Base (álgebra lineal) - Basis (linear algebra)

El mismo vector se puede representar en dos bases diferentes (flechas moradas y rojas).

En matemáticas , un conjunto B de vectores en un espacio vectorial V se llama una base si todos los elementos de V se puede escribir de una manera única como un finito combinación lineal de los elementos de B . Los coeficientes de esta combinación lineal se conocen como componentes o coordenadas del vector con respecto a B . Los elementos de una base se llaman vectores base .

De manera equivalente, un conjunto B es una base si sus elementos son linealmente independientes y cada elemento de V es una combinación lineal de los elementos de B . En otras palabras, una base es un conjunto de expansión linealmente independiente .

Un espacio vectorial puede tener varias bases; sin embargo, todas las bases tienen el mismo número de elementos, llamado dimensión del espacio vectorial.

Este artículo trata principalmente de espacios vectoriales de dimensión finita. Sin embargo, muchos de los principios también son válidos para espacios vectoriales de dimensión infinita.

Definición

A base B de un espacio vectorial V sobre un campo F (como los números reales R o los números complejos C ) es un linealmente independientes subconjunto de V que vanos V . Esto significa que un subconjunto B de V es una base si satisface las dos condiciones siguientes:

  • la propiedad de independencia lineal :
    para cada subconjunto finito de B , si para alguno en F , entonces ; y
  • la propiedad de expansión :
    para cada vector v en V , se puede elegir en F y en B tal que .

Los escalares se denominan coordenadas del vector v con respecto a la base B , y por la primera propiedad se determinan unívocamente.

Un espacio vectorial que tiene una base finita se llama de dimensión finita . En este caso, el subconjunto finito se puede tomar como B para verificar la independencia lineal en la definición anterior.

A menudo es conveniente o incluso necesario tener un orden en los vectores base, por ejemplo, cuando se habla de orientación , o cuando se consideran los coeficientes escalares de un vector con respecto a una base sin hacer referencia explícita a los elementos base. En este caso, el ordenamiento es necesario para asociar cada coeficiente al elemento base correspondiente. Este ordenamiento se puede realizar numerando los elementos básicos. Para enfatizar que se ha elegido un orden, se habla de una base ordenada , que por lo tanto no es simplemente un conjunto desestructurado , sino una secuencia , una familia indexada o similar; ver § Bases y coordenadas ordenadas a continuación.

Ejemplos de

Esta imagen ilustra la base estándar en R 2 . Los vectores azul y naranja son los elementos de la base; el vector verde se puede dar en términos de los vectores base, por lo que depende linealmente de ellos.
  • El conjunto R 2 de los pares ordenados de números reales es un espacio vectorial para las siguientes propiedades:
    adición de componentes
    y multiplicación escalar
    donde está cualquier número real. Una base simple de este espacio vectorial, llamado la base estándar consta de los dos vectores e 1 = (1,0) y e 2 = (0,1) , ya que, cualquier vector v = ( un , b ) de R 2 puede estar escrito de forma única como
    Cualquier otro par de vectores linealmente independientes de R 2 , como (1, 1) y (-1, 2) , también forma una base de R 2 .
  • De manera más general, si F es un campo , el conjunto de n -tuplas de elementos de F es un espacio vectorial para la suma y la multiplicación escalar definidas de manera similar. Dejar
    ser la n- tupla con todos los componentes iguales a 0, excepto la i- ésima, que es 1. Entonces es una base de la cual se llama la
    base estándar de
  • Si F es un campo, el anillo polinomial F [ X ] de los polinomios en un indeterminado es un espacio vectorial F , y tiene una base B , llamada base monomial , que consta de todos los monomios :
    Cualquier conjunto de polinomios tal que exista exactamente un polinomio de cada grado también es una base. Este conjunto de polinomios se denomina secuencia polinomial . Ejemplos (entre muchos) de tales secuencias polinomiales son los polinomios de base de Bernstein y los polinomios de Chebyshev .

Propiedades

Muchas propiedades de las bases finitas resultan del lema de intercambio de Steinitz , que establece que, para cualquier espacio vectorial V , dado un conjunto de expansión finito S y un conjunto L linealmente independiente de n elementos de V , uno puede reemplazar n elementos bien elegidos de S por los elementos de L para obtener un conjunto generador que contiene L , teniendo sus otros elementos en S , y que tiene el mismo número de elementos como S .

La mayoría de las propiedades que resultan del lema de intercambio de Steinitz siguen siendo verdaderas cuando no hay un conjunto de expansión finito, pero sus demostraciones en el caso infinito generalmente requieren el axioma de elección o una forma más débil del mismo, como el lema del ultrafiltro .

Si V es un espacio vectorial sobre un campo F , entonces:

  • Si L es un subconjunto linealmente independiente de un conjunto de expansión SV , entonces hay una base B tal que
  • V tiene una base (esta es la propiedad anterior, siendo L el conjunto vacío y S = V ).
  • Todas las bases de V tienen la misma cardinalidad , que se llama la dimensión de V . Este es el teorema de la dimensión .
  • Un conjunto de generación de S es una base de V si y sólo si es mínima, es decir, no subconjunto propio de S es también un conjunto de generación de V .
  • Un conjunto L linealmente independiente es una base si y solo si es máximo, es decir, no es un subconjunto propio de ningún conjunto linealmente independiente.

Si V es un espacio vectorial de dimensión n , entonces:

  • Un subconjunto de V con n elementos es una base si y solo si es linealmente independiente.
  • Un subconjunto de V con n elementos es una base si y sólo si se Spanning conjunto de V .

Coordenadas

Sea V un espacio vectorial de dimensión finita n sobre un campo F , y

ser una base de V . Por definición de una base, cada v en V puede escribirse, de una manera única, como

donde los coeficientes son escalares (es decir, los elementos de F ), que se llaman las coordenadas de v sobre B . Sin embargo, si se habla del conjunto de coeficientes, se pierde la correspondencia entre coeficientes y elementos base, y varios vectores pueden tener el mismo conjunto de coeficientes. Por ejemplo, y tienen el mismo conjunto de coeficientes {2, 3} y son diferentes. Por tanto, a menudo es conveniente trabajar de forma ordenada ; esto se hace típicamente indexando los elementos base por los primeros números naturales. Entonces, las coordenadas de un vector forman una secuencia indexada de manera similar, y un vector se caracteriza completamente por la secuencia de coordenadas. Una base ordenada también se llama marco , una palabra comúnmente utilizada, en varios contextos, para referirse a una secuencia de datos que permite definir coordenadas.

Que, como de costumbre, el conjunto de los n -tuplas de elementos de F . Este conjunto es un espacio de vectores F , con la suma y la multiplicación escalar definidas por componentes. El mapa

es un isomorfismo lineal desde el espacio de vector en V . En otras palabras, es el espacio de coordenadas de V , y la n- tupla es el vector de coordenadas de v .

La imagen inversa de of es la n- tupla cuyos componentes son 0, excepto la i ésima que es 1. La forma una base ordenada de , que se llama su base estándar o base canónica . La base ordenada B es la imagen de la base canónica de .

Se desprende de lo que precede que cada base ordenada es la imagen por un isomorfismo lineal de la base canónica de , y que cada isomorfismo lineal de en V se puede definir como el isomorfismo que mapea la base canónica de sobre una base ordenada dada de V . En otras palabras, es equivalente a definir una base ordenada de V , o un isomorfismo lineal de en V .

Cambio de base

Deje V un espacio vectorial de dimensión n sobre un campo F . Dadas dos bases (ordenadas) y de V , a menudo es útil expresar las coordenadas de un vector x con respecto a en términos de las coordenadas con respecto a Esto se puede hacer mediante la fórmula de cambio de base , que se describe a continuación . Se han elegido los subíndices "antiguo" y "nuevo" porque es habitual referirse a y como la base antigua y la base nueva , respectivamente. Es útil describir las coordenadas antiguas en términos de las nuevas, porque, en general, se tienen expresiones que involucran las coordenadas antiguas, y si se quiere obtener expresiones equivalentes en términos de las nuevas coordenadas; esto se obtiene reemplazando las coordenadas antiguas por sus expresiones en términos de las nuevas coordenadas.

Normalmente, los nuevos vectores base vienen dados por sus coordenadas sobre la base anterior, es decir,

Si y son las coordenadas de un vector x sobre la base antigua y la nueva respectivamente, la fórmula de cambio de base es

para i = 1,…, n .

Esta fórmula se puede escribir de forma concisa en notación matricial . Sea A la matriz de , y

ser los vectores columna de las coordenadas de v en la base antigua y nueva respectivamente, entonces la fórmula para cambiar las coordenadas es

La fórmula se puede probar considerando la descomposición del vector x en las dos bases: uno tiene

y

La fórmula de cambio de base resulta entonces de la unicidad de la descomposición de un vector sobre una base, aquí ; es decir

para i = 1,…, n .

Nociones relacionadas

Módulo gratuito

Si se reemplaza el campo que aparece en la definición de un espacio vectorial por un anillo , se obtiene la definición de un módulo . Para los módulos, la independencia lineal y los conjuntos de expansión se definen exactamente como para los espacios vectoriales, aunque " conjunto generador " se usa más comúnmente que el de "conjunto de expansión".

Al igual que para los espacios vectoriales, la base de un módulo es un subconjunto linealmente independiente que también es un conjunto generador. Una gran diferencia con la teoría de los espacios vectoriales es que no todos los módulos tienen una base. Un módulo que tiene una base se denomina módulo gratuito . Los módulos libres juegan un papel fundamental en la teoría de módulos, ya que pueden usarse para describir la estructura de módulos no libres a través de resoluciones libres .

Un módulo sobre números enteros es exactamente lo mismo que un grupo abeliano . Por tanto, un módulo libre sobre los enteros también es un grupo abeliano libre. Los grupos abelianos libres tienen propiedades específicas que los módulos no comparten con otros anillos. Específicamente, cada subgrupo de un grupo abeliano libre es un grupo abeliano libre y, si G es un subgrupo de un grupo abeliano libre finitamente generado H (es decir, un grupo abeliano que tiene una base finita), hay una base de H y un entero 0 ≤ kn tal que es una base de G , para algunos enteros distintos de cero . Para obtener más información, consulte Grupo abeliano libre § Subgrupos .

Análisis

En el contexto de espacios vectoriales de dimensión infinita sobre los números reales o complejos, el término La base de Hamel (llamada así porGeorg Hamel) ola base algebraicase pueden utilizar para referirse a una base como se define en este artículo. Esto es para hacer una distinción con otras nociones de "base" que existen cuando los espacios vectoriales de dimensión infinita están dotados de estructura adicional. Las alternativas más importantes sonlas bases ortogonalesenespacios de Hilbert, lasbases de Schauderylas bases de Markushevichenespacios linealesnormativos. En el caso de los números realesRvistos como un espacio vectorial sobre el campoQde números racionales, las bases de Hamel son incontables, y tienen específicamente lacardinalidaddel continuo, que es elnúmero cardinal ,dondeestá el infinito más pequeño, el cardinal, el cardinal. de los enteros.

La característica común de las otras nociones es que permiten tomar infinitas combinaciones lineales de los vectores base para generar el espacio. Esto, por supuesto, requiere que se definan de manera significativa sumas infinitas en estos espacios, como es el caso de los espacios vectoriales topológicos , una gran clase de espacios vectoriales que incluyen, por ejemplo , espacios de Hilbert , espacios de Banach o espacios de Fréchet .

La preferencia de otros tipos de bases por espacios de dimensión infinita se justifica por el hecho de que la base de Hamel se vuelve "demasiado grande" en los espacios de Banach: si X es un espacio vectorial normado de dimensión infinita que está completo (es decir, X es un espacio de Banach ), entonces cualquier base de Hamel de X es necesariamente incontable . Ésta es una consecuencia del teorema de la categoría de Baire . La integridad así como la dimensión infinita son supuestos cruciales en la afirmación anterior. De hecho, los espacios de dimensión finita tienen por definición bases finitas y hay espacios normados de dimensión infinita ( no completos ) que tienen bases de Hamel contables. Considere , el espacio de las secuencias de números reales que tienen sólo un número finito de elementos distintos de cero, con la norma . Su base estándar , que consiste en las secuencias que tienen solo un elemento distinto de cero, que es igual a 1, es una base de Hamel contable.

Ejemplo

En el estudio de las series de Fourier , se aprende que las funciones {1} ∪ {sin ( nx ), cos ( nx ): n = 1, 2, 3,…} son una "base ortogonal" de la (real o compleja) espacio vectorial de todas las funciones (de valor real o complejo) en el intervalo [0, 2π] que son integrables al cuadrado en este intervalo, es decir, funciones f que satisfacen

Las funciones {1} ∪ {sin ( nx ), cos ( nx ): n = 1, 2, 3,…} son linealmente independientes, y toda función f que es cuadrada-integrable en [0, 2π] es un "infinito combinación lineal "de ellos, en el sentido de que

para coeficientes adecuados (reales o complejos) a k , b k . Pero muchas funciones cuadradas integrables no se pueden representar como combinaciones lineales finitas de estas funciones base, que por lo tanto no comprenden una base de Hamel. Cada base de Hamel de este espacio es mucho más grande que este conjunto de funciones simplemente numerablemente infinito. Las bases de Hamel de espacios de este tipo no suelen ser útiles, mientras que las bases ortonormales de estos espacios son esenciales en el análisis de Fourier .

Geometría

Las nociones geométricas de espacio afín , espacio proyectivo , conjunto convexo y cono tienen nociones relacionadas de base . Una base afín para un espacio afín n- dimensional son los puntos en posición lineal general . ALa base proyectiva sonpuntos en posición general, en un espacio proyectivo de dimensiónn. ALa base convexa de unpolitopoes el conjunto de los vértices de sucasco convexo. ALa base del cono consta de un punto por borde de un cono poligonal. Véase también unabase de Hilbert (programación lineal).

Base aleatoria

Para una distribución de probabilidad en R n con una función de densidad de probabilidad , como la equidistribución en una bola n- dimensional con respecto a la medida de Lebesgue, se puede demostrar que n vectores elegidos aleatoria e independientemente formarán una base con probabilidad uno , que es debido al hecho de que n vectores linealmente dependientes x 1 ,…, x n en R n deben satisfacer la ecuación det [ x 1x n ] = 0 (determinante cero de la matriz con columnas x i ), y el conjunto de ceros de un polinomio no trivial tiene medida cero. Esta observación ha llevado a técnicas para aproximar bases aleatorias.

Distribución empírica de longitudes N de cadenas de vectores casi ortogonales por pares que se muestrean independientemente al azar del cubo n -dimensional [−1, 1] n en función de la dimensión, n . Los diagramas de caja muestran el segundo y tercer cuartiles de estos datos para cada n , las barras rojas corresponden a las medianas y las estrellas azules indican las medias. La curva roja muestra el límite teórico dado por la ecuación. (1) y la curva verde muestra una estimación refinada.

Es difícil verificar numéricamente la dependencia lineal o la ortogonalidad exacta. Por tanto, se utiliza la noción de ε-ortogonalidad. Para espacios con producto interno , x es ε-ortogonal a y si (es decir, el coseno del ángulo entre x y y es menor que ε ).

En dimensiones altas, dos vectores aleatorios independientes son con alta probabilidad casi ortogonales, y el número de vectores aleatorios independientes, que son todos con alta probabilidad dada por pares casi ortogonales, crece exponencialmente con la dimensión. Más precisamente, considere la equidistribución en una bola n- dimensional. Elija N vectores aleatorios independientes de una bola (son independientes y están distribuidos de manera idéntica ). Sea θ un pequeño número positivo. Entonces para

 

 

 

 

(Ecuación 1)

N vectores aleatorios son todos por pares ε-ortogonales con probabilidad 1 - θ . Este N crecimiento exponencial con dimensión n y para suficientemente grande n . Esta propiedad de las bases aleatorias es una manifestación del llamado fenómeno de concentración de medida .

La figura (derecha) ilustra la distribución de longitudes N de cadenas de vectores casi ortogonales por pares que se muestrean independientemente al azar del cubo n -dimensional [−1, 1] n en función de la dimensión, n . Primero se selecciona un punto al azar en el cubo. El segundo punto se elige al azar en el mismo cubo. Si el ángulo entre los vectores estaba dentro de π / 2 ± 0.037π / 2, entonces se retuvo el vector. En el siguiente paso se genera un nuevo vector en el mismo hipercubo, y se evalúan sus ángulos con los vectores generados previamente. Si estos ángulos están dentro de π / 2 ± 0.037π / 2, entonces se retiene el vector. El proceso se repite hasta que se rompe la cadena de casi ortogonalidad, y se registra el número de dichos vectores casi ortogonales por pares (longitud de la cadena). Para cada n , se construyeron numéricamente 20 cadenas casi ortogonales por pares para cada dimensión. Se presenta la distribución de la longitud de estas cadenas.

Prueba de que todo espacio vectorial tiene una base

Deje V ser cualquier espacio vectorial sobre algún campo F . Deje X el conjunto de todos los subconjuntos linealmente independientes de V .

El conjunto X no está vacío ya que el conjunto vacío es un subconjunto independiente de V , y está parcialmente ordenado por inclusión, que se denota, como de costumbre, por .

Sea Y un subconjunto de X que está totalmente ordenado por , y sea L Y la unión de todos los elementos de Y (que son en sí mismos ciertos subconjuntos de V ).

Dado que ( Y , ⊆) está totalmente ordenado, cada subconjunto finito de L Y es un subconjunto de un elemento de Y , que es un subconjunto linealmente independiente de V , y por lo tanto L Y es linealmente independiente. Por lo tanto L Y es un elemento de X . Por lo tanto, L Y es un límite superior para Y en ( X , ⊆): es un elemento de X , que contiene todos los elementos de Y .

Como X no está vacío, y cada subconjunto totalmente ordenado de ( X , ⊆) tiene un límite superior en X , el lema de Zorn afirma que X tiene un elemento máximo. En otras palabras, existe algún elemento L max de X que satisface la condición de que siempre que L max ⊆ L para algún elemento L de X , entonces L = L max .

Queda por demostrar que L max es una base de V . Desde L máx pertenece a X , que ya sabemos que la L max es un subconjunto linealmente independiente de V .

Si hubiera algún vector w de V que no esté en el intervalo de L max , entonces w tampoco sería un elemento de L max . Sea L w = L max ∪ { w }. Este conjunto es un elemento de X , es decir, es un subconjunto linealmente independiente de V (porque w no está en el intervalo de L max y L max es independiente). Como L max ⊆ L w , y L max ≠ L w (porque L w contiene el vector w que no está contenido en L max ), esto contradice la maximidad de L max . Por lo tanto esto demuestra que L max vanos V .

Por lo tanto L max es linealmente independiente y se extiende V . Por tanto, es una base de V , y esto prueba que todo espacio vectorial tiene una base.

Esta prueba se basa en el lema de Zorn, que es equivalente al axioma de elección . A la inversa, se ha demostrado que si todo espacio vectorial tiene una base, entonces el axioma de elección es verdadero. Por tanto, las dos afirmaciones son equivalentes.

Ver también

Notas

Referencias

Referencias generales

Referencias históricas

enlaces externos