Grupo con operadores - Group with operators

En álgebra abstracta , una rama de las matemáticas , el grupo de estructura algebraica con operadores o el grupo Ω- puede verse como un grupo con un conjunto Ω que opera sobre los elementos del grupo de una manera especial.

Los grupos con operadores fueron ampliamente estudiados por Emmy Noether y su escuela en la década de 1920. Empleó el concepto en su formulación original de los tres teoremas del isomorfismo de Noether .

Estructuras algebraicas
Tipo grupo Grupo Semigrupo  / Monoid Rack y quandle Cuasigrupo y bucle Grupo abeliano Magma Grupo de mentiras Teoría de grupos
Como un anillo Anillo Rng Semiring Anillo cercano Anillo conmutativo Dominio integral Campo Anillo de división Teoría del anillo
celosía -como Enrejado Semirredura Celosía complementada Orden total Heyting álgebra álgebra de Boole Mapa de celosías Teoría de la celosía
Como un módulo Módulo Grupo con operadores Espacio vectorial Álgebra lineal
Algebra- like Álgebra De asociación No asociativo Álgebra de composición Álgebra de mentiras Calificado Bialgebra
v t mi

Definición

Un grupo con operadores se puede definir como un grupo junto con una acción de un conjunto en : ${\ Displaystyle (G, \ Omega)}$${\ Displaystyle G = (G, \ cdot)}$${\ Displaystyle \ Omega}$${\ Displaystyle G}$

${\ Displaystyle \ Omega \ times G \ rightarrow G: (\ omega, g) \ mapsto g ^ {\ omega}}$

que es distributivo en relación con la ley de grupo:

${\ Displaystyle (g \ cdot h) ^ {\ omega} = g ^ {\ omega} \ cdot h ^ {\ omega}.}$

Para cada , la aplicación es entonces un endomorphism de G . De esto, resulta que un Ω-grupo también se puede ver como un grupo G con una familia de conjuntos de endomorfismos de G . ${\ Displaystyle \ omega \ in \ Omega}$${\ Displaystyle g \ mapsto g ^ {\ omega}}$ ${\ Displaystyle (u _ {\ omega}) _ {\ omega \ in \ Omega}}$

${\ Displaystyle \ Omega}$se llama dominio del operador . Los endomorfismos asociados son llamados los homotecias de G .

Dados dos grupos G , H con el mismo dominio de operador , un homomorfismo de grupos con operadores es un homomorfismo de grupo que satisface ${\ Displaystyle \ Omega}$${\ Displaystyle \ phi: G \ to H}$

${\ Displaystyle \ phi (g ^ {\ omega}) = (\ phi (g)) ^ {\ omega}}$para todos y${\ Displaystyle \ omega \ in \ Omega}$${\ Displaystyle g \ en G.}$

Un subgrupo S de G se llama un subgrupo estable , -subgroup o subgrupo -invariant si respeta las homotecias, que es ${\ Displaystyle \ Omega}$${\ Displaystyle \ Omega}$

${\ Displaystyle s ^ {\ omega} \ in S}$para todos y${\ Displaystyle s \ in S}$${\ Displaystyle \ omega \ in \ Omega.}$

Comentarios sobre la teoría de la categoría

En la teoría de categorías , un grupo con operadores puede definirse como un objeto de una categoría de functor Grp ^M donde M es un monoide (es decir, una categoría con un objeto ) y Grp denota la categoría de grupos . Esta definición es equivalente a la anterior, siempre que sea ​​un monoide (de lo contrario, podemos ampliarla para incluir la identidad y todas las composiciones). ${\ Displaystyle \ Omega}$

Un morfismo en esta categoría es una transformación natural entre dos functores ( es decir, dos grupos con operadores que comparten el mismo dominio de operador M ). Nuevamente recuperamos la definición anterior de un homomorfismo de grupos con operadores (con f el componente de la transformación natural).

Un grupo con operadores también es un mapeo.

${\ Displaystyle \ Omega \ rightarrow \ operatorname {End} _ {\ mathbf {Grp}} (G),}$

donde es el conjunto de endomorfismos de grupo de G . ${\ Displaystyle \ operatorname {End} _ {\ mathbf {Grp}} (G)}$

Ejemplos de

• Dado cualquier grupo G , ( G , ∅) es trivialmente un grupo con operadores
• Dado un módulo M sobre un anillo R , R actúa por multiplicación escalar sobre el grupo abeliano subyacente de M , por lo que ( M , R ) es un grupo con operadores.
• Como caso especial de lo anterior, todo espacio vectorial sobre un campo k es un grupo con operadores ( V , k ).

Aplicaciones

El teorema de Jordan-Hölder también es válido en el contexto de grupos de operadores. El requisito de que un grupo tenga una serie de composición es análogo al de la compacidad en la topología y, a veces, puede ser un requisito demasiado fuerte. Es natural hablar de "compacidad relativa a un conjunto", es decir, hablar de series de composición donde cada subgrupo ( normal ) es un operador-subgrupo relativo al conjunto de operadores X , del grupo en cuestión.

Ver también

• Acción de grupo

Notas

Referencias

• Bourbaki, Nicolas (1974). Elementos de Matemáticas: Álgebra I Capítulos 1–3 . Hermann. ISBN 2-7056-5675-8.
• Bourbaki, Nicolas (1998). Elementos de Matemáticas: Álgebra I Capítulos 1–3 . Springer-Verlag. ISBN 3-540-64243-9.
• Mac Lane, Saunders (1998). Categorías para el matemático que trabaja . Springer-Verlag. ISBN 0-387-98403-8.