Categoría de grupos - Category of groups

Estructura algebraica → Teoría de grupos Teoría de grupos
Nociones basicas Subgrupo Subgrupo normal Grupo cociente Producto (semi) directo Homomorfismos de grupo núcleo imagen suma directa producto de corona sencillo finito infinito continuo multiplicativo aditivo cíclico abeliano diedro nilpotente soluble acción Glosario de teoría de grupos Lista de temas de teoría de grupos
Grupos finitos Clasificación de grupos simples finitos cíclico alterno Tipo de mentira esporádico Teorema de Cauchy Teorema de lagrange Teoremas de Sylow Teorema de Hall grupo p Grupo abeliano elemental Grupo Frobenius Multiplicador de Schur Grupo simétrico S n Klein de cuatro grupos V Grupo diedro D n Grupo de cuaterniones Q Grupo dicíclico Dic n
Grupos discretos Celosías Enteros ( )${\ Displaystyle \ mathbb {Z}}$ Grupo libre Grupos modulares PSL (2, )${\ Displaystyle \ mathbb {Z}}$ SL (2, )${\ Displaystyle \ mathbb {Z}}$ Grupo aritmético Enrejado Grupo hiperbólico
Grupos topológicos y de mentira Solenoide Circulo GL lineal general ( n ) SL lineal especial ( n ) Ortogonal O ( n ) Euclidiana E ( n ) SO ortogonal especial ( n ) Unitario U ( n ) SU unitario especial ( n ) Simpléctica Sp ( n ) G 2 F 4 E 6 E 7 E 8 Lorentz Poincaré Conformal Difeomorfismo Círculo Grupo de mentiras de dimensión infinita O (∞) SU (∞) Sp (∞)
Grupos algebraicos Grupo algebraico lineal Grupo reductivo Variedad abeliana Curva elíptica
v t mi

En matemáticas , la categoría Grp (o Gp ) tiene la clase de todos los grupos para objetos y homomorfismos de grupo para morfismos . Como tal, es una categoría concreta . El estudio de esta categoría se conoce como teoría de grupos .

Relación con otras categorías

Hay dos functores olvidadizos de Grp , M: Grp → Mon de grupos a monoides y U: Grp → Establecer de grupos a conjuntos . M tiene dos adjuntos : uno a la derecha, I: Mon → Grp , y uno a la izquierda, K: Mon → Grp . I: Mon → Grp es el functor que envía cada monoide al submonoide de elementos invertibles y K: Mon → Grp el functor que envía cada monoide al grupo Grothendieck de ese monoide. El functor olvidadizo U: Grp → Set tiene un adjunto izquierdo dado por el compuesto KF: Set → Mon → Grp , donde F es el functor libre ; este functor asigna a cada conjunto S el grupo libre en S.

Propiedades categóricas

Los monomorfismos en Grp son precisamente los homomorfismos inyectivos , los epimorfismos son precisamente los homomorfismos sobreyectivos , y los isomorfismos son precisamente los homomorfismos biyectivos .

La categoría Grp es tanto completa como co-completa . El producto teórico de categoría en Grp es solo el producto directo de grupos, mientras que el coproducto teórico de categoría en Grp es el producto libre de grupos. Los objetos cero en Grp son los grupos triviales (que consisten solo en un elemento de identidad).

Todo morfismo f  : G → H en Grp tiene un núcleo de teoría de categorías (dado por el núcleo ordinario de álgebra ker f = { x en G | f ( x ) = e }), y también un cokernel de teoría de categorías (dado por el grupo de factores de H por el cierre normal de f ( G ) en H ). A diferencia de las categorías abelianas, no es cierto que cada monomorfismo en Grp sea ​​el núcleo de su cokernel.

No aditivo y por lo tanto no abeliano

La categoría de grupos abelianos , Ab , es una subcategoría completa de Grp . Ab es una categoría abeliana , pero Grp no lo es. De hecho, Grp ni siquiera es una categoría aditiva , porque no existe una forma natural de definir la "suma" de los homomorfismos de dos grupos. Una prueba de esto es la siguiente: El conjunto de morfismos del grupo simétrico S ₃ de orden tres a sí mismo , tiene diez elementos: un elemento z cuyo producto a cada lado con cada elemento de E es z (el homomorfismo que envía cada elemento a la identidad), tres elementos tales que su producto en un lado fijo es siempre él mismo (las proyecciones sobre los tres subgrupos de orden dos), y seis automorfismos. Si Grp fuera una categoría aditiva, entonces este conjunto E de diez elementos sería un anillo . En cualquier anillo, el elemento cero es señalado por la propiedad de que 0 x = x 0 = 0 para todo x en el anillo, y así z tendría que ser el cero de E . Sin embargo, no hay dos elementos distintos de cero de E cuyo producto sea z , por lo que este anillo finito no tendría divisores cero . Un anillo finito sin divisores cero es un campo , pero no hay campo con diez elementos porque todo campo finito tiene por orden, la potencia de un primo. ${\ displaystyle E = \ operatorname {Hom} (S_ {3}, S_ {3})}$

Secuencias exactas

La noción de secuencia exacta es significativa en Grp , y algunos resultados de la teoría de categorías abelianas, como el nueve lema , el cinco lema , y sus consecuencias son verdaderas en Grp . El lema de serpiente embargo, no es cierto en Grp .

Grp es una categoría regular .

Referencias

• Goldblatt, Robert (2006) [1984]. Topoi, el análisis categórico de la lógica (edición revisada). Publicaciones de Dover . ISBN 978-0-486-45026-1. Consultado el 25 de noviembre de 2009 .