ∅ = ∅

B × A = ∅ × {1,2} = ∅

Estrictamente hablando, el producto cartesiano no es asociativo (a menos que uno de los conjuntos involucrados esté vacío).

${\ Displaystyle (A \ times B) \ times C \ neq A \ times (B \ times C)}$

Si, por ejemplo, A  = {1}, entonces ( A × A ) × A = {((1, 1), 1)} ≠ {(1, (1, 1))} = A × ( A × A ) .

Intersecciones, uniones y subconjuntos

El producto cartesiano satisface la siguiente propiedad con respecto a las intersecciones (ver imagen del medio).

${\ Displaystyle (A \ cap B) \ times (C \ cap D) = (A \ times C) \ cap (B \ times D)}$

En la mayoría de los casos, la declaración anterior no es cierta si reemplazamos la intersección con la unión (vea la imagen de la derecha).

${\ Displaystyle (A \ cup B) \ times (C \ cup D) \ neq (A \ times C) \ cup (B \ times D)}$

De hecho, tenemos eso:

${\ Displaystyle (A \ times C) \ cup (B \ times D) = [(A \ setminus B) \ times C] \ cup [(A \ cap B) \ times (C \ cup D)] \ cup [ (B \ setminus A) \ times D]}$

Para la diferencia de conjuntos, también tenemos la siguiente identidad:

${\ Displaystyle (A \ times C) \ setminus (B \ times D) = [A \ times (C \ setminus D)] \ cup [(A \ setminus B) \ times C]}$

Aquí hay algunas reglas que demuestran la distributividad con otros operadores (vea la imagen del extremo izquierdo):

${\ Displaystyle {\ begin {alineado} A \ times (B \ cap C) & = (A \ times B) \ cap (A \ times C), \\ A \ times (B \ cup C) & = (A \ times B) \ cup (A \ times C), \\ A \ times (B \ setminus C) & = (A \ times B) \ setminus (A \ times C), \ end {alineado}}}$

${\ Displaystyle (A \ times B) ^ {\ complementario} = \ left (A ^ {\ complemento} \ veces B ^ {\ complemento} \ derecha) \ taza \ izquierda (A ^ {\ complemento} \ veces B \ derecha) \ taza \ izquierda (A \ veces B ^ {\ complemento} \ derecha) \ !,}$

donde denota el complemento absoluto de A . ${\ Displaystyle A ^ {\ complemento}}$

Otras propiedades relacionadas con subconjuntos son:

${\ displaystyle {\ text {if}} A \ subseteq B {\ text {, luego}} A \ times C \ subseteq B \ times C;}$

${\ displaystyle {\ text {si ambos}} A, B \ neq \ emptyset {\ text {, entonces}} A \ times B \ subseteq C \ times D \! \ iff \! A \ subseteq C {\ text { y}} B \ subseteq D.}$

Cardinalidad

La cardinalidad de un conjunto es el número de elementos del conjunto. Por ejemplo, definiendo dos conjuntos: A = {a, b} y B = {5, 6}. Tanto el conjunto A como el conjunto B constan de dos elementos cada uno. Su producto cartesiano, escrito como A × B , da como resultado un nuevo conjunto que tiene los siguientes elementos:

A × B = {(a, 5), (a, 6), (b, 5), (b, 6)}.

donde cada elemento de A se empareja con cada elemento de B , y donde cada par constituye un elemento del conjunto de salida. El número de valores en cada elemento del conjunto resultante es igual al número de conjuntos cuyo producto cartesiano se está tomando; 2 en este caso. La cardinalidad del conjunto de salida es igual al producto de las cardinalidades de todos los conjuntos de entrada. Eso es,

| A × B | = | A | · | B |.

En este caso, | A × B | = 4

similar

| A × B × C | = | A | · | B | · | C |

etcétera.

El conjunto A × B es infinito si A o B es infinito, y el otro conjunto no es el conjunto vacío.

Productos cartesianos de varios conjuntos

n -producto cartesiano

El producto cartesiano se puede generalizar al producto cartesiano n -ario sobre n conjuntos X ₁ , ..., X _n como el conjunto

${\ Displaystyle X_ {1} \ times \ cdots \ times X_ {n} = \ {(x_ {1}, \ ldots, x_ {n}) \ mid x_ {i} \ in X_ {i} \ {\ text {por cada}} \ i \ en \ {1, \ ldots, n \} \}}$

de n -tuplas . Si las tuplas se definen como pares ordenados anidados , se pueden identificar con ( X ₁ × ⋯ × X _{n −1} ) × X _n . Si una tupla se define como una función en {1, 2,…, n } que toma su valor en i como el i- ésimo elemento de la tupla, entonces el producto cartesiano X ₁ × ⋯ × X _n es el conjunto de funciones

${\ Displaystyle \ {x: \ {1, \ ldots, n \} \ to X_ {1} \ cup \ cdots \ cup X_ {n} \ | \ x (i) \ in X_ {i} \ {\ text {por cada}} \ i \ en \ {1, \ ldots, n \} \}.}$

n -poder cartesiano

El cuadrado cartesiano de un conjunto X es el producto cartesiano X ² = X × X . Un ejemplo es la 2-dimensional plano R ² = R × R , donde R es el conjunto de números reales : R ² es el conjunto de todos los puntos ( x , y ) donde x y y son números reales (ver el sistema de coordenadas cartesianas ) .

La potencia cartesiana n -aria de un conjunto X , denotado , se puede definir como ${\ Displaystyle X ^ {n}}$

${\ Displaystyle X ^ {n} = \ underbrace {X \ times X \ times \ cdots \ times X} _ {n} = \ {(x_ {1}, \ ldots, x_ {n}) \ | \ x_ { i} \ in X \ {\ text {para cada}} \ i \ in \ {1, \ ldots, n \} \}.}$

Un ejemplo de esto es R ³ = R × R × R , con R nuevamente el conjunto de números reales, y más generalmente R ⁿ .

El n poder cartesiano ary de un conjunto X es isomorfo al espacio de las funciones de un n conjunto -elemento a X . Como caso especial, el poder cartesiano 0-ary de X puede ser tomada a ser un conjunto unitario , que corresponde a la función de vacío con codomain X .

Productos cartesianos infinitos

Es posible definir el producto cartesiano de una familia de conjuntos indexada arbitraria (posiblemente infinita ) . Si I es cualquier conjunto de índices y es una familia de conjuntos indexados por I , entonces el producto cartesiano de los conjuntos en se define como ${\ Displaystyle \ {X_ {i} \} _ {i \ in I}}$${\ Displaystyle \ {X_ {i} \} _ {i \ in I}}$

${\ Displaystyle \ prod _ {i \ in I} X_ {i} = \ left \ {\ left.f: I \ to \ bigcup _ {i \ in I} X_ {i} \ \ right | \ (\ forall i) (f (i) \ in X_ {i}) \ right \},}$

es decir, el conjunto de todas las funciones definidas en el índice establecido de manera que el valor de la función en un índice particular i es un elemento de X _i . Incluso si cada uno de los X _i no está vacío, el producto cartesiano puede estar vacío si no se asume el axioma de elección , que es equivalente al enunciado de que todos estos productos no están vacíos.

Para cada j en I , la función

${\ Displaystyle \ pi _ {j}: \ prod _ {i \ in I} X_ {i} \ to X_ {j},}$

definido por se llama mapa de proyección j- ésimo . ${\ Displaystyle \ pi _ {j} (f) = f (j)}$

Poder cartesiano es un producto cartesiano donde todos los factores X _i son el mismo conjunto X . En este caso,

${\ Displaystyle \ prod _ {i \ in I} X_ {i} = \ prod _ {i \ in I} X}$

es el conjunto de todas las funciones de I a X , y con frecuencia se denota X ^I . Este caso es importante en el estudio de la exponenciación cardinal . Un caso especial importante es cuando el conjunto de índices son los números naturales : este producto cartesiano es el conjunto de todas las sucesiones infinitas con el término i en su conjunto correspondiente X _i . Por ejemplo, cada elemento de ${\ Displaystyle \ mathbb {N}}$

${\ Displaystyle \ prod _ {n = 1} ^ {\ infty} \ mathbb {R} = \ mathbb {R} \ times \ mathbb {R} \ times \ cdots}$

se puede visualizar como un vector con componentes de números reales infinitos numerables. Este conjunto se denota con frecuencia , o . ${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {\ omega}}$${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {\ mathbb {N}}}$

Otras formas

Forma abreviada

Si se multiplican varios conjuntos (por ejemplo, X ₁ , X ₂ , X ₃ ,…), algunos autores optan por abreviar el producto cartesiano simplemente como × X _i .

Producto cartesiano de funciones

Si f es una función de A a B y g es una función de X a Y , entonces su producto cartesiano f × g es una función de A × X a B × Y con

${\ Displaystyle (f \ times g) (a, x) = (f (a), g (x)).}$

Esto se puede extender a tuplas y colecciones infinitas de funciones. Esto es diferente del producto cartesiano estándar de funciones consideradas como conjuntos.

Cilindro

Sea un conjunto y . Entonces el cilindro de con respecto a es el producto cartesiano de y . ${\ Displaystyle A}$${\ Displaystyle B \ subseteq A}$${\ Displaystyle B}$${\ Displaystyle A}$${\ Displaystyle B \ times A}$${\ Displaystyle B}$${\ Displaystyle A}$

Normalmente, se considera que es el universo del contexto y se deja de lado. Por ejemplo, si es un subconjunto de los números naturales , entonces el cilindro de es . ${\ Displaystyle A}$${\ Displaystyle B}$${\ Displaystyle \ mathbb {N}}$${\ Displaystyle B}$${\ Displaystyle B \ times \ mathbb {N}}$

Definiciones fuera de la teoría de conjuntos

Teoría de categorías

Aunque el producto cartesiano se aplica tradicionalmente a conjuntos, la teoría de categorías proporciona una interpretación más general del producto de estructuras matemáticas. Esto es distinto, aunque relacionado con, la noción de un cuadrado cartesiano en la teoría de categorías, que es una generalización del producto de fibra .

La exponenciación es el adjunto correcto del producto cartesiano; por tanto, cualquier categoría con un producto cartesiano (y un objeto final ) es una categoría cerrada cartesiana .

Teoría de grafos

En teoría de grafos , el producto cartesiano de dos gráficos G y H es el gráfico denotado por G × H , cuyo conjunto de vértices es el producto cartesiano (ordinario) V ( G ) × V ( H ) y tal que dos vértices ( u , v ) y ( u ', v ') son adyacentes en G × H , si y sólo si u = u ' y v es adyacente con v ' en H , o v = v ' y u es adyacente con u ' en G . El producto cartesiano de los gráficos no es un producto en el sentido de la teoría de categorías. En cambio, el producto categórico se conoce como el producto tensorial de los gráficos .

Ver también

• Relación binaria
• Concatenación de conjuntos de cadenas
• Coproducto
• Producto cruzado
• Producto directo de grupos
• Producto vacio
• Espacio euclidiano
• Objeto exponencial
• Relación finitaria
• Unión (SQL) § Unión cruzada
• Pedidos sobre el producto cartesiano de conjuntos totalmente ordenados
• Axioma de conjunto de poder (para probar la existencia del producto cartesiano)
• Producto (teoría de categorías)
• Topología de producto
• Tipo de producto
• Ultraproducto

Referencias

enlaces externos

• Producto cartesiano en ProvenMath
• "Producto directo" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
• Cómo encontrar el producto cartesiano, Education Portal Academy